Hãy ước lượng sự thay đổi chiều dài khi t tăng lên Giả sử rằng L là hàm số phụ thuộc vào t thỏa. trong đó là hệ số giãn nở[r]
(1)9/25/2019
LOG O
Chương 3: Hàm khả vi GV Phan Trung Hiếu §1 Khái niệm
§2 Định lý giá trị trung bình §4 Cơng thức Taylor §5 Ứng dụng §3 Đạo hàm cấp cao
2
§1 Khái niệm
3 I Đạo hàm cấp một:
Định nghĩa 1.1.Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng mở chứa x0 Đạo hàm (cấp một) của
hàm số f(x) x0, ký hiệu , được
tính bởi
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x
x x
0
( ) ( )
y x f x
nếu giới hạn tồn hữu hạn.
Chú ý 1.2.Nếu tồn f(x) được gọi khả vi x0.
0
( )
f x
4 Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm hàm số
2
ln(1 )
khi
( )
0
x
x f x x
x
tạix 0
Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x f x
x x
Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x f x
x x
5 Định lý 1.5:
0 0
( ) ( ) ( )
f x L f x f x L
Ví dụ 1.2: Xét tồn đạo hàm hàm số
1 , 1,
( )
(1 )(2 ),
x x
f x
x x x
tạix01
6 Định lý 1.6:
f(x) có đạo hàm x0 f(x) liên tục x0. Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số
2
( )
( )
khi
x
e x x x
f x
m x
(2)9/25/2019
7
Định nghĩa 1.7 (Đạo hàm khoảng, đoạn):
Cho hàm số f(x) xác định [a,b].
-Hàm f(x) gọi có đạo hàm (a,b) f(x) có đạo hàm điểm x thuộc (a,b).
-Hàm f(x) gọi có đạo hàm [a,b] f(x) có đạo hàm (a,b) có đạo hàm phải x = a có đạo hàm trái x = b.
II Các cơng thức quy tắc tính đạo hàm:
8
2.1 Các cơng thức tính đạo hàm: Xem Bảng
2
( )
( )
( )
k u k u
u v u v
u v u v u v
u u v u v
v v
2.3 Đạo hàm hàm số hợp:
Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)] Khi
( ) ( ) ( )
y x u x y u x
2.2 Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có uu x( ),vv x( )
9
Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm hàm số sau a) yarctan x
b)y(arcsin )x
c)yexarctanexln 1e2x d)y(x21)x3
Ví dụ 1.5: Nếu , F x( )f g x ( ) f( 2) 8, ( 2) 4,
f f(5)3,g(5) 2, g(5)6
Tìm F(5)
III Vi phân cấp một:
10
Vi phân (cấp một) hàm số f(x) là
( ) ( )
df x f x dx dy y dx
hay
Ví dụ 1.6 Cho Tínhyex2. dy x( )và dy(1).
Định lý 2.3.Nếu u, v hàm khả vi thì
1) (d u v )du dv 2) ( )d k u k du 3) ( )d u v vdu udv
2 4)d u vdu udv
v v
Ví dụ 1.7 Cho u v hàm khả vi theo biến x Tìm biểu thức vi phân hàm số sau
Ví dụ 1.8 Tìm vi phân df nếu a) yln arctan(sin ) x
b) 2.sin
3
x x
(3)9/25/2019
13
§2 Định lý giá trị trung bình
I Định lý Rolle:
14
Nếu f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) f(a) = f(b) thì tồn tạic( , )a b sao cho
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f(x) thỏa mãn điều
kiện định lý Rolle phải có điểm c thuộc (a,b) cho tiếp tuyến song song với trục hồnh
( ) 0
f c
15
Ví dụ 2.1: Kiểm tra xem hàm số sau có thỏa mãn điều kiện định lý Rolle đoạn cho trước khơng Sau tìm tất số c thỏa mãn kết luận định lý Rolle.
3 2
( ) 6 2, 0;3
f x x x x
II Định lý giá trị trung bình:
16
Nếu f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) tồn tại sao cho
( , )
c a b
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f(x) thỏa mãn điều
kiện định lý giá trị trung bình phải có một điểm c thuộc (a,b) cho tiếp tuyến song song với đường thẳng nối hai đầu mút
( ) ( ) ( ).( )
f b f a f c b a
17
Ví dụ 2.2: Kiểm tra xem hàm số sau có thỏa mãn điều kiện định lý giá trị trung bình trên đoạn cho trước khơng Sau tìm tất cả số c thỏa mãn kết luận định lý giá trị trung bình.
( ) , 0;4
f x x
Ví dụ 2.3: Giả sử f(0) = -3 Tìm giá trị lớn mà f(2) nhận được.
( ) 5,
f x x
18
(4)9/25/2019
I Đạo hàm cấp cao:
19
Định nghĩa 1.1.Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp một thì đạo hàm cấp hai hàm số y=f(x) là
Tương tự, ta có đạo hàm cấp n f(x) là y
( ) ( )
y f x f x
( ) ( ) ( 1)
( ) ( )
n n n
y f x f x
Ví dụ 3.1 Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba, cấp bốn, cấp n hàm sốyekx, kconst.
20
Định lý 1.2 (Công thức Leibniz).Giả sử u và v có đạo hàm đến cấp n Khi đó
( ) ( ) ( )
( )
n
n k k n k
n k
u v C u v
Ví dụ 3.4 Tính của hàm số 2
.
x
yx e
(20)
y
Ví dụ 3.2 Cho hàm số Chứng minh
sin
y x x
2( sin ) 0.
xy y x xy
Ví dụ 3.3 Cho hàm số Chứng minh
2
2
y x x
3
4
) 1 0.
