PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI § Chuỗi hàm số Đặt vấn đề Chuỗi hàm số hội tụ Định nghĩa: Cho dãy hàm số un x xác định X , ta định nghĩa chuỗi hàm số u1 x u2 x un x (1) n 1 un x hội tụ x0 chuỗi số un x0 hội tụ n 1 n 1 un x phân kì x0 chuỗi số un x0 phân kì n 1 n 1 Tập điểm hội tụ (1) gọi tập hội tụ Tổng chuỗi hàm số hàm số xác định tập hội tụ Ví dụ Tìm tập hội tụ chuỗi hàm số sau a) n 1 e) n 1 g) x n 1 b) cos nx n2 x2 c) ( ) f) n 1 sin 2n x 3n 1 1 nx ( x 1) 1 n 1 n cos x n 1 e n 1 n 1 ( x 3 ) n 5n x n n 1 e) n 0 d) ( xn n! n 1 k 2 x k 2 ) 2 n ! 2 1 x 12n 1 2n ! n ( ) ( 1 x ) Hướng dẫn a) x n 1 n 1 +) Xét chuỗi số x0n 1 (2) n 1 +) (2) hội tụ với x0 b) +) Tại x0 1, (2) phân kì +) Tập hội tụ: x cos nx n2 x2 n 1 +) Xét chuỗi số cos nx0 n2 x02 n 1 (2) +) cos nx0 n +) Tập hội tụ 15 x02 n2 (2) hội tụ với x0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Tìm tập hội tụ chuỗi hàm số sau 1n 1 x 2n 3 a) 1) ( ) d) 1) x 2n n 2n n 1 n 1 tan x 2) n n x 1 n 1 3) n x n ( ( x x 2 ) 2) ( x 1 x 3 ) k x k , k ) cot x n n 1 n 1 4x x n 1 n 1 1n x n 2) x n 2 n b) 1) n n c) x x 1 n 1 n 0 ( k x 3 ( ; 1 ) 5 3) ln x n n 1 ( 0 ; ) 4) n k , k ) 1 ( \ ; e ) e enx ( x 0) n 1 ( x 1) n2 Chuỗi hàm số hội tụ Định nghĩa un x hội tụ đến S x tập X bé tuỳ ý n 1 n0 : n n0 , ta có Sn x S x , x X Ý nghĩa hình học Với n đủ lớn, Sn x thuộc dải S x ; S x Tiêu chuẩn Cauchy un x hội tụ tập X bé tuỳ ý n 1 n0 : p q n0 , ta có Sp x Sq x , x X Tiêu chuẩn Weierstrass Nếu có un x an , n , x X an n 1 un x hội tụ tuyệt đối X n 1 Tiêu chuẩn Dirichlet n un v n w n , Vn đơn điệu không tăng 0, wk k 1 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi hàm 1n 1 x n2 n 1 16 c, n Hội tụ hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) 1n 1 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ,x a) c) n2 x , cos nx 3n n 1 e) sin nx n 1 +) n2 hội tụ x n2 n n 1 +) Chuỗi cho hội tụ tuyệt đối Ví dụ Xét hội tụ chuỗi hàm x (HTĐ) b) xn 2n n n , n 1 , x x 2 ; 2 2n 1n 1 x , x 1; 1 d) n n 1 (HTĐ) (HTĐ) (HTĐ) nx n5 x , x (HTĐ) f) n 1 xn , x 0 n ! n 1 Hướng dẫn xn b) +) 2n n n n , x 2 4/3 +) n 4/3 hội tụ n 1 +) Chuỗi cho hội tụ hội tụ tuyệt đối 2 ; 2 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi hàm 1 n xdx sin nx, x (HTĐ) a) 1) n 1 x 1 n xdx 2) n 1 x cos nx, x n n 1 x b) 1) , x 1; 1 (HTĐ) n x n 1 n 1 2) n n 1 n2 n 2x , x 1; 1 (HTĐ) x 2 c) Chứng minh chuỗi hàm x2enx hội tụ với x n 1 1n d) 1) Chứng minh chuỗi x n hội tụ n 0 2) Chứng minh chuỗi 1n x n hội tụ n 0 e) n ( n 1 t sin t dt ) cos nx (HTKĐ) 17 (HTĐ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Tính chất chuỗi hàm số hội tụ Định lí Chuỗi un x hội tụ S x X , un x liên tục X , với n 1 n S x liên tục X , nghia la lim x x0 un x n 1 un x xlim x n 1 un x hội tụ đến S x a ; b , un x liên tục a ; b, n Định lí n 1 b b b S x dx un x dx un x dx n 1 a a a n 1 un x S x Định lí a ; b , hàm un x khả vi liên tục n 1 a ; b , un x hội tụ a ; b S x khả vi a ; b có n 1 S x un x un x n 1 n 1 Ví dụ Xét tính khả vi hàm sau 1n x x n2 a) f x ; b) f x arctan ( f x , x) n x n n x n 1 n 1 n 1 Hướng dẫn a) +) x n chuỗi đan dấu hội tụ theo Leibnitz +) un x n x 2 +) f x n n 1 1n liên tục x n, un hội tụ theo Dirichlet n 1 n n x 2 , x n Ví dụ a) Tìm miền hội tụ tính tổng 3n n x 1 1) 1 3n n 0 x 2x 1 ( (0 ; 2] , S ( x 1) ln arctan ) 3 x 3x 3n n x 1 2) 1 3n n 0 18 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 2 2x 1 ( ( 2 ; 0] , S ( x 1) ln arctan ) 3 x x 1 b) Tìm miền hội tụ tính tổng 1n 1 n x 1 ; 1n 1 n 1 x 1n ( (0 ; 2) , S x ) 1) 2) n x2 n 1 n 1 c) Xét tính khả vi tính đạo hàm (nếu có) 1) f x 1 n 1 2) f x n 1 n 1 1n 1 x arctan n 1 n 1 ( x2 n 1) n 1 x arctan n2 n2 ( 1n 1 1n 1 x2 n ) n 1 d) Tính tổng 1) x 2n 1 2n n 0 2) 1 x ( ln , x 1) 1 x 1n 2n 1 x 2n ( n 0 1 x2 1 x 2 , x 1) Hướng dẫn b1) Hội tụ với x x miền hội tụ ( 2 ; 0] tn +) Đặt t ( x 1) s s t t n 1 n 1 t n 1 n 1 t +) t s u du ln u s t s ln t +) s s x ln x HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 19