1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

BT đại số 10 CHƯƠNG IV bđt BPT

16 254 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 16
Dung lượng 1,01 MB

Nội dung

ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1 BẤT ĐẲNG THỨC VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2  b2  c2  ab  bc  ca b) a2  b2   ab  a  b c) a2  b2  c2   2(a  b  c) d) a2  b2  c2  2(ab  bc  ca) a2  b2  c2  ab  ac  2bc e) a4  b4  c2   2a(ab2  a  c  1) f) g) a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a2 )  6abc h) a2  b2  c2  d  e2  a(b  c  d  e) i) 1 1 1 với a, b, c >      a b c ab bc ca k) a  b  c  ab  bc  ca với a, b, c  HD: a)  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  b)  (a  b)2  (a  1)2  (b  1)2  c)  (a  1)2  (b  1)2  (c  1)2  d)  (a  b  c)2  e)  (a  b )  (a  c)  (a  1)  2 2 f)  a    (b  c)   2  g)  (a  bc)2  (b  ca)2  (c  ab)2  2 2 h) a  a  a  a    b    c    d     e  2  2  2  2  i)   1   1   1           0 b  b c  c a  a k)   2 2 2 a  b  b  c  c  a  Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a3  b  a  b      ; với a, b  c) a4   4a e) a4  b4  a6 b2 b) a4  b4  a3b  ab3 d) a3  b3  c3  3abc , với a, b, c >  b6 a2 ; với a, b  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 f) 1  a2  1  b2  ;  ab với ab  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố g) FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 a2  a 2 h) (a5  b5 )(a  b)  (a4  b4 )(a2  b2 ) ; với ab > 2 HD: a)  (a  b)(a  b)2  b)  (a3  b3 )(a  b)  c)  (a  1)2 (a2  2a  3)  d) Sử dụng đẳng thức a3  b3  (a  b)3  3a2b  3ab2 BĐT  (a  b  c) a2  b2  c2  (ab  bc  ca)  (b  a)2 (ab  1) e)  (a  b ) (a  a b  b )  f)  g)  (a2  1)2  h)  ab(a  b)(a3  b3 )  2 2 (1  ab)(1  a2 )(1  b2 ) 0 Cho a, b, c, d  R Chứng minh a2  b2  2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) a4  b4  c4  d  4abcd b) (a2  1)(b2  1)(c2  1)  8abc c) (a2  4)(b2  4)(c2  4)(d  4)  256abcd HD: a) a4  b4  2a2b2 ; c2  d  2c2d ; a2b2  c2d  2abcd b) a2   2a; b2   2b; c2   2c c) a2   4a; b2   4b; c2   4c; d   4d Cho a, b, c, d > Chứng minh a 1 b a ac  b bc (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) b) c) a b c   2 ab bc ca a b c d 1    2 abc bcd cd a d ab ab bc cd da 2    3 abc bcd cd a d ab HD: BĐT (1)  (a – b)c < a) Sử dụng (1), ta được: a ac  ab abc , b ba c cb   , bc abc ca abc Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: Tương tự, a a a   abcd abc ac b b b   abcd bcd bd c c c   abcd cd a ac d d d   abcd d ab d b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: ab ab abd   abcd abc abcd Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức: a2  b2  c2  ab  bc  ca (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: 2 2 a2  b2  c2  a  b  c      a) (a  b  c)  3(a  b  c ) b) c) (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) d) a4  b4  c4  abc(a  b  c) abc ab  bc  ca với a,b,c>0  3 f) a4  b4  c4  abc a  b  c  HD:  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) d) Sử dụng (1) hai lần f) Sử dụng d) b, c) Vận dụng a) e) Bình phương vế, sử dụng (1) e) Cho a, b  Chứng minh bất đẳng thức: a3  b3  a2b  b2a  ab(a  b) (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) b) c)  3   a  b  abc b  c  abc c  a  abc 1    ; với a3  b3  b3  c  c  a  1 1   1; với a  b 1 b  c 1 c  a 1 ; abc với a, b, c > a, b, c > abc = a, b, c > abc = d) 4(a3  b3 )  4(b3  c3 )  4(c3  a3 )  2(a  b  c) ; với a, b, c  A B