PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CHUỖI § Đại cương chuỗi số Định nghĩa Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Các tính chất 1 1 Đặt vấn đề: n 2 Có phải cộng số hạng vế trái thành vế phải? + (– 1)+1 + (– 1) + = ? Chuỗi số: Định nghĩa: Với số tự nhiên n, cho tương ứng với số thực an, ta có dãy số kí hiệu an Định nghĩa: Cho dãy số {an}, ta gọi tổng vô hạn a1 a2 a3 chuỗi số, ký hiệu an , n 1 an số hạng tổng quát Sn = a1 + a2 + a3 + + an tổng riêng thứ n Nếu lim Sn S ta bảo chuỗi n an S hội tụ, có tổng S viết: n 1 Khi dãy {Sn} phân kỳ ta bảo chuỗi an phân kỳ n 1 Ví dụ Xét hội tụ tính Sn q q q n qn n 0 n 1 1 q , q 1 1 q , q 1 n 1 q Phân kỳ q lim Sn qn 1 q , q n 0 Ví dụ Xét hội tụ tính n n 1 n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 n n 1 n 1 n n 1 lim Sn lim 1 n n n Sn n n 1 n 1 Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ 1 1 n (Chuỗi điều hoà) Sn n n 1 Lấy n 2m 1 có 1 1 1 1 Sn m 1 m m 1 2 3 4 5 8 2 1 1 1 2m m 1 m 1 2 Do Sn lớn tuỳ ý, nên có lim Sn n Chuỗi cho phân kỳ Ví dụ Chuỗi nghịch đảo bình phương: n2 n 1 Sn 1 1 1 1 1 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3 n 1 n 22 32 n2 1 1 1 1 1 1 2 n 1 n 1 n Sn tăng dương lim Sn S n n2 S n 1 Nhận xét: an (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) an hội tụ nlim n 1 Chứng minh: Có an Sn Sn 1 ; lim an lim Sn Sn 1 n Nếu lim an không tồn chuỗi n n an phân kỳ n 1 Thay đổi số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n n 1 n 1 Ví dụ n 1 n n n phân kỳ n n 1 lim Ví dụ 1 n 1 1 n 1 1 n Có lim 1 n 1 n =2k,k n =2k+1 Không tồn lim 1 n n 1 n phân kỳ n 1 Ví dụ Tìm tổng (nếu có) chuỗi số sau 2n 36 n n 1 (ĐS: 1) n 1 Ví dụ n n 1 n (PK) Tính chất Giả sử an S1, bn S2, n 1 n 1 ( an bn ) an bn S1 S2 n 1 n 1 n 1 §2 Chuỗi số dương Định nghĩa Các định lí so sánh Định nghĩa: an , an n 1 Nhận xét an hội tụ S n bị chặn n 1 Trong ta giả thiết xét chuỗi số dương Các định lí so sánh Các tiêu chuẩn hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định lí Cho hai chuỗi số dương, an bn , n tuỳ ý từ lúc trở bn hội tụ an n 1 hội tụ n 1 an phân kỳ bn n 1 phân kỳ n 1 Chứng minh a1 a2 an b1 b2 bn Sn Tn Rút khẳng định Ví dụ Ví dụ 3n n 2 n 1 Chuỗi dương ln n n Chuỗi dương 3n n 3n 3n ln n 1 n ln n phân kỳ n n 2 0 3n hội tụ n 1 1 Chuỗi cho hội tụ ln n phân kỳ n 2 a Định lí Cho hai chuỗi số dương, lim n k n bn an bn hội tụ n 1 phân kì Nhận xét Đối với chuỗi số dương an n bn 1/ Nếu lim a 2/ Nếu lim n n bn Ví dụ an bn : n 1 n 1 bn hội tụ an hội tụ n 1 n 1 bn phân kì an phân kì n 1 n 1 n2 2n3 n 1 Chuỗi dương n 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2 n2 n n n 3 2n 2n 2n 2n 2n n2 lim : 1 n 2n 2n 1 2n hội tụ n 1 n2 2n3 hội tụ n 1 Ví dụ np , p0 n 1 1 Khi p có n n p , n n p phân kỳ nên n n 1 np phân kỳ n 1 Khi p 1, n tuỳ ý, chọn m cho n 2m , có Sn S m 1 2 p 1 1 p p p p 1 m 1 4 2 4 p 2m 1 2m 1 p 1 p 1 2p 1 am 1 , a p 1 1 a 1 a Dãy Sn bị chặn np hội tụ n 1 KL: Chuỗi hội tụ với p > phân kì với < p Ví dụ n 1 n3 Chuỗi dương 1 an ; bn 3/2 n n n 3/2 3 n a lim n n bn p 2p 1 m 1 2 m p 