ôn tập chương tổ hợp xác suấtôn tập chương tổ hợp xác suất lớp 11bài tập chương tổ hợp xác suất có lời giảiđề kiểm tra chương tổ hợp xác suấtđề kiểm tra chương tổ hợp xác suất nâng caođề kiểm tra 1 tiết chương tổ hợp xác suấtkiểm tra 1 tiết chương tổ hợp xác suấttổ hợp xác suấtbài tập tổ hợp xác suấtôn tập tổ hợp xác suất lớp 11
CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT A TỔ HỢP I Qui tắc đếm Qui tắc cộng: Một công việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A cơng việc có m + n cách thực Qui tắc nhân: Một cơng việc bao gồm hai công đoạn A B Nếu công đoạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc có m.n cách thực Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Khơng có đường nối thành phố B với thành phố C Hỏi có tất đường từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 12 đường Bài 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ đội phải đấu với trận (đi về) Hỏi có trận đấu? ĐS: có 25.24 = 600 trận Bài 3: a) Một bó hoa gồm có: bơng hồng trắng, bơng hồng đỏ bơng hồng vàng Hỏi có cách chọn lấy hoa? b) Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác nhau? ĐS: a) 18 b) 15 Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng kịch, điệu múa, hát nhau? ĐS: 36 Bài 5: Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo – cà vạt nếu: a) Chọn áo cà vạt được? b) Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a) 35 b) 29 Bài 6: Một trường phổ thơng có 12 học sinh chuyên tin 18 học sinh chuyên toán Thành lập đồn gồm hai người cho có học sinh chuyên toán học sinh chuyên tin Hỏi có cách lập đồn trên? Bài 7: Có cách xếp người đàn ông người đàn bà ngồi ghế dài cho người phái phải ngồi gần Bài 8: Có cách xếp viên bi đỏ viên bi đen xếp thành dãy cho hai viên bi màu khơng gần Bài 9: Hội đồng quản trị xí nghiệp gồm 11 người, có nam nữ Từ hộ đồng quản trị đó, người ta muốn lập ban thường trực gồm người Hỏi có cách chọn ban thường trực cho phải có người nam ĐS: 161 Bài 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có cặp thứ tự (x; y) biết rằng: a) x A, y A b) { x, y} A c) x A, y A vaøx y ĐS: a) 25 b) 20 c) cặp Baøi 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} n số nguyên dương lớn Có cặp thứ tự (x; y), biết rằng: x A, y A, x y n(n 1) Bài 12: Có số palindrom gồm chữ số (số palindrom số mà ta viết chữ số theo thứ tự ngược lại giá trị khơng thay đổi) ĐS: ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba có 9.10.10 = 900 (số) Baøi 13: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên thoả: a) gồm chữ số b) gồm chữ số khác c) gồm chữ số khác chia hết cho ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Baøi 14: a) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số? b) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số? c) Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số số chẵn? d) Có số tự nhiên có chữ số, chữ số cách chữ số đứng giống nhau? e) Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 5? ĐS: a) 3125 b) 168 c) 20 d) 900 e) 180000 Baøi 15: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số: a) Gồm chữ số? b) Gồm chữ số khác nhau? c) Số lẻ gồm chữ số? d) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? e) Gồm chữ số viết không lặp lại? f) Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ĐS: a) 25 b) 20 c) 15 d) e) 120 f) 24 Baøi 16: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số: a) Khác nhau? b) Khác nhau, có số lớn 300? c) Khác nhau, có số chia hết cho 5? d) Khác nhau, có số chẵn? e) Khác nhau, có số lẻ? ĐS: a) 100 b) 60 c) 36 d) 52 e) 48 Baøi 17: a) Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số lẻ có chữ số khác nhỏ 400? b) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác nằm khoảng (300 , 500) ĐS: a) 35 b) 24 II Hoán vị Giai thừa: n! = 1.2.3…n n! = (n–1)!n n! