Bài giảng Giải tích: Chương 5 - Phan Trung Hiếu (2019)

Cho một vật thể V xác định bởi một mặt kín với thiết diện phụ thuộc biến là S(x). Vật thể tròn xoay:[r]

10/31/2018

LOG O

Chương 5:

Ứng dụng tích phân GV Phan Trung Hiếu

§2 Tính diện tích hình phẳng

§4 Tính độ dài cung §3 Tính thể tích vật thể §5 Tính diện tích mặt trịn xoay §1 Mức biến thiên

2

§1 Mức biến thiên

I Mức biến thiên:

3

Chúng ta biết F’ (x) tốc độ biến thiên của y = F(x) theo x Khi đó, mức biến thiên của y x biến thiên từ a đến b là



 

( ) ( ) ( )

b

a

F b F a F x dx

4

Ví dụ 5.1: Tốc độ thay đổi dân số thành phố A

được mơ hình

trong t thời gian (năm) kể từ năm 1960 P là dân số (nghìn người) Biết rằng, năm 1980, thành phố A có 790.000 người

a) Tìm P(t).

b) Tìm dân số thành phố A vào năm 2012  0,026

'( ) 11,7. t

P t e (nghìn người/năm)

5

§2 Tính diện tích hình phẳng

6

Định lý 2.1:Tích phân hàm không âm f liên tục trên [a,b] coi diện tích S hình thang cong abBA giới hạn trục hồnh, đồ thị hàm

y = f(x) hai đường thẳng x = a, x = b, nghĩa là

b

a

Sf x dx f x( ) , ( ) 0,  x [ , ].a b

Bài tốn: Tính diện tích hình thang cong abBA giới hạn bởi trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) hai đường thẳng x = a, x = b.

10/31/2018

7

Ví dụ 2.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đường cong , trục hoành, hai đường thẳng x = x = 1.

yx2

Hệ 2.2:Nếu f liên tục [a,b] thì

b

a

S f x dx( )

Ví dụ 2.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn

bởi y = sinx, trục Ox, x = x =2

8

Ví dụ 2.3: Đồ thị hàm số f cho bởi

hình vẽ đây.

Tính tích phân sau



2

0 ) ( )

a f x dx 

0 ) ( )

b f x dx 

5 ) ( ) c f x dx 

9

0 ) ( ) d f x dx

9

Hệ 2.3: Nếu hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f(x), y = g(x) hai đường thẳng x = a x = b

b

a

S f x( )g x dx( )

Ví dụ 2.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

và [-1;1]

yx3

yx

Ví dụ 2.5: Tính diện tích của

miền tô màu

10

Hệ 2.4: Nếu hình phẳng giới hạn hai đường cong x = f(y), x = g(y) hai đường thẳng

y = c y = d thì

d

c

S f y( )g y dy( )

Ví dụ 2.6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

parabol y22x6và đường thẳngyx1

Ví dụ 2.7: Tính diện tích của

miền tơ màu

II Hình thang cong cho hàm phụ thuộc tham số:

Hệ 2.5:Hình thang cong cho

có diện tích

( )

, [ , ]

( )  

 

 

 

x x t

t

y y t

S y t x t dt





  ( ) ( )

Ví dụ 2.8: Tìm diện tích cung đường

cycloid

sin

, [0,2 ] cos

x t t

t

y t 

  

 

  

III Hệ tọa độ cực:

O: cực Ox: trục cực r: bán kính cực



( , )r : tọa độ cực

:góc cực

Ta quy ước góc Ox quay theo hướng ngược chiều kim đồng hồ

10/31/2018

13

Chú ý rằng, có nhiều cặp giá trị xác định vị trí điểm P Ví dụ, cặp số

đều xác định vị trí điểm P hệ tọa độ cực

 ( , )r 



 



 

 

3, , n n 

Do đó, quy ước điểm

P mặt phẳng ứng với cặp số

nhất Đặc biệt, r = P trùng O.

r

  

0 ,02

 ( , )r

14

Nếu ta chọn hệ tọa độ Descartes vng góc cho gốc O trùng với cực, trục Ox trùng với trục cực giữa hệ tọa độ Descartes hệ tọa độ cực có cơng thức liên hệ sau

x r

y r

 

  

 

cos , sin

IV Đường cong hệ tọa độ cực:

15

Xét hàm số Khi góc cực biến thiên từ đến điểm P với tọa độ cực vạch nên một đường cong C mặt phẳng Ta nói đường cong C hệ tọa độ cực có phương trình

  ( )

r r  

 r( ), 

  ( ) r r

Ví dụ 2.9: Phương trình tọa độ cực đường trịn tâm I(a;0), bán kính r = a (a > 0) làr2 cos a 

Giả sử cho a = 1, ta phương trình đường trịn tâm I(1,0), bán kính r = ta vẽ đường trịn hệ tọa độ cực sau

r2 cos

16

17

Ví dụ 2.10: Một số hình vẽ đường cong hệ tọa độ

cực V Hình thang cong tọa độ cực:

18

Hệ 2.6:Trong hệ tọa độ cực , cho hình quạt cong giới hạn bởi Khi đó, diện tích quạt cong là

 ( , )r rr( ), [ , ] 

S r d





 

1 2( )

