Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
12
Dung lượng
0,93 MB
Nội dung
Đạisố www.vmathlish.com - CHƯƠNGIV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬCNHẤT MỘT ẨN I BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) bất đẳng thức gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức Tính chất Điều kiện c>0 c 0, c > n nguyên dương Nội dung a ab < 1 a b 1 a>b a b a>b (1) (2a) (2b) (3) (4) (5a) (5b) (6a) (6b) Một số bất đẳng thức thông dụng a) a2 0, a Dấu "=" xảy a = a2 b2 2ab Dấu "=" xảy a = b b) Bất đẳng thức Cô–si: ab ab Dấu "=" xảy a = b Với a, b 0, ta có: Hệ quả: – Nếu x, y > có S = x + y không đổi P = xy lớn x = y – Nếu x, y > có P = x y không đổi S = x + y nhỏ x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x 0, x x, x x x a a x a a>0 x a x a x a a b ab a b www.vmathlish.com Đạisố d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > + ab c ab ; bc a bc ; ca b ca Chứng minh bất đẳng thức Chứng minh BĐT lập luận để khẳng định tính đắn BĐT Để chứng minh BĐT ta thường sử dụng: – Tính chất quan hệ thứ tự số – Tính chất bất đẳng thức – Một số BĐT thông dụng www.vmathlish.com VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh Một số BĐT thường dùng: + A2 + A2 B + A.B với A, B + A2 B AB Chú ý: – Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức Câu Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2 b2 c2 ab bc ca b) a2 b2 ab a b c) a2 b2 c2 2(a b c) d) a2 b2 c2 2(ab bc ca) e) a4 b4 c2 2a(ab2 a c 1) f) g) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc h) a2 b2 c2 d e2 a(b c d e) HD: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 2 2 a2 b2 c2 ab ac 2bc d) (a b c)2 a f) (b c) 2 e) (a b ) (a c) (a 1) g) (a bc)2 (b ca)2 (c ab)2 2 2 a a a a h) b c d e 2 2 2 2 Câu Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức sau: ab a2 b2 a) ab a3 b a b b) ; với a, b c) a4 b4 a3b ab3 d) a4 4a www.vmathlish.com Đạisố www.vmathlish.com e) a3 b3 c3 3abc , với a, b, c > g) 1 a 1 b ; với ab 1 ab f) a b a b b a2 ; với a, b h) (a5 b5 )(a b) (a4 b4 )(a2 b2 ) ; với ab > 2 ab (a b)2 a2 b2 a b (a b)2 ab 0 HD: a) ; b) (a b)(a b)2 c) (a3 b3 )(a b) d) (a 1)2 (a2 2a 3) e) Chú ý: a3 b3 (a b)3 3a2 b 3ab2 BĐT (a b c) a2 b2 c2 (ab bc ca) 2 2 f) (a b ) (a a b b ) g) (b a)2 (ab 1) (1 ab)(1 a2 )(1 b2 ) 0 h) ab(a b)(a3 b3 ) Câu Cho a, b, c, d R Chứng minh a2 b2 2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) a4 b4 c4 d 4abcd b) (a2 1)(b2 1)(c2 1) 8abc c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d 4) 256abcd HD: a) a4 b4 2a2b2 ; c2 d 2c2d ; a2 b2 c2 d 2abcd b) a2 a ; b2 b ; c2 c c) a2 a ; b2 b ; c2 c ; d d Câu Cho a, b, c, d > Chứng minh a a ac (1) Áp dụng chứng minh b bc b bất đẳng thức sau: a b c a) 2 ab bc ca a b c d 2 b) abc bcd cd a d ab ab bc cd da 3 c) abc bcd cd a d ab HD: BĐT (1) (a – b)c < a a ac b b ba a) Sử dụng (1), ta được: ; ; abc ab abc abc bc abc c c cb abc ca abc Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm a a a b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: abcd abc ac b b b c c c Tương tự: ; ; abcd bcd bd abcd cd a ac www.vmathlish.com Đạisố www.vmathlish.com d d d abcd d ab d b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: ab ab abd abcd abc abcd Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Câu Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 ab bc ca (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a b c) 3(a b c ) a2 b2 c2 a b c b) c) (a b c)2 3(ab bc ca) d) a4 b4 c4 abc(a b c) 2 2 HD: (a b)2 (b c)2 (c a)2 