e*) sin A  sin B  sin C  cos  cos  cos C ; với ABC tam giác HD: (1)  (a2  b2 )(a  b)  a) Từ (1)  a3  b3  abc  ab(a  b  c)  3 a  b  abc  ab(a  b  c) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) d) Từ (1)  3(a3  b3 )  3(a2b  ab2 )  4(a3  b3 )  (a  b)3 (2) (a  b)  (b  c)  (c  a)  2(a  b  c) Từ đó: VT  e) Ta có: sin A  sin B  cos C AB C cos  cos 2 Sử dụng (2) ta được: a  b  4(a3  b3 )  sin A  sin B  4(sin A  sin B)  4.2.cos Tương tự, sin B  sin C  cos A , C C  cos 2 sin C  sin A  cos B Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm Cho a, b, x, y  R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): a2  x  b2  y  (a  b)2  ( x  y )2 (1) Áp dụng chứng minh bất đảng thức sau: a) Cho a, b  thoả a  b  Chứng minh:  a2   b2  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 b) Tìm GTNN biểu thức P = a2  12  b2  12 b a c) Cho x, y, z > thoả mãn x  y  z  Chứng minh: x2  x2  y2  y2  z2  z2  82 d) Cho x, y, z > thoả mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức: P = 223  x  223  y2  223  z2 HD: Bình phương vế ta được: (1)  (a2  b2 )( x  y )  ab  xy (*)  Nếu ab  xy  (*) hiển nhiên  Nếu ab  xy  bình phương vế ta được: (*)  (bx  ay)2  (đúng) a) Sử dụng (1) Ta có:  a2   b2  (1  1)2  (a  b)2  b) Sử dụng (1) P  Chú ý: 1   a b ab 2 1 1   (a  b)      (a  b)2     17 a b ab (với a, b > 0) c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:  1 1 x   y   z   ( x  y  z)      2 x y z  x y z 2 2  Chú ý: 1    (với x y z xyz d) Tương tự câu c) Ta có: P  2   ( x  y  z)     82  xyz x, y, z > 0) 3 223   ( x  y  z)2  2010 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab  bc  ca  a2 +b2  c2 e) a2 (1  b2 )  b2 (1  c2 )  c2 (1  a2 )  6abc f) g) ab bc ca abc    ; với a, b, c ab bc ca a b c    ; với a, b, c > bc ca ab > HD: a) a  b  ab; b  c  bc; c  a  ca  đpcm b) a  b  c  33 abc; a2  b2  c2  33 a2b2c2  đpcm c)  (1  a)(1  b)(1  c)   a  b  c  ab  bc  ca  abc   a  b  c  33 abc ab  bc  ca  a2 b2c2  (1  a)(1  b)(1  c)   33 abc  a2 b2c2  abc  1  abc  d) bc ca abc2 ca ab a2 bc ab bc ab2c  2  2c ,  2  2a ,  2  2b đpcm a b ab b c bc c a ac e) VT  2(a2 b  b2c  c2a)  a3b3c3  6abc f) Vì a  b  ab nên  bc bc ca ca ab ab ab  ;  Tương tự:   bc ca a  b ab ab bc ca ab  bc  ca a  b  c     ab bc ca 2 (vì ab  bc  ca  a  b  c )  a   b   c   1    1    1   bc  ca  ab   1    = (a  b)  (b  c)  (c  a)  3 3  2  bc ca ab g) VT =   Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b Khi đó, VT =  x y   z x   z y               3  y x   x z   y z    (2    3)  2 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 a b 1 c a) (a3  b3  c3 )      (a  b  c)2 b) 3(a3  b3  c3 )  (a  b  c)(a2  b2  c2 ) c) 9(a3  b3  c3 )  (a  b  c)3  a3 HD: a) VT = a2  b2  c2    b Chú ý:  b3   b3 c   c a3       a   c b  a c  a b   a2 b2  2ab b a Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm b)  2(a3  b3  c3 )   a2 b  b2 a    b2c  bc2    c2 a  ca2  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Chú ý: a3  b3  ab(a  b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm c) Áp dụng b) ta có: 9(a3  b3  c3 )  3(a  b  c)(a2  b2  c2 ) Dễ chứng minh được: 3(a2  b2  c2 )  (a  b  c)2  đpcm 1   a b ab Cho a, b > Chứng minh (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:  1 1 1     2    ; với a, b, c > a b c  ab bc ca   1 1 1 b)    2    ; với a, b, c > ab bc ca  2a  b  c a  2b  c a  b  2c  1 1 1   1 c) Cho a, b, c > thoả    Chứng minh: 2a  b  c