Thông tin tài liệu
Đại số 10 www.vmathlish.com CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1 BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất Điều kiện Nội dung a0 c 0, c > n nguyên dương a>0 a có P = x y không đổi S = x + y nhỏ x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối + Với a, b 0, ta có: Điều kiện Nội dung x 0, x x, x x x a a x a a>0 x a x a x a a b ab a b d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com + ab c ab ; bc a bc ; e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki ca b ca Với a, b, x, y R, ta có: (ax by)2 (a2 b2 )( x y2 ) Dấu "=" xảy ay = bx VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất Câu Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2 b2 c2 ab bc ca b) a2 b2 ab a b c) a2 b2 c2 2(a b c) d) a2 b2 c2 2(ab bc ca) e) a b c 2a(ab a c 1) a2 b2 c2 ab ac 2bc f) g) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc h) a2 b2 c2 d e2 a(b c d e) i) 2 1 1 1 với a, b, c > a b c ab bc ca k) a b c ab bc ca với a, b, c HD: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 2 2 d) (a b c)2 a f) (b c) 2 e) (a b ) (a c) (a 1) g) (a bc)2 (b ca)2 (c ab)2 2 2 a a a a h) b c d e 2 2 2 2 2 1 1 1 i) 0 a b b c c a Câu 2 k) a b b c c a Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 b a b a) ; với a, b b) a4 b4 a3b ab3 c) a4 4a d) a3 b3 c3 3abc , với a, b, c > e) a b g) a2 a 2 a6 b2 2 HD: a) b6 a2 ; với a, b f) 1 a2 1 b2 ; với ab 1 ab h) (a5 b5 )(a b) (a4 b4 )(a2 b2 ) ; với ab > (a b)(a b)2 b) (a3 b3 )(a b) c) (a 1)2 (a2 2a 3) www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com 3 2 d) Sử dụng đẳng thức a b (a b) 3a b 3ab BĐT (a b c) a2 b2 c2 (ab bc ca) 2 2 (b a)2 (ab 1) 0 e) (a b ) (a a b b ) f) g) (a2 1)2 h) ab(a b)(a3 b3 ) (1 ab)(1 a2 )(1 b2 ) Câu Cho a, b, c, d R Chứng minh a2 b2 2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) a4 b4 c4 d 4abcd b) (a2 1)(b2 1)(c2 1) 8abc c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d 4) 256abcd HD: a) a4 b4 2a2b2 ; c2 d 2c2d ; a2 b2 c2 d 2abcd b) a2 2a; b2 2b; c2 2c c) a2 4a; b2 4b; c2 4c; d 4d Câu Cho a, b, c, d > Chứng minh a a ac (1) Áp dụng chứng minh b bc b bất đảng thức sau: a b c 2 a) ab bc ca a b c d 2 b) abc bcd cd a d ab ab bc cd da 3 c) abc bcd cd a d ab HD: BĐT (1) (a – b)c < a ac b ba c cb a) Sử dụng (1), ta được: , , ab abc bc abc ca abc Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm a a a b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: abcd abc ac b b b Tương tự, abcd bcd bd c c c abcd cd a ac d d d abcd d ab d b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm ab ab abd c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: abcd abc abcd Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Câu Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 ab bc ca (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com a2 b2 c2 a b c a) (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) b) c) (a b c)2 3(ab bc ca) d) a4 b4 c4 abc(a b c) e) abc ab bc ca với a,b,c>0 3 f) a4 b4 c4 abc a b c HD: (a b)2 (b c)2 (c a)2 a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) b, c) Vận dụng a) d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương vế, sử dụng (1) f) Sử dụng d) Câu Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: a3 b3 a2 b b2 a ab(a b) (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: 1 1 a) ; với a, b, c > 3 3 3 a b abc b c abc c a abc abc 1 1; b) với a, b, c > abc = 3 3 a b b c c a3 1 1 1; c) với a, b, c > abc = a b 1 b c 1 c a 1 d) e*) 4(a3 b3 ) 4(b3 c3 ) 4(c3 a3 ) 2(a b c) ; sin A sin B sin C cos với a, b, c A B C cos cos ; 2 với ABC tam giác HD: (1) (a2 b2 )(a b) 1 a b abc ab(a b c) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) a) Từ (1) a3 b3 abc ab(a b c) 3 d) Từ (1) 3(a3 b3 ) 3(a2 b ab2 ) 4(a3 b3 ) (a b)3 (2) Từ đó: VT (a b) (b c) (c a) 2(a b c) e) Ta có: sin A sin B cos C AB C cos cos 2 Sử dụng (2) ta được: a b 4(a3 b3 ) sin A sin B 4(sin A sin B) 4.2.cos Tương tự, Câu sin B sin C cos A , C C cos 2 sin C sin A cos B Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm Cho a, b, x, y R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a2 x b2 y (a b)2 ( x y )2 (1) www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a2 b2 a) Cho a, b thoả a b Chứng minh: b) Tìm GTNN biểu thức P = a2 b2 b2 a2 c) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Chứng minh: x2 x2 y2 y2 z2 z2 82 d) Cho x, y, z > thoả mãn x y z Tìm GTNN biểu thức: P= 223 x 223 y 223 z2 (a2 b2 )( x y ) ab xy (*) HD: Bình phương vế ta được: (1) Nếu ab xy (*) hiển nhiên Nếu ab xy bình phương vế ta được: (*) (bx ay)2 (đúng) a2 b2 (1 1)2 (a b)2 a) Sử dụng (1) Ta có: b) Sử dụng (1) P 2 1 1 (a b) (a b)2 17 a b ab 1 (với a, b > 0) a b ab c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: Chú ý: 1 1 x y z ( x y z) 2 x y z x y z 2 1 2 2 82 xyz ( x y z)2 Chú ý: 1 (với x, y, z > 0) x y z xyz d) Tương tự câu c) Ta có: P Câu 3 223 ( x y z)2 2010 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab bc ca a2 +b2 c2 có S = x + y không đổi P = xy lớn x = y + Nếu x, y > có P = x y không đổi S = x + y nhỏ x = y Câu Cho a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: b) (a b c)(a2 b2 c2 ) 9abc a) (a b)(b c)(c a) 8abc c) (1 a)(1 b)(1 c) 1 abc d) bc ca ab a b c ; với a, b, c > a b c e) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc ab bc ca abc ; với a, b, c > ab bc ca a b c ; với a, b, c > g) bc ca ab f) HD: a) a b ab; b c bc; c a ca đpcm b) a b c 33 abc ; a2 b2 c2 a2b2c2 đpcm c) (1 a)(1 b)(1 c) a b c ab bc ca abc a b c 33 abc ab bc ca a2 b2c2 3 (1 a)(1 b)(1 c) 33 abc a2 b2c2 abc 1 abc d) www.vmathlish.com bc ca abc2 2 2c , a b ab Đại số 10 www.vmathlish.com ca ab a2 bc 2 2a , b c bc ab bc ab2c 2 2b đpcm c a ac e) VT 2(a2 b b2c c2 a) a3b3c3 6abc f) Vì a b ab nên Tương tự: ab ab ab a b ab bc bc ca ca ; bc ca ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca 2 (vì ab bc ca a b c ) a b c g) VT = 1 1 1 bc ca ab 1 = (a b) (b c) (c a) 3 3 2 bc ca ab Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b x y z x z y Khi đó, VT = 3 (2 3) 2 y x x z y z Câu 10 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 a) (a3 b3 c3 ) (a b c)2 a b c b) 3(a3 b3 c3 ) (a b c)(a2 b2 c2 ) c) 9(a3 b3 c3 ) (a b c)3 a3 b3 b3 c c a3 HD: a) VT = a b c a c b a c b 2 a3 b3 a2 b2 2ab Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm Chú ý: b a b) 2(a3 b3 c3 ) a2 b b2 a b2c bc2 c2 a ca2 Chú ý: a3 b3 ab(a b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm c) Áp dụng b) ta có: 9(a3 b3 c3 ) 3(a b c)(a2 b2 c2 ) Dễ chứng minh được: 3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 đpcm 1 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b ab 1 1 1 a) ; với a, b, c > a b c ab bc ca 1 1 1 b) 2 ; với a, b, c > ab bc ca 2a b c a 2b c a b 2c Câu 11 Cho a, b > Chứng minh www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com 1 1 1 1 Chứng minh: 2a b c a 2b c a b 2c a b c ab bc ca abc d) ; với a, b, c > ab bc ca 2 xy 8yz xz e) Cho x, y, z > thoả x y z 12 Chứng minh: x y y 4z 4z x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 2 pa pb pc a b c 1 1 HD: (1) (a b) Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si a b 1 1 1 ; ; a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b ab b c bc c a ca Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) 1 1 1 c) Áp dụng a) b) ta được: a b c 2a b c a 2b c a b 2c ab 1 11 1 (a b) d) Theo (1): ab ab 4a