NỘI DUNG ôn tổ hợp xác SUẤT

Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 I KIẾN THỨC CƠ BẢN Chuyên đề: Tổ hợp & Xác suất 1.1 Đại số tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn đối tượng A1 n2 cách chọn đối tượng A2 A1  A2 =   Có n1 + n2 cách chọn đối tượng A1, A2 1.1.2 Quy tắc nhân: Có n1 cách chọn đối tượng A1 Ứng với cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2  Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2 1.1.3 Hoán vị:  Mỗi cách thứ tự n phần tử gọi hoán vị n phần tử  Số hoán vị: Pn = n! 1.1.4 Chỉnh hợp:  Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 < k  n) thứ tự chúng gọi chỉnh hợp chập k n phần tử  Số chỉnh hợp: Ank  n! (n  k )! 1.1.5 Tổ hợp:  Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0  k  n) gọi tổ hợp chập k n phần tử  Số tổ hợp: Cnk  n! k !(n  k )!  Hai tính chất: Cnk  Cnnk , Cnk11  Cnk1  Cnk 1.1.6 Nhị thức Newton n (a  b)n   Cnk a nk b k  Cn0a n  Cn1a n1b   Cnnb n k 0  Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk 1  Cnk a nk b k  Đặc biệt: (1  x) n  Cn0  xCn1  x 2Cn2   x nCnn 1.2 Xác suất 1.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển: P  A  +  P(A)  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 A  + P     1, P    SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 1.2.2 Tính xác suất theo quy tắc: a) Quy tắc cộng xác suất Nếu A B hai biến cố xung khắc, thì: P  A  B   P  A  P  B  c) Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A B độc lập với thì: P  AB   P  A  P  B  II BÀI TẬP VÍ DỤ Chuyên đề: Tổ hợp & Xác suất Ví dụ 1: Một hộp đựng viên bi trắng, viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên bi a) Có cách lấy bi ? b) Có cách lấy bi trắng ? c) Có cách lấy bi trắng, bi xanh ? Lời giải a) Có C82 28 cách lấy b) Có C52 10 cách lấy c) Có C51C31 15 cách lấy Ví dụ 2: Một hộp đựng viên bi trắng, viên bi xanh Lấy bi a) Có cách lấy bi ? b) Có cách lấy bi trắng ? c) Có cách lấy bi trắng, bi xanh ? Lời giải a) Có C81C71 56 cách lấy (hoặc A82 56 ) b) Có C51C41 20 cách lấy (hoặc A52 20 ) c) Có C51C31 C31C51 30 cách lấy NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 3: Một hộp đựng viên bi trắng, viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bi a) Có cách lấy bi ? b) Có cách lấy bi có đủ ba màu ? Lời giải a) Có C184 3060 cách lấy b) Có C52C61C61 C51C62C71 C51C61C72 1575 cách lấy Ví dụ 4: Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác cho số có mặt chữ số ? Lời giải Giả sử số cần lập abcd , d {0, 2, 4, 6, 8} Xét trường hợp sau d  Số cách lập abc có chữ số C71 3!  42 d  Số cách lập abc có chữ số C82 3! C71 2!  154 d  {2, 4, 6} Số cách lập abc có chữ số Vậy số số lập   C71 3!  120 42  154  120  316  Ví dụ 5: Có số tự nhiên gồm chữ số, chữ số đôi khác cho chữ số đầu chữ số cuối số số chẵn? Lời giải + Chữ số chữ số chẵn, khác nên có cách chọn + Chữ số tận chữ số chẵn, khác với chữ số nên có cách chọn + Ba chữ số có số cách xếp A83 Suy số số thỏa mãn yêu cầu toán NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309   A83  5376  SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 6: Tìm hệ số số hạng chứa x12 khai triển nhị thức Niutơn x x2 18 Lời giải ♥ Khai triển nhị thức Niutơn ta có: x x2 18 18 k 18 18 k C x x2 k ♥ Chọn k thỏa mãn: 18 3k 12 k k 18 k C18k x18 3k k ♥ Vậy hệ số số hạng chứa x12 khai triển 153 C182  Ví dụ 7: Tìm hệ số số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn x2 x 18 Lời giải ♥ Khai triển nhị thức Niutơn ta có: x x2 18 18 k 18 18 k C x x2 k ♥ Chọn k thỏa mãn: 18 3k k k 18 k C18k x18 3k 18564 k ♥ Vậy số hạng không chứa x khai triển C186  Ví dụ 8: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn x3 n x5 , biết Cnn Cnn n (1) 4! n Lời giải ♥ Giải phương trình (1) tìm n, ta có: Cnn 3n 42 Cnn n n n n !3! 