1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Bài giảng giải tích bài 6

10 240 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 10
Dung lượng 623,59 KB

Nội dung

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI § Chuỗi Fourier (TT)  Khai triển hàm chẵn, lẻ  Khai triển hàm tuàn hoàn chu kì Khai triển hàm chẵn, lẻ 3.1 Nếu f ( x ) hàm số chẵn  f ( x )cos kx hàm chẵn, f ( x )sin kx hàm lẻ   ak  f ( x )cos kx dx;   bk  0,  k     x,  x   Ví dụ f ( x )   tuần hoàn với chu kì 2 , khai triển hàm f ( x )   x ,    x   thành chuỗi Fourier +) f   x   f  x  +) bk  0,  k          2 x2   +) a0  f x dx    x dx    x       0         2  +) ak  f x cos kx dx    x  cos kx dx  sin kx    k   0  sin kx  xd    k      x sin kx sin kx   cos kx    k      dx    cos k    1 2  k k   k  k  k 0           k   +) f  x     1 cos kx   cos  2n  1 x 2 k 1  k n 0   2n  12 Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier theo hàm số cosin hàm số sau   cos  2n  1 x a) f ( x )   x,  x   (1   )  n 1  2n  12    1,  x  b) f ( x )   0,   x      cos  4n  1 x cos  4n   x  (    )  n 1  4n  4n  c) f ( x )  x(  x ),  x   2 cos 2nx (  ) n 1 n    3.2 Nếu hàm f ( x ) hàm số lẻ  f ( x )cos kx hàm số lẻ f ( x )sin kx hàm chẵn   ak  0; bk  f ( x )sin kx dx,  k     34 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Cho hàm số f ( x )  x,    x   , tuần hoàn với chu kì 2 , khai triển hàm f ( x ) thành chuỗi Fourier +) Hàm f  x  lẻ +) ak  0,  k          2   coskx  +) bk  f x sin kx dx  x sin kx dx  xd       k  0     x cos kx cos kx    cos k sin kx   k 1 1    dx          k  k k k k  0     +) f  x    1k 1 sin kx k k 1  Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier theo hàm số sin hàm số sau  sin nx ) n n 1  a) f ( x )    x,  x   (2   ,  x   b) f ( x )   0,   x    n ( sin sin nx )  n 1 n c) f ( x )  x(  x ),  x    sin  2n  1 x ( )  n 1  2n  13    3.3 Nếu f ( x ) tuần hoàn với chu kì 2l , đơn điệu khúc bị chặn đoạn   l ; l  Đổi biến x '  x  f ( x )  f  l x '   F ( x ') tuần hoàn với chu kì 2 l   Sử dụng khai triển Fourier cho hàm có  a     f ( x)    an cos n x  bn sin n x  , n 1 l l   l l 1 x a0  f ( x )dx , an  f ( x )cos n dx, n   ; l l l  l  l l x bn  f ( x )sin n dx, n   l l  l Nhận xét Công thức nhận từ công thức (1.3) thay  l, thay x  x l Ví dụ Khai triển hàm tuần hoàn với chu kì , f ( x )  x 2,   x  thành chuỗi Fourier +) f  x  chẵn 35 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) bk  0, k  1,2, +) a0   1 +) an  x3 x dx  x  1 cos n x dx  x cos n x dx  1 1   sin n  x x sin n  x    x d xdx     sin n x   n  n   n  0   1 cos n x   cos n x   cos n x  xd   x  dx   n n n  n  n      cos n sin n x   n   2   1  n  n n   n 2       1n cos n x +) f  x    n 1 n 2 Ví dụ Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số 0,   x   a) f ( x )   x với chu kì 2l  ,  x      2n  1  x  1n 1 n x  (   ) cos  sin  n 1   2n  12 n  0,   x   b) f ( x )   x với chu kì 2l  ,  x     2n  1  x  1n 1 n x  (   ) cos  sin  n     2n  1 c) Khai triển hàm tuần hoàn T = thành chuỗi Fourier      1n 16 cos n x ) (  n 1 n 2 2  1) f(x) = x , 2  x  32   , n  2k    2k  1   3 n x  2k   2) f(x) = x|x|, 