b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a b c 12 đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c 1 4 Áp dụng (1) ta được: p a p b ( p a) ( p b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm 1 Câu 12 Cho a, b, c > Chứng minh (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b c abc 1 a) (a2 b2 c2 ) (a b c ) ab bc ca b) Cho x, y, z > thoả x y z c) Cho a, b, c > thoả x y z x 1 y 1 z 1 c) Cho a, b, c > thoả a b c Tìm GTNN biểu thức: 1 P= 2 a 2bc b 2ac c 2ab 1 1 30 d) Cho a, b, c > thoả a b c Chứng minh: 2 ab bc ca a b c 1 e*) Cho tam giác ABC Chứng minh: cos A cos B cos 2C 1 1 HD: Ta có: (1) (a b c) Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si a b c Tìm GTLN biểu thức: P = www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com a) Áp dụng (1) ta được: VT 1 a b b c c a 2(a b c) 9(a2 b2 c2 ) 3(a2 b2 c2 ) (a b c) 2(a b c) abc Chú ý: (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: x 11 y 11 z 11 1 P= = 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 9 Suy ra: P Ta có: 4 x 1 y 1 z 1 x y z Chú ý: Bài toán tổng quát sau: Cho x, y, z > thoả x y z k số dương cho trước Tìm GTLN biểu thức: P = x y z kx ky kz c) Ta có: P a2 2bc b2 2ca c2 2ab d) VT 2 ab bc ca a b c (a b c)2 1 = a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca 9 30 (a b c)2 ab bc ca 1 1 Chú ý: ab bc ca (a b c)2 3 1 e) Áp dụng (1): cos A cos B cos 2C cos A cos B cos 2C 6 Chú ý: cos A cos B cos 2C Câu 13 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN biểu thức sau: x 18 x 3x ; x ; x 1 a) y ; x b) y c) y x 1 x 1 x d) y x ;x 2x 1 x2 4x ; x0 g) y x HD: a) Miny = x = e) y x ; x 1 1 x x h) y x x3 f) y x3 x2 ; x0 ; x0 b) Miny = x = www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com c) Miny = 6 1 x = d) Miny = 5 f) Miny = e) Miny = x g) Miny = x = 30 x = 3 h) Miny = 5 x = x = 27 Câu 14 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y ( x 3)(5 x ); x b) y x (6 x ); x c) y ( x 3)(5 x ); x e) y (6 x 3)(5 x ); g) y d) y (2 x 5)(5 x ); x 2 f) y x x2 30 x5 ; x0 x2 x 3 HD: a) Maxy = 16 x = 121 c) Maxy = x = b) Maxy = x = 625 d) Maxy = x = f) Maxy = x = ( x 2 x ) 2 e) Maxy = x = 2 g) Ta có: x x x Maxy = 2 ( x 2) 27x x2 ( x 2) 27 x = 1 27 VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B) Với a, b, x, y R, ta có: (ax by)2 (a2 b2 )( x y2 ) Dấu "=" xảy ay = bx Với a, b, c, x, y, z R, ta có: (ax by cz)2 (a2 b2 c2 )( x y2 z2 ) Hệ quả: (a b)2 2(a2 b2 ) (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) Câu 15 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 3a2 4b2 , với 3a b c) 7a2 11b2 2464 , với 3a 5b 137 e) 2a2 3b2 , với 2a 3b b) 3a2 5b2 d) a2 b2 735 , với 2a 3b 47 , với a 2b f) ( x y 1)2 (2 x y 5)2 10 www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 3, 4, 3a, 4b b) Áp dụng BĐT (B) cho số 3 c) Áp dụng BĐT (B) cho số , 5 , , 3a, 5b 11 , 7a, 11b d) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,2, a, b e) Áp dụng BĐT (B) cho số 2, 3, 2a, 3b f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a–b=–3 BĐT a2 b2 Áp dụng BĐT (B) cho số 2; –1; a; b ta đpcm Câu 16 Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 a) a2 b2 , với a b b) a3 b3 , với a b c) a b , với a b d) a4 b4 , với a b HD: a) (1a 1b)2 (12 12 )(a2 b2 ) đpcm b) a b b a b3 (1 a)3 3a 3a2 a3 1 1 b a 3 a 2 4 3 đpcm c) (12 12 )(a b ) (a2 b2 )2 d) (12 12 )(a2 b2 ) (a b)2 a2 b2 (12 12 )(a4 b4 ) (a2 b2 )2 a4 b4 Câu 17 Cho x, y, z ba số dương x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P 1 x 1 y 1 z HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P (1 x ) (1 y) (1 z) Dấu "=" xảy x y z x y z Câu 18 Cho x, y, z ba số dương x y z Chứng minh rằng: Vậy Max P = x y z x2 x y2 y z2 z2 82 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: 