04 đại số+GT 11 chương IV giới hạn

Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com CHƯƠNG IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 1 lim  ; lim  (k  Z  ) k n n n  n n lim q  ( q  1) ; n lim C  C lim nk   (k  Z  ) lim n   lim qn   (q  1) n Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b u a  lim n  (nếu b  0) b b) Nếu un  0, n lim un= a a  lim Giới hạn vơ cực Giới hạn đặc biệt: un  a c) Nếu un  ,n lim = lim un = d) Nếu lim un = a lim un  a Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn u S = u1 + u1q + u1q2 + … =  q  1 1 q Định lí: a) Nếu lim un   lim 0 un b) Nếu lim un = a, lim =  lim un =0 c) Nếu lim un = a  0, lim = u  a.vn  lim n =  a.vn   d) Nếu lim un = +, lim = a  a  lim(un.vn) =  a   * Khi tính giới hạn có dạng vơ  định: , ,  – , 0. phải tìm cách khử  dạng vơ định Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số:  Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n  Nhân lượng liên hợp: Dùng đẳng thức  a  b  a  b   a  b;  a  b   a2  ab  b2   a  b  Dùng định lí kẹp: Nếu un  ,n lim = lim un = Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây:  Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn  Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com  Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu Câu Tính giới hạn sau: a) lim d) lim 2n2  n  3n2  2n  n4 (n  1)(2  n)(n2  1) Câu Tính giới hạn sau: a) lim d) lim  3n d) lim e) lim b) lim  3n 2n  5n1  5n Câu Tính giới hạn sau: a) lim b) lim 4n2   2n  n2  4n   n 4n2   2n e) lim 2n  n3  n  n2  f) lim 2n  n  4.3n  7n1 3n3  2n2  n n3  2n  n2  3n3  2n2  c) lim 2.5n  7n  2.3n  7n f) lim 5n  2.7n n2   n  b) lim e) lim c) lim 5n  8n  2.3n  6n 2n (3n1  5) c) lim n2   n (2n n  1)( n  3) (n  1)(n  2) f) lim 4n1  6n2 n2   n6 n   n2 n2  4n  4n2  n2  4n   n 3n2   n Câu Tính giới hạn sau:    1 1  a) lim         b) lim   (2n  1)(2n  1)  n(n  2)   1.3 3.5  1.3 2.4    1  1  1  c) lim         d) lim      n(n  1)   22  32   n2   1.2 2.3 e) lim    n Câu Tính giới hạn sau:  n2  2n  n  1 d) lim 1  n2  n4  3n   a) lim g) lim 4n2   2n  n2  4n   n Câu Tính giới hạn sau: a) lim d) lim f) lim n2  3n cos n2 n 1 3sin6 n  5cos2 (n  1) h) lim   32   3n n2  n  n2  n2  n  n  n2   n6 n   n2 (1)n sin(3n  n2 ) b) lim 3n  e) lim 3sin (n3  2)  n2  c) lim f) lim i) lim  2n  n3  n  1 n2   n2  n2  4n  4n2  3n2   n c) lim  2n cos n 3n  f) lim 3n2  2n  n(3cos n  2)  3n2   1   Câu Cho dãy số (un) với un =         , với  n  2     n2  www.vmathlish.com n2   e) lim  b) lim   22   n Đại số & Giải tích 11 a) Rút gọn un www.vmathlish.com b) Tìm lim un 1   Câu a) Chứng minh: (n  N*) n n   (n  1) n n n 1 1    b) Rút gọn: un = 2 3 n n   (n  1) n c) Tìm lim un u1   Câu Cho dãy số (un) xác định bởi:  un1  un  n (n  1)  a) Đặt = un+1 – un Tính v1 + v2 + … + theo n b) Tính un theo n c) Tìm lim un u  0; u2  Câu 10 Cho dãy số (un) xác định bởi:  2un2  un1  un , (n  1) a) Chứng minh rằng: un+1 =  un  , n  2 b) Đặt = un – Tính theo n Từ tìm lim un www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: lim x  x0 ; x x0 lim c  c (c: số) x  x0 Định lí: a) Nếu lim f ( x )  L lim g( x )  M x  x0 x  x0 