3! n !3! n n n n n n n n n n 2 n 42 n 42 12 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ♥ Khai triển nhị thức Niutơn ta có: x3 12 x 12 ♥ Chọn k thỏa mãn: C x 12 k k 12 k 60 11k 12 k x5 C12k x 60 11k k k ♥ Vậy hệ số số hạng chứa x8 khai triển C124 495  Ví dụ 9: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại (Khối A-2014) Bài giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: C123 220 ♥ Gọi A biến cố: “3 hộp sữa chọn có loại” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: ♥ Vậy xác suất cần tính P A A A 60 220 C51C41C31 11 60  Ví dụ 10: Từ hộp chứa 16 thể đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn (Khối B-2014) Bài giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: C164 1820 ♥ Gọi A biến cố: “4 thẻ chọn đánh số chẵn” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: ♥ Vậy xác suất cần tính P A NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 A A 70 1820 C84 26 70  SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 11: Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi, tính xác suất để hai viên bi lấy có màu (Khối B-2013) Bài giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: C71C61 42 ♥ Gọi A biến cố: “hai viên bi lấy có màu” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: ♥ Vậy xác suất cần tính P A A C41C21 A 20 42 10 21 C31C41 10  Ví dụ 12: Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam nữ (Khối B-2012) Lời giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: C254 12650 ♥ Gọi A biến cố: “4 học sinh gọi có nam nữ” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: ♥ Vậy xác suất cần tính P A A A C151 C103 11075 12650 443 506 C152 C102 C153 C101 11075  Ví dụ 13: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn (Khối A-2013) Bài giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: A73 210 ♥ Gọi A biến cố: “số chọn số chẵn” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 A 3.6.5 90 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất ♥ Vậy xác suất cần tính P A FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 A 90 210  Ví dụ 14: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn có mặt chữ số Bài giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: A64 360 ♥ Gọi A biến cố: “số chọn có mặt chữ số 6” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: ♥ Vậy xác suất cần tính P A A A 240 360 A53 240  Ví dụ 15: Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn có tổng chữ số Bài giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: A63 120 ♥ Gọi A biến cố: “số chọn có mặt chữ số 6” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: ♥ Vậy xác suất cần tính P A A A 12 120 12 10  Ví dụ 16: Cho tập hợp E  1, 2, 3, 4, 5 Gọi M tập hợp tất số tự nhiên có chữ số, chữ số đôi khác thuộc E Lấy ngẫu nhiên số thuộc M Tính xác suất để tổng chữ số số 10 Phân tích Số số thuộc M có chữ số A53  60 Số số thuộc M có chữ số A54  120 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Số số thuộc M có chữ số A  120 60 120 120 300 Số phần tử không gian mẫu là: 5 Gọi A tập M mà số thuộc A có tổng chữ số 10 Các tập E có tổng phần tử 10 gồm E1  {1,2,3,4}, E2  {2,3,5}, E3  {1,4,5} Từ E1 lập số số thuộc A 4! Từ tập E2 E3 lập số số thuộc A Suy số phần tử A 4! 2.3!  36 Vậy xác suất cần tính P 3! 36   300 25 Bài giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: 60 120 120 300 ♥ Gọi A biến cố: “số chọn có tổng chữ số số 10” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: ♥ Vậy xác suất cần tính P A A A 36 300 4! 2.3! 36  25 Ví dụ 17: Một hộp chứa cầu màu đỏ, cầu màu xanh cầu màu vàng Lấy ngẫu nhiên lúc cầu từ hộp Tính xác suất cho cầu lấy có cầu màu đỏ không hai cầu màu xanh Lời giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: C164 1820 ♥ Gọi A biến cố: “4 cầu lấy có cầu màu đỏ không hai cầu màu xanh” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: ♥ Vậy xác suất cần tính P A NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 A A 740 1820 C41C53 C41C71C52 C41C72C51 740 37  91 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Ví dụ 18: Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà toán học nam, nhà vật lý nữ nhà hóa học nữ Chọn từ người Tính xác suất người chọn phải có nữ có đủ ba môn Lời giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: C164 1820 ♥ Gọi A biến cố: “4 người chọn phải có nữ có đủ ba môn” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: A C82C51C31 C81C52C31 C81C51C32 420 ♥ Vậy xác suất cần tính P A 240 