1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Bài giảng giải tích bài 3

5 333 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 5
Dung lượng 329,2 KB

Nội dung

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI § Chuỗi hàm số  Đặt vấn đề Chuỗi hàm số hội tụ Định nghĩa: Cho dãy hàm số un  x  xác định X , ta định nghĩa chuỗi hàm số  u1  x   u2  x      un  x  (1) n 1    un  x  hội tụ x0  chuỗi số  un  x0  hội tụ n 1  n 1   un  x  phân kì x0  chuỗi số  un  x0  phân kì n 1 n 1 Tập điểm hội tụ (1) gọi tập hội tụ Tổng chuỗi hàm số hàm số xác định tập hội tụ Ví dụ Tìm tập hội tụ chuỗi hàm số sau  a)  n 1  e)  n 1  g)  x n 1 b) cos nx   n2  x2 c) ( ) f) n 1 sin  2n   x  3n  1  1   nx ( x  1)   1 n 1  n cos x n 1  e n 1 n 1  ( x 3  )  n 5n  x  n n 1 e)  n 0 d) ( xn n! n 1     k 2  x   k 2 ) 2  n ! 2  1  x  12n 1  2n  ! n ( ) ( 1  x  ) Hướng dẫn  a)  x n 1 n 1  +) Xét chuỗi số  x0n 1 (2) n 1 +) (2) hội tụ với x0   b) +) Tại x0  1, (2) phân kì +) Tập hội tụ: x  cos nx  n2  x2 n 1  +) Xét chuỗi số cos nx0  n2  x02 n 1 (2) +) cos nx0 n  +) Tập hội tụ  15 x02  n2  (2) hội tụ với x0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Tìm tập hội tụ chuỗi hàm số sau    1n 1 x 2n 3 a) 1) ( ) d) 1)   x  2n  n 2n   n 1 n 1   tan x     2)  n n   x  1 n 1  3)  n   x  n ( ( x   x  2 )  2) ( x  1  x  3 )    k  x   k  , k   )    cot x n n 1 n 1   4x      x  n 1 n  1   1n   x n 2)     x  n 2 n  b) 1)  n n   c)  x  x  1   n  1 n 0 ( k  x  3  (  ; 1 ) 5   3)   ln x n n 1  ( 0 ;    ) 4) n   k , k   ) 1  (  \  ; e ) e    enx ( x  0) n 1 (  x  1) n2 Chuỗi hàm số hội tụ  Định nghĩa  un  x  hội tụ đến S  x  tập X     bé tuỳ ý n 1  n0      :  n  n0   , ta có Sn  x   S  x    ,  x  X Ý nghĩa hình học Với n đủ lớn, Sn  x  thuộc dải  S  x    ; S  x      Tiêu chuẩn Cauchy  un  x  hội tụ tập X       bé tuỳ ý n 1  n0      :  p  q  n0    , ta có Sp  x   Sq  x    ,  x  X  Tiêu chuẩn Weierstrass Nếu có un  x   an , n ,  x  X  an n 1    un  x  hội tụ tuyệt đối X n 1 Tiêu chuẩn Dirichlet n un  v n w n , Vn đơn điệu không tăng  0,  wk k 1  Ví dụ Xét hội tụ chuỗi hàm  1n 1  x  n2 n 1 16  c,  n  Hội tụ hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +)  1n 1 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  ,x  a) c)  n2  x ,  cos nx 3n n 1  e)  sin nx n 1  +)  n2 hội tụ x  n2 n n 1 +) Chuỗi cho hội tụ tuyệt đối  Ví dụ Xét hội tụ chuỗi hàm  x (HTĐ) b) xn  2n n n , n 1  , x x   2 ; 2 2n  1n 1 x , x   1; 1 d) n n 1  (HTĐ) (HTĐ) (HTĐ)  nx   n5 x , x   (HTĐ) f) n 1 xn , x 0 n ! n 1  Hướng dẫn xn b) +) 2n n n   n , x 2 4/3 +)  n 4/3 hội tụ n 1 +) Chuỗi cho hội tụ hội tụ tuyệt đối  2 ; 2 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi hàm 1   n xdx    sin nx, x   (HTĐ) a) 1)   n 1  x   1  n xdx  2)  n 1  x      cos nx, x     n  n  1 x   b) 1)  , x   1; 1 (HTĐ) n   x   n 1    n 1 2)    n   n 1 n2  n  2x     , x   1; 1 (HTĐ)  x 2   c) Chứng minh chuỗi hàm  x2enx hội tụ với x  n 1  1n  d) 1) Chứng minh chuỗi  x  n  hội tụ  n 0  2) Chứng minh chuỗi  1n  x  n  hội tụ  n 0  e) n  ( n 1 t  sin t dt ) cos nx (HTKĐ) 17 (HTĐ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Tính chất chuỗi hàm số hội tụ  Định lí Chuỗi  un  x  hội tụ S  x  X , un  x  liên tục X , với n 1 n    S  x  liên tục X , nghia la  lim x  x0   un  x   n 1 un  x   xlim x n 1   un  x  hội tụ đến S  x  a ; b , un  x  liên tục a ; b, n Định lí n 1 b b  b     S  x  dx   un  x   dx  un  x  dx    n 1 a a a  n 1      un  x   S  x  Định lí a ; b , hàm un  x  khả vi liên tục n 1  a ; b ,  un  x  hội tụ  a ; b   S  x  khả vi  a ; b  có n 1     S  x    un  x    un  x     n 1  n 1 Ví dụ Xét tính khả vi hàm sau     1n x x n2       a) f x  ; b) f x  arctan ( f  x  , x) n  x n n  x n 1 n 1 n 1      Hướng dẫn a) +) x  n chuỗi đan dấu hội tụ theo Leibnitz +) un  x    n  x 2  +) f   x    n  n 1  1n liên tục  x  n,  un hội tụ theo Dirichlet n 1 n  n  x 2 , x  n Ví dụ a) Tìm miền hội tụ tính tổng 3n   n  x  1   1) 1 3n  n 0  x 2x    1 ( (0 ; 2] , S  ( x  1)  ln  arctan  ) 3 x  3x    3n  n  x  1   2) 1 3n  n 0   18 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 2 2x    1 ( ( 2 ; 0] , S  ( x  1)  ln  arctan  ) 3 x  x 1   b) Tìm miền hội tụ tính tổng    1n 1 n  x  1 ;  1n 1  n  1 x  1n ( (0 ; 2) , S  x  ) 1) 2) n x2 n 1 n 1   c) Xét tính khả vi tính đạo hàm (nếu có)  1) f  x     1 n 1  2) f  x    n 1 n 1  1n 1  x arctan n 1 n 1 (  x2  n  1) n 1  x arctan n2 n2 (  1n 1  1n 1  x2  n  ) n 1 d) Tính tổng  1) x 2n 1 2n  n 0  2) 1 x ( ln , x  1) 1 x    1n  2n  1 x 2n ( n 0 1 x2 1  x 2 , x  1) Hướng dẫn b1) Hội tụ với x   x    miền hội tụ ( 2 ; 0]     tn +) Đặt t  ( x  1)  s    s  t    t n 1   n 1 t n 1 n 1 t +)  t s u  du  ln u   s  t   s    ln t  +) s     s  x   ln  x   HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 19

Ngày đăng: 17/09/2016, 10:21

TỪ KHÓA LIÊN QUAN