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) p! Qui ước: 0! = n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) (n p)! Hốn vị (khơng lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự gọi hoán vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử là: n! Pn(n1, n2, …, nk) = n1! n2 ! nk ! Hốn vị vịng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! Baøi 1: Rút gọn biểu thức sau: 7! 4! 8! 9! 2011! 2009 A= B= 10! 3! 5! 2! 7! 2010! 2009! 2011 C= 5! (m 1)! m(m 1) (m 1)!3! n n k 1 (m 2)! E = k.k ! F= (m2 m) 4!(m 1)! k 1 k 2 k ! 6! (m 1)! m.(m 1)! A= (với m 5) (m 2)(m 3) (m 1)(m 4) (m 5)! 5! 12.(m 4)!3! Baøi 2: Chứng minh rằng: a) Pn – Pn–1 (n –1)Pn–1 b) Pn (n 1)Pn1 (n 2)Pn2 2P2 P1 D= c) 7! n2 1 n! (n 1)! (n 2)! d) 1 1 1 1! 2! 3! n! e) n! 2n1 Baøi 3: Giải bất phương trình sau: (n 1)! n.(n 1)! a) 5 n n (n 3)! 4! 12(n 3).(n 4)! 2! c) n3 n! 10 (n 2)! (n 1)n 5 n = 4, n = 5, n = 6 Baøi 4: Giải phương trình sau: P P a) P2 x2 – P3.x b) x x1 Px1 ĐS: a) n! n! 3 (n 2)! (n 1)! ĐS: a) x = –1; x = d) n = d) b) n! (n 1)! 50 n! (n 3)! 20n b) x = 2; x = e) n = e) b) n = 2, n = c) (n 1)! 72 (n 1)! f) n3 c) n = f) n = n! 10 (n 2)! Baøi 5: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345? ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Baøi 6: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 9? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 19? d) Không bắt đầu 135? ĐS: a) 24 b) 96 c) d) 118 Baøi 7: Với hoán vị số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta số tự nhiên Tìm tổng tất số tự nhiên có từ hoán vị phần tử trên? ĐS: Với i, j 1,2,3,4,5,6,7 , số số mà chữ số j hàng thứ i 6! Tổng tất số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106 = 6! (1+2+…+7).(1+10+…+106) Bài 8: Tìm tổng S tất số tự nhiên, số tạo thành hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ĐS: 279999720 Baøi 9: Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo mơn? c) Theo mơn sách Tốn nằm giữa? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Baøi 10: Có học sinh nam A1, A2, A3, A4, A5 học sinh nữ B1, B2, B3 xếp ngồi xung quanh bàn trịn Hỏi có cách xếp nếu: a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau? ĐS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách xếp Baøi 11: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? 8! ĐS: 3! 3! Bài 12: Có số tự nhiên có chữ số khác khác biết tổng chữ số ĐS: 18 Baøi 13: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số không đứng cạnh nhau? ĐS: 480 Bài 14: Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: a) Bạn C ngồi giữa? b) Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế? ĐS: a) 24 b) 12 Bài 15: Một hội nghị bàn trịn có phái đoàn nước: Mỹ người, Nga người, Anh người, Pháp người, Đức người Hỏi có cách xếp cho thành viên cho người quốc tịch ngồi gần nhau? ĐS: 143327232000 Baøi 16: Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Có người nhóm muốn ngồi kề nhau? b) Có người nhóm khơng muốn ngồi kề nhau? ĐS: a) 86400 b) 2903040 Baøi 17: Sắp xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b) Chỉ có nữ ngồi kề nhau? ĐS: a) 34560 b) 120960 Bài 18: Có cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết phải có em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400 Bài 19: Có đề kiểm tra tốn để chọn đội học sinh giỏi phát cho 10 học sinh khối 11 10 học sinh khối 12 Có cách xếp 20 học sinh vào phịng thi có dãy ghế cho hai em ngồi cạnh có đề khác nhau, cịn em ngồi nối có đề? ĐS: 26336378880000 Bài 20: Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau? ĐS: 298598400 Bài 21: Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo cách khác để có: a) Tập tập đứng cạnh nhau? b) Tập tập khơng đứng cạnh nhau? ĐS: a) 2.29! b) 28.29! Bài 22: Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt lần? ĐS: 3360 Baøi 23: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ĐS: 5880 Baøi 24: Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số lại 2, 3, 4, Hỏi có số nếu: a) chữ số xếp kề nhau? b) Các chữ số xếp tuỳ ý? ĐS: a) 120 b) 3024 III Chỉnh hợp Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 k n) theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! Ank n(n 1)(n 2) (n k 1) (n k)! Công thức cho trường hợp k = k = n Khi k = n Ann = Pn = n! Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank nk Baøi 1: Rút gọn biểu thức sau: A= A52 A10 P2 7P5 B = P1A21 P2 A32 P3 A43 P4 A54 PP 2P3P4 12 11 A49 A49 C= 10 A49 39A10 49 E= 11 38A10 49 A49 P P P P D = A52 A4 A3 A2 A1 5 5 10 A17 A17 A17 12!(5! 4!) 13! 4! 21( P3 P2 ) F= P P P P 20 A4 A3 A2 A1 5 5 C = 1440; D = 42 ĐS: A = 46; B = 2750; Baøi 2: Chứng minh rằng: 1 n 1 a) , vớ i n N , n 2 2 n A A A b) n Annk2 Annk1 k2 Annk Ank Ank1 k.Ank11 c) Baøi 3: Giải phương trình sau: a) An3 20n d) g) k) với n, k N, k Pn2 210 Ann14 P3 A10 x Ax 9Ax Axy11.Px y 72 Px1 b) An3 5An2 = 2(n + 15) c) 3An2 A22n 42 e) 2( An3 3An2 ) = Pn+1 f) 2Pn 6An2 Pn An2 12 h) Px Ax2 72 6( Ax2 2Px ) i) 2Ax2 50 A22x l) Pn3 720A 5n.Pn5 m) An6 An5 An4 ĐS: a) n = b) n = c) n = e) n = f) n = 2; g) x = 11 h) x = 3; i) x = k) x = 8, y 7, y N Baøi 4: Giải bất phương trình: b) An42 d) An3 An2 12 e) An11 ĐS: b) n 36 a) An4 (n 2)! Baøi 5: 15 (n 1)! a) n = 3; 4; Pn2 Pn2 143 0 4Pn1 143 0 4Pn1 d) n = c) An3 15 15n Tìm số âm dãy số x1, x2 , x3, , xn với: xn An4 Pn2 143 (n 1, 2, 3, ) 4.Pn 63 23 ; n2 2, x2 Baøi 6: Một khiêu vũ có 10 nam nữ Người ta chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp Hỏi có cách chọn? ĐS: n1 1, x1 ĐS: A63 cách Có A10 Bài 7: Trong khơng gian cho điểm A, B, C, D Từ điểm ta lập vectơ khác vectơ – không Hỏi có vectơ? ĐS: A42 = 12 vectơ Bài 8: Một lớp học có bàn đơi (2 chỗ ngồi) Hỏi lớp có học sinh, biết xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) ĐS: An2 = 132 n = 12 Baøi 9: Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thư ký Hỏi có cách chọn? ĐS: 6840 Baøi 10: Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Có cách chọn nếu: a) Cả 11 cầu thủ có khả nhau? (kể thủ mơn) b) Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số ĐS: a) 55440 b) 120 Baøi 11: Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có cách xếp nếu: a) Người có tượng khác nhau? b) Người có tượng khác nhau? c) Người có tượng khác nhau? ĐS: a) 6! b) 360 c) 20160 Baøi 12: Từ chữ số 0, 1, 2, …, 9, lập số tự nhiên gồm chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề phải khác nhau? ĐS: a) 9.A94 b) Có 95 số Bài 13: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? c) Số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 5? ĐS: a) A64 b) 6.A53 3.5A53 c) Số gồm chữ số có dạng: abcde Nếu a = có A64 số Nếu a a có cách chọn Số đặt vào vị trí b, c, d, e