03 đại số+GT 11 chương III dãy số cấp số

Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com CHƯƠNG III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n =  Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh mệnh đề với n = k + Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số nguyên dương n  p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k  p phải chứng minh mệnh đề với n = k + Câu Chứng minh với n  N*, ta có: n(n  1) n(n  1)(2n  1) a) + + … + n = b) 12  22   n2   n(n  1)  c)    n   d) 1.4  2.7   n(3n  1)  n(n  1)2    n(n  1)(n  2) 1 n     e) 1.2  2.3   n(n  1)  f) 1.2 2.3 n(n  1) n  Câu Chứng minh với n  N*, ta có: 3 a) 2n  2n  (n  3) b) 2n2  2n  1 1 2n  1  2 c)    (n  2) d)  2 n 2n n 2n  1 1 13 1     e)  f)   2 n n 1 n  2n 24 n Câu Chứng minh với n  N*, ta có: (n > 1) a) n3  11n chia hết cho b) n3  3n2  5n chia hết cho c) 7.22 n2  32 n1 chia hết cho d) n3  2n chia hết cho e) 32 n 1  n 2 chia hết cho f) 13n  chia hết cho n(n  3) Câu Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh Câu Dãy số (an) cho sau: a1  2, an1   an với n = 1, 2, … Chứng minh với n  N* ta có: an  cos www.vmathlish.com  2n1 Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com §2 DÃY SỐ Dãy số u : N*  R Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … n u(n) Dãy số tăng, dãy số giảm  (un) dãy số tăng  un+1 > un với  n  N* u  un+1 – un > với nN* n1  với n  N* ( un > 0) un  (un) dãy số giảm  un+1 < un với n  N*  un+1 – un< với  n  N*  Dãy số bị chặn  (un) dãy số bị chặn  (un) dãy số bị chặn  (un) dãy số bị chặn un1 un  với n N* (un > 0)  M  R: un  M, n  N*  m  R: un  m, n  N*  m, M  R: m  un  M, n  N* Câu Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: a) un  2n2  n2  b) un  n  (1)n 2n  c) un  n 1 n2  n  1 (n  1)! d) un     e) un  n  cos2 n f) un   3 2n Câu Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: a) u1  2, un1   un  1 b) u1  15, u2  9, un2  un  un1 c) u1  0, un1  d) u1  1, u2  2, un2  un1  2un un2  Câu Hãy viết số hạng đầu dãy số (un), dự đoán công thức số hạng tổng quát un chứng minh công thức qui nạp: a) u1  1, un1  2un  b) u1  3, un1   un2 c) u1  3, un1  2un d) u1  1, un1  2un  e) u1  1, un1  un  e) u1  a) un  2n1  b) un  n  c) un  3.2n1 d) un  1 e) un  7n  f) un  ĐS: u 1 , u n 1  n 2n1  2n1 Câu Xét tính tăng, giảm dãy số (un) cho bởi: www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 a) un  d) un  2n  3n  n2  n  www.vmathlish.com b) un  n 1 n 5 e) un  n  cos2 n c) un  f) un  n (1) n2 2n n 1 n Câu Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số (un) cho bởi: 2n  a) un  b) un  c) un  n2  n2 n(n  1) d) un  n2  2n n2  n  e) un  n n2  2n  n f) un  (1)n cos  2n §3 CẤP SỐ CỘNG Câu Trong dãy số (un) đây, dãy số cấp số cộng, cho biết số hạng đầu công sai nó: 3n  a) un = 3n – b) un  c) un  n2  3n n d) un  3n e) un  f) un   2 Câu Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết: u  u  u  10 u  u  u  10  u  15 a)  b)  c)  u1  u6  17 u4  u6  26   u14  18  u  u  u  u  u  12 u  u  60 d)  e)  72 15 f)  u1u2u3     u2 u7  75 u4  u12  1170 Câu a) Giữa số 35 đặt thêm số để cấp số cộng b) Giữa số 67 đặt thêm 20 số để cấp số cộng Câu a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293 b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 22 tổng bình phương chúng 66 Câu a) Ba góc tam giác vuông lập thành cấp số cộng Tìm số đo góc b) Số đo góc đa giác lồi có cạnh lập thành cấp số cộng có công sai d = Tìm số đo góc c) Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Tìm số đo góc Câu Chứng minh số a, b, c lập thành cấp số cộng số x, y, z lập thành cấp số cộng, với: a) x  b2  bc  c2 ; y  c2  ca  a2 ; z  a2  ab  b2 b) x  a2  bc; y  b2  ca; z  c2  ab www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 Câu Tìm x để số a, b, c lập thành cấp số cộng, với: a) a  10  3x; b  x  3; c   x www.vmathlish.com b) a  x  1; b  3x  2; c  x  Câu Tìm nghiệm số phương trình: x3  15x  71x  105  , biết nghiệm số phân biệt tạo thành cấp số cộng Câu Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, … Hỏi có hàng? §4 CẤP SỐ NHÂN Câu Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết: u  u  72 u  u  u  65 u  u  90 a)  b)  c)  u1  u7  325 u5  u3  144 u2  u6  240  u  u  u  14 d)   u1.u2 u3  64 u1  u2  u3  21  e)  