LT đại số GT 11 CHƯƠNG i HSLG và PTLG

ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Các giá trò lượng giác cung (góc) :  sin xác đònh  R sin( + k2) = sin cos xác đònh  R cos( + k2) = cos  -  sin  (sin 1)  -  cos  (cos  1)   tan xác đònh    k tan(k) = tan; cot xác đònh   k cot( + k) = cot  Dấu giá trò lượng giác góc  Phần tư Giá trò lượng giác sin cos tan cot I II III IV + + + + + - + + + - Bảng giá trò lượng giác đặc biệt:  (00) sin cos tan cot kxđ  (300)  (450) 2 2  (600) 3 2  (900) kxđ 3 1 3 Công thức lượng giác bản:  sin2 + cos2 =  1  cot   sin  (  k, k  Z) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309   tan   0 cos   (   k , k  Z)   tan.cot = (   k , k  Z) SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Giá trò lượng giác cung có liên quan đặc biệt: Cung đối:(-)  Cung bù:(-)  Cung phụ:(  -)  Cung : (+)  sin(-) = -sin sin( - ) = sin  sin( -) = cos sin( + ) = -sin cos(-) = cos cos(-) = -cos  cos( - ) = sin cos( +) = -cos tan(-) = -tan tan(-) = -tan  tan( - ) = cot tan( + ) = tan cot(-) = -cot cot(- ) = -cot  cot( - ) = tan cot( + ) = cot Các công thức lượn giác thường sử dụng: Công thức cộng: cos(a-b) = cosacosb + sinasinb cos(a+b) = cosacosb - sinasinb sin(a-b) = sinacosb - cosasinb sin(a+b) = sinacosb + cosasinb tan a  tan b  tan a tan b tan a  tan b tan( a  b)   tan a tan b Công thức nhân đôi: sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a - sin2a = cos2a - = - 2sin2a tan( a  b)  Công thức biến tích thành tổng: sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)] sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)]  Công thức nhân ba: sin3a = 3sina - 4sin3a  Công thức sina + cosa:   cos(a - ) sina + cosa = sin(a + ) sina + cosa = NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 tan 2a  2tana  tan a Công thức hạ bậc:  cos 2a  cos 2a sin a   cos 2a tan a   cos 2a cos a  Công thức biến đổi tổng thành tích: uv uv cos 2 uv uv cosu - cosv = -2sin sin 2 uv uv sinu + sinv = 2sin cos 2 uv uv sinu - sinu = 2cos sin 2 cosu + cosv = 2cos cos3a = 4cos3a - 3cosa  )  sina - cosa = - cos(a + ) sina - cosa = sin(a - SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I- ĐỊNH NGHĨA: Hàm số sin hàm số côsin: a) Hàm số sin: y y B sinx M' sinx M x A' O A x O x x B'  Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sinx sin: R  R x  y = sinx gọi hàm số sin, kí hiệu y = sinx  Tập xác đònh hàm số sin là: D = R b) Hàm số côsin: y y B M'' cosx M x A' O cosx A x O x x B'  Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực cosx cos: R  R x  y = cosx gọi hàm số côsin, kí hiệu y = cosx  Tập xác đònh hàm số côsin là: D = R NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Hàm số tang hàm số côtang: a) Hàm số tang: Hàm số tang hàm số xác đònh công thức y= sin x cos x (cosx ≠ 0), kí hiệu y = tanx  Tập xác đònh hàm số y = tanx là: D = R\{  + k, k  Z} b) Hàm số côtang:  Hàm số côtang hàm số xác đònh công thức y = cos x sin x (sinx ≠ 0), kí hiệu y = cotx  Tập xác đònh hàm số y = cotx là: D = R\{k, k  Z} * Nhận xét: Hàm số y = sinx hàm số lẻ, hàm số y = cosx hàm số chẵn, từ suy