ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Các giá trò lượng giác cung (góc) : sin xác đònh R sin( + k2) = sin cos xác đònh R cos( + k2) = cos - sin (sin 1) - cos (cos 1) tan xác đònh k tan(k) = tan; cot xác đònh k cot( + k) = cot Dấu giá trò lượng giác góc Phần tư Giá trò lượng giác sin cos tan cot I II III IV + + + + + - + + + - Bảng giá trò lượng giác đặc biệt: (00) sin cos tan cot kxđ (300) (450) 2 2 (600) 3 2 (900) kxđ 3 1 3 Công thức lượng giác bản: sin2 + cos2 = 1 cot sin ( k, k Z) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 tan 0 cos ( k , k Z) tan.cot = ( k , k Z) SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Giá trò lượng giác cung có liên quan đặc biệt: Cung đối:(-) Cung bù:(-) Cung phụ:( -) Cung : (+) sin(-) = -sin sin( - ) = sin sin( -) = cos sin( + ) = -sin cos(-) = cos cos(-) = -cos cos( - ) = sin cos( +) = -cos tan(-) = -tan tan(-) = -tan tan( - ) = cot tan( + ) = tan cot(-) = -cot cot(- ) = -cot cot( - ) = tan cot( + ) = cot Các công thức lượn giác thường sử dụng: Công thức cộng: cos(a-b) = cosacosb + sinasinb cos(a+b) = cosacosb - sinasinb sin(a-b) = sinacosb - cosasinb sin(a+b) = sinacosb + cosasinb tan a tan b tan a tan b tan a tan b tan( a b) tan a tan b Công thức nhân đôi: sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a - sin2a = cos2a - = - 2sin2a tan( a b) Công thức biến tích thành tổng: sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)] sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] Công thức nhân ba: sin3a = 3sina - 4sin3a Công thức sina + cosa: cos(a - ) sina + cosa = sin(a + ) sina + cosa = NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 tan 2a 2tana tan a Công thức hạ bậc: cos 2a cos 2a sin a cos 2a tan a cos 2a cos a Công thức biến đổi tổng thành tích: uv uv cos 2 uv uv cosu - cosv = -2sin sin 2 uv uv sinu + sinv = 2sin cos 2 uv uv sinu - sinu = 2cos sin 2 cosu + cosv = 2cos cos3a = 4cos3a - 3cosa ) sina - cosa = - cos(a + ) sina - cosa = sin(a - SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I- ĐỊNH NGHĨA: Hàm số sin hàm số côsin: a) Hàm số sin: y y B sinx M' sinx M x A' O A x O x x B' Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sinx sin: R R x y = sinx gọi hàm số sin, kí hiệu y = sinx Tập xác đònh hàm số sin là: D = R b) Hàm số côsin: y y B M'' cosx M x A' O cosx A x O x x B' Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực cosx cos: R R x y = cosx gọi hàm số côsin, kí hiệu y = cosx Tập xác đònh hàm số côsin là: D = R NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Hàm số tang hàm số côtang: a) Hàm số tang: Hàm số tang hàm số xác đònh công thức y= sin x cos x (cosx ≠ 0), kí hiệu y = tanx Tập xác đònh hàm số y = tanx là: D = R\{ + k, k Z} b) Hàm số côtang: Hàm số côtang hàm số xác đònh công thức y = cos x sin x (sinx ≠ 0), kí hiệu y = cotx Tập xác đònh hàm số y = cotx là: D = R\{k, k Z} * Nhận xét: Hàm số y = sinx hàm số lẻ, hàm số y = cosx hàm số chẵn, từ suy hàm số y = tanx y = cotx hàm số lẻ II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC: Hàm số y = sinx hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số y = cosx hàm số tuần hoàn với chu kì 2 Hàm số y = tanx y = cotx hàm số tuần hoàn, với chu kì III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC: Hàm số y = sinx: Hàm số y = sinx xác đònh với x R -1 sinx 1; Là hàm số lẻ; Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 a) Sự biến thiên đồ thò hàm số y = sinx đoạn [0; ]: x3 x4 y y B x2 sinx2 sinx1 A' O sinx2 x1 sinx1 A x O x1 x2 x3 x4 x B' Hàm số y = sinx đồng biến [0; Bảng biến thiên: x ] nghòch biến [ ; ] 2 y = sinx NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 * Chú ý: Vì hàm số y = sinx hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thò hàm số đoạn [0; ] qua gốc tọa độ O, ta đồ thò hàm số đoạn [-; 0] y - - O x -1 b) Đồ thò hàm số y = sinx R: y - 5 -2 - - - 3 3 O 2 2 x 5 -1 2 c) Tập giá trò hàm số y = sinx: Tập giá trò hàm số y = sinx T = [-1; 1] Hàm số y = cosx: Hàm số y = cosx xác đònh với x R -1 cosx 1; Là hàm số chẵn; Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2; Hàm số y = cosx đồng biến [-; 0] nghòch biến [0; ] Bảng biến thiên: x - y = cosx -1 -1 Đồ thò hàm số y = cosx: y - 5 - -2 - 3 - O -1 3 2 5 x Tập giá trò hàm số y = cosx T = [-1; 1] Đồ thò hàm số y = sinx, y = cosx gọi chung đường hình sin NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Hàm số y = tanx: Tập