1     u u u 12   u  u  u  u  30 f)  12 22 32 42  u1  u2  u3  u4  340 Câu a) Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân Câu Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216 Câu a) Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết công bội 3, tổng số số hạng 728 số hạng cuối 486 b) Tìm công bội cấp số nhân có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số hạng 889 Câu a) Tìm góc tứ giác, biết góc lập thành cấp số nhân góc cuối gấp lần góc thứ hai b) Độ dài cạnh ABC lập thành cấp số nhân Chứng minh ABC có hai góc không 600 Câu Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560 Câu Số số hạng cấp số nhân số chẵn Tổng tất số hạng lớn gấp lần tổng số hạng có số lẻ Xác định công bội cấp số 148 Câu Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tổng số hạng đầu , đồng thời, theo thứ tự, chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng Câu Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân Câu 10 Tìm số ba số đầu ba số hạng cấp số nhân, ba số sau ba số hạng cấp số cộng; tổng hai số đầu cuối 32, tổng hai số 24 www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com Câu 11 Tìm số dương a b cho a, a  2b, 2a  b lập thành cấp số cộng  b  1 , ab  5,  a  1 lập thành cấp số nhân Câu 12 Chứng minh số 2 , , lập thành cấp số cộng số x, y, z lập yx y yz thành cấp số nhân BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Câu Tính tổng : S  1.2  2.3   n(n  1) u1  Câu Dãy số (un ) xác định công thức:  với n  u  u   n 1 n Chứng minh dãy số tăng phương pháp quy nạp u 1 Câu Cho dãy số (u n ) xác định bởi: u1  u n 1  n với n  a) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với n  ta có u n  n 1  b) Chứng minh dãy số (u n ) dãy giảm bị chặn Câu Xét tính tăng, giảm dãy số (un ) với: 3n n  a) un  b) un  4n Câu Cho dãy số (un) xác định u1=2 un1  un  với n  Chứng minh un=2 với n n  Có nhận xét dãy số ? Câu Cấp số cộng: a) Tìm nghiệm phương trình: x3 –15x  71x –105  Biết nghiệm tạo thành cấp số cộng b) Cho cấp số cộng biết tổng ba số hạng –6 tổng bình phương chúng 30 Hãy tìm cấp số cộng c) Cho phương trình x –(3m  4) x  (m  1)2  Định m dể phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 1 , , d) Cho số a, b, c thoả mãn tạo thành cấp số cộng Chứng minh ab ac bc a2 , b2 , c tạo thành cấp số cộng e) Nếu số thứ p, thứ q thứ r cấp số cộng a, b, c Chứng minh rằng: (q – r )a  (r – p)b  (p – q)c  f) Cho biết tổng n số hạng cấp số cộng Sn  n(5n –3) Tìm số hạng thứ p cấp số cộng www.vmathlish.com Đại số & Giải tích 11 www.vmathlish.com g) Cho hai cấp số cộng có tổng n số hạng Sn  7n  Tn  4n  Tìm tỉ số u11 v11 số hạng thứ 11 hai cấp số Câu Cấp số nhân: a) Tìm số hạng đầu công sai cấp số nhân, biết số hạng thứ hai 16 tổng ba số hạng đầu 56 b) Một cấp số nhân (un ) có số hạng, biết công bội q  u1  u4  24 Tìm số hạng cấp số nhân Câu Cấp số cộng – Cấp số nhân: a) Các số x  y, x  y, x  y , theo thứ tự lập thành cấp số cộng Đồng thời x  1, y  2, x  y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x y b) Cho số có tổng 28 lập thành cấp số nhân Tìm cấp số nhân biết số thứ giảm ta số lập thành cấp số cộng c) Tìm hai số a b biết ba số: , a  , b theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số 1, a, b theo thứ tự lập thành cấp số nhân d) Ba số có tổng 217 coi ba số hạng liên tiếp CSN, số hạng thứ 2, thứ thứ 44 CSC Hỏi phải lấy số hạng đầu CSC để tổng chúng 280? e) Một CSC CSN có số hạng thứ 5, số hạng thứ hai CSC lớn số hạng thứ CSN 10, số hạng thứ Tìm cấp số ấy? n  5n 1 Câu Cho dãy số (un) với un  n n Tính S10     5 u 1 u2  u10  Câu 10 Cho dãy số (un), kí hiệu tổng n số hạng Sn, xác định Sn  7n  3n a) Tính u1 , u2 , u b) Chứng minh dãy số cấp số cộng xác định số hạng tổng quát www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng www.vmathlish.com ... cấp số cộng Câu Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân Câu 10 Tìm số ba số đầu ba số hạng cấp số. ..  Tìm tỉ số u11 v11 số hạng thứ 11 hai cấp số Câu Cấp số nhân: a) Tìm số hạng đầu công sai cấp số nhân, biết số hạng thứ hai 16 tổng ba số hạng đầu 56 b) Một cấp số nhân (un ) có số hạng, biết... Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân Câu Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216 Câu a) Tìm số hạng đầu cấp số