có cách chọn vị trí cho số vị trí cịn lại chọn từ chữ số cịn lại có A53 cách chọn Có A64 4.5.A53 = 1560 số Bài 14: Từ chữ số 0, 1, 2, …, lập biển số xe gồm chữ số (trừ số 000)? A10 1= 999 ĐS: Baøi 15: Có số tự nhiên có chữ số với: a) Chữ số đầu chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu cuối khác nhau? c) Hai chữ số đầu giống hai chữ số cuối giống nhau? ĐS: a) A10 = 9.104 số A10 b) Có tất cả: A10 = 9.105 số gồm chữ số Có 9.105 – 9.104 số c) Có 9.10.10.10 = 9000 số Bài 16: Có số điện thoại có chữ số? Trong có số điện thoại có chữ số khác nhau? 6 ĐS: a) A10 = 106 b) A10 = 15120 Baøi 17: Một biển số xe gồm chữ đứng trước chữ số đứng sau Các chữ lấy từ 26 chữ A, B, C, …, Z Các chữ số lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, Hỏi: a) Có biển số xe có chữ khác chữ O chữ số đôi khác nhau? b) Có biển số xe có hai chữ khác có chữ số lẻ giống nhau? ĐS: a) Số cách chọn chữ cái: 26 26 – = 675 cách Số cách chọn chữ số: A10 = 5040 cách Số biển số xe: 675 5040 = 3.402.000 số b) Chữ thứ nhất: có 26 cách chọn Chữ thứ hai: có 25 cách chọn Các cặp số lẻ giống là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9) Có cách chọn cặp số lẻ Xếp cặp số lẻ vào vị trí có C42 cách Có C42 cách xếp cặp số lẻ Còn lại vị trí chữ số chẵn: Chữ số chẵn thứ nhất: có cách chọn Chữ số chẵn thứ hai: có cách chọn Có 26 25 C42 = 487500 cách Bài 18: a) Có số tự nhiên gồm chữ số khác mà tổng chữ số 18? b) Hỏi có số lẻ thoả mãn điều kiện đó? ĐS: Chú ý: 18 = + + + + + 18 = + + + + + 18 = + + + + + a) 5! b) 192 + 384 + 192 = 768 số Baøi 19: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác thoả: a) Số chẵn b) Bắt đầu số 24 c) Bắt đầu số 345 d) Bắt đầu số 1? Từ suy số khơng bắt đầu số 1? ĐS: a) 312 b) 24 c) d) 120 ; 480 Baøi 20: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi lấy từ X trường hợp sau: a) n số chẵn? b) Một ba chữ số phải 1? (ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) ĐS: a) 3000 b) 2280 Baøi 21: a) Từ chữ số 0, 1, 3, 6, lập số gồm chữ số khác chia hết cho b) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số khác cho chữ số có mặt số số (HVCN Bưu Viễn thơng, 1999) c) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số ĐS: a) 18 b) 42000 c) 13320 Baøi 22: a) Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi tạo thành từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, b) Có số tự nhiên gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, Tính tổng số ĐS: a) 37332960 b) 96 ; 259980 Bài 23: a) Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0) (ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) b) Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ số cho (ĐH Y khoa Hà Nội, 1997) ĐS: a) 3024 b) 36960 IV Tổ hợp Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 k n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Cnk Số tổ hợp chập k n phần tử: Ank k! n! k!(n k)! Qui ước: Cn0 = Tính chất: Cn0 Cnn 1; Cnk Cnnk ; Cnk Cnk11 Cnk1; Cnk n k k1 Cn k Tổ hợp lặp: Cho tập A = a1; a2; ; an số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A Cnk Cnkk1 Cnmk11 Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp: Ank k! Cnk Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: khơng có thứ tự Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n): + Không thứ tự, khơng hồn lại: Cnk + Có thứ tự, khơng hồn lại: Ank + Có thứ tự, có hồn lại: Ank Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp Bài 1: A= D= ĐS: Bài 2: A= Tính giá trị biểu thức sau: 23 13 