ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Tập hợp: Tập rỗng: tập hợp không chứa A = B A B B A phần tử Tính chất: Tập con: a) A A với tập hợp A b) Nếu A B B C A C B A c) A với tập hợp A Kí hiệu: N*, Z*, Q*, R* tập A B x : x A x B ) hợp số phần tử Số tập tập có n phần tử 2n Các phép toán tập hợp: Giao Hợp Hiệu Phần bù B A A B A B ={xx A x B} x A x B x A B A B A A B ={xx A x B} x A x B x A B B A\ B ={xx A x B} x A x B x A\ B Khi B A A\B gọi phần bù B A, kí hiệu C AB Dấu hiệu chia hết: Số chia hết cho số có chữ số tận 0; 2; 4; 6; Số chia hết cho số có chữ số tận Số chia hết cho số có tổng chữ số chia hết cho Số chia hết cho số có tổng chữ số chia hết cho Số chữ số: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 QUY TẮC ĐẾM I- Quy tắc cộng: Quy tắc: Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực (không trùng với cách hàng động thứ nhất) công việc có m + n cách thực * Chú ý: Quy tắc cộng mở rộng cho nhiều hành động Quy tắc cộng thực chất quy tắc đếm số phần tử hai tập hợp hữu hạn không giao Vậy A B tập hữu hạn không giao n(A B) = n(A) + n(B) II- Quy tắc nhân: Quy tắc: Một công việc hoàn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hoàn thành công việc * Chú ý: Quy tắc nhân mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp §2 HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP I- HOÁN VỊ: Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vò n phần tử * Nhận xét: Hai hoán vò n phần tử khác thứ tự xếp Số hoán vò: Kí hiệu Pn số hoán vò n phần tử Ta có: Pn = n(n - 1)(n - 2) 2.1 = n! II- CHỈNH HP: Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Số chỉnh hợp: Kí hiệu Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử (1 k n) Ta có: Ank = n(n - 1)(n - 2) (n - k + 1) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 * Chú ý: a) Với quy ước 0! = 1, ta có: Ank = n! (1 k n)(n, k N) (n k )! b) Mỗi hoán vò n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Vì Pn = Ann III- TỔ HP: Đònh nghóa: Giả sử tập A có n phần tử (n 1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho * Chú ý: Vì tập (0 phần tử) tập tập A nên ta có điều kiện k n Số tổ hợp: Kí hiệu Cnk số tổ hợp chập k n phần tử Ta có: C nk n! (0 k n) (n, k N) k!(n k )! Tính chất số Cnk : a) Tính chất 1: Cnk Cnnk (0 k n) b) Tính chất 2: Cnk11 Cnk1 Cnk (1 k < n) - công thức Pascal §3 NHỊ THỨC NEWTON I- CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON: (a b)n Cn0 a n Cn1 a n1b Cn2 a n2 b Cnk a nk b k Cnn1ab n1 Cnn b n Hệ quả: Với a = b = 1, ta có: (1 + 1)n = 2n = Cn0 Cn1 Cnn Với a = 1, b = -1, ta có: (1 - 1)n = 0n = Cn0 Cn1 (1)k Cnk (1)n Cnn * Chú ý: Vế phải khai triển nhò thức NewTon: a) Số hạng tử n + 1; b) Tổng số mũ a b hạng tử n (quy ước a 0=b0 = 1) c) Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối Nhận xét - Số hạng tổng qt khai triển Cnk a nk bk ; - Trong số hạng, số mũ a b có tổng n ; - Trong khai triển (*) có n + số hạng ; NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 - Trường hợp đặc biệt, 1 x n Cn0 Cn1 x Cnk x k Cnn x n n Cnk x k k 0 II- TAM GIÁC PASCAL: §4 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ I- PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU: Phép thử: Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta không đoán trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử Không gian mẫu: Tập hợp kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu II- BIẾN CỐ: Biến cố tập không gian mẫu A * Chú ý: i) Các biến cố thường kí hiệu chữ in hoa A, B, C, Khi nói : "cho biến cố A, B, C" (mà không nói thêm) ta hiểu chúng liên quan đến phép thử ii) Các biến cố thường cho mệnh đề mô tả biến cố mệnh đề xác đònh tập không gian mẫu Tập gọi biến cố (gọi tắt biến cố không) Còn tập gọi biến cố chắn * Chú ý: Biến cố A xảy phép thử kết phép thử phần tử tập A (hay thuận lợi cho A) III- PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a) Giả sử A biến cố liên quan đến phé p thử Tập \A gọi biến cố đối biến cố A, kí hiệu A b) Giả sử A B hai biến cố liên quan đến phép thử Ta có: Tập A B gọi hợp biến cố A B; A B xảy A xảy B xảy Tập A B gọi giao biến cố A B (còn viết tắt A.B); A B xảy A B đồng thời xảy Nếu A B = ta nói A B xung khắc; A B xung khắc chúng không xảy Kí hiệu A A= A= C=AB C=AB AB= B= A Ngôn ngữ biến cố A biến cố A biến cố không A biến cố chắn C biến cố "A B" C biến cố "A B" A B xung khắc A B đối A B §5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I- ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT: Giả sử biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất Ta gọi tỉ số n( A ) xác suất biến cố A, kí hiệu P(A) n( ) P(A) = n( A ) n( ) * Chú ý: n(A) số phần tử A số kết thuận lợi cho biến cố A, n() số kết xảy phép thử II- TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đònh lí: Giả sử A B biến cố liên quan đến phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất Khi đó: P(P P với biến cố A. Nếu A B xung khắc, P(A B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất) Hệ quả: Với biến cố A, ta có: P( A ) = - P(A) III- CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT: Quy tắc cộng xác xuất Biến cố hợp Cho hai biến cố A B Biến cố A B gọi hợp hai biến cố A B Biến cố A B có nghĩa “A B xảy ra” Biến cố xung khắc Hai biến cố A B gọi xung khắc A B Đối với hai biến cố xung khắc, biến cố xảy biến cố khơng xảy Định lý Nếu A B hai biến cố xung khắc P A B P A P B Quy tắc nhân xác xuất Biến cố giao Cho hai biến cố A B Biến cố “cả A B xảy ra”, kí hiệu AB, gọi giao hai biến cố A B Biến cố độc lập Hai biến cố A B gọi độc lập việc xảy hay khơng xảy biến cố khơng ảnh hưởng tới xác xuất xảy biến cố Định lý Nếu A B hai biến cố độc lập P AB P A P B NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