thì: lim  f ( x )  g( x )  L  M x  x0 lim  f ( x )  g( x )  L  M x  x0 lim  f ( x ).g( x )  L.M x  x0 f (x) L  (nếu M  0) x  x0 g( x ) M b) Nếu f(x)  lim f ( x )  L lim x  x0 L  lim x  x0 f ( x)  L c) Nếu lim f ( x )  L lim f ( x )  L x  x0 x  x0 Giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực Giới hạn đặc biệt:  k chẵn lim x k   ; lim x k   x  x   k lẻ c lim 0 lim   ; lim c  c ;  k x  x x  x 0 x 1 lim  lim   lim      x 0 x x 0 x x 0 x Định lí: Nếu lim f ( x )  L  lim g( x )   thì: x  x0 x  x0  L lim g( x ) dấu  x  x0 lim f ( x )g( x )   g( x ) trái dấu x  x0  L xlim  x0  0 lim g( x )   x  x0 f ( x )  lim   lim g( x )  L.g( x )  x  x0 g( x ) x  x0  g( x )  L.g( x )   xlim  x0  * Khi tính giới hạn có dạng vơ định:  , ,  – , 0. phải tìm cách khử dạng vơ  định Giới hạn bên: lim f ( x )  L  lim  f ( x )  lim  f ( x )  L x  x0 x  x0 x  x0 Một số phương pháp khử dạng vơ định: Dạng P( x ) a) L = lim với P(x), Q(x) đa thức P(x0)= Q(x0) = x  x0 Q( x ) Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn P( x ) b) L = lim với P(x0)=Q(x0)=0 P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc x  x0 Q( x ) Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com P( x ) với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêåu thức chứa khơng đồng bậc x  x0 Q( x ) c) L = lim Giả sử: P(x) = m u( x )  n Ta phân tích P(x) = v( x ) với m u( x 0)  n v( x )  a  m u( x)  a    a  n v( x)   P( x ) : L = lim với P(x), Q(x) đa thức biểu thức chứa x  Q( x )  – Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x – Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp Dạng  – : Giới hạn thường có chứa Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu Dạng 0.: Ta thường sử dụng phương pháp dạng Dạng Câu Tìm giới hạn sau:  x  x2  x3 a) lim x 0 1 x d) lim x 1 x 1 x4  x  x 8 3 g) lim x 1 x 2 Câu Tìm giới hạn sau: a) lim x 1 d) lim x 3 x3  x2  x  x  3x  x3  5x  3x  x  8x  (1  x )(1  x )(1  x )  x 0 x Câu Tìm giới hạn sau: g) lim a) lim x 2 d) lim x 2 g) lim 4x   x2  x 2 2 x 7 3 1 x 1 x 0  x 1 Câu Tìm giới hạn sau: 3x   x x 1 b) lim x 1 x2  x  x 1 e) lim x 2 e) lim x4 1 x3  x2  x  5x  x (1  x )2 x 1 x  x   x n  n x 1 x 1 b) lim x 1 x 1 4x   x   3x  e) lim x 1 x 1 h) lim x 3 x   2x x  3x i) lim x sin x 0 x5  c) lim x 1 x3  xm 1 f) lim xn 1 x 1 h) lim x2  2x  x 1 x 1 3x   3x  h) lim x 2 x 1 x 1 f) lim b) lim   sin  x    4 c) lim  x x i) lim x  16 x 2 x3  x2  x2 1 c) lim x 0 x f) lim x 0 i) lim x 0 x2   x  16  x   x  16  x www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 1 x  1 x x a) lim x 0 1 4x  1 6x d) lim x2 1 4x 1 6x 1 g) lim x 0 x Câu Tìm giới hạn sau: x 0 x2  a) lim 2x2  x  x  x2  2x   4x  d) lim x  g) lim 4x2    x (2 x  1) x  x  x  5x www.vmathlish.com b) lim e) lim x 2 f) lim x2  x 1  1 x i) lim x 0 x c) lim x  4x2  2x    x e) lim x  h) lim x   x3  x2  x 1 2x2  x  b) lim x  x 2 f) lim x  3x  x x  x  x  3x 2x2  x  3x  x x 1 x2  x  x  5x  i) lim x  x  4x2   x  b) lim  x   x  x   x      d) lim  x  x  x  x  x     2x 1  2x  1 x  15 x 2 x  11  x  x  5x   x  x  h) lim x 0 x f) lim x    g) lim    x 1   x  x  Câu Tìm giới hạn sau: a) lim 1 x   x c) lim x 0 x x 