120 A 780 1820 780  Ví dụ 19: Có 40 thẻ đánh số từ đến 40 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để 10 thẻ chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 Lời giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: C4010 847660528 ♥ Gọi A biến cố: “10 thẻ chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: ♥ Vậy xác suất cần tính P A A A C205 C164 C41 112869120 847660528 112869120 1680  12617 Ví dụ 20: Một hộp đựng cầu trắng, cầu đỏ cầu đen Chọn ngẫu nhiên từ hộp Tính xác suất để cầu chọn có cầu trắng, cầu đỏ cầu đen Lời giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 C126 924 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ♥ Gọi A biến cố: “6 cầu chọn có cầu trắng, cầu đỏ cầu đen” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: ♥ Vậy xác suất cần tính P A A C63C42C21 A 240 294 240 20  77 Ví dụ 21: Một tổ học sinh gồm có học sinh nam học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh chăm sóc bồn hoa Tính xác suất để học sinh chọn chăm sóc bồn hoa có nam nữ Lời giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: C122 66 ♥ Gọi A biến cố: “2 học sinh chọn chăm sóc bồn hoa có nam nữ” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: ♥ Vậy xác suất cần tính P A A C51C71 A 35 35  66 Ví dụ 22: Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi Tính xác xuất để viên bi chọn có đủ ba màu Lời giải ♥ Số phần tử không gian mẫu là: C123 220 ♥ Gọi A biến cố: “3 viên bi chọn có đủ ba màu” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: ♥ Vậy xác suất cần tính P A A A 60 220 C31C41C51 11 60  Ví dụ 23: Một hộp đựng viên bi đỏ viên bi xanh Chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác xuất để viên bi lấy có bi xanh bi đỏ Bài giải NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 14 Câu 22 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển : 14 2  x  x   2  x  x   = x  x     C14k x14 3k 2k 14 số hạng chứa x5 khai triển ứng với k thoả mãn 14 - 3k = => k=3 Hệ số cần tìm C143  2912 Câu 23 Tìm số hạng chứa x khai triển  x    x  9 2 Ta có  x     C9k x 9k     C9k x 93k  2 k x  k 0  x  k 0 Số hạng chứa x tương ứng giá trị k thoả mãn  3k   k  k Suy số hạng chứa x C92 x  2   144x Câu 24 Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn  2 x  x   n với x ≠ 0, biết rằng: Cn1  Cn2  15 với n số nguyên dương n(n+ 1)  15  n  (t / m)  n2 + n  30     n  6 (lo¹i) 5  2 Với n = x  ta có  x     C 5k ( x2 )k ( )5k   C 5k x3k 5 (2)5k x  k 0 x  k 0 Ta có Cn1  Cn2  15  Cn+2  15  Số hạng chứa x4 khai triển thỏa mãn 3k – =  k = 3, suy số hạng chứa x4 khai triển 40x4 Câu 25 Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu - tơn biểu thức n 2   x   , x  x  Trong n số tự nhiên thỏa mãn An2  2Cn1  180 - ĐK: n  , n   n  15 DK  n  15 n   12  - Khi đó: An2  2Cn1  180  n2  3n  180    15 3 k 15 2 k k  k x   C  x    15   x   k 0 15 - Khi n = 15 ta có: 15  3k 3 k 3 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 Mà theo ta có: SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Do số hạng chứa x khai triển là: C  1 23 x3  3640 x3 15 n   Câu 26 Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức  2.x   , biết x  An2  Cnn11  4n  Giải phương trình An2  Cnn11  4n  ; Điều kiện: n ≥ ; n  N Phương trình tương đương với n(n  1)  n(n  1) (n  1)!  4n   4n   n(n  1)  2!(n  1)!  n2 – 11n – 12 =  n = - (Loại) v n = 12 12   Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn:  2x   x  12  k Số hạng thứ k + khai triển là: Tk +1 = C (2 x) k 12 Hay Tk+ = C12k  x  12  k x  k = C12k 212 k x 24 3 k      x k ; k  N, ≤ k ≤ 12 k  N ,  k  12  k  24  3k  Số hạng không chứa x  Vậy số hạng thứ không chứa x T9 = C128 24  7920 Câu 27 Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: An3  8Cn2  Cn1  49 Điều kiện n  Ta có  x     Cnk x k 2nk n n k 0 Hệ số số hạng chứa x8 Cn4 2n  Hệ số số hạng chứa x8 Cn4 2n  Ta có: An3  8Cn2  Cn1  49  (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49  n3 – 7n2 + 7n – 49 =  (n – 7)(n2 + 7) =  n = Nên hệ số x8 C74 23  280 Câu 28 Cho khai triển: 1  x  a6 10 Ta có x  x   (2 x  1)  1  x  10 ( x  x  1)2  x  x  1  ao  a1x  a2 x   a14 x14 Hãy tìm giá trị nên (1  x)14  (1  x)12  (1  x)10 16 16 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Trong khai triển 1  2x  hệ số x là: C ; Trong khai triển 1  2x  hệ số 14 6 12 14 x là: 26 C126 Trong khai triển 1  2x  hệ số x là: 26 C106 10 Vậy hệ số a6  6 6 6 C14  C12  C10  41748 16 16 Câu 29 Cho khai triển (1 2x )n biết a0 8a1 2a2 n n k 0 k 0 a0 a1x a2x an x n Tìm số nguyên dương n Ta có (1  2x )n  C nk (2x )k  C nk 2k x k Khi đó, suy ak  Cnk 2k Do đó, ta có a0  Cn0 ;a1  2C n1 ;a2  4C n2 Vâ ̣y a  8a1  2a2   C n0  16C n1  8C n2    16n  8n(n  1) 1 2! 