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn bn hội tụ n 1 hội tụ n 1 n Ví dụ a1) ln 1 n 1 n2 (PK) a2) n 2 b1) n sin n 1 c1) d1) (PK); n (HT) c2) n 1 (PK) (HT) (PK) n 1 d2) n e (PK) 1 n sin n n n 1 n b2) n n 1 n 1 n 1 (PK) n 2 n 2 d3) n n 1 n 2 n cos n n 1 sin n 1 sin n7 2n3 (HT) n 1 e) Xét hội tụ 1) ln n n5 (HT) 2) n 1 3) n ln 1 arctan2 n 1 n3 1 n 1 arcsin ln n n (PK) (HT) f) Xét hội tụ 1) n ln n n 1 (PK) 2) n 1 3) sin n n n 1 (HT) f) Xét hội tụ : 1) n 1 ln n 1 (HT) ( n 1) 3) Các tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn D’Alembert ln n 1 n (HT) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn an 1 l n an lim Khi l an hội tụ n 1 Khi l an phân kỳ n 1 Chứng minh an 1 a l , chọn > đủ bé để l + < n 1 < l + , n n0 n an an an 1 a a n n Mặt khác có an n n 1 an0 l an0 0, n an 1 an an0 l < 1: Từ lim Do lim an l n an 1 a l , chọn đủ bé để l > n 1 l an + > an n an an l > 1: Từ lim phân kì Nhận xét Khi l = kết luận Ví dụ 1 n! n 1 0 n! a 1 n! lim n 1 lim : lim lim 0 1 n an n n 1 ! n ! n n 1 ! n n an n ! hội tụ n 1 Ví dụ 3n n! n 1 3n an 0 n! an 1 3n 1 3n : an n 1! n ! n a lim n 1 n an Chuỗi cho hội tụ PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi an 1.3.5 2n 1 1.3 1.3.5 2.5 2.5.8 2.5.8 3n 1 1.3.5 2n 1 0 2.5.8 3n 1 an 1 1.3.5 2n 1 2n 1 1.3.5 2n 1 2n : an 2.5.8 3n 1 3n 2.5.8 3n 1 3n an 1 1 n an Chuỗi cho hội tụ Ví dụ lim a1) a3) (PK) nn n 1 n n !3n n ! c1) d1) n 1 (HT) nn b4) 2n !! n 1 nn (HT) (HT) 3n 2n 2n 3n n 1 22n 1 b2) n n 1 ln n (PK) 2n 1!! n 1 (HT) (HT) n 2n b3) nn 32n 1 b1) n n 1 ln n n 1 n 1 a2) n !2n (HT) n !3n (PK) nn d2) n 1 b) Tiêu chuẩn Cauchy Giả sử lim n an l n Nếu l an hội tụ n 1 Nếu l an phân kỳ n 1 Nhận xét Nếu l = 1, kết luận 2n Ví dụ 3n n 1 n n ! n nn (PK) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2n an 0 3n 2n na n 3n 2 lim n an n Chuỗi cho hội tụ n 1 Ví dụ Xét hội tụ, phân kì n n 1 n2 (PK) Ví dụ 3n n a1) n cos n n 1 2n ln n n n 5n n 1 n n 1 n 2 b1) n n 1 nn 4 n 1 n3 b2) n n 1 nn 4 (HT) (PK) (HT) (HT) n2 c) (HT) n ln n a3) 2n n a2) n sin n n 1 n n 5n n n n 1 (HT) c) Tiêu chuẩn tích phân Có mối liên hệ hay không giữa: b f ( x ) dx f ( x ) dx blim a a k an klim an n 1 n 1 n n Hình 14.4 f ( x ) dx a1 a2 an a1 f ( x ) dx , 1 Nếu f(x) hàm liên tục, dương giảm với x lim f ( x ) , f(n) = an, x an f ( x ) dx hội tụ phân kỳ n 1 Ví dụ n ln n n 2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo f (x) dương, giảm với x có lim f ( x ) x x ln x b Email: thao.nguyenxuan@hust.edu.vn f ( x ) dx lim b d ln x b lim ln ln x lim ln ln b ln ln2 b n ln x f ( x ) dx phân kỳ n ln n phân kỳ n 2 Tổng quát xét n ln n p hội tụ p > n 2 Ví dụ Chứng minh rằng: 1 ln2 1 1 1 1 1 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2n 2n 2n n 2 S2n 1 ln2n o(1) ln n o(1), voi lim ln n n n ln2 o(1) ln n Mặt khác ta có S2n 1 S2n 2n lim S2n 1 lim S2n ln n 1n 1 ln2 n 1 n 1 1 ln2 Ví dụ 11 Xét hội tụ phân kì chuỗi số sau ln ln 1 n ln n n a) (HT); b) (HT) c) 2 n 1 n n 1 n n 3n Ví dụ 10 Tương tự nhận HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 10 (HT)