a  2b  c a  b  2c a b c ab bc ca abc    d) ; với a, b, c > ab bc ca 2 xy 8yz xz    e) Cho x, y, z > thoả x  y  z  12 Chứng minh: x  y y  4z 4z  x a) f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: HD: 1 1 1    2    pa pb pc a b c 1 1 (1)  (a  b)     Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si a b 1 1 1 ;   ;   a) Áp dụng (1) ba lần ta được:   a b ab b c bc c a ca Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a)   1 1 1    4    a b c  2a  b  c a  2b  c a  b  2c  ab 1 11 1  (a  b) d) Theo (1):      ab ab 4a b c) Áp dụng a) b) ta được: Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a  b  c  12  đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c Áp dụng (1) ta được: 1 4    p  a p  b ( p  a)  ( p  b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm Cho a, b, c > Chứng minh 1    a b c abc (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau:  1      (a  b  c )  ab bc ca b) Cho x, y, z > thoả x  y  z  a) (a2  b2  c2 )  Tìm GTLN biểu thức: P = x y z   x 1 y 1 z 1 c) Cho a, b, c > thoả a  b  c  Tìm GTNN biểu thức: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 P= a  2bc  b  2ac  c  2ab d) Cho a, b, c > thoả a  b  c  Chứng minh: e*) Cho tam giác ABC Chứng minh:  1    30 ab bc ca a2  b2  c 1     cos A  cos B  cos 2C 1 a 1 b c 1    a) Áp dụng (1) ta được: a  b b  c c  a 2(a  b  c) HD: Ta có: (1)  (a  b  c)      Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si  VT  9(a2  b2  c2 ) 3(a2  b2  c2 )   (a  b  c) 2(a  b  c) abc Chú ý: (a  b  c)2  3(a2  b2  c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: P= Ta có: x 11 y 11 z 11   x 1 y 1 z 1  1  = 3     x 1 y 1 z 1 1 9     x 1 y 1 z 1 x  y  z  4 Suy ra: P    Chú ý: Bài toán tổng quát sau: Cho x, y, z > thoả x  y  z  k số dương cho trước Tìm GTLN biểu thức: P = c) Ta có: P  d) VT  x y z   kx  ky  kz  2 a  2bc  b  2ca  c  2ab  2 ab  bc  ca a b c  = 2   (a  b  c)2   1   ab  bc  ca ab  bc  ca  ab  bc  ca  a b c 9      30 ab  bc  ca 1 (a  b  c ) 1 Chú ý: ab  bc  ca  (a  b  c)2  3 1    e) Áp dụng (1):  cos A  cos B  cos 2C  cos A  cos B  cos 2C  6 6 Chú ý: cos A  cos B  cos 2C  Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN biểu thức sau: x 18 ; x  x 3x y  ; x  1 x 1 x ; x  x 1 x y  ;x 2x 1 a) y   b) y   c) d) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x3  e) y  x  ;  x 1 1 x x f) y  g) y  x2  4x  ; x0 x h) y  x  HD: a) Miny = x = x2 ; x0 x3 ; x0 x = 1 d) Miny = e) Miny =  x  5 f) Miny = c) Miny =  b) Miny = g) Miny = x = x = 30  3 h) Miny = 5 x = 30  x = 27 x = Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y  ( x  3)(5  x );   x  b) y  x (6  x );  x  c) y  ( x  3)(5  x );   x  e) y  (6 x  3)(5  x );   x  g) y  d) y  (2 x  5)(5  x );   x  5 f) y  x x 2 ; x0 x2  x  3 HD: a) Maxy = 16 x = c) Maxy = 121 x =  e) Maxy = x = b) Maxy = x = d) Maxy = f) Maxy = 625 2 g) Ta có: x   x    33 x  ( x  2)3  27x2   Maxy = 27 x = x = (  x  2 x ) x2 ( x  2)3  27 x = 1 VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki Chứng minh bất đẳng thức sau: b) 3a2  5b2  a) 3a2  4b2  , với 3a  4b  c) 7a2  11b2  2464 , 137 735 , 47 với 2a  3b  d) a2  b2  , với a  2b  với 3a  5b  f) ( x  y  1)2  (2 x  y  5)2  e) 2a2  3b2  , với 2a  3b  HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 3, 4, 3a, 4b b) Áp dụng BĐT (B) cho số NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 , , 3a, 5b SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 