9 x (1 ) x x x 1 9 Tương tự ta có: y y y 82 y x2 x (2), 9 x x 82 z2 z (1) 9 z z 82 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 11 www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com 1 1 80 1 ( x y z) = ( x y z) x y z x y z 82 82 x y z 1 80 2 ( x y z) 82 82 x y z x y z Dấu "=" xảy x y z P Câu 19 Cho a, b, c thoả a b c Chứng minh: (1) (2) 4a 4b 4c 21 HD: Áp dụng BĐT (B) cho số: 1;1;1; 4a 1; 4b 1; 4c (2) x y z x y z Dấu "=" xảy x = y = z = Từ (1) Chú ý: Câu 20 Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: a) A , với x + y = b) B x y , với x 4y x y HD: a) Chú ý: A = x y Áp dụng BĐT (B) với số: x; x ; y; y ta được: 4 25 x y ( x y) x y x 4y 25 Dấu "=" xảy x ; y Vậy minA = x ; y 5 5 2 2 3 b) Chú ý: x y x y Áp dụng BĐT (B) với số: x ; y; ; x ta được: y 2 3 2 3 3 ( x y) x y x y x y x y Dấu "=" xảy x 3 ; y 3 Vậy minB = 3 Câu 21 Tìm GTLN biểu thức sau: a) A x y y x , với x, y thoả x y HD: a) Chú ý: x y 2( x y ) A ( x y )(1 y x ) x y Dấu "=" xảy x y 2 12 www.vmathlish.com Đại số 10 Câu 22 Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: a) A x x , với –2 x www.vmathlish.com b) B x x , với x x2 y2 c) C y x , với 36 x 16y d) D x y , với HD: a) A (12 12 )(7 x x 2) Dấu "=" xảy x 2 A (7 x ) ( x 2) Dấu "=" xảy x = –2 x = maxA = x ; b) B minA = x = –2 x = (62 82 )( x x ) 10 Dấu "=" xảy x = 43 25 B ( x 1) (3 x ) x Dấu "=" xảy x = 43 ; minB = x = 25 1 c) Chú ý: 36 x 16 y2 (6 x)2 (4 y)2 Từ đó: y x y x maxB = 10 x = 1 1 y x 16 y 36 x 4 16 5 15 25 C y 2x y 2x 4 4 15 25 minC = x , y ; maxC = x , y 20 20 4 y 2x x y2 (3 x )2 (2 y)2 Từ đó: x y x y d) Chú ý: 36 4 1 3x y x y 9 4 5 x y 7 D x y 2x y minD = –7 x , y ; maxD = x , y 5 www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng 13 www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com §2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN VẤN ĐỀ 1: Giải biện luận bất phương trình dạng ax+b (1) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm (1) Bất phương trình chứa ẩn mẫu P( x ) (2) (trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.) Dạng: Q( x ) P( x ) Từ suy tập nghiệm (2) Q( x ) Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ g( x ) Dạng 1: f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) Cách giải: Lập bảng xét dấu Dạng 2: g( x ) f ( x ) coù nghóa f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) Chú ý: Với B > ta có: A B B A B ; A B A B A B 17 www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com §4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN §5 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI Dấu tam thức bậc hai f(x) = ax bx c (a 0) 0, x R Nhận xét: b 2a =0 a.f(x) > 0, x R \ >0 a.f(x) > 0, x (–∞; x1) (x2; +∞) a.f(x) < 0, x (x1; x2) ax bx c 0, x R a ax bx c 0, x R a Bất phương trình bậc hai ẩn ax bx c (hoặc 0; < 0; 0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Câu Xét dấu biểu thức sau: a) 3x x b) x x c) 4 x 12 x d) 3x x e) x x f) x x g) (3x 10 x 3)(4 x 5) h) (3x x)(2 x x 1) i) Câu (3 x x )(3 x ) 4x2 x Giải bất phương trình sau: a) x 5x b) 5x x 12 c) 16 x 40 x 25 d) 2 x 3x e) 3x x f) x x g) Câu 3 x x 0 h) x 3x 0 x 3x x 5x Giải biện luận bất phương trình sau: a) x mx m i) 5x 3x x2 7x 0 b) (1 m) x 2mx 2m c) mx x HD: Giải biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành sau: – Lập bảng xét dấu chung cho a – Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm BPT Câu Giải hệ bất phương trình sau: 18 www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com a) 2 2x x x x x2 4x d) 2 x x 10 2 x x g) 4 x2 2x x2 1 b) 2 x2 x 3x 10 x c) 2 x2 x x 3x 10 x x e) x 2x 1 x2 x f) x 6x h) x2 2x 1 13 x x i) 1 10 x x x 3x 1 VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai Câu Tìm m để phương trình sau: i) có nghiệm ii) vô nghiệm a) (m 5) x 4mx m b) (m 2) x 2(2m 3) x 5m c) (3 m) x 2(m 3) x m d) (1 m) x 2mx 2m e) (m 2) x 4mx 2m f) (m2 2m 3) x 2(2 3m) x Câu Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: a) 3x 2(m 1) x m b) x (m 1) x 2m c) x (m 2) x m d) mx (m 1) x m e) (m 1) x 2(m 1)x 3(m 2) f) 3(m 6) x 3(m 3) x 2m Câu Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: a) (m 2) x 2(m 1)x b) (m 3) x (m 2) x c) (m2 2m 3) x 2(m 1) x d) mx 2(m 1)x e) (3 m) x 2(2m 5)x 2m f) mx 4(m 1) x m VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui bậc hai Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ f ( x) C1 g( x ) C2 f ( x ) g( x ) Dạng 1: f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) Dạng 2: f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) Dạng 3: g( x ) f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) 19 www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com g( x ) f ( x ) coù nghóa f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) Dạng 4: Chú ý: A A A ; A A A A B A B A B A B A B AB ; A B A B AB Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu g( x ) Dạng 1: f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) (hoaëc g( x ) 0) Dạng 2: f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) t f ( x ), t Dạng 3: a f ( x ) b f ( x ) c at bt c u f ( x ) ; u, v đưa hệ u, v f ( x ) g( x ) h( x ) Đặt Dạng 4: v g( x ) f ( x) Dạng 5: f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x )2 g( x ) f ( x) f ( x ) g( x ) g( x ) Dạng 6: f ( x ) g( x )2 Với B > ta có: Câu Giải phương trình sau: a) x 5x x x d) x x Câu A B B A B ; b) x x x e) x x c) 3x x x2 x f) 2 x ( x 2) Giải bất phương trình sau: a) x x b) x x 3x c) x x d) x x x x e) x x f) x 3x x x g) x2 4x x x2 1 h) 2x 1 x 3 i) x 2 x 5x 3 20 www.vmathlish.com Đại số 10 Câu 10 Giải phương trình sau: www.vmathlish.com a) 2x x b) x 10 x c) x x d) x2 2x x e) 3x x x f) g) 3x x h) x2 x2 i) 3x x x 21 x 21 x 21 x 21 x 21 x Câu 11 Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa) a) x x x 11 b) x 3x x c) x x d) x x x Câu 12 Giải phương trình sau: (biến đổi biểu thức căn) a) x 2x x 2x b) x x 1 x x 1 c) x 2 x 2 x x x x Câu 13 Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ) a) x x x x b) ( x 4)( x 1) x 5x c) ( x 3)2 3x 22 x 3x d) ( x 1)( x 2) x x Câu 14 Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ) 3x 5x 3x 5x b) x 1 x 1 d) 47 x 35 x f) a) c) e) x x 13 24 x x x 4356 x x x 4356 x x Câu 15 Giải bất phương trình sau: a) x x 12 x b) x x 12 x c) x x 21 x d) x 3x 10 x e) x 13 x x f) 2x 6x2 x g) x x 2x h) x x 3 x i) x x Câu 16 Giải bất phương trình sau: a) ( x 3)(8 x ) 26 x 11x c) ( x 1)( x 4) x 5x 28 Câu 17 Giải bất phương trình sau: a) x2 4x 2 3 x c) ( x 3) x x b) ( x 5)( x 2) x( x 3) d) 3x 5x 3x 5x b) 2 x 15 x 17 0 x 3 d) x2 x x2 x 2x x4 Câu 18 Giải bất phương trình sau: 21 www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com a) x x b) 3 x 3x c) x 1 x www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng …………………….………………… 22 www.vmathlish.com ... 10 www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 3, 4, 3a, 4b b) Áp dụng BĐT (B) cho số 3 c) Áp dụng BĐT (B) cho số , 5 , , 3a, 5b 11 , 7a, 11b d) Áp dụng BĐT... www.vmathlish.com Đại số 10 www.vmathlish.com d) (a b c)(b c a)(c a b) Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết,... d) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,2, a, b e) Áp dụng BĐT (B) cho số 2, 3, 2a, 3b f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a–b=–3 BĐT a2 b2 Áp dụng BĐT (B) cho số 2; –1; a; b ta đpcm
Ngày đăng: 12/09/2017, 09:45
Xem thêm: 04 đại số 10 chương IV bđt BPT , 04 đại số 10 chương IV bđt BPT
