PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@.hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI § Chuỗi luỹ thừa (TT) Khai triển số hàm sơ cấp Ứng dụng Khai triển số hàm số sơ cấp 4.1 Một số khai triển 1/ f ( x ) e x f ( n ) (0) f (n ) ( x ) e x e A M, x A ; A , A xn xn x e , x A ; A, A e , x n ! n ! n 0 n 0 x 2 f ( x ) cos x ( 1)k , n 2k f ( n ) ( x ) cos x n 1, x 0, 2 n 2k x2 x4 x 2n cos x ( 1)n , x 2! 4! (2n )! 3 f ( x ) sin x f ( n ) (0) cos n 2n 1 x3 x n 1 x sin x x ( 1) , x 3! 5! (2n 1)! 4 f ( x ) (1 x ) , ( 1) ( 1)( n 1) n f (x) 1 x x x , x 1! 2! n! 5 f ( x ) ln(1 x ) n x2 x3 n 1 x ln(1 x ) x ( 1) , x n 6 f ( x ) arctan x x3 x5 x 2n 1 ( 1)n 1 , x , x 2n Ví dụ Khai triển thành chuỗi Maclaurin arctan x x a) f ( x ) a x , a x a e x ln a e x ln a lnn a n x , x n ! n 0 b) f ( x ) ln(2 x ) x x x ln x ln2 ln ln , 1 2 2 28 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo x n x 1n 1 ln n 1 n 1 xn n 1 n.2n n 1 n ln x ln thao.nguyenxuan@.hust.edu.vn 1n 1 x , x n.2n n 1 22n 1 x 2n ( , x ) n 0 (2n )! c) sin x x 2n 1 (2 , x 1) n n 0 1 x d) f ( x ) ln 1 x x e) f ( x ) e t 1n x 2n 1 ( , x ) 2n 1 n ! n 0 dt f) f ( x ) ln(1 x x x ) g) f ( x ) e x sin x ( n 0 h) f ( x ) cosh x x i) f ( x ) sin t dt t x k) f ( x ) dt 1 t n 2n n 1 x 1n 1 x , x 1) ( 1 n n 1 n n 1 x n 2 n sin , x ) n! x 2n ( , x ) 2n ! n 0 ( n 0 1n x 2n 1 , x ) 2n 1! 2n 1 x5 1.3.5 2n 1 4n 1 (x x , x 1) 2.5 n !2n 4n 1 x3 x5 x6 (x x 0x ) 30 90 x3 x4 x5 m) Viết rõ hệ số đến x : f x e x cos x ( x 0x ) 30 Ví dụ Khai triển thành chuỗi Taylor lân cận điểm tương ứng a) f ( x ) ln x, x l) Viết rõ hệ số đến x : f x e x sin x n 1n x n n 1 ln x ln 1 x 1 b) f ( x ) ln 1 x 1 , x4 x2 3x 1 f x x 1 x f 29 n 1 x 1n n ! n 1 n 1 x 2 x 1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo f n thao.nguyenxuan@.hust.edu.vn 1n n ! 5 n 1 n 1 f x 1 n 5n 1 6n 1 x n n 0 x x , theo chuỗi luỹ thừa 1 x 1 x c) f ( x ) n x 1 x 1.3 x 1.3 2n x (f x ) 1 x 1 x 2.4 x 2.4 2n x x d) f ( x ) cos , theo chuỗi luỹ thừa x 2 n 1 x x x 2 2 ( 1 ) n 1!2 2!2 (n 1)!2 e) f ( x ) sin3 x , theo chuỗi luỹ thừa x 3 f) f x x 3x 2n 1 n ( 1 ( x )2n 1 ) 2n 1! n 1 theo luỹ thừa x ( 1 n 0 g) f x x 3x n n 1 x , x 1) n theo luỹ thừa x 2 ( 1 1 n n n x 2 , x ) 3 n n 0 h) Khai triển thành chuỗi Maclaurin 1) f x ln x x x 2) f x ln x x 2x n 1 1 n n 1 1 1 3ln2 x , x n n n 1 n ( 1 n n x , x 3) 3 n 0 n x t g) f ( x ) e dt ( 1) n x n 1 , R ) n n !(2n 1) ( 4.2 Ứng dụng chuỗi luỹ thừa 1/ Tính gần Ví dụ Áp dụng chuỗi luỹ thừa, tính gần a) sin18 với độ xác 10 5 x 30 f ( x ) e t dt PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@.hust.edu.vn 1n 1 2n 1 sin x x 2n 1! n 1 1n 1 2n 1 sin18 sin 10 n 1 2n 1! 