16n  4n(n  1)   n  1(n  0)  n  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Xác suất Câu 30 Một hộp đựng thẻ đánh số 1,2,3, ,9 Rút ngẫu nhiên thẻ nhân số ghi ba thẻ với Tính xác suất để tích nhận số lẻ Số phần tử không gian mẫu n(  ) = C 39 = 84 Số cách chọn thẻ có tích số lẻ n(A) = C53 = 10 => Xác suất cần tính P(A) = 10 84 = 42 Câu 31 Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên học sinh để làm trực nhật Tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ n     C113  165 Số cách chọn học sinh có nam nữ C52 C61  C51.C62  135 Do xác suất để học sinh chọn có nam nữ 135  165 11 Câu 32 Từ chữ số 1;2;3;4;5 lập số tự nhiên có năm chữ số, chữ số có mặt ba lần, chữ số lại có mặt không lần Trong số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho Gọi a1a2 a3a4 a5 số tự nhiên cần tìm, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 thuộc 1; 2;3; 4;5 Sắp chữ số vào ba vị trí, có C53  10 (cách) Còn lại hai vị trí, chữ số Chọn hai chữ số xếp vào hai vị trí đó, có C42  12 (cách) Vậy không gian mẫu có 10.12  120 phần tử Gọi A biến cố: “số chọn chia hết cho 3”, có hai phương án: Hai chữ số lại 5, có C53.2!  20 số Hai chữ số lại 4, có C53.2!  20 số Vậy biến cố A có 40 phần tử Xác suất biến cố A là: P  40  120 Câu 33.Xét số tự nhiên có chữ số khác Tìm xác suất để số tự nhiên có chữ số khác lấy từ số thảo mãn: Chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước Các số tự nhiên có chữ số khác nhau: a1a2 a3 a4 a5  a j với i  j a1   Có cách chọn a1 Mỗi cách chọn a1 có cách chọn a2 Mỗi cách chọn a1, a2 có cách chọn a3 Mỗi cách chọn a1, a2, a3 có cách chọn a4 Mỗi cách chọn a1, a2, a3, a4 có cách chọn a5    9.9.8.7.6  27216 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Xét biến cố A: “ Số có năm chữ số lấy thoả mãn chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước” Vì chữ số đứng trước số nên xét tập hợp: X= 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 Mỗi gồm chữ số khác lấy từ X có cách xếp theo thứ tự tăng dần   A  C9  P ( A)  126  27216 216 Câu 34 Một người gọi điện thoại, quên hai chữ số cuối nhớ hai chữ số phân biệt Tính xác suất để người gọi lần số cần gọi + Hai chữ số cuối phân biệt nên gọi  tập hợp tất cách chọn số phân biệt 10 chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 , ta có   A102  90 + Gọi A biến cố “Gọi lần số cần gọi”, ta có A  Vậy xác suất cần tìm P  A  90 Câu 35 Đề cương ôn tập cuối năm môn Toán lớp 12 có 40 câu hỏi Đề thi cuối năm gồm câu hỏi số 40 câu Một học sinh ôn 20 câu đề cương Giả sử câu hỏi đề cương có khả chọn làm câu hỏi thi Hãy tính xác suất để có câu hỏi đề thi cuối năm nằm số 20 câu hỏi mà học sinh nói ôn Không gian mẫu  có n(  )= C403  9880 (phần tử) Gọi A biến cố “có câu hỏi đề thi nằm số 20 câu ôn”.Ta thấy xảy hai TH sau TH1: Trong đề thi có câu hỏi 20 câu ôn TH2: Trong đề thi có câu hỏi 20 câu ôn Do n(X)= C202 C201  C201  1330 (phần tử) Vậy xác suất cần tìm: P(X)= n( A) 1330   n() 9880 52 Câu 36 Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, có đội nước đội Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành bảng A, B, C bảng đội Tính xác suất để đội bóng Việt Nam ba bảng khác Số phần tử không gian mẫu n()  C124 C84 C44  34.650 Gọi A biến cố “3 đội bong Việt nam ba bảng khác nhau” Số kết thuận lợi A n( A)  3C93 2C63 1.C33  1080 Xác xuất biến cố A P( A)  n( A) 1080 54   n( 34650 173 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 0,31 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 37 Gieo đồng thời ba xúc sắc.Tính xác suất để tổng số chấm xuất ba 10 Gọi  tập hợp tất