PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI § Chuỗi số với số hạng có dấu Chuỗi với số hạng có dấu Chuỗi đan dấu Tính chất chuỗi hội tụ tuyệt đối Đặt vấn đề Chuỗi với số hạng có dấu Định nghĩa: an gọi hội tụ tuyệt đối an n 1 hội tụ Chuỗi n 1 gọi bán hội tụ an n 1 an phân kì n 1 Định lý an hội tụ n 1 an hội tụ n 1 an hội tụ n 1 Ví dụ Xét hội tụ tuyệt đối chuỗi số sau a) n n 1 n 1 c) n n sin ; 3 b) n sin n2 n 1 (HTTĐ) d) n 1 sin n n 1 n (HTTĐ) Hướng dẫn a) n n 1 n 1 +) Xét n b) 2n n 1 +) sin n +) Không có lim sin n n 2n n 1 n an 1 1 n an +) lim +) n 2n Thật vậy, phản chứng có lim sin n n lim sin(2n 1) lim sin(2n 3) n hội tụ +) n 1 n lim cos(2n 1) n n 1 sin n2 lim sin2 (2n 1) cos2 (2n 1) (vô lí) n n ( 1) n n n hội tụ +) sin n2 phân kì n 1 11 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Nhận xét 1/ Nếu an phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert Cauchy n 1 an phân n 1 kì an 2/ an phân kì (đúng hay sai?) phân kì n 1 n 1 Chuỗi đan dấu Định nghĩa 1 n 1 an , an gọi chuỗi đan dấu n 1 Chú ý 1 n an , an gọi chuỗi đan dấu n 1 Định lí Leibnitz an Dãy 1 n 1 giảm, an , lim an n 1 n 1 an hội tụ có n 1 an a1 n 1 Chứng minh: +) n 2m : Có S2m a1 a2 a3 a4 a2m 1 a2m S2m tăng S2m a1 a2 a3 a4 a5 a2m a2m 1 a2m a1 Từ lim S2m S có S a1 m +) n 2m 1: S2m 1 S2m a2m 1 Do lim a2m 1 lim S2m 1 S m m Định lí chứng minh Ví dụ Xét hội tụ tuyệt đối bán hội tụ chuỗi số sau 1n 1 1n 1 a) (Bán HT) c) (HTTĐ) n n n 1 n 1 b) n 1 1n 1 n 1n 1 n d) (PK) n n 1 (Bán HT) 12 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1n 1 3.5.7 2n (HTTĐ) e) 2.5.8 3n 1 n 1 o) 1 n 1 i) 1 n 1 l) 1 n 1 m) 1 n2 n 1 1 4) 1 (HT) 4 n n 1 n 1 (HTTĐ) ln n n n 1 n 1 ln n 1n 1 ln ln n (HT) n n 1 n 1 (PK) n 2 n 1 ln n ln (HT) n n n 1 3) 1 1 (HT) n n 1 n n n 1 2n 1 1 n 1 (PK) n 1 k) 1) 2) n n (PK) n! (Bán HT) , (HTTĐ) q) Xét hội tụ 1n 1 tan (HTTĐ) g) n n n 1 h) n2 n 1 n 2n 1n p) (Bán HT) n ln n n 1 1n 1 1.4.7 3n (PK) 7.9.11 2n n 1 n 1 f) n 1 sin 2n r nn2 r)1) ( 1) n n 1 (1) 2) n 1 n 1 n2 1.3.5 (2n 1) 3.5.8 (3n 1) Hướng dẫn b) +) n 1 1n 1 n chuỗi đan dấu +) 0 giảm có lim n n n +) Hội tụ theo Leibnitz +) n 1 1n 1 n d) +) chuỗi đan dấu n n 1 phân kì bán hội tụ n n +) lim n 6n n 1 +) lim 1 n +) n 1 1n n 6n phân kì n 1 n 6n n phân kì 6n Tính chất chuỗi hội tụ tuyệt đối a) an S chuỗi số nhận từ chuỗi cách đổi thứ tự số n 1 hạng nhóm tuỳ ý số hạng hội tụ tuyệt đối có tổng S 13 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo b) Cho thao.nguyenxuan@hust.edu.vn an S , an n 1 phân kì thay đổi thứ tự số hạng n 1 để chuỗi thu hội tụ có tổng số cho trước trở nên phân kì Định nghĩa Cho an , bn , ta định nghĩa phép nhân chuỗi: n 1 n 1 n an bn ak bn 1k cn , cn k 1 n 1 n 1 n 1 c) an S1, n 1 bn S2 an bn S1 S2 n 1 n 1 n 1 Ví dụ a) Xét hội tụ tích chuỗi số sau: n n n 1 2n 1 n 1 n k 1 n2k 1 tan ln n k k k n 1 k 1 b) Xét hội tụ chuỗi số c) Xét hội tụ chuỗi số n 1 n k cos(k ) ( 1)n1k , 3 k 1 k k (n k ) ln(n k ) Hướng dẫn a) +) n n 1 +) n hội tụ tuyệt đối 2n 1 hội tụ tuyệt đối n 1 +) . hội tụ n 1 n n n 1 n 1 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 14