xác đònh: D = R\{ k , k Z}; Là hàm số lẻ; Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; a) Sự biến thiên hàm số y = tanx nửa khoảng [0; ): y B M2 T2 tanx2 T1 tanx1 A O M1 A' O x1 x2 x B' Hàm số y = tanx đồng biến nửa khoảng [0; Bảng biến thiên: x - ) + y = tanx * Nhận xét: Khi x gần đồ thò hàm số y=tanx gần đường thẳng x= 2 b) Đồ thò hàm số y = tanx D: Đồ thò hàm số y = tanx ( ; ) : 2 y - NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 O x SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Đồ thò hàm số y = tanx D: -3 - - y 3 O x Tập giá trò hàm số y = tanx T = (-; +) Hàm số y = cotx: Tập xác đònh: D = R\{k, k Z}; Là hàm số chẵn; Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; a) Sự biến thiên đồ thò hàm số y = cotx khoảng (0; ): Hàm số y = cotx nghòch biến khoảng (0; ) x + y = tanx - y O x b) Đồ thò hàm số y = cotx D: y -2 -3 - O - 2 3 2 x Tập giá trò hàm số y = cotx T = (-; +) NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sinx = a: Xét phương trình sinx = a (a R) (1) Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp a 1: sin M' x k 2 sinx= sin (k Z ) x k 2 B M a K A' -1 A côsin O x arcsin a k 2 sinx=a (k Z ) x arcsin a k 2 -1 B' * Chú ý: sin u( x ) sin [sin u( x ) sin ] u( x ) k 2 [ k 360 ] (k Z ) 0 u ( x ) k [ 180 k 360 ] sinu(x) = a (-1 a 1) sin u( x ) a (sin u( x ) a) u( x ) arcsin a k 2 [arcsin a k 360 ] (k Z ) 0 u ( x ) arcsin a k [ 180 arcsin a k 360 ] f ( x ) g( x ) k 2 (k Z ) f ( x ) g( x ) k 2 Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)] + k2, k Z sin[f(x)] = -1 f(x) = - + k2, k Z Đặc biệt: sin[f(x)] = f(x) = sin[f(x)] = f(x) = k, k Z Phương trình cosx = a: Xét phương trình cosx = a (a R) (2) Trường hợp a > 1: phương trình (2) vô nghiệm Trường hợp a 1: x k 2 cosx = cos (k Z ) x k 2 sin B M A' -1 a O A côsin H x arccos a k 2 cosx = a (k Z ) x arccos a k 2 M' -1 B' * Chú ý: NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 cos u( x ) cos u( x ) k 2 [ k 360 ] [cos u( x ) cos ] (k Z ) 0 u( x ) k 2 [ k 360 ] cosu(x) = a (-1 a 1) cos u( x ) a [cos u( x ) a] u( x ) arccos a k 2 [arccos a k 360 ] u( x ) arccos a k 2 [ arccos a k 360 ] (k Z ) f ( x ) g( x ) k 2 (k Z ) f ( x ) g( x ) k 2 Tổng quát: cos[f(x)] = cos[g(x)] Đặc biệt: cos[f(x)] = f(x) = k2, k Z cos[f(x)] = -1 f(x) = + k2, k Z cos[f(x)] = f(x) = + k, k Z Phương trình tanx = a: tanx = tan x = + k, k Z [x = 0 + k1800, k Z] tanx = a x = arctana + k, k Z [x = arctana + k1800, k Z] * Chú ý: tan[u(x)] = tan u(x) = + k, k Z [ux) = 0 + k1800, k Z] tan[u(x)] = a tan[u(x)] = a ux) = arctana + k, k Z [ux) = arctana + k1800, k Z] Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)] f(x) = g(x) + k, k Z Đặc biệt: tan[u(x)] = u(x) = k, k Z Phương trình cotx = a: cotx = cot x = + k, k Z [x = 0 + k1800, k Z] cotx = a x = acrcota + k, k Z [x = acrcota + k1800, k Z] * Chú ý: cot[u(x)] = cot u(x) = + k, k Z [ux) = 0 + k1800, k Z] cot[u(x)] = a cot[u(x)] = a ux) = acrcota + k, k Z [ux) = acrcota + k1800, k Z] Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)] f(x) = g(x) + k, k Z Đặc biệt: cot[u(x)] = u(x) = NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 + k, k Z SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DẠNG at bt c ( a ), với t hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx, cotx, …) II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x DẠNG a sin x b cos x c ( a b ) - Chia hai vế phương trình cho a b2 , phương trình trở thành a a b b sin x a b a a b b b a2 a b2 ; b nên có góc cho a a2 , ta có phương trình tương đương : sin x cos sin b2 2 a - Vì c cos x cos b2 cos x sin c - Áp dụng cơng thức cộng, ta phương trình sin x a b2 c a2 b2 ; Nhận xét - Phương trình a sin x b cos x c có nghiệm a b2 c - Các phương trình a sin x b cos x c , a cos x b sin x c giải tương tự III PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x DẠNG a sin x b sin x cos x c cos x - Xét xem x - Với x k k ( a b2 c2 ) có thỏa phương trình khơng ; ( cos x ), chia hai vế phương trình cho cos x để đưa phương trình theo tan x Chú ý: Đồi với phương trình a sin x b sin x cos x , b sin x cos x c cos x ta giải cách đưa phương trình tích - Áp dụng cơng thức hạ bậc cơng thức nhân đơi, phương trình bậc hai chuyển thành phương trình bậc theo sin 2x cos 2x - Với đẳng thức d d sin x d cos x , phương trình a sin x b sin x cos x c cos x d xem phương trình NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