khả xảy ra.Ta có n(  ) = 6.6.6=216 Gọi A biến cố:” tổng số chấm xuất ba 10” Các khả thuận lợi A tổ hợp có tổng 10 là: (1;3;6), (1;4;5), (2;2;6), (2;3;5), (3;3;4) hoán vị tổ hợp Ta có n(A) = 6+6+3+6+3 = 24 ( (2;2;6), (3;3;4) có hoán vị) Vậy xác suất P(A) = n ( A) 24  = n ( ) 216 Câu 38 Một hộp có viên bi đỏ, viên bi vàng viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên lấy viên bi từ hộp Gọi A biến cố “ số viên bi lấy có số bi đỏ lớn số bi vàng Tính xác suất biến cố A   C124  495 Các khả năng: +4 bi lấy bi vàng:4bi đỏ; bi đỏ +3bi xanh; +4 bi lấy có bi vàng:gồm 2bi đỏ, bi vàng, bi xanh bi đỏ , bi vàng   C54  C51.C43  C52 C42  C53 C41  C52 C31.C41  C53 C31 = 275 P  A  275  495 Câu 39 Gọi M tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác suất để số chọn có chữ số lẻ chữ số đứng hai chữ số lẻ (các chữ số liền trước liền sau chữ số chữ số lẻ) Xét số có chữ số khác nhau: - Có cách chọn chữ số vị trí - Có A98 cách chọn chữ số Do số số có chữ số khác là: A98 = 3265920 Xét số thỏa mãn đề bài: - Có C54 cách chọn chữ số lẻ - Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, chữ số đứng đầu cuối nên có cách xếp - Tiếp theo ta có A42 cách chọn xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số - Cuối ta có 6! cách xếp chữ số lại vào vị trí lại Gọi A biến cố cho, n( A)  C54 7.A42 6! 302400 Vậy xác suất cần tìm P( A)  302400  3265920 54 Câu 40 Có 20 thẻ đánh số từ đến 20 Chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Số phần tử không gian mẫu là: n     C205  15504 Trong 20 thẻ, có 10 thẻ mang số lẻ, có thẻ mang số chẵn chia hết cho 4, thẻ mang số chẵn không chia hết cho Gọi A biến cố cần tính xác suất Ta có: n  A  C103 C51.C51  3000 Vậy, xác suất cần tính là: P  A  n  A  3000 125   n    15504 646 Câu 41 Từ chữ số tập T  0;1; 2;3; 4;5 , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác lên hai thẻ Tính xác suất để hai số ghi hai thẻ có số chia hết cho + Có A52  100 số tự nhiên có chữ số khác + Có A52  A41  36 số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho + Có 64 số tự nhiên có chữ số khác không chia hết cho 1 + n    C100 C99  9900 + Gọi A biến cố : “Trong hai số ghi thẻ có số chia hết cho 5” 1 1 Ta có: n  A  C36 C64  C36 C35  3564 Vậy : P  A  n  A 3564    0,36 n    9900 25 Câu 42 Hai người bắn vào mục tiêu Xác suất bắn trúng người 0,8 0,9 Tìm xác suất biến cố cho có người bắn trúng mục tiêu Gọi A biến cố người bắn trúng mục tiêu với xác suất 0.8 B biến cố người bắn trúng mục tiêu với xác suất 0.9 Gọi C biến cố cần tính xác suất C= AB  AB Vậy xác suất cần tính P(C)=0,8.(1-0,9)+(1-0,8).0,9=0,26 Câu 43 Một người có 10 đôi giày khác lúc du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để chiế c giày lấ y có đôi Số cách lấ y chiế c giày tù y ý : C420 = 4845 Số cách chọn chiế c giày từ đôi ( lấy từ đôi )là : (số cách chọn đôi từ 10 đôi)( số cách chọn chiếc)= C41024 Xác suất cần tìm : C420 - C10 24 C420 = 672 969 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 44 Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, lớp 12A Có học sinh đạt giải môn Toán học sinh nam học sinh đạt giải môn Vật lí có học sinh nam học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên học sinh học sinh đạt giải dự lễ tổng kết năm học tỉnh Tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ, đồng thời có học sinh đạt giải môn Toán học sinh đạt giải môn Vật lí Không gian mẫu Ω tập hợp gồm tất cách chọn học sinh học sinh đạt giải kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, ta có n()  C36  20 Kí hiệu A biến cố ‘‘4 học sinh chọn có nam nữ, đồng thời có học sinh đạt giải môn Toán học sinh đạt giải môn Vật lí’’ Vì có học sinh nữ đạt giải thuộc môn Vật lí, phải chọn tiếp học sinh nam lại phải có mặt hai môn khác học sinh nam đạt giải môn Toán học sinh nam đạt giải môn Toán học sinh nam đạt giải môn Vật lí Vậy ta có n(A)   C21 C21   P(A)  n(A)  n ( ) Câu 45 Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số lẻ,5 thẻ mang số chẵn có mang số chia hết cho 10 Gọi A biến cố lấy thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 Chọn 10 thẻ 30 thẻ có : C1030 cách chọn Ta phải chọn : thẻ mang số lẻ 15 mang số lẻ có C 155 cách chọn thẻ chia hết cho 10 thẻ mang số chia hết cho 10, có : C 13 cc thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 12 vậy, có : C412 Vậy xác suất cần tìm : P(A) = C155 C124 C31 99  10 C30 667 Câu 46 Có hộp bánh, hộp đựng bánh gồm bánh mặn bánh Lấy ngẫu nhiên từ hộp hai bánh Tính xác suất biến cố năm lần lấy có bốn lần lấy bánh mặn lần lấy bánh Gọi  không gian mẫu phép thử Gọi A biến cố “Trong năm lần lấy có bốn lần lấy bánh mặn lần lấy bánh ngọt”  n()  (C82 )5 , n(A)  5.