Bài giảng giải tích bài 1

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUỖI § Đại cương chuỗi số  Định nghĩa  Điều kiện cần để chuỗi hội tụ  Các tính chất 1 1 Đặt vấn đề:       n    2  Có phải cộng số hạng vế trái thành vế phải?  + (– 1)+1 + (– 1) + = ? Chuỗi số: Định nghĩa: Với số tự nhiên n, cho tương ứng với số thực an, ta có dãy số kí hiệu an  Định nghĩa:  Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1  a2  a3   chuỗi số, ký hiệu  an , n 1 an số hạng tổng quát Sn = a1 + a2 + a3 + + an tổng riêng thứ n Nếu lim Sn  S ta bảo chuỗi n    an  S hội tụ, có tổng S viết: n 1  Khi dãy {Sn} phân kỳ ta bảo chuỗi  an phân kỳ n 1  Ví dụ Xét hội tụ tính Sn   q  q    q n   qn n 0 n 1 1 q , q 1 1 q , q 1 n  1 q Phân kỳ q  lim Sn    qn  1 q , q  n 0  Ví dụ Xét hội tụ tính  n  n  1 n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1  1 1  1 1                 1.2 2.3 n  n  1     n 1  n n  1   lim Sn  lim   1 n  n   n   Sn    n  n  1  n 1  Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ 1 1  n (Chuỗi điều hoà) Sn       n n 1 Lấy n  2m 1 có 1 1  1  1    Sn       m 1                   m    m 1  2 3 4 5 8 2   1  1 1       2m m 1   m  1 2 Do Sn lớn tuỳ ý, nên có lim Sn   n  Chuỗi cho phân kỳ  Ví dụ Chuỗi nghịch đảo bình phương:  n2 n 1 Sn      1 1 1 1    1   2.2 3.3 n.n 1.2 2.3  n  1 n 22 32 n2 1 1 1  1  1    1                   2  n 1       n 1 n  Sn tăng dương  lim Sn  S n    n2  S n 1 Nhận xét:   an  (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)  an hội tụ nlim  n 1 Chứng minh: Có an  Sn  Sn 1 ; lim an  lim  Sn  Sn 1   n   Nếu lim an  không tồn chuỗi n  n    an phân kỳ n 1  Thay đổi số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  n n 1 n 1  Ví dụ n  1 n  n   n phân kỳ n  n 1 lim   Ví dụ   1 n    1    1   n 1 1 n Có lim  1   n   1 n =2k,k   n =2k+1 Không tồn lim  1 n n     1 n phân kỳ n 1 Ví dụ Tìm tổng (nếu có) chuỗi số sau 2n     36 n  n  1 (ĐS: 1)   n  1 Ví dụ    n   n 1 n  (PK)  Tính chất Giả sử  an  S1,  bn  S2, n 1     n 1   ( an   bn )    an    bn   S1   S2 n 1 n 1 n 1 §2 Chuỗi số dương  Định nghĩa  Các định lí so sánh  Định nghĩa:  an , an  n 1  Nhận xét  an hội tụ S n bị chặn n 1 Trong ta giả thiết xét chuỗi số dương Các định lí so sánh  Các tiêu chuẩn hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Cho hai chuỗi số dương, an  bn , n tuỳ ý từ lúc trở    bn hội tụ   an n 1  hội tụ n 1   an phân kỳ   bn n 1 phân kỳ n 1 Chứng minh a1  a2    an  b1  b2    bn  Sn  Tn Rút khẳng định  Ví dụ  Ví dụ  3n  n 2 n 1 Chuỗi dương ln n  n Chuỗi dương 3n   n 3n     3n   ln n 1  n ln n  phân kỳ n n 2 0 3n  hội tụ n 1 1  Chuỗi cho hội tụ   ln n phân kỳ n 2 a Định lí Cho hai chuỗi số dương, lim n  k   n  bn   an  bn hội tụ n 1 phân kì  Nhận xét Đối với chuỗi số dương an  n  bn 1/ Nếu lim a 2/ Nếu lim n   n  bn  Ví dụ    an  bn : n 1  n 1  bn hội tụ   an hội tụ n 1  n 1   bn phân kì   an phân kì n 1 n 1 n2  2n3  n 1 Chuỗi dương  n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2  n2 n n  n  3 2n  2n  2n  2n 2n n2  lim  :  1 n   2n 2n  1   2n hội tụ n 1  n2  2n3  hội tụ n 1  Ví dụ  np , p0 n 1 1 Khi  p  có  n  n  p  , n n p   phân kỳ nên n n 1   np phân kỳ  n 1 Khi p  1, n tuỳ ý, chọn m cho n  2m , có Sn  S m  1 2 p   1     1  p  p    p    p      1 m 1  4  2     4 p  2m 1  2m 1  p  1 p 1   2p 1   am 1   ,  a  p 1  1 a 1 a  Dãy Sn bị chặn   np hội tụ n 1 KL: Chuỗi hội tụ với p > phân kì với < p   Ví dụ  n 1 n3  Chuỗi dương 1 an   ; bn  3/2 n n  n 3/2  3 n a lim n  n  bn   p  2p 1  m 1 2 m   p 1   PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn   bn hội tụ n 1   hội tụ n 1 n  Ví dụ  a1)  ln 1   n  1 n2  (PK) a2) n 2  b1)  n sin n 1  c1)  d1)  (PK); n    (HT) c2)  n 1 (PK) (HT) (PK) n 1 d2)  n  e (PK)  1 n  sin n  n   n  1 n b2) n n 1 n 1 n  1 (PK) n 2 n 2  d3)    n   n  1 n 2 n  cos n n 1  sin  n 1  sin n7  2n3  (HT) n 1 e) Xét hội tụ  1)  ln n  n5 (HT) 2) n 1  3)   n ln 1  arctan2 n 1    n3  1 n 1 arcsin  ln n n  (PK) (HT) f) Xét hội tụ   1) n   ln n n 1  (PK) 2) n 1  3)    sin  n n n 1   (HT)  f) Xét hội tụ : 1)   n 1 ln  n  1 (HT) ( n  1) 3) Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn D’Alembert ln  n  1 n (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn an 1 l n  an lim  Khi l    an hội tụ n 1  Khi l    an phân kỳ n 1 Chứng minh an 1 a  l , chọn  > đủ bé để l +  <  n 1 < l + ,  n  n0 n  an an an 1 a a n n  Mặt khác có an  n n 1  an0   l    an0  0, n   an 1 an  an0  l < 1: Từ lim Do lim an  l n  an 1 a  l , chọn  đủ bé để l   >  n 1  l     an + > an n  an an  l > 1: Từ lim  phân kì Nhận xét Khi l = kết luận  Ví dụ 1  n! n 1 0 n! a 1 n! lim n 1  lim :  lim  lim 0 1 n  an n   n  1 ! n ! n   n  1 ! n  n  an    n ! hội tụ n 1  Ví dụ 3n n! n 1  3n an  0 n! an 1 3n 1 3n  :  an  n  1! n ! n  a lim n 1   n  an Chuỗi cho hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi an  1.3.5 2n  1 1.3 1.3.5    2.5 2.5.8 2.5.8  3n  1 1.3.5 2n  1 0 2.5.8  3n  1 an 1 1.3.5 2n  1 2n  1 1.3.5 2n  1 2n   :  an 2.5.8  3n  1 3n   2.5.8  3n  1 3n  an 1  1 n  an Chuỗi cho hội tụ Ví dụ lim  a1) a3)  (PK) nn n 1  n    n !3n n !   c1) d1)  n 1   (HT) nn b4)   2n !! n 1 nn (HT) (HT) 3n  2n   2n  3n   n 1  22n 1 b2) n   n 1 ln n  (PK)  2n  1!! n 1  (HT) (HT) n 2n  b3) nn 32n 1 b1) n   n 1 ln n    n 1 n 1  a2) n !2n (HT)  n !3n (PK) nn d2) n 1 b) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử lim n an  l n   Nếu l    an hội tụ n 1  Nếu l    an phân kỳ n 1 Nhận xét Nếu l = 1, kết luận   2n   Ví dụ  3n    n 1  n  n ! n nn (PK) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  2n   an   0  3n   2n  na  n 3n  2 lim n an   n  Chuỗi cho hội tụ   n  1 Ví dụ Xét hội tụ, phân kì    n  n 1 n2  (PK) Ví dụ   3n  n   a1)   n  cos n   n 1 2n ln n   n n 5n  n 1 n n  1  n  2 b1)   n    n 1 nn 4  n 1 n3 b2)    n   n 1 nn 4  (HT) (PK)   (HT) (HT) n2  c)  (HT) n ln n  a3)  2n  n   a2)   n  sin n   n 1 n n 5n n n n  1 (HT) c) Tiêu chuẩn tích phân Có mối liên hệ hay không giữa: b  f ( x ) dx  f ( x ) dx  blim   a a k   an  klim  an  n 1 n 1 n n Hình 14.4  f ( x ) dx  a1  a2    an  a1   f ( x ) dx , 1 Nếu f(x) hàm liên tục, dương giảm với x  lim f ( x )  , f(n) = an, x     an  f ( x ) dx hội tụ phân kỳ n 1 Ví dụ   n ln n n 2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo f (x)  dương, giảm với x  có lim f ( x )  x  x ln x b   Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn f ( x ) dx  lim b    d  ln x  b  lim ln ln x   lim  ln ln b   ln  ln2     b  n  ln x  f ( x ) dx phân kỳ   n ln n phân kỳ n 2  Tổng quát xét  n ln n  p hội tụ p > n 2 Ví dụ Chứng minh rằng:  1      ln2 1 1  1  1 1       1           2n  2n  2n    2n  1    1   1 1  1  1       2      1       1          2n  2n   2n   n  2 S2n   1    ln2n    o(1)  ln n    o(1), voi   lim       ln n  n   n   ln2  o(1)  ln n   Mặt khác ta có S2n 1  S2n  2n  lim S2n 1  lim S2n  ln n     1n 1  ln2 n 1 n 1 1        ln2 Ví dụ 11 Xét hội tụ phân kì chuỗi số sau    ln ln 1  n  ln n n a) (HT); b) (HT) c) 2 n 1  n   n 1  n   n  3n Ví dụ 10 Tương tự nhận     HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 10 (HT)