C25 C15 3C10 B= 1 C74 C73 C84 6 1 C10 C10 C11 A32 C= P2 C15 2C15 C15 C17 A = – 165 B=4 Rút gọn biểu thức sau: Cnn C2nn C3nn ; C = Cn1 Cn2 Cn1 k B= Cnk Cnk1 n Pn2 Ank Pnk 10 C15 2C15 C15 Cnn Cnn1 10 C17 ; 10 C15 2C15 C15 10 C17 ĐS: A= (3n)! (n!) B = (n+1)(n+2) + C= n(n 1) Dạng 6: Tìm số tổ hợp tốn số học Bài 1: Cho 10 câu hỏi, có câu lý thuyết tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi? ĐS: Đề gồm câu lý thuyết tập: C42 C61 36 Đề gồm câu lý thuyết tập: C41.C62 60 Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có cách chọn, nếu: a) Gồm học sinh tuỳ ý b) Có nam nữ c) Có nam nữ d) Có nam e) Có nam nữ ĐS: a) C40 C15 b) C25 2 C15 c) C25 2 C15 C25 C15 C25 C15 C25 d) C25 4 C25 C15 e) C40 Baøi 3: Cho điểm mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có vectơ tạo thành từ điểm ấy? Có đoạn thẳng tạo thành từ điểm ấy? ĐS: 20 ; 10 Baøi 4: Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy? ĐS: 1200 Baøi 5: Một túi chứa viên bi trắng viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có cách lấy được: a) viên bi màu? b) viên bi trắng, viên bi xanh? ĐS: a) 20 b) 150 Baøi 6: Từ 20 người, chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đoàn, phó đồn, thư ký ủy viên Hỏi có cách chọn? ĐS: 4651200 Bài 7: Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hóa gồm bơng, hỏi có cách chọn bó hoa đó: a) Có bơng hồng đỏ? b) Có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ? ĐS: a) 112 b) 150 Bài 8: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ĐS: 544320 (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) Baøi 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập số: a) Chẵn gồm chữ số khác đôi chữ số đứng đầu chữ số 2? b) Gồm chữ số khác đơi cho chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ? ĐS: a) 360 b) 2448 (ĐH Cần Thơ, 2001) Bài 10: a) Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số phải khác 0), có mặt chữ số khơng có chữ số 1) b) Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần ĐS: a) 33600 b) 11340 (ĐH QG, Tp.HCM, 2001) Baøi 11: Người ta viết số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số 10 viết có chữ số xuất hai lần chữ số lại xuất lần Hỏi có số vậy? ĐS: 1800 (ĐH Sư phạm Vinh, 1998) Baøi 12: Từ tập thể 14 người gồm năm nữ có An Bình, người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau: a) Trong tổ phải có nam lẫn nữ? b) Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An Bình khơng đồng thời có mặt tổ? ĐS: a) 2974 b) 15048 (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001) Baøi 13: Một đồn tàu có toa chở khác Toa I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bị tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi: a) Có cách xếp cho vị khách lên toa b) Có cách xếp cho vị khách lên tàu có toa có vị khách nói ĐS: a) 99 b) 24 (ĐH Luật Hà Nội, 1999) Bài 14: Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh ĐS: 3780 (HVKT Quân sự, 2001) V Nhị thức Newton Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta có: n Cnk ank bk (a b)n k0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk ank bk ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk Cnnk 5) Cn0 Cnn , Cnk1 Cnk Cnk1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 xn Cn1 xn1 Cnn Cn0 Cn1 Cnn 2n (x–1)n = Cn0 xn Cn1xn1 (1)nCnn Cn0 Cn1 (1)nCnn Dạng 1: Xác định hệ số khai triển nhị thức Newton Bài 1: Tìm hệ số số hạng chứa M khai triển nhị thức, với: a) ( x 3)9; M x4 (1 3x)11; M x6 10 2 g) x2 ; M x11 x b) (2x 1)12; M x5 