(C52 ) C32 5.(C52 )4 C32 9375  P(A)    0,0087 (C82 )5 1075648 Câu 47 Cho tập A  0;1; 2; 4;5;7;8 Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số phân biệt lấy từ A.Tính số phần tử X.Lấy ngẫu nhiên số từ tập X,tính xác suất để số lấy số chẵn NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 +) Xét số tự nhiên có chữ số phân biệt lấy từ A, giả sử số có dạng: abcd , a  Chọn a  , có cách chọn, chọn chữ số b, c, d  a xếp thứ tự có: A63  120 cách  có tất cả: 6.120 = 720 số tự nhiên Vậy số phần tử X là: 720 Số phần tử không gian mẫu là: n()  720 +) Gọi B biến cố: “Số tự nhiên chọn số chẵn” +) Xét số tự nhiên chẵn có chữ số phân biệt lấy từ A, giả sử số có dạng: a1a2 a3a4 , a1  0, a4 0; 2; 4;8 +) TH1: a4  , có cách chọn; chọn chữ số a1 , a2 , a3  xếp thứ tự có A63  120 cách chọn  TH1 có: 1.120 = 120 số tự nhiên +) TH2: a4  2; 4; 6 , có cách chọn; chọn a1  A \ 0; a4  , có cách chọn; chọn chữ số a2 , a3  A \ a1; a4  xếp thứ tự có A52  20 cách chọn  TH2 có: 3.5.20 = 300 số tự nhiên  có tất cả: 120 + 300 = 420 số tự nhiên  Số phần tử thuận lợi cho biến cố B là: n(B) = 420 +) Vậy: P( B)  n( B) 420   n() 720 12 Câu 48 Một nhóm gồm học sinh có tên khác nhau, có hai học sinh tên An Bình Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh thành hàng dọc Tính xác suất cho hai học sinh An Bình đứng cạnh Mỗi cách xếp ngẫu nhiên học sinh thành hàng dọc hoán vị phần tử  n()  6!  720 (phần tử) Gọi A biến cố: "An Bình đứng cạnh nhau"  n( A)  5!.2!  240 (phần tử)  P( A)  n( A) 240   (phần tử) n() 720 Câu 49 Trong đợt thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định trường THPT Xuân Trường môn Toán có em đạt giải có nam nữ, môn Văn có em đạt giải có nam nữ, môn Hóa học có em đạt giải có nam nữ, môn Vật lí có em đạt giải có nam nữ Hỏi có cách chọn môn em học sinh để dự đại hội thi đua? Tính xác suất để có học sinh nam nữ để dự đại hội?  n(Ω)  625 Có tất 5.5.5.5=625 cách Gọi A biến cố “có HS nam nữ dự đại hội”  A biến cố “Cả bốn HS nam HS nữ dự ĐH” NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168    n(A)  4.1.2.3  1.4.3.2  48  P A  Vậy P(A)   P  A    n(A) 48  n(Ω) 625 48 577  625 625 Câu 50 Một xí nghiệp có 50 công nhân, có 30 công nhân tay nghề loại A, 15 công nhân tay nghề loại B, công nhân tay nghề loại C Lấy ngẫu nhiên theo danh sách công nhân Tính xác suất để người lấy có người tay nghề loại A, người tay nghề loại B, người tay nghề loại C Số phần tử không gian mẫu n     C503  19600 Số kết thuận lợi cho biến cố “trong người lấy ra, người thuộc loại” C301 C151 C51  2250 Xác suất cần tính p  2250 45  19600 392 Câu 51 Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tìm xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn, có thẻ mang số chia hết cho 10 Gọi  tập hợp cách chọn 10 thẻ từ 30 thẻ cho Suy   C3010 Trong 30 thẻ có 15 thẻ mang số lẻ, 15 thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 Gọi  A tập hợp cách chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn, có thẻ mang số chia hết cho 10 Suy  A  C155 C124 C31 C155 C124 C31 99 Vậy P  A   10 C30 667 Câu 52 Đội văn nghệ lớp có bạn nam bạn nữ Chọn ngẫu nhiên bạn tham gia biểu diễn, tìm xác suất để bạn chọn có nam nữ, đồng thời số bạn nam nhiều số bạn nữ Đội văn nghệ lớp có bạn nam bạn nữ Chọn ngẫu nhiên bạn tham gia biểu diễn, tìm xác suất để bạn chọn có nam nữ, đồng thời số bạn nam nhiều số bạn nữ Số cách chọn bạn là: C125  729 Để chọn bạn thỏa mãn yêu cấu toán, ta có hai khả sau: -TH1: Chọn bạn nam bạn nữ, có C54 C71  35 cách chọn -TH2: Chọn bạn nam bạn nữ, có C53 C72  210 cách chọn Vậy xác suất cần tìm là: P  35  210 245  