Ví dụ 2.11: Tìm diện tích hình quạt cong

r cos2 , 

10/31/2018

19

Hệ 2.7:Trong hệ tọa độ cực , cho hình quạt cong giới hạn bởi

Khi đó, diện tích quạt cong là  ( , )r

      

   

1 1( ), 2( ), ( )1 2( ), [ , ]

r r r r r r





  

 

122( ) 12( )

S r r d

20

Ví dụ 2.12: Tìm diện tích hình tơ màu

21

§3 Tính thể tích vật thể

I Vật thể V bất kỳ:

22

Cho vật thể V xác định mặt kín với thiết diện phụ thuộc biến là S(x) Thể tích vật thể V là

x[ , ]a b

b

a V S x dx( )

Ví dụ 3.1: Tính thể tích hình khối có đáy là

hình trịn bán kính 1, mặt cắt song song vng góc với đáy tam giác đều như hình vẽ

II Vật thể trịn xoay:

Loại 1:Có thể quay hình thang cong

quanh trục Ox nhận vật thể tròn xoay Vật trịn xoay có diện tích thiết diện

Vì vậy, thể tích

yf x( ) 0,  x [ , ]a b

S x( )f x2( )

b

a

10/31/2018

25

Ví dụ 3.2: Cho miền D giới hạn bởi trục Ox Tính thể tích vật trịn xoay quay miền D quanh trục Ox.

 2, 0 2,

y x x

26 Ví dụ 3.3: Cho miền D giới hạn bởi

như hình vẽ Tính thể tích vật trịn xoay quay miền D quanh đường thẳng y = 1.

 , 1, 4

y x y x

27

Loại 2:Có thể quay hình giới hạn

quanh trục Ox nhận vật thể tròn xoay Vật tròn xoay tích

 ( ),  ( ), ( ) ( ) 0,  [ , ]

y f x y g x f x g x x a b

  

  2( ) 2( )

b

a

V f x g x dx

28 Ví dụ 3.4: Cho miền D giới hạn bởi

Tính thể tích vật trịn xoay quay miền D quanh trục Ox.

 24, y x y2, 1,

x x3

29 Ví dụ 3.5: Cho miền D giới hạn bởi

như hình vẽ Tính thể tích vật tròn xoay quay miền D quanh đường thẳng y = -3.

 2   ( ) 2, ( )

f x x g x x

30 Ví dụ 3.6: Cho miền D giới hạn bởi

quay quanh Oy Tính thể tích vật tròn xoay được sinh

2, x

10/31/2018

31 Ví dụ 3.7: Cho miền D giới hạn bởi

như hình vẽ Tính thể tích vật trịn xoay quay miền D quanh đường thẳng x = -2.

    ( ) ,

f x x x

32

Loại 3:Cho miền D giới hạn cung

và Ox nằm phần tư thứ hệ trục tọa độ quay quanh Oy thì

yf x x( ), [ , ]a b

b

a

V2xf x dx( )

33

Ví dụ 3.8: Tính thể tích vật trịn xoay quay miền D

(được tô màu hình vẽ) quay trục Oy.

34

Loại 4:Cho miền D giới hạn bởi

nằm phần tư thứ hệ trục tọa độ quay quanh Oy thì

  

2   ( ) ( ) b

a

V x f x g x dx

 ( ),  ( ), ( ) ( ) 0,  [ , ]

y f x y g x f x g x x a b

Ví dụ 3.9: Tính thể tích vật trịn xoay quay miền D

(được tơ màu hình vẽ) quay trục Oy.

10/31/2018

I Cung cho đường cong y = f(x):

37

Đường cong xác định cung

với độ dài

y f x x( ), [ , ],a b AB

b

a

l 1 f x( )2dx Ví dụ 4.1: Tính độ dài cung parabol

với

y x,

x

 

1

II Cung cho hàm phụ thuộc tham số:

38 Đường cong cho

Khi có độ dài ( ) , [ , ] ( )        

x x t

t

y y t



AB

l x t y t dt





 

   

  ( )2 ( )2

Ví dụ 4.2: Tính độ dài cungxt2, yt3, 0 t

Ví dụ 4.3: Tính độ dài cung  

4 , y x

y 1y2

39

§5 Tính diện tích mặt tròn xoay

40 

AB

Cung xác định hàm quay quanh trục Ox tạo nên mặt trịn xoay có diện tích

yf x x( ), [ , ],a b

b AB

a

S 2 f x( ) 1 f x( )2dx

Trường hợp cung cho phương trình tham số

thì mặt trịn xoay có diện tích  AB ( ) , [ , ] ( )        

x x t t y y t

AB

S y t x t y t dt





      

2  ( )  ( )2 ( )2

I Quay quanh Ox:

41

  

2

) 12 ,

b y x x

Ví dụ 5.1: Tìm diện tích bề mặt tạo thành

khi quay đường cong sau quanh trục Ox.

  

) ,

a y x x

            cos

) , 0;2

1 sin x t c t y t 42  AB

Cung xác định hàm quay quanh trục Oy tạo nên mặt tròn xoay có diện tích

 ( ), [ , ],

x g y y c d

   

2  ( ) 1  ( )2

d AB

c

S g y g y dy

Trường hợp cung cho phương trình tham số

thì mặt trịn xoay có diện tích  AB ( ) , [ , ] ( )        

x x t t y y t





      

2  ( )  ( )2 ( )2

AB

S x t x t y t dt