e) (3x x2 )12; M x15 12 c) (2 x)15; M x9 f) (2 5x)13; M x7 1 h) 2x ; M x3 x 11 14 2 i) y ; M y2 y d) k) (2x 3y)17; M x8y9 l) ( x3 xy)15; M x25y10 k) (2x 3y)25; M x12y13 ĐS: Bài 2: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức: 10 b) x2 x4 10 1 f) x2 x3 b) 495 c) –10 a) x x4 1 e) 2x x ĐS: a) 45 12 c) x3 x2 10 g) x3 h) x2 d) 15 e) –8064 1 d) x2 x 15 10 1 x x f) 210 Baøi 3: Khai triển đa thức P(x) dạng: P( x) a0 a1x a2 x2 an xn Xác định hệ số ak: a) P( x) (1 x)9 (1 x)10 (1 x)14; a9 ? b) P( x) (1 x) 2(1 x)2 3(1 x)3 20(1 x)20; a15 ? c) P( x) ( x 2)80 a0 a1x a2 x2 a80 x80; a78 ? d) P( x) (3 x)50 a0 a1x a2 x2 a50 x50; a46 ? e) P( x) (1 x)3 (1 x)4 (1 x)5 (1 x)30; a3 ? ĐS: a) a9 3003 b) a15 400995 c) a78 12640 d) a46 = 18654300 Baøi 4: Trong khai triển ( x y z)n , tìm số hạng chứa xk ym (k, m < n) ĐS: Trước hết tìm tất số hạng chứa xk Ta có: (x + y + z)n = x y z Cnk xk y z n nk mà (y + z)n–k = Cnmk ymznk m số hạng chứa xk ym là: Cnk Cnmk xk ymznkm Bài 5: Tìm hệ số số hạng chứa M khai triển nhị thức, với: a) (1 x x2 )10; M x6 b) (1 x 2x2 )10; M x17 c) ( x2 x 1)5; M x3 d) (1 x2 x3 )8; M x8 f) 1 x2 (1 x) ; M x8 e) (1 x x2 x3 )10; M x5 Baøi 6: n a) Cho biết khai triển x3 tổng hệ số hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba x2 11 Tìm hệ số x2 n 1 b) Cho biết khai triển x2 , tổng hệ số hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba x 46 Tìm hạng tử khơng chứa x n 2 c) Cho biết tổng hệ số số hạng khai triển x2 97 Tìm hạng tử 3 khai triển chứa x n d) Tìm hệ số số hạng chứa x 26 x7 , biết rằng: khai triển x4 C21n1 C22n1 C2nn1 220 12 e) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (2 x)n , biết rằng: 30Cn0 3n1Cn1 3n2 Cn2 (1)nCnn 2048 ĐS: a) n 4, C42 b) n = ; 84 c) n = 8; 1120x4 d) n = 10; 210x26 e) n = 11; 22x10 Bài 7: a) Tìm số hạng khơng chứa thức khai triển nhị thức: 3 3 2 n b) Tìm số mũ n biểu thức b Biết tỉ số hệ số số hạng thứ thứ 3 12 khai triển nhị thức 7:2 Tìm số hạng thứ 6? 15 1 c) Tìm số hạng thứ khai triển x x 12 3 2 a a d) Tìm số hạng chứa a7 khai triển 64 10 x e) Tìm số hạng khai triển x 12 1 f) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức: x x 16 1 g) Tìm hạng tử độc lập với x khai triển x x ĐS: a) b) n = T6 = C52 3.2 60 d) 924a7.230 C95 3 b 15 30 15 x y e) T16 C30 a Baøi 8: Trong khai triển nhị thức: b nhau? ĐS: Ta có: Tk+1 = b k C21 a b 21k 126 b b2 f) 495 c) T6 C15 g) 1820 21 b , tìm số hạng chứa a, b với luỹ thừa giống a 21k k k 21k b k = C21.a b2 a k 5 21 k k k 21 k 2 a b k = Vậy số hạng cần tìm là: T10 = C21 6 Baøi 9: Số hạng chứa x với số mũ tự nhiên khai triển sau: 13 a) ( x x) 10 b) x x 10 10 x, C10 x , C10 x ĐS: a) C10 Baøi 10: 13 9 x , C13 x , C13 x ,C13x b) C13 a) Tìm số hạng khai triển ( 2)9 số nguyên b) Tìm số hạng hữu tỉ khai triển ( 15)6 c) Xác định số hạng hữu tỉ khai triển ( 7)36 13 d) Có hạng tử nguyên khai triển ( 5)124 ĐS: a) T4 4536, T10 b) T1 27, T3 2005, T5 10125, T7 3375 c) T7 , T22 , T37 d) 32 số hạng n a Bài 11: a) Tìm số hạng thứ ba khai triển 13 a Cn : Cn 4:1 1 a T3 4T5 n b) Trong khai triển (1 x) theo lũy thừa tăng x, cho biết : 40 Tìm n x? T4 T6 n 1 c) Trong khai triển a a cho biết hiệu số hệ số hạng tử thứ ba thứ hai 44 Tìm a4 n 13 ĐS: a) n 14, T3 91 a51 b) n 6, x c) n = 11 Dạng : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài 1: Tính tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển (a b)n ): a) S C60 C61 C66 HD: Sử dụng: (1 x)6 , với x = b) S C50 2C51 22C52 25C55 HD: Sử dụng: (1 x)5 , với x = 2 2010 