729 729 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu 53 Trong thi “Rung chuông vàng” có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, có bạn nữ 15 bạn nam Để xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia bạn thành nhóm A, B, C, D, nhóm có bạn Việc chia nhóm thực hiên cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn nữ thuộc nhóm Chia 20 học sinh thành nhóm nên số phần tử không gian mẫu   C20 C155 C105 C55 Gọi A biến cố “ Chia 20 học sinh thành nhóm cho bạn nữ thuộc nhóm” Xét bạn nữ thuộc nhóm có C155 C105 C55 cách chia 15 nam vào nhóm lại Vì bạn nữ thuộc nhóm A,B,C hay D nên ta có  A  4.C155 C105 C55 Vậy xác suất biến cố A P( A)  A   4.C155 C105 C55  5 5 C20 C15 C10 C5 3876 Câu 54 Trong môn Toán, thầy giáo có 40 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 15 câu hỏi trung bình, 20 câu hỏi dễ Một ngân hàng đề thi đề thi có câu hỏi đựơc chọn từ 40 câu hỏi Tính xác suất để chọn đề thi từ ngân hàng đề nói thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ không Không gian mẫu việc tạo đề thi :   C 407  18643560 Gọi A biến cố chọn đựợc đề thi có đủ loại câu hỏi(khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ không  A  C 204 C52 C151  C 204 C51 C152  C 20 C51C151  4433175 Xác suất cần tìm P( A)  A   915 3848 Câu 55 Một đội văn nghệ gồm có 20 người có 12 nam nữ Chọn ngẫu nhiên người để hát đồng ca Tính xác suất để người chọn có nam nữ số nữ nhiều số nam +) Xét phép thử chọn ngẫu nhiên người từ 20 người, kết phép thử ứng với cách chọn người từ 20 người => Số phần tử không gian mẫu là: n()  C20  125970 +) Gọi biễn cố A: “8 người chọn có nam nữ số nữ nhiều số nam” n( A)  C85.C12  C86 C12  C87 C12  14264 Ta có  P( A)  n( A) 14264 7132   n() 125970 62985 Câu 56 Một hộp chứa viên bi trắng, viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác xuất để viên bi chon có đủ màu số bi đỏ nhiều Ta có: n     C 15  1365 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Gọi A biến cố “4 viên bi chọn có đủ màu số bi đỏ nhiều nhất’ Khi n  A  C 14C 52C 16  240 Vậy p  A   n  A  16  n    91 Câu 57 Đội văn nghệ nhà trường gồm học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn lễ bế giảng năm học Tính xác suất cho lớp có học sinh chọn có học sinh lớp 12A Gọi không gian mẫu phép chọn ngẫu nhiên  Số phần tử không gian mẫu là: C95  126 Gọi A biến cố “Chọn học sinh từ đội văn nghệ cho có học sinh ba lớp có học sinh lớp 12A” Chỉ có khả xảy thuận lợi cho biến cố A : + học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B, học sinh lớp 12C + học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B, học sinh lớp 12C + học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B, học sinh lớp 12C Số kết thuận lợi cho biến cố A là: C42 C31.C22  C42 C32 C21  C43.C31.C21  78 Xác suất cần tìm P  78 13  126 21 Câu 58 Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi Mỗi đề thi gồm câu lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi Thí sinh A học thuộc 10 câu ngân hàng đề thi Tìm xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu thuộc Lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi câu hỏi để lập đề thi có C204  4845 đề thi Thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu thuộc, có C102 C102  2025 trường hợp Thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu thuộc, có C103 C101  1200 trường hợp Thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu thuộc, có C104  210 trường hợp Do đó, thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu thuộc, có 2025  1200  210  3435 trường hợp Vậy xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có câu thuộc 3435 229  4845 323 Câu 59 Một hộp đựng viên bi trắng, viên bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi, tính xác suất để viên bi chọn có đủ ba màu số bi xanh nhiều + Số phần tử không gian mẫu là: + Gọi A biến cố “ viên bi chọn có đủ ba màu bi xanh nhiều nhất” NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Số phần tử biến cố A n( A)  C C C  300 + Vậy xác suất biến cố A : Câu 60 Đội dự tuyển học sinh giỏi giải toán máy tính cầm tay môn toán trường phổ thông có học sinh nam khối 