a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) b, c) Vận dụng a) d) Sử dụng (1) hai lần Câu Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: a b a2 b b2 a ab(a b) (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 a) ; với a, b, c > a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc 1 1; b) với a, b, c > abc = 3 3 a b b c c a3 1 1 1; c) với a, b, c > abc = a b 1 b c 1 c a 1 HD: (1) (a2 b2 )(a b) a3 b3 abc ab(a b c) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) Câu Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) Từ (1) a3 b3 abc ab(a b c) a) ab bc ca a2 +b2 c2 ab bc abc abc caca ca Tương tự, chứng minh BĐT lại 1 b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > ta có: x y xy 1 Ta có: a b c b c a (a b c) (b c a) b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b) VẤN ĐỀ 2: Phương pháp làm trội Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tổng hữu hạn tích hữu hạn Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1 u2 un Ta biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: Khi đó: uk ak ak 1 S = a1 a2 a2 a3 an an 1 a1 an 1 Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u u n uk Ta biến đổi số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: Khi đó: P= ak ak 1 a a1 a2 a n a2 a3 an 1 an1 Câu Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: 1 1 1 n 1 1 a) b) n 1 n nn n 1 1 1 c) d) . 1 2 2 1.2 2.3 3.4 (n 1).n n 1 HD: a) Ta có: , với k = 1, 2, 3, …, n –1 n k n n 2n 2 k k , với k = 1, 2, 3, …, n b) Ta có: k k k k 1 1 1 , với k = 2, 3, …, n c) Ta có: k k k 1 k k 1 d) Ta có: , với k = 2, 3, …, n (k 1).n k k VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si Bất đẳng thức Cô–si: www.vmathlish.com Đạisố www.vmathlish.com ab ab Dấu "=" xảy a = b 2 Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > có S = x + y không đổi P = xy lớn x = y + Nếu x, y > có P = x y không đổi S = x + y nhỏ x = y + Với a, b 0, ta có: Câu 10 Cho a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a b)(b c)(c a) 8abc bc ca ab a b c ; với a, b, c > a b c ab bc ca abc c) ; với a, b, c > ab bc ca a b c ; với a, b, c > d) bc ca ab b) HD: a) a b ab; b c bc; c a ca đpcm b) bc ca abc2 ca ab a2 bc ab bc ab2c 2 2c , 2 2a , 2 2b đpcm a b ab b c bc c a ac c) Vì a b ab nên bc bc ca ca ab ab ab ; Tương tự: bc ca a b ab ab bc ca ab bc ca a b c (vì ab bc ca a b c ) ab bc ca 2 a b c d) VT = 1 1 1 bc ca ab 1 = (a b) (b c) (c a) 3 3 2 bc ca ab Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b x y z x z y Khi đó, VT = 3 (2 3) 2 y x x z y z Câu 11 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 a) (a3 b3 c3 ) (a b c)2 a b c b) 3(a3 b3 c3 ) (a b c)(a2 b2 c2 ) c) 9(a3 b3 c3 ) (a b c)3 a3 b3 b3 c c a3 HD: a) VT = a2 b2 c2 a c b a c b Chú ý: a3 b3 a2 b2 2ab Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm b a b) 2(a3 b3 c3 ) a2 b b2 a b2c bc2 c2 a ca2 Chú ý: a3 b3 ab(a b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm www.vmathlish.com Đạisố www.vmathlish.com 3 2 c) Áp dụng b) ta có: 9(a b c ) 3(a b c)(a b c ) Dễ chứng minh được: 3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 đpcm 1 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b ab 1 1 1 a) ; với a, b, c > a b c ab bc ca 1 1 1 b) 2 ; với a, b, c > ab bc ca 2a b c a 2b c a b 2c 1 1 1 1 c) Cho a, b, c > thoả Chứng minh: 2a b c a 2b c a b 2c a b c ab bc ca abc d) ; với a, b, c > ab bc ca 2 xy 8yz xz e) Cho x, y, z > thoả x y z 12 Chứng minh: x y y 4z 4z x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 2 pa pb pc a b c 1 