2  x  ( , bn   bn sin  , n 1 n  2k  2k   36 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3.4 Nếu f ( x ) đơn điệu khúc bị chặn a ; b  , muốn khai triển f ( x ) thành chuỗi Fourier, ta xây dựng hàm số g ( x ) tuần hoàn với chu kì  ( b  a ) cho g ( x )  f ( x ),  x  a ; b  Khai triển hàm g ( x ) thành chuỗi Fourier tổng chuỗi f ( x )  x  a ; b  (trừ có điểm gián đoạn f ( x ) ) Vì hàm g ( x ) không nên có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm số f ( x ) , nói riêng hàm số g ( x ) chẵn chuỗi Fourier gồm hàm số cosin, hàm số g ( x ) lẻ thi chuỗi Fourier gồm hàm số sin x Ví dụ Khai triển hàm số f ( x )  ,  x  thành chuỗi Fourier theo hàm số cosin thành chuỗi Fourier theo hàm số sin x a) +) Xét hàm g  x   ,   x  , tuần hoàn chu kì +) g  x   f  x  ,  x  +) Khai triển Fourier hàm g  x  có g  x  chẵn, bk  0, k  1, 2,  a0  ak  2 2   x2 x dx  xdx   k x k x k x   x cos dx  x cos dx  xd  sin  2   k 2 2 2 2   2 2 k x k x k x   k  x sin  sin dx    2   1  1  cos k k 2 k   k      2n  1  x   1  1 cos k x   +) g  x    cos , x 2 2 2 2 k    k 1 n 0 2n    k    2n  1  x +) f  x    cos , 0x2  n 0  2n  12    1k 1 k x b) f  x   sin , 0x2  k 1 k  c) 1) Khai triển thành chuỗi Fourier theo hàm số cosine   2n  1  x 4 x f ( x)  ,  x  (  cos ) n 1  2n  12  2) Khai triển thành chuỗi Fourier theo hàm số sine  x f ( x)  ,  x  3  (   1 n 1 n 1 n x sin ) n 37 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §1 MỞ ĐẦU  Đặt vấn đề  Các quy luật vũ trụ viết theo ngôn ngữ Toán học  Môn Đại số đủ để giải nhiều toán tĩnh  Tuy nhiên, hầu hết tượng tự nhiên đáng quan tâm lại liên quan tới biến đổi thường mô tả phương trình có liên quan đến thay đổi lượng, phương trình vi phân Khái niệm  Phương trình vi phân phương trình có dạng F ( x, y , y , y , , y ( n ) )  (1) x biến số độc lập, y  y ( x ) hàm số phải tìm, y , y , , y ( n ) đạo hàm  Cấp phương trình vi phân Là cấp cao đạo hàm y có mặt phương trình (1)  Phương trình vi phân tuyến tính Là phương trình vi phân (1) F bậc y , y , y , , y ( n ) Dạng tổng quát phương trình vi phân tuyến tính cấp n y (n )  a1( x )y ( n 1)    an 1( x )y   an ( x )y  b( x ) a1( x ), , an ( x ) hàm số cho trước  Nghiệm phương trình vi phân (1) hàm số thoả mãn (1)  Giải phương trình vi phân (1) tìm tất nghiệm Ví dụ Giải phương trình vi phân sau a) y   cos x b) y   ln x c) y   x 5e x d) y   x sin x Một số ứng dụng a) Sinh trưởng tự nhiên thoái hoá dP  Sự tăng dân số:       P ,  tỉ lệ sinh,  tỉ lệ chết dt dA b) Lãi luỹ tiến  rA , A lượng đô la quỹ tiết kiệm thời điểm t, tính dt theo năm, r tỉ lệ lãi luỹ tiến tính theo năm dN c) Sự phân rã phóng xạ  kN , k phụ thuộc vào loại đồng vị phóng xạ dt dA d) Giải độc   A ,  số giải độc thuốc dt dx e) Phương trình tăng trưởng tự nhiên  kx dt 38 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Theo số liệu www.census.gov vào năm 1999 số dân toàn giới đạt tới tỉ người tăng thêm khoảng 212 ngàn người ngày Giả sử mức tăng dân số tự nhiên tiếp tục với tỷ lệ này, hỏi rằng: (a) Tỷ lệ tăng k hàng năm bao nhiêu? (b) Vào kỉ 21, dân số toàn giới bao nhiêu? (c) Hỏi sau số dân toàn giới tăng gấp 10 lần–nghĩa đạt tới 