2 c) lim  x   x   x    x  x  11  x  x  3x  x 2 Câu Tìm giới hạn sau: a) lim  x  x  x  x    e) lim  3x3   x2     1 h) lim    2 x 2  x  x  x  x   b) lim x 2 x  15 x 2  3x  x x 3 x 3 c) lim x2  2 x 2 x e) lim f) lim x 2 x 2 x 2 x  x  x 2 x  x  Câu Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra:  1 x 1   x2 x    x  a) f ( x )    x  b) f ( x )   x  x  x   3 x  1  x x    x2  2x  x  3x  x   x     x  c) f ( x )    x d) f ( x )   x  x  x x  16   x  x   x    Câu Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra:: d) lim www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com  x3   a) f ( x )   x  x  mx  x  x  x  m x   c) f ( x )   x  100 x  x  x   x 3   x   b) f ( x )   x  x  x  2 m x  3mx  x    x  3m x  1 d) f ( x )   x  1  x  x  m  x  1 www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0  lim f ( x)  f ( x0 ) x x0  Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: B1: Tính f(x0) B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim  f ( x ) , lim  f ( x ) ) x x0 x  x0 x  x0 B3: So sánh lim f ( x) với f(x0) rút kết luận x x0 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) lim f ( x )  f (a), lim f ( x )  f (b) x a  x b   Hàm số đa thức liên tục R  Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó:  Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 f (x)  Hàm số y = liên tục x0 g(x0)  g( x ) Nếu y = f(x) liên tục [a;b] f(a).f(b)< tồn số c(a;b): f(c)=0 Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b) Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = f ( x ) , M = max f ( x ) Khi với T  (m; M)  a;b  a;b ln tồn số c  (a; b): f(c) = T Câu Xét tính liên tục hàm số điểm ra:  x 3 2  x  x  1 b) f ( x )   x  1 x    x 5   x  5x  x   x  x  c) f ( x )   x  x  d) f ( x )   x   1 ( x  5)2  x     x 1 1  cos x x   e) f ( x )   f) f ( x )    x  x  x   x 1 2 x  Câu Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra:  x  a) f ( x )   x x  mx  x 1  x 3  a) f ( x )   x  1 x  x  x  x  x  x  x  x  x  www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com  x3  x2  x   x  b) f ( x )   x  x 1 3x  m x  m x   x  x 6 c) f ( x )   x  0, x  x  x   x( x  3) x   n  x2  x   x  d) f ( x )   x  x  m x  Câu Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng:  x3  x   x  3x  khi x  1   a) f ( x )   x  b) f ( x )  5  4 2 x  x  1   x2   x2    x  2 c) f ( x )   x  d) f ( x )   x  4  x  2 2 x2 x 2 x2 x x Câu Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng:  x2  x  x2  x  x    x  a) f ( x )   x  b) f ( x )  2 x   m x  x  mx   x3  x2  x   x2  x  x  c) f ( x )   d) f ( x )   x 1 mx  x 1  3 x  m x  Câu Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x  3x   b) x3  x  x   c) x   x  Câu Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x  3x   c) x  x3  3x  x   b) x  x   Câu Chứng minh phương trình: x  5x3  x   có nghiệm (–2; 2) Câu Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số: a) m( x  1)3 ( x  2)  x   b) x  mx  2mx   c) a( x  b)( x  c)  b( x  c)( x  a)  c( x  a)( x  b)  d) (1  m2 )( x  1)3  x  x   e) cos x  m cos x  f) m(2 cos x  2)  2sin 5x  Câu Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) ax  bx  c  với 