12, học sinh nữ khối 12 học sinh nam khối 11 Để thành lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi giải toán máy tính cầm tay môn toán cấp tỉnh nhà trường cần chọn em từ em học sinh Tính xác suất để em chọn có học sinh nam học sinh nữ, có học sinh khối 11 học sinh khối 12 - Số cách chọn em học sinh từ học sinh C85 = 56 cách - Để chọn em thỏa mãn ra, ta xét trường hợp sau +) nam khối 11, nữ khối 12 nam khối 12 có: C21C21C43 cách +) nam khối 11, nữ khối 12 nam khối 12 có: C21C22C42 cách +) nam khối 11, nữ khối 12 nam khối 12 có: C22C21C42 cách +) nam khối 11, nữ khối 12 nam khối 12 có: C22C22C41 cách Số cách chọn em thỏa mãn là: C21C21C43 + C21C22C42 + C22C21C42 + C22C22C41 = Vậy xác suất cần tính là: 44 cách 44 11  56 14 Câu 61 Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT Phù Cừ có 10 học sinh đạt giải có học sinh nam học sinh nữ Nhà trường muốn chọn nhóm học sinh 10 học sinh để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ năm học 2015 – 2016 huyện uỷ Phù Cừ tổ chức Tính xác suất để chọn nhóm gồm học sinh mà có nam nữ, biết số học sinh nam số học sinh nữ Không gian mẫu n     C 105  252 Gọi A biến cố học sinh chọn có nam nữ đồng thời số học sinh nam học sinh nữ Trường hợp 1: Chọn học sinh nam học sinh nữ nên ta có C 41.C 64 Trường hợp 2: Chọn học sinh nam học sinh nữ nên ta có C 42 C 63 Suy n A  C 41.C 64  C 42 C 63  180 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Vậy xác suất cần tìm P  A  Câu 62 Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi môn có môn bắt buộc Toán, Văn, Ngoại ngữ môn thí sinh tự chọn số môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử Địa lí Trường A có 30 học sinh đăng kí dự thi, có 10 học sinh chọn môn Lịch sử Lấy ngẫu nhiên học sinh trường A, tính xác suất để học sinh có nhiều học sinh chọn môn Lịch sử Số phần tử không gian mẫu là: n()  C305  142506 Gọi A biến cố : “5 học sinh chọn có nhiều học sinh chọn môn lịch sử” Số phần tử biến cố A là: n( A)  C205  C204 C101  C203 C102  115254 Vậy xác suất cần tìm là: P( A)  115254  0,81 142506 Câu 63 Gọi A tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số phân biệt chọn từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để số chọn số chia hết cho Số phần tử A 6.A36  720 Số cách chọn số có hàng đơn vị số có 1.A36  120 cách Số cách chọn số có hàng đơn vị số có 1.5.A52  100 cách Suy số cách chọn số chia hết cho 120  100  220 cách Vậy xác suất cần tìm 220 11  720 36 Câu 64 Cho X tập hợp gồm số tự nhiên lẻ số tự nhiên chẵn Chọn ngẫu nhiên từ tập X ba số tự nhiên Tính xác suất chọn ba số tự nhiên có tích số chẵn Phép thử T: “Chọn ngẫu nhiên từ tập X ba số tự nhiên”  120  Số phần tử không gian mẫu là: n()  C10 Gọi A biến cố “Chọn ba số tự nhiên có tích số chẵn”  A biến cố “Chọn ba số tự nhiên có tích số lẻ” Chọn số tự nhiên lẻ có C36 cách  n(A)  C36  20 Do đó: P(A)  n(A) 20    n() 120 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ Tổ hợp – Xác suất FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 6 Vậy P(A)   P(A)     Câu 65 Gọi M tập hợp số có chữ số đôi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Lấy từ tập M số Tính xác suất để lấy số có tổng chữ số số lẻ ? Gọi A biến cố "Số chọn số có chữ số đôi khác tổng chữ số số lẻ" Số số có chữ số đôi khác lập từ chữ số cho A74  840 (số), suy ra:   840 Gọi số chữ số đôi khác tổng chữ số số lẻ có dạng abcd Do tổng a  b  c  d số lẻ nên số chữ số lẻ lẻ Trường hợp : có chữ số lẻ , chữ số chẵn : có C41.C33  số Trường hợp : có chữ số lẻ , chữ số chẵn : có C43.C31  12 số Từ số ta lập P4  24 số Tất có 16.24= 384 số , suy ra:  A  384 Vậy P( A)  A   384 48  840 105 Câu 66 Gọi A tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Lấy ngẫu nhiên số A , tính xác suất để lấy số có chứa chữ số + Số số có một, hai, ba, bốn, năm chữ số phân biệt là: A51 , A52 , A53 , A54 , A55 Vậy tập A có A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = 325 số + Tương tự, số số A chữ số là: A41  A42  A43  A44  64 số Vậy số số có chứa chữ số là: 325 – 64 = 261 số Từ xác suất cần tìm P = 261/325 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán 35 - ĐH Cần Thơ