102n 1 Rn 2n 1 105 n 2n 1!10 n3 b) e x dx với độ xác 103 xn e n! n 0 x e x 2n 1 I 1 n ! 2n 1 n 0 n 1 n n 0 x2 2n n x 1 n! n 0 n ! 2n 1 103 n n 1! 2n c) Tính gần số e với độ xác 0,00001 Rn d) Tính gần e x dx với độ xác 0,0001 ( 2,71828 ) ( 0,747 ) e) dx 1 x3 với độ xác 103 ( 0,118 ) 2/ Tính giới hạn sin x x Ví dụ lim x 0 x3 x5 x7 3! 5! 7! x9 x3 x x x sin x x o x9 3! 5! 7! 9! x9 o x9 A lim 9! x 0 9! x § Chuỗi FOURIER Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 31 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@.hust.edu.vn Đặt vấn đề Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier a) Chuỗi lượng giác Định nghĩa Chuỗi lượng giác chuỗi hàm số có dạng (an cos nx bn sin nx ), an , bn a0 (1.1) n 1 Nhận xét 1/ Nếu an , bn n 1 hội tụ chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối n 1 2/ Tuy nhiên, an , bn n 1 hội tụ điều kiện cần để chuỗi (1.1) hội tụ n 1 b) Chuỗi Fourier Bổ đề Với p, k , ta có 1/ sin kxdx 2/ cos kx sin px dx 4/ 0, k p sin kx sin px dx , k p 3/ 5/ cos kx dx 0, k 0, k p cos kx cos px dx , k p Giả sử f ( x ) tuần hoàn với chu kì 2 có a f ( x) (a cos nx bn sin nx ) n 1 n (1.2) Sử dụng bổ đề tính toán ta có a0 f ( x )dx ; an bn f ( x )cos nx dx, n 1, 2, f ( x )sin nx dx, n 1, 2, (1.3) a Định nghĩa Chuỗi lượng giác (a cos nx bn sin nx ) với hệ số a0 , an , bn n 1 n xác định (1.3) gọi chuỗi Fourier hàm f ( x ) Điều kiện để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier 32 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@.hust.edu.vn Định nghĩa Chuỗi Fourier hàm f ( x ) hội tụ hàm f ( x ) ta bảo hàm f ( x ) khai triển thành chuỗi Fourier Định lí Dirichlet Cho f ( x ) tuần hoàn với chu kì 2 , đơn điệu khúc bị chặn ; chuỗi Fourier hội tụ điểm đoạn ; có S( x ) f ( x ) , điểm liên tục f ( x ) f (c 0) f (c 0) Còn điểm gián đoạn x c có S(c ) Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f ( x ) tuần hoàn với chu kì 2 , xác định sau 1, x a) f ( x ) 1, x +) a0 +) an +) bn 1 f x dx f x cos nxdx f x sin nxdx cos nx dx cos nx dx sin nx dx sin nxdx n cos n 1 1 n n 4 1 +) f x sin x sin3 x sin5 x x, x cos 2m 1 x b) f ( x ) (f x ) x , x 2m m 0 c) f ( x ) x 2, x +) a0 +) bn +) an 2 x dx x sin nx dx x cos nx dx n cos n 1 n n2 2 cos x cos x cos3 x cos x 4 16 1, x d) f ( x ) 0 x 0, f x 33 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@.hust.edu.vn cos 2m 1 x 1n 1 sin nx ) (f x m 0 2m 12 n n 1 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 34