hàm số y = tanx y = cotx hàm số lẻ II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC:  Hàm số y = sinx hàm số tuần hoàn với chu kì 2  Hàm số y = cosx hàm số tuần hoàn với chu kì 2  Hàm số y = tanx y = cotx hàm số tuần hoàn, với chu kì  III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC: Hàm số y = sinx:  Hàm số y = sinx xác đònh với x  R -1  sinx  1;  Là hàm số lẻ;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 a) Sự biến thiên đồ thò hàm số y = sinx đoạn [0; ]: x3 x4 y y B x2 sinx2 sinx1 A' O sinx2 x1 sinx1 A x O x1 x2  x3 x4  x B' Hàm số y = sinx đồng biến [0; Bảng biến thiên: x    ] nghòch biến [ ; ] 2  y = sinx NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 * Chú ý: Vì hàm số y = sinx hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thò hàm số đoạn [0; ] qua gốc tọa độ O, ta đồ thò hàm số đoạn [-; 0] y - -  O   x -1 b) Đồ thò hàm số y = sinx R: y - 5 -2 - - -  3  3 O 2  2 x 5 -1 2 c) Tập giá trò hàm số y = sinx: Tập giá trò hàm số y = sinx T = [-1; 1] Hàm số y = cosx:  Hàm số y = cosx xác đònh với x  R -1  cosx  1;  Là hàm số chẵn;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2;  Hàm số y = cosx đồng biến [-; 0] nghòch biến [0; ]  Bảng biến thiên: x -  y = cosx -1 -1  Đồ thò hàm số y = cosx: y - 5 - -2 - 3 -   O  -1 3 2 5 x  Tập giá trò hàm số y = cosx T = [-1; 1] Đồ thò hàm số y = sinx, y = cosx gọi chung đường hình sin NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Hàm số y = tanx:   Tập xác đònh: D = R\{  k , k  Z};  Là hàm số lẻ;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; a) Sự biến thiên hàm số y = tanx nửa khoảng [0;  ): y B M2 T2 tanx2 T1 tanx1 A O M1 A' O x1 x2 x  B' Hàm số y = tanx đồng biến nửa khoảng [0; Bảng biến thiên: x  -  )  + y = tanx * Nhận xét: Khi x gần   đồ thò hàm số y=tanx gần đường thẳng x= 2 b) Đồ thò hàm số y = tanx D:    Đồ thò hàm số y = tanx ( ; ) : 2 y - NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  O  x SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  Đồ thò hàm số y = tanx D: -3 - - y 3  O   x  Tập giá trò hàm số y = tanx T = (-; +) Hàm số y = cotx:  Tập xác đònh: D = R\{k, k  Z};  Là hàm số chẵn;  Là hàm số tuần hoàn với chu kì ; a) Sự biến thiên đồ thò hàm số y = cotx khoảng (0; ): Hàm số y = cotx nghòch biến khoảng (0; )  x  + y = tanx - y  O  x b) Đồ thò hàm số y = cotx D: y -2 -3 - O -  2   3 2 x  Tập giá trò hàm số y = cotx T = (-; +) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sinx = a: Xét phương trình sinx = a (a  R) (1) Trường hợp a > 1: phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp a  1: sin M'  x    k 2 sinx= sin   (k  Z )  x      k 2 B M a K A' -1 A côsin O  x  arcsin a  k 2 sinx=a   (k  Z )  x    arcsin a  k 2 -1 B' * Chú ý: sin u( x )  sin  [sin u( x )  sin  ]  u( x )    k 2 [  k 360 ]   (k  Z ) 0 u ( x )      k  [ 180    k 360 ]   sinu(x) = a (-1  a  1) sin u( x )  a (sin u( x )  a)  u( x )  arcsin a  k 2 [arcsin a  k 360 ]   (k  Z ) 0 u ( x )    arcsin a  k  [ 180  arcsin a  k 360 ]   f ( x )  g( x )  k 2 (k  Z )  f ( x )    g( x )  k 2  Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)]    + k2, k  Z  sin[f(x)] = -1  f(x) = - + k2, k  Z  Đặc biệt: sin[f(x)] =  f(x) = sin[f(x)] =  f(x) = k, k  Z Phương trình cosx = a: Xét phương trình cosx = a (a  R) (2) Trường hợp a > 1: phương trình (2) vô nghiệm Trường hợp a  1:  x    k 2 cosx = cos   (k  Z )  x    k 2 sin B M A' -1 a O A côsin H  x  arccos a  k 2 cosx = a   (k  Z )  x   arccos a  k 2 M' -1 B' * Chú ý: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 cos u( x )  cos  u( x )    k 2 [  k 360 ] [cos u( x )  cos  ]   (k  Z ) 0  u( x )    k 2 [   k 360 ]  cosu(x) = a (-1  a  1) cos u( x )  a [cos u( x )  a] u( x )  arccos a  k 2 [arccos a  k 360 ]    u( x )   arccos a  k 2 [ arccos a  k 360 ] (k  Z )  f ( x )  g( x )  k 2 (k  Z )  f ( x )   g( x )  k 2  Tổng quát: cos[f(x)] = cos[g(x)]    Đặc biệt: cos[f(x)] =  f(x) = k2, k  Z cos[f(x)] = -1  f(x) =  + k2, k  Z cos[f(x)] =  f(x) =  + k, k  Z Phương trình tanx = a: tanx = tan  x =  + k, k  Z [x = 0 + k1800, k  Z] tanx = a x = arctana + k, k  Z [x = arctana + k1800, k  Z] * Chú ý: tan[u(x)] = tan  u(x) =  + k, k  Z [ux) = 0 + k1800, k  Z]  tan[u(x)] = a tan[u(x)] = a ux) = arctana + k, k  Z [ux) = arctana + k1800, k  Z]  Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z  Đặc biệt: tan[u(x)] =  u(x) = k, k  Z Phương trình cotx = a: cotx = cot  x =  + k, k  Z [x = 0 + k1800, k  Z] cotx = a x = acrcota + k, k  Z [x = acrcota + k1800, k  Z] * Chú ý: cot[u(x)] = cot  u(x) =  + k, k  Z [ux) = 0 + k1800, k  Z]  cot[u(x)] = a cot[u(x)] = a ux) = acrcota + k, k  Z [ux) = acrcota + k1800, k  Z]  Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)]  f(x) = g(x) + k, k  Z  Đặc biệt: cot[u(x)] =  u(x) = NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  + k, k  Z SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ ĐS-GT 11 FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DẠNG at  bt  c  ( a  ), với t hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx, cotx, …) II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x DẠNG a sin x b cos x c ( a  b  ) - Chia hai vế phương trình cho a b2 , phương trình trở thành a a b b sin x a b a a b b b a2 a b2 ; b nên có góc cho a a2 , ta có phương trình tương đương : sin x cos sin b2 2 a - Vì c cos x cos b2 cos x sin c - Áp dụng cơng thức cộng, ta phương trình sin x a b2 c a2 b2 ; Nhận xét - Phương trình a sin x b cos x c có nghiệm a b2 c - Các phương trình a sin x b cos x c , a cos x b sin x c giải tương tự III PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x DẠNG a sin x b sin x cos x c cos x - Xét xem x - Với x k k ( a  b2  c2  ) có thỏa phương trình khơng ; ( cos x ), chia hai vế phương trình cho cos x để đưa phương trình theo tan x Chú ý: Đồi với phương trình a sin x b sin x cos x , b sin x cos x c cos x ta giải cách đưa phương trình tích - Áp dụng cơng thức hạ bậc cơng thức nhân đơi, phương trình bậc hai chuyển thành phương trình bậc theo sin 2x cos 2x - Với đẳng thức d d sin x d cos x , phương trình a sin x b sin x cos x c cos x d xem phương trình NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