1 HD: (1) (a b) Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si a b 1 1 1 ; ; a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b ab b c bc c a ca Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) 1 1 1 c) Áp dụng a) b) ta được: a b c 2a b c a 2b c a b 2c ab 1 11 1 (a b) d) Theo (1): ab ab 4a b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a b c 12 đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c 1 4 Áp dụng (1) ta được: p a p b ( p a) ( p b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm 1 Câu 13 Cho a, b, c > Chứng minh (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b c abc 1 a) (a2 b2 c2 ) (a b c ) ab bc ca x y z b) Cho x, y, z > thoả x y z Tìm GTLN biểu thức: P = x 1 y 1 z 1 c) Cho a, b, c > thoả a b c Tìm GTNN biểu thức: 1 P= a2 2bc b2 2ac c2 2ab Câu 12 Cho a, b > Chứng minh www.vmathlish.com Đạisố www.vmathlish.com d) Cho a, b, c > thoả a b c Chứng minh: a2 b2 c 1 30 ab bc ca 1 1 HD: Ta có: (1) (a b c) Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si a b c 1 a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a 2(a b c) 9(a2 b2 c2 ) 3(a2 b2 c2 ) VT (a b c) 2(a b c) abc Chú ý: (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: x 11 y 11 z 11 1 P= = 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 9 Suy ra: P Ta có: 4 x 1 y 1 z 1 x y z Chú ý: Bài toán tổng quát sau: Cho x, y, z > thoả x y z k số dương cho trước Tìm GTLN biểu thức: P = c) Ta có: P x y z kx ky kz 2 a 2bc b 2ca c 2ab d) VT 2 ab bc ca a b c (a b c)2 1 = 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c 9 30 ab bc ca 1 (a b c ) 1 Chú ý: ab bc ca (a b c)2 3 Câu 14 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN biểu thức sau: x 18 x ; x a) y ; x b) y x 1 x 3x x ; x 1 ;x c) y d) y x 1 2x 1 x3 e) y x ; x 1 1 x x f) y g) y x2 4x ; x0 x h) y x HD: a) Miny = x = x2 ; x0 ; x0 x3 b) Miny = x = www.vmathlish.com Đạisố www.vmathlish.com c) Miny = 6 1 x = d) Miny = 5 f) Miny = e) Miny = x g) Miny = x = h) Miny = 30 x = 3 5 x = x = 27 Câu 15 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y ( x 3)(5 x ); x b) y x (6 x ); x c) y ( x 3)(5 x ); x 5 x 2 a) Maxy = 16 x = 121 c) Maxy = x = e) y (6 x 3)(5 x ); HD: e) Maxy = x = d) y (2 x 5)(5 x ); 30 x5 x ; x0 x2 b) Maxy = x = 625 d) Maxy = x = f) Maxy = x = ( x 2 x ) 2 f) y II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬCNHẤT MỘT ẨN Định nghĩa Bất phương trình dạng ax b (hoặc ax b 0, ax b 0, ax b ), a, b hai số cho, a 0, đgl bất phương trình bậc ẩn Hai qui tắc biến đổi bất phương trình Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta phải đổi dấu hạng tử Qui tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: – Giữ nguyên chiều bất phương trình số dương – Đổi chiều bất phương trình số âm Câu 16 Giải bất phương trình sau: a) 3(2 x 3) 4(2 x ) 13 b) x (3 x+9) x (2 x 1) c) x 17 3(2 x 3) 10( x 2) d) 17( x 5) 41x 15( x 4) e) 4(2 x ) (5 x ) 11 x f) 2(3 x ) 1,5( x 4) x 83 18 ĐS: a) x b) x c) x d) x e) x f) x 73 5 Câu 17 Giải bất phương trình sau: 2x x 5( x 1) 2( x 1) a) b) 1 www.vmathlish.com Đạisố www.vmathlish.com 3( x 1) x 1 3 1 x 2x x 5 33 e) c) d) 3x x2 1 x x 22 x x 5x x 4 14 ĐS: a) x 20 b) x 15 c) x d) x 5 e) x f) x 19 Câu 18 Giải bất phương trình sau: f) a) (2 x 3)(2 x 1) x ( x 2) b) 5( x 1) x(7 x ) x c) ( x 1)2 ( x 3)2 x ( x 1)2 d) (2 x 1)2 (3 x )2 ( x 2)2 3( x 1)2 x x (1,5 x 1) (2 x )2 x 2 f) 10 ĐS: a) x b) x c) x d) x e) x f) x 4 10 Câu 19 Giải bất phương trình sau: 8x 2x 1 a) 8x b) x 3x x x 1 x 5x x x c) d) x 1 3 6 x 2x x e) 15 15 ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm Câu 20 Với giá trị x thì: a) Giá trị biểu thức 3( x 1) không nhỏ giá trị biểu thức 2( x 3) x2 b) Giá trị biểu thức x lớn giá trị biểu thức x e) c) Giá trị biểu thức ( x 1)2 không lớn giá trị biểu thức ( x 3)2 x 2 x nhỏ giá trị biểu thức d) Giá trị biểu thức x 14 ĐS: a) x b) x 2 c) x d) x Câu 21 Giải bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x 1987 x 1988 x 1989 x 1990 x 1 x x x x x a) b) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 x-1987 x 1988 x 1989 x 1990 x 1 x x x x x c) d) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 ĐS: a) x 15 b) x 100 Câu 22 a) Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Tìm số biết lớn 21 nhỏ 36 b) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 300 đến 400, biết số chia cho 3, 4, có số dư 1 10 www.vmathlish.com Đạisố www.vmathlish.com c) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 500 đến 600, biết số chia cho 5, 8, 10 có số dư 2, 5, ĐS: a) 31 b) 301 ( x chia hết cho 3, 4, 5) c) 557 ( x chia hết cho 5, 8, 10) III PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Câu 23 Giải phương trình sau: a) 4 x x b) x x c) x x x x 1 x 5x d) x x x e) f) 5x 2 9 19 1 ĐS: a) S ; b) S 0 c) S d) S e) S f) S 3 7 20 8 Câu 24 Giải phương trình sau: a) x x x b) x 5x 2 x c) x x x d) 3x 7x x 5x 1 b) S 1; c) S 3;1 4 ĐS: a) S 0;1;3 d) S 2 Câu 25 Giải phương trình sau: a) 3x x 2 2x b) 2 x x2 6x x 3 c) x 6 x 36 2 2 x x x 5x f) 4 x x4 2x x 3x 5x x 13 3 ĐS: a) S 2 b) S ;4 c) S d) S ;3 e) S 4 f) S 4 2 5 Câu 26 Giải phương trình sau: a) x x b) x x c) x x d) x2 4x x 3 d) x 5x 10 x e) e) x f) x 3x x 1 1 9 1 ĐS: a) S 2;0 b) S ; c) S ;1 d) S ;1; e) S 1;5 f) S 1; 2 11 5 8 Câu 27 Giải phương trình sau: a) x x b) x x c) x x d) x x x e) x x x f) x x 1 1 ĐS: a) S b) S 4 c) x d) S ; e) S f) S 2 2 11 www.vmathlish.com Đạisố www.vmathlish.com BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNGIV Câu 28 Giải bất phương trình sau: a) x x+12 b) 4 x 15 24 x c) x x x 1 x x 3 2x x 1 x x 3 d) e) f) 1 x (2 x 1) x 2 11 ĐS: a) x 10 b) x c) x d) x e) x f) x 1 11x x Câu 29 a) Tìm tất nghiệm nguyên dương bất phương trình: b) Tìm tất nghiệm nguyên âm bất phương trình: x2 2x x2 x x2 x x 4(2 x ) (5 x ) 11 x c) Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình: 2(3 x ) 1,5( x 4) x ĐS: a) 1;2 b) 3; 2; 1 Câu 30 Giải bất phương trình sau: x x 15 x 2005 x 1995 1987 x 1988 x 27 x 28 x a) b) 4 2005 1995 15 15 16 1999 2000 1 1 c) x 10.110 1.11 2.12 100.110 1.101 2.102 ĐS: a) x 2010 Trừ vế cho b) x 1972 Trừ vế cho 1 1 1 1 c) x 10 Biến đổi , k (100 k ) 100 k 100 k k (k 10) 10 k k 10 Câu 31 Giải phương trình sau: a) x x d) x b) x x 4x 9 4x 5 ĐS: a) S 3 e) 7x2 x 7x 5x 14 b) S 4; c) S 1;19 3 c) x 11 x x x 15 3x 2x2 9x 15 2 d) S ; e) S ; f) S 3 4 7 f) www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng 12 www.vmathlish.com ... hai chữ số có chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Tìm số biết lớn 21 nhỏ 36 b) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 300 đến 400, biết số chia cho 3, 4, có số dư 1 10 www.vmathlish.com Đại số www.vmathlish.com... y II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Định nghĩa Bất phương trình dạng ax b (hoặc ax b 0, ax b 0, ax b ), a, b hai số cho, a 0, đgl bất phương trình bậc ẩn Hai qui tắc biến... c) x d) S ; e) S f) S 2 2 11 www.vmathlish.com Đại số www.vmathlish.com BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG IV Câu 28 Giải bất phương trình sau: a) x x+12 b) 4 x 15 24 x