2a + 3b + 6c = b) ax  bx  c  với a + 2b + 5c = c) x3  ax  bx  c   1 Câu 10 Chứng minh phương trình: ax  bx  c  ln có nghiệm x   0;  với a  2a  3 + 6b + 19c = www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV Câu Tìm giới hạn sau:     n a) lim 3n3 n2  2n d) lim g) lim i) lim 2n2  3n   n2  3n  n2   n  sin n  b) lim     n  2n  25n1  e) lim  cos n2  n3  3n2  n  n k) lim n 1 (1)n  4.3n f) lim 35n2  g) lim n  2n 3n  n  c) lim 3n2   n2  (1)n1  2.3n   l) lim  n2   n3  2n  h) lim 1 n2  n4  n Câu Tìm giới hạn sau: x  5x  a) lim x 3 x d) lim  x  15 x  5x  3x  x 1 x g) lim  8x  x  x3  x  x 1 x  2x 1 8x  b) lim x x  5x  1 x3  3x  e) lim x 1 x h) lim x  3x x 3 x3  x2  x  f) lim  4x  x2 x 2 x x3  x2  x  c) lim x  x  16 ( x  2)2  x 2  5x  i) lim x2  x 1 Câu Tìm giới hạn sau: x 2 a) lim x 2  x 0 x 2 x 4 x 1 x 1 x 1 Câu Tìm giới hạn sau: x 0 x  3x  a) lim x2 x 2 d) lim x  5x  2 ( x  2) x 2 g) lim x 2  2x   2x   e) lim x 3 2 x 1 x    x2 x 1 g) lim k) lim x7 1 2x  d) lim  x2 1 x b) lim x2 h) lim x 0 l) lim 1 x  1 x x x 1 e) lim  x 3 x  3x  3x  3 x h) lim  x 3  x  16 i) lim x 2 x 2 x 1 x 0 x  5x  ( x  3) 4x  x 2 x 2  x 7 5 x 2 3x  x  c) lim x 1 x 1 f) lim  2x  x2   f) lim m) lim x2 b) lim x 1 x x 0  x2  x 0 x 8 3 c) lim  x x x x i) lim  x   x 2  x x 4 10 www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 Câu Tìm giới hạn sau: a) lim x  x  3x  x  x  5x  x  x  d) lim x  g) lim x   k) lim x  x  x3  x 3x  x  x2   x  2x x  x  3x www.vmathlish.com b) lim x  x c) lim  x2   x h) lim  x2  x   x x  x  l) lim x   x   R  12  x x   c) f ( x )   x  x  10 R 2 x  Câu Tìm a để hàm số liên tục R: 2a x a) f ( x) x3 x 2 x x x  x2  x   x  2 c) f ( x )   x  a x  2  1)(10 x  9) f) lim ( x  x  x  1) x    5x   x x  1 x i) lim  x  x  x  m) lim x  (2 x  3)2 (4 x  7)3 x  (3 x  x 1 e) lim 4x   x  Câu Xét tính liên tục hàm số: 1  x  a) f ( x )   x  x   x  x2  x  x   x2  2x  x  1  cos x x   b) f ( x )   sin x x = 1 x     x  x = d) f ( x )   x  1  x x   x2   b) f ( x )   x   x  a x  x   x2  4x   d) f ( x )   x  ax  x  x  Câu Chứng minh phương trình: a) x3  x  x   có nghiệm phân biệt b) m( x  1)3 ( x  4)  x   ln có nghiệm với giá trị m c) (m2  1)x – x3 –1  ln có nghiệm nằm khoảng  1;  với m d) x3  mx   ln có nghiệm dương e) x  3x  5x –6  có nghiệm khoảng (1; 2) a b c    Chứng minh phương Câu Cho m > a, b, c số thực thoả mãn: m  m 1 m trình: f ( x )  ax  bx  c  có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)  m 1  c2 0 HD: Xét trường hợp c = 0; c  Với c  f (0) f   m(m  2) m2 11 www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com ………………………….………………………….………………………….………………………….… ……………………….………………………….………………………….………………………… 12 www.vmathlish.com ... www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: lim x  x0 ; x x0 lim c  c (c: số) x.. .Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com  Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu Câu Tính giới hạn sau: a) lim d) lim...  lim x  x0 f ( x)  L c) Nếu lim f ( x )  L lim f ( x )  L x  x0 x  x0 Giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực Giới hạn đặc biệt:  k chẵn lim x k   ; lim x k   x  x   k lẻ c lim