c) Áp dụng BĐT (B) cho số , 11 d) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,2, a, b , 7a, 11b e) Áp dụng BĐT (B) cho số 2, 3, 2a, 3b f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a–b=–3 BĐT  a2  b2  Áp dụng BĐT (B) cho số 2; –1; a; b ta đpcm Chứng minh bất đẳng thức sau: a4  b4  , a) a2  b2  , với a  b  b) a3  b3  , với a  b  với a  b  d) a4  b4  , với a  b  c) HD: a)  (1a  1b)2  (12  12 )(a2  b2 )  đpcm b) a  b   b   a  b3  (1  a)3   3a  3a2  a3  1 1  b  a  3 a      2 4 c) (12  12 )(a4  b4 )  (a2  b2 )2  3  đpcm d) (12  12 )(a2  b2 )  (a  b)2   a2  b2  (12  12 )(a4  b4 )  (a2  b2 )2  Cho x, y, z ba số dương  a4  b4  x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  1 x  1 y  1 z HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P    (1  x )  (1  y)  (1  z)  Dấu "=" xảy   x   y   z  x  y  z  Vậy Max P = x  y  z  Cho x, y, z ba số dương x2  x2  y2  y2 x  y  z   z2  z2 Chứng minh rằng:  82 HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:    9  x   (1  )   x   x  x   Tương tự ta có: y2  y    9 y  y 82  x2  x2 (2),   9 x  x 82  z2  z2  (1)  9 z  z 82  (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: P   1     1  80  1   ( x  y  z)       =  ( x  y  z)             x y z   x y z  82  82   x y z    1  80 2  ( x  y  z)        82 82   x y z  x  y  z  Dấu "=" xảy  xyz NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Cho a, b, c   thoả a  b  c  Chứng minh: (1) (2)  4a   4b   4c   21 HD: Áp dụng BĐT (B) cho số: 1;1;1; 4a  1; 4b  1; 4c   (2) Chú ý: x  y  z  x  y  z Dấu "=" xảy  x = y = z = Từ  (1) Cho x, y > Tìm GTNN biểu thức sau: x a) A   , 4y với x + y = b) B  x  y , với HD: a) Chú ý: A =          x   y   6 x y Áp dụng BĐT (B) với số: x; x ; y; y ta được: 4  25     x  y  ( x  y)      x y   x 4y  5 Dấu "=" xảy  x  ; y  Vậy minA = 25 4 5 x  ; y  2  2  3 b) Chú ý:        x y  x  y Áp dụng BĐT (B) với số: ; x x ; y; ta được: y 2 2 3  3 ( x  y)      x  y      x y x y  Dấu "=" xảy  x  3 ; y 3  xy  2  3 Vậy minB =  2  3 Tìm GTLN biểu thức sau: a) A  x  y  y  x , với x, y thoả x  y2  HD: a) Chú ý: x  y  2( x  y )  A  ( x  y )(1  y   x )  x  y    Dấu "=" xảy  x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau: a) A   x   x , với –2  x  b) B  x    x , với  x  c) C  y  x  , với 36 x  16y2  HD: a)  A  (12  12 )(7  x  x  2)  Dấu "=" xảy   A (7  x )  ( x  2)  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 x2 y2   x d) D  x  y  , với Dấu "=" xảy  x = –2 x = SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  maxA = x  ; minA = x = –2 x = b) B  (62  82 )( x    x )  10 Dấu "=" xảy  x = B ( x  1)  (3  x )   x  maxB = 10 x =  Dấu "=" xảy 43 ; 25 43 25  x = minB = x = c) Chú ý: 36 x  16y2  (6 x)2  (4y)2 Từ đó: y  x  y  x  1 1 y  x     16 y  36 x  4  16  5 15 25  C  y  2x      y  2x   4 4 15 25  minC = x  , y   ; maxC = x   , y  20 20 4 2 x y   (3 x )2  (2 y)2 Từ đó: x  y  x  y d) Chú ý: 36   y  2x     4 1 3x  y     x  y  9 4  2x  y   5  x  y     minD = –7  7  D  x  y   x , y ; 5 NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 maxD = x  , y   SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ ĐẠ Ố FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 §2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN VẤN ĐỀ 1: Giải biện luận bất phương trình dạng ax+b

Ngày đăng: 04/09/2016, 18:04

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w