60 tỉ mà nhà nhân học tin mức tối đa mà hành tinh cung cấp đầy đủ lương thực? (a) Ta tính dân số theo tỉ thời gian theo năm Lấy t = ứng với năm 1999, nên P0 = Sự kiện P tăng lên 212 ngàn 0,000212 tỉ người ngày t = có nghĩa P’(0) = (0,000212)(365,25)  0,07743 tỉ năm Từ phương trình tăng dân số tự nhiên P’ = kP với t = 0, ta nhận P '(0) 0,07743 k   0,0129, P (0) Như vậy, số dân giới tăng theo tỉ lệ khoảng 1,29% năm vào năm 1999 Với giá trị k này, ta có hàm cho số dân giới P(t) = 6e0,0129t (b) Với t = 51 ta có dự báo P(51) = 6e(0,0129)(51)  11,58 (tỉ) số dân giới vào năm 2050 (như kể từ năm 1999 qua nửa kỉ, dân số giới tăng gần gấp đôi) (c) Dân số giới đạt tới 60 tỉ mà 60 = 6e0,0129t; nghĩa ln10 t  178; tức năm 2177 0,0129 dT f) Quá trình nguội nóng lên  k  A  T  , k số dương, A nhiệt dt độ môi trường Ví dụ Một miếng thịt 4-lb (1 lb  450 gam) có nhiệt độ ban đầu 500 F ( 10C  3,380 F ) ), cho vào lò 3750 F vào lúc chiều Sau 75 phút người ta thấy nhiệt độ miếng thịt 1250 F Hỏi tới miếng thịt đạt nhiệt độ 1500 F (vừa chín tới)? Giải Ta tính thời gian theo phút coi lúc chiều t = Ta giả thiết (có vẻ không thực tế) lúc, nhiệt độ T(t) miếng thịt Ta có T(t) < A = 375, T(0) = 50 T(75) = 125 Vì dT dT  k (375  T ) ;  kdt ;  ln(375  T )  kt  C ; 375  T  Be  kt dt 375  t Vì T(0) = 50 nên B = 325, T = 375(1  ekt) Ta lại thấy T = 125 t = 75 Thay 250 giá trị vào phương trình k   ln( )  0,0035 75 325 Sau cùng, ta giải phương trình 150 = 375 – 325e(–0,0035)t, t = –[ln(225/325)]/(0,0035)  105 (phút) tất thời gian nướng thịt theo yêu cầu đặt Bởi miếng thịt đặt vào lò lúc chiều, ta lấy khỏi lò vào khoảng 45 phút   39 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn dy  a 2gy , đó, v thể tích nước thùng, A(y) dt diện tích tiết diện thẳng nằm ngang bình độ cao y so với đáy, 2gy tốc độ nước thoát khỏi lỗ hổng Ví dụ Một bát dạng bán cầu có bán kính miệng bát 4ft ( ft  0.3048 m)được chứa đầy nước vào thời điểm t = Vào thời điểm này, người ta mở lỗ tròn đường kính 1in (in  2,54 cm) đáy bát Hỏi sau không nước bát? Giải Ta nhận thấy hình, dựa vào tam giác vuông có A(y) = r2 = [16–(4–y)2] = (8y – y2), với g = 32ft/s2, phương trình có Tháo nước từ bát bán cầu dy (8y – y2)   ( )2 2.32y ; dt 24 16 3/2 5/2 (8 y 1/2  y 3/2 )dy   dt ; y  y   t  C 72 72 16 3/2 5/2 448 Do y(0) = 4, ta có C  4   15 448 Bình y = 0, nghĩa t  72   2150 (s ); tức khoảng 35 phút 15 50 giây Có thể coi sau gần 36 phút, bát không nước Ví dụ Một đĩa bay rơi xuống bề mặt Mặt trăng với vận tốc 450m/s Tên lửa hãm nó, cháy, tạo gia tốc 2,5m/s2 (gia tốc trọng trường mặt trăng coi bao gồm gia tốc cho) Với độ cao so với bề mặt Mặt trăng tên lửa cần kích hoạt để đảm bảo "sự tiếp đất nhẹ nhàng", tức v = chạm đất? Đĩa bay Ví dụ  Phương trình: v(t) = 2,5t  450  Đáp số: x0 = 40,5 km Do tên lửa hãm nên kích hoạt đĩa bay độ cao 40,5km so với bề mặt Mặt trăng, tiếp đất nhẹ nhàng sau phút giảm tốc Ví dụ Bài toán người bơi g) Quy luật Torricelli A  y    Bài toán người bơi dy v  x2  Phương trình vi phân cho quỹ đạo người bơi qua sông  1   dx v s  a  40 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Các mô hình toán Quá trình