) 3 0.
a y y
b y y y
II Vi phân cấp cao:
21
Định nghĩa 2.1.Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n vi phân cấp n hàm số y=f(x) là
( )
n n n n
d yd d y y dx
trong đó
.
n
n
dx dx dx dx
22
Ví dụ 3.5 Tính vi phân cấp hàm số
x
ye trong hai trường hợp: a) x biến độc lập.
b) x hàm biến độc lập đó.
§4 Cơng thức Taylor
I Cơng thức khai triển Taylor:
Định lý 1.1.Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 trên khoảng mở chứa x0 Khi đó, cơng thức Taylor
(khai triển Taylor) cấp n f(x) x0là ( )
0 0
0 0
( 1)
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1! 2! !
( )
( )
( 1)!
n
n n
n
f x f x f x
f x f x x x x x x x
n f
x x n
c
(5)9/25/2019
II Công thức khai triển Maclaurin:
25
Là khai triển Taylor hàm f(x) điểmx 0 : ( ) ( 1)
2
(0) (0) (0) ( )
( ) (0)
1! 2! ! ( 1)!
n n
n n
f f f f
f x f x x x x
n n
c
hay
( )
(0) (0) (0)
( ) (0) ( )
1! 2! !
n
n n
f f f
f x f x x x o x
n
III Khai triển Maclaurin số hàm sơ cấp:
26 Xem Bảng
Cách tìm khai triển Maclaurin đến cấp n:
Cách 1: Tính f(0), f(0), ,f( )n(0)rồi vào công thức Cách 2: Dựa vào khai triển có sẵn Bảng đổi biến Chú ý: đặt cho
Cách tìm khai triển Taylor đến cấp n x = x0:
( )
w g x
Cách 1: Tính ( ) vào cơng thức
0 0
( ), ( ), , n( )
f x f x f x
Cách 2: Dựa vào khai triển có sẵn Bảng đổi biến Chú ý: đặtwxx0
0
x w
27
Ví dụ 4.1 Tính đạo hàm cấp n hàm số
2
1
( )
2
f x
x x
Từ đó, suy khai triển Maclaurin hàm số f(x) đến cấp n.
28
Ví dụ 4.2 Tìm khai triển Maclaurin hàm số sau đến số hạng chứa
2
) ( ) x
a f x e
4
x
2
) ( ) cos
b f x x
1 ) ( )
3
c f x x
) ( ) ln(1 )
d f x x
Ví dụ 4.3 Tìm khai triển Maclaurin hàm số sau
) ( ) x.ln
a f x e x đến số hạng chứa ) ( )
1 x
x b f x
e
đến cấp
3
x
29
Ví dụ 4.4 Tìm khai triển Taylor hàm số sau đến cấp
) ( ) x
a f x e x 0
1 ) ( )
b f x x
x 0
2
) ( )
x c f x
x
tạix 0
30
(6)9/25/2019
I Quy tắc L’Hospital khử dạng vô định:
31
Định lý 5.1.Giả sử hàm f g khả vi trong lân cận x0(hoặc trừ x0) Nếu
i) hay
và tồn tại
thì
0
lim ( ) lim ( ) 0
xx f x xx g x
0
lim ( ) lim ( )
xx f x xx g x
0 ( ) lim ( ) x x f x g x 0 ( ) ( ) lim lim ( ) ( )
x x x x
f x f x
g x g x
32 Chú ý 5.2.
Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc L’Hospital dùng để khử dạng vơ định
Ta áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.
0
0 hoặc .
33
Ví dụ 5.1 Tính giới hạn sau 2 ) lim x x x a
x x x
2 )lim x x b x sin ) lim x x x c x ) lim x x x x d e ln ) lim x x e
x f) lim sin lnx0 x x
0
1 1
)lim
t an2 sin
x g
x x x
cot
) lim (1 s in4 )
x x
h x
II Xấp xỉ tuyến tính vi phân:
34 ( ) ( ) ( )( )
f x f a f a x a
Phép xấp xỉ (*) được gọi xấp xỉ tuyến tính xấp xỉ tiếp tuyến
của f a.
Hàm tuyến tính L x( ) f a( )f a x( )( a) được gọi tuyến tính hóa f a.
Đặt Từ (*), ta có x x a
( ) ( ) ( )
f a x f a f a x
( ) ( ) ( )
f a x f a f a x ( )
y f a x
y lượng tăng giảm y x tăng giảm lượng x
) 3,98
a
Ví dụ 5.2: Tính gần giá trị của
) sin 29
b
Ví dụ 5.3: Một sợi kim loại mỏng có chiều dài L = 12cm nhiệt độ t = Hãy ước lượng thay đổi chiều dài t tăng lên Giả sử L hàm số phụ thuộc vào t thỏa
trong đó là hệ số giãn nở
nhiệt
21oC
24oC
( ) ,
L t k L
5
1, 10
o
(7)9/25/2019
III Phương pháp Newton:
37 ( )0
f x Xét phương trình
Nếu nghiệm xấp xỉ thứ n nghiệm xấp xỉ cho công thức
n
x f x( n)0
1
( ) ( )
n
n n
n
f x
x x
f x
Nếu số ngày tiến gần đến r n lớn dần ta nói dãy số hội tụ r ta viếtn
x
lim
n
n x r
38
Ví dụ 5.4: Tìm nghiệm xấp xỉ phương
trình lấy xác đến chữ số thập
phân, biết đồ thị hai hàm số và
được cho hình vẽ sau cos x x
cos
y x