C2010 C2010 C2010 c) S C2010 HD: Sử dụng: (1 x)2010 , với x = 1 2010 2C2010 22C2010 22010C2010 d) S C2010 HD: Sử dụng: (1 x)2010 , với x = 10 11 C11 C11 C11 C11 C11 e) S C11 HD: Sử dụng: (1 x)11 , với x = 1 16 315C16 314C16 C16 f) S 316C16 HD: Sử dụng: ( x 1)16 , với x = 17 41.316.C17 417C17 g) S 317C17 HD: Sử dụng: (3x 4)17 , với x = Baøi 2: Tính tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển (a b)n ): a) S Cn0 Cn1 Cn2 Cnn HD: Sử dụng: (1 x)n , với x = b) S1 C20n C22n C24n C22nn HD: Sử dụng: (1 x)2n , với x = S2 C21n C23n C25n C22nn1 c) S Cn0 3Cn1 32Cn3 3nCnn HD: Sử dụng: (1 x)n , với x = d) S Cn0 6Cn1 62Cn2 6nCnn HD: Sử dụng: (1 x)n , với x = d) S Cn0 2Cn1 22Cn2 2nCnn HD: Sử dụng: (1 x)n , với x = Baøi 3: Chứng minh hệ thức sau (sử dụng trực tiếp khai triển (a b)n ): a) C20n C22n C22nn C21n C23n C22nn1 HD: (1 x)2n , với x = b) C20n C21n C22n C22nn 4n HD: (1 x)2n , với x = c) 1 10.C21n 102.C22n 103.C23n 102n1C22nn1 102n 81n HD: (1 x)2n , với x = 10 d) C20n C22n 32 C24n 34 C22nn 32n 22n1.(22n 1) 14 HD: (1 x)2n (1 x)2n , với x = 2004 e) S C2004 22 C2004 24 C2004 22004 C2004 32004 HD: (1 x)2004 (1 x)2004 , với x = Baøi 4: Dùng đẳng thức (1 x)m.(1 x)n (1 x) mn , chứng minh rằng: k k2 m k m k Cn Cm Cnk1 Cm Cn Cm Cn Cm a) Cm n , m k n (Hệ thức Van der mon de (Van đec mon)) b) (Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cn2 )2 (Cnn )2 C2nn (2n)! (n k)!(n k)! Bài 5: Tính giá trị biểu thức A, B cách tính A + B, A – B: c) Cn0 Cnk Cn1.Cnk1 Cn2 Cnk2 Cnnk Cnn a) A = 22nC20n 22n2C22n 20C22nn B = 22n1C21n 22n3C23n 21C22nn1 b) A = 2nCn0 2n2Cn2 2n4Cn4 B = 2n1Cn1 2n3Cn3 2n5Cn5 HD: a) Ta có : (2x 1) = 2n 2n k0 Mặt khác, (2x –1)2n = C2kn 2x 2nk Thay x = ta A + B = 32n = 9n 2n C2kn.(2x)2nk (1)k Thay x = ta A – B = k0 Từ suy ra: A = n (9 1) , B= n (9 1) b) Khai triển (2x 1)n , với x = A + B = 3n Khai triển (2x 1)n , với x = A – B = 1 2 A (3n 1), B (3n 1) Baøi 6: Biết tổng tất hệ số khai triển thị thức ( x2 1)n 1024, tìm hệ số a (a số tự nhiên) số hạng ax12 khai triển ĐS: a = 210 (HV hành QG, 2000) Bài 7: Chứng minh: 2001 2000 k 2001k 2001 2002 C2002 C2002 C2001 C2002 C2002 a) S C2002 k C2002C1 1001.2 k 2001k k C2002 HD: a) Chú ý: C2002 k 2002.C2001 2001 k 2002.22001 1001.22002 S = 2002 C2001 k0 Bài 8: Tính tổng sau (sử dụng đạo hàm khai triển (a b)n ): 2010 2C2010 3C2010 2011C2010 a) S C2010 ĐS: HD: Lấy đạo hàm: (1 x)2011 , với x = Baøi 9: Chứng minh hệ thức sau (sử dụng đạo hàm khai triển (a b)n ): nn n.2n1 a) S 1.Cn1 2.Cn2 nC HD: (1 x)n , với x = b) S 2.1.Cn2 3.2.Cn3 n(n 1).Cnn n.(n 1)2n2 HD: (1 x)n , với x = 15 c) S 12Cn1 22Cn2 n2Cnn n(n 1).2n2 HD: k2Cnk k(k 1) kCnk d) S Cn1 3n1 2Cn2 3n2 3Cn33n3 nCnn n.4n1 HD: (3 x)n , với x = Baøi 10: Chứng minh hệ thức sau (sử dụng tích phân khai triển (a b)n ): a) S 2Cn0 22 23 2n1 n 3n1 Cn Cn C n 1 n n 1 HD: S (1 x)ndx n1 1 1 n 1 b) S Cn0 Cn1 Cn2 C n 1 n n 1 HD: S (1 x)ndx 1 (1)n n c) S Cn0 Cn1 Cn2 Cn n 1 n 1 HD: S (1 x)ndx 1 (1)n n d) S Cn0 Cn1 Cn2 Cn 2(n 1) 2(n 1) HD: S x(1 x2 )ndx 1 n1 1 1 1 e) S Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2(n 1) 2(n 1) f) S Cn0 n1 n1 HD: S x(1 x2 )ndx n1 1 1 2 1 n Cn Cn C n 1 n n 1 2 HD: S (1 x)ndx Dạng 3: Tốn chia hết Nếu a chia cho b có số dư r a = bq + r nên an = (bq + r)n = bnqn + nbn–1qn–1r + … + nbqrn–1 + rn Do an rn có số dư chia cho b Tức là: an rn(mod b) Vậy a r (mod b) an rn (mod b) Ví dụ 1: Chứng minh với n Z+, ta có: a) 4n + 15n – b) 16n – 15n – 225 HD: a) Ta có 4n = (3+1)n = 3n + n.3n–1 + … + 3n + 3n + (mod 9) (vì 3k , k 2) 4n + 15n – 3n + + 15n – (mod 9) = 18n (mod 9) Vậy 4n + 15n – n(n 1) 15 + … + n.15n–1 + 15n b) 16n = (1 + 15)n = + n.15 + + 15n (mod 152) n Do đó: 16 – 15n – + 15n – 15n – (mod 225) Vậy 16n – 15n – 225 Ví dụ 2: Chứng minh với n Z+, ta có: 26n+1 + 36n+1 + 56n + 6n+1 6n+1 6n+1 n n HD: +3 +5 + = 2(2 ) + 3(3 ) + (56)n + = 2.64n + 3.729n + 15625n + = 2[(7.9 + 1)n – 1] + 3[(7.104 + 1)n – 1] + [(7.2232 + 1)n – 1] + Do với số tự nhiên p q thì: (7p+1)q – = [(7p+1)–1].