mô hình toán Ví dụ Suất biến đổi theo thời gian dân số P(t) nhiều trường hợp đơn giản dP với tỷ lệ sinh, tử không đổi thường tỷ lệ với số dân Nghĩa là:  kP dt (1) với k số tỷ lệ Quy luật thoát nước Torricelli Phương trình (1) mô tả trình thoát nước khỏi bể chứa Ví dụ Quy luật Torricelli nói suất biến đổi theo thời gian khối lượng nước V bể chứa tỷ lệ với bậc hai độ sâu y nước bể: dV  k y , với k số dt Nếu bể chứa hình trụ tròn xoay với diện tích đáy A, V = Ay, dV/dt = dy A.(dy/dt) Khi phương trình có dạng:  h y , h = k/A dt số Ví dụ Quy luật giảm nhiệt Newton phát biểu sau: Suất biến đổi thời gian nhiệt độ T(t) vật thể tỷ lệ với hiệu số T nhiệt dT độ A môi trường xung quanh Nghĩa  k (T  A) dt (2) đó, k số dương Nhận thấy T > A, dT/dt < 0, nhiệt độ hàm giảm theo t vật thể nguội Nhưng T < A, dT/dt > 0, T tăng lên 41 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Quy luật giảm nhiệt Newton, Phương trình (2) mô tả đá nóng bị nguội nước Vậy, quy luật vật lý diễn giải thành phương trình vi phân Nếu ta biết giá trị k A, ta tìm công thức tường minh cho T(t), dựa vào công thức đó, ta dự đoán nhiệt độ sau vật thể § Phương trình vi phân cấp  Đại cương phương trình vi phân cấp  Phương trình vi phân khuyết  Đặt vấn đề Đại cương phương trình vi phân cấp Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp F ( x, y , y )  (1) y   f ( x, y ) (2) Định lí tồn nghiệm  f ( x, y ) liên tục miền D    ( x0 ; y )  D  lân cận U ( x0 ) x0 , tồn nghiệm y  y ( x ) phương f trình (2) thoả mãn y ( x0 )  y Nếu ( x, y ) liên tục D nghiệm y Chú ý - Việc vi phạm điều kiện định lí phá vỡ tính dy  2 y dx  fy  x, y   gián đoạn (0 ; 0) y  Có hai nghiệm thoả mãn: y1 = x2; y2 = - Vi phạm giả thiết định lí làm toán vô nghiệm dy  x  2y , y(0) = dx dy dx  Nghiệm:  ln|y| = 2ln|x| + ln|C|  y = Cx2 2 y x  y(0) = 1, C  vô nghiệm 42 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn - Có hay không phương trình vi phân không thoả mãn giả thiết có nghiệm? - Bài toán Cauchy y   f ( x, y ), y ( x0 )  y - Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (2) hàm số y   ( x, C ) :   ( x, C ) thoả (2) với C   ( x0 ; y )  D, C  C0 :  ( x, C0 ) x  x  y 0 Khi  ( x, C0 ) gọi nghiệm riêng - Nghiệm kì dị nghiệm không nằm họ nghiệm tổng quát - Tích phân tổng quát nghiệm tổng quát dạng ẩn  ( x, y , C )  - Khi cho tích phân tổng quát giá trị cụ thể ta có tích phân riêng  ( x, y , C0 )  Phương trình vi phân khuyết a) F ( x, y )   +) y   f ( x )  y  f ( x )dx  +) x  f ( y ) , đặt y   t  x  f (t ) ; y  tf (t )dt Ví dụ Giải phương trình sau x  y 2  y   +) y   t +) x  t  t  +) dy  t dx  y  t  2t  1 dt   t2 t  C 2 t2 +) Nghiệm x  t  t  2, y  t   C b) F ( y , y )  dy +) y   f ( y )  dx   x dy f (y ) f (y ) f (t ) +) y  f ( y ) , đặt y   t  y  f (t ) , x  dt t   +) F ( y , y )  , đặt y  f (t )  y   g (t )  x   f (t ) dt g (t ) Ví dụ Giải phương trình y  y 2  +) y  2sin t  dy  2cos t dt  2cost dx +) Nếu cos t   dt  dx  t  x  c  y  sin  x  c  nghiệm tổng quát  +) Nếu cos t   t   2k  1  y  2 (Nghiệm kì dị) HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 43

Ngày đăng: 17/09/2016, 10:24

TỪ KHÓA LIÊN QUAN