[(7p+1)q–1+ … + (7p+1) + 1] nên biểu thức cho chia hết cho 16 B XÁC SUẤT I Biến cố xác suất Biến cố Khơng gian mẫu : tập kết xảy phép thử Biến cố A: tập kết phép thử làm xảy A A Biến cố không: Biến cố chắn: Biến cố đối A: A \ A Hợp hai biến cố: A B Giao hai biến cố: A B (hoặc A.B) Hai biến cố xung khắc: A B = Hai biến cố độc lập: việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố Xác suất n( A) Xác suất biến cố: P(A) = n( ) P(A) 1; P() = 1; P() = Qui tắc cộng: Nếu A B = P(A B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A.B) P( A ) = – P(A) Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập P(A.B) = P(A) P(B) Baøi 1: Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Tích hai mặt xuất số lẻ c) Tích hai mặt xuất số chẵn ĐS: a) n() = 36 n(A) = P(A) = b) c) 36 4 Baøi 2: Một lớp học có 25 học sinh, gồm có 15 em học mơn Tốn, 17 em học mơn Văn a) Tính xác suất để chọn em học mơn b) Tính xác suất để chọn em học mơn Tốn khơng môn Văn ĐS: a) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 15 +17 – 25 = P(AB)= C72 b) C83 25 25 Baøi 3: Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Các mặt xuất có số chấm 1 ĐS: a) b) 6 Baøi 4: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi, lấy tiếp viên Tính xác suất biến cố lần thứ hai viên bi xanh ĐS: Bài 5: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi xanh 17 ĐS: Hai người săn độc lập với bắn thú Xác suất bắn trúng người thứ , người thứ hai Tính xác suất để thú bị bắn trúng ĐS: Baøi 7: Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: a) Lần thứ xuất mặt chấm b) Lần thứ hai xuất mặt chấm c) Ít lần xuất mặt chấm d) Không lần xuất mặt chấm 1 11 25 ĐS: a) b) c) d) 6 36 36 Baøi 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Cả đồng xu ngửa b) Có đồng xu lật ngửa c) Có hai đồng xu lật ngửa 1 11 ĐS: a) b) c) 16 16 Baøi 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng.Tính xác suất để lấy được: a) bóng tốt b) bóng tốt Bài 10: Một lớp học gồm 20 học sinh có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi mơn GVCN chọn em Tính xác suất để em học sinh giỏi Bài 11: Một hộp có 20 cầu giống nhau, có 12 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để chọn có màu đen Bài 12: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ GVCN chọn em thi văn nghệ Tính xác suất để em khác phái Bài 13: Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để : a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Khơng có học sinh trung bình Bài 6: 18 ... chỉnh hợp tổ hợp: Ank k! Cnk Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: khơng có thứ tự Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp. .. Nội, 1997) ĐS: a) 3024 b) 36960 IV Tổ hợp Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 k n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Cnk Số tổ hợp chập k n phần tử: Ank k! ... n k k1 Cn k Tổ hợp lặp: Cho tập A = a1; a2; ; an số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A Cnk Cnkk1 Cnmk11 Số tổ hợp lặp chập k n phần