08 hình học 11 chương III véc tơ trong không gian

Hình học 11 www.vmathlish.com CHƯƠNG III VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN §1 VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN Đònh nghóa phép toán  Đònh nghóa, tính chất, phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng  Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB  BC  AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB  AD  AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: AB  AD  AA '  AC ' + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có: IA  IB  ; OA  OB  2OI + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: GA  GB  GC  0; OA  OB  OC  3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: GA  GB  GC  GD  0; OA  OB  OC  OD  4OG + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a  0)  ! k  R : b  ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý Ta có: MA  k MB; OM  OA  kOB 1 k Sự đồng phẳng ba vectơ  Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , a b không phương Khi đó: a , b , c đồng phẳng  ! m, n  R: c  ma  nb  Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ! m, n, p  R: x  ma  nb  pc Tích vô hướng hai vectơ  Góc hai vectơ không gian: AB u, AC v (u, v ) BAC (00 BAC 1800 )  Tích vô hướng hai vectơ không gian: + Cho u , v  Khi đó: u.v  u v cos(u, v ) + Với u  v  Qui ước: u.v  + u  v  u.v  www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Dựa vào qui tắc phép toán vectơ hệ thức vectơ Câu Cho tứ diện ABCD Gọi E, F trung điểm AB CD, I trung điểm EF a) Chứng minh: IA  IB  IC  ID  b) Chứng minh: MA  MB  MC  MD  MI , với M tuỳ ý c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố đònh (P) cho: MA  MB  MC  MD nhỏ Câu Chứng minh tứ diện bất kì, đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối đồng qui trung điểm chúng (Điểm đồng qui gọi trọng tâm tứ diện) Câu Cho tứ diện ABCD Gọi A, B, C, D điểm chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k (k  1) Chứng minh hai tứ diện ABCD ABCD có trọng tâm VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng  Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: + Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng + Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n  R: c  ma  nb a , b , c đồng phẳng  Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, ta tìm số m, n, p cho: x  ma  nb  pc Câu Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M cho MS  2 MA đoạn BC lấy điểm N cho NB   NC Chứng minh ba vectơ AB, MN , SC đồng phẳng HD: Chứng minh MN  AB  SC 3 Câu Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L trung điểm cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P Q trung điểm NG JH a) Chứng minh ba vectơ MN , FH , PQ đồng phẳng b) Chứng minh ba vectơ IL, JK , AH đồng phẳng HD: a) MN , FH , PQ có giá song song với (ABCD) b) IL, JK , AH có giá song song với (BDG) Câu Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J, K trung điểm AE, EC, CD, BC, BE a) Chứng minh ba vectơ AJ , GI , HK đồng phẳng FM CN   Các đường thẳng vẽ từ M b) Gọi M, N hai điểm AF CE cho FA CE www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com N song song với CF cắt DF EF P Q Chứng minh ba vectơ MN , PQ, CF đồng phẳng Câu Cho hình hộp ABCD.ABCD Gọi M N trung điểm CD DD; G G trọng tâm tứ diện ADMN BCCD Chứng minh đường thẳng GG mặt phẳng (ABBA) song song với HD: Chứng minh GG '   AB  AA '   AB, AA ', GG ' đồng phẳng Câu Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng vectơ d a) Cho d  ma  nb với m n  Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng: i) b, c, d ii) a , c , d b) Cho d  ma  nb  pc với m, n p  Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng: i) a, b , d ii) b , c , d iii) a , c , d HD: Sử dụng phương pháp phản chứng Câu Cho ba vectơ a , b , c khác ba số thực m, n, p  Chứng minh ba vectơ x  ma  nb , y  pb  mc , z  nc  pa đồng phẳng HD: Chứng minh px  ny  mz  Câu 10 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AA '  a, AB  b , AC  c Hãy phân tích vectơ B ' C , BC ' theo vectơ a , b , c HD: a) B ' C  c  a  b b) BC '  a  c  b Câu 11 Cho tứ diện OABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Phân tích vectơ OG theo ba OA, OB, OC b) Gọi D trọng tâm tứ diện OABC Phân tích vectơ OD theo ba vectơ OA, OB, OC D: a) 1 OG   OA  OB  OC  b) OD   OA  OB  OC  Câu 12 Cho hình hộp OABC.DEFG Gọi I tâm hình hộp a) Phân tích hai vectơ OI AG theo ba vectơ OA, OC, OD b) Phân tích vectơ BI theo ba vectơ FE, FG, FI HD: a) OI   OA  OC  OD  , AG  OA  OC  OD Câu 13 Cho hình lập phương ABCD.EFGH b) BI  FE  FG  FI 1 AF  AH  AC  b) Phân tích vectơ AG theo ba vectơ AC, AF, AH HD: b) AG   AF  AH  AC  a) Phân tích vectơ AE theo ba vectơ AC, AF, AH HD: a) AE  VẤN ĐỀ 3: Tích vô hướng hai vectơ không gian Câu 14 Cho hình lập phương ABCD.ABCD a) Xác đònh góc cặp vectơ: AB A ' C ' , AB A ' D ' , AC ' BD b) Tính tích vô hướng cặp vectơ: AB A ' C ' , AB A ' D ' , AC ' BD Câu 15 Cho hình tứ diện ABCD, AB  BD Gọi P Q điểm thuộc đường thẳng AB CD cho PA  kPB, QC  kQD (k  1) Chứng minh AB  PQ www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Vectơ phương đường thẳng: a  VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng:  a//a, b//b  a,b a ',b '  Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u , v )   Khi đó: a,b     180    Nếu a//b a  b a,b Chú ý: 00 a,b 00    1800 900    1800 00 900 Hai đường thẳng vuông góc:  a  b  a,b 900  Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a  b  u.v   Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp: Có thể sử dụng cách sau: Chứng minh góc hai đường thẳng 900 Chứng minh vectơ phương đường thẳng vuông góc với Sử dụng tính chất hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …) Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC ASB BSC CSA Chứng minh SA  BC, SB  AC, SC  AB HD: Chứng minh SA.BC = Câu Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD a) Chứng minh AO vuông góc với CD b) Gọi M trung điểm CD Tính góc AC BM Câu Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c a) CMR đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối diện vuông góc với cạnh b) Tính góc hợp cạnh đối tứ diện HD: b) cos(AC , BM ) HD: b) arccos a2  c b2 ; arccos b2  c a2 ; arccos a2  b2 c2 www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com Câu Cho hình chóp SABCD, có đáy hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB tam giác vuông cân A, M điểm cạnh AD (M  A D) Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q a) Chứng minh MNPQ hình thang vuông b) Đặt AM = x Tính diện tích MNPQ theo a x Câu Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cạnh Chứng minh AC  BD, AB  CD, AD  CB §3 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Đònh nghóa d  (P)  d  a, a  (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b  (P), a  b  O  d  (P)  d  a, d  b Tính chất  Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng a b a  b      (P)  b  a b (P )  a a  (P ), b  (P ) (P)  (Q) (P)  (Q)      a  (Q)  (P) Q) a  ( P )  (P)  a,(Q)  a a  (P) a  ( P )     ba  a  P) b  ( P ) a  b,(P)  b Đònh lí ba đường vuông góc Cho a  (P), b  (P) , a hình chiếu a (P) Khi b  a  b  a Góc đường thẳng mặt phẳng  Nếu d  (P) d,(P ) = 900  Nếu d  (P) d,(P ) = d, d ' với d hình chiếu d (P) Chú ý: 00  d,(P )  900 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com  Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P)  Chứng minh d // a a  (P) * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d  a, ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a  Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc  Sử dụng cách chứng minh biết phần trước Câu Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông tâm O SA  (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC) b) CMR: AH, AK vuông góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng c) CMR: HK  (SAC) Từ suy HK  AI Câu Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA  (ABC) a) Chứng minh: BC  (SAB) b) Gọi AH đường cao SAB Chứng minh: AH  SC Câu Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD a) Chứng minh: SO  (ABCD) b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC CMR: IJ  (SBD) Câu Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: BC  (AID) b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh: AH  (BCD) Câu Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H hình chiếu vuông góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằng: a) BC  (OAH) b) H trực tâm tam giác ABC 1 1    c) 2 OH OA OB OC d) Các góc tam giác ABC nhọn Câu Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh SIJ chứng minh SI  (SCD), SJ  (SAB) b) Gọi H hình chiếu vuông góc S IJ CMR: SH  AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BMSA Tính AM theo a a a a , c) 2 Câu Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC = HD: a) a, a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD a) CMR: SH  (ABCD) b) Chứng minh: AC  SK CK  SD Câu Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D có SD = a a) Chứng minh: SA  (ABCD) tính SA b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com hình chiếu A SC Hãy xác đònh giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK  (SBC), AL  (SCD) c) Tính diện tích tứ giác AKHL 8a 15 Câu Gọi I điểm đường tròn (O;R) CD dây cung (O) qua I Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E điểm đối tâm D đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông S b) SD  CE c) Tam giác SCD vuông Câu 10 Cho MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC a) Chứng minh: CC  (MBD) b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm BCD Câu 11 Cho hình tứ diện ABCD a) Chứng minh rằng: AB  CD  AC2 – AD2 = BC2 – BD2 b) Từ suy tứ diện có cặp cạnh đối vuông góc với cặp cạnh đối lại vuông góc với HD: a) a c) VẤN ĐỀ 2: Tìm thiết diện qua điểm vuông góc với đường thẳng Phương pháp: Tìm đường thẳng cắt vuông góc với đường thẳng cho, mặt phẳng cắt song song (hoặc chứa) với đường thẳng Câu 12 Cho hình chóp SABCD, có đáy hình thang vuông A B với AB BC a, AD 2a; SA  (ABCD) SA = 2a Gọi M điểm cạnh AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB Đặt AM = x (0 < x < a) a) Tìm thiết diện hình chóp với (P) Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a x HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x) Câu 13 Cho tứ diện SABC, có đáy tam giác cạnh a; SA  (ABC) SA = 2a Mặt phẳng (P) qua B vuông góc với SC Tìm thiết diện tứ diện với (P) tính diện tích thiết diện HD: S= a 15 20 Câu 14 Cho tứ diện SABC với ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AB=a SA(ABC) SA=a M điểm tuỳ ý cạnh AB, đặt AM=x (0 < x < a) Gọi (P) mặt phẳng qua M vuông góc với AB a) Tìm thiết diện tứ diện với (P) b) Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm x để diện tích thiết diện có giá trò lớn a HD: b) S = x(a – x); S lớn x = www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com Câu 15 Cho hình tứ diện SABC với ABC tam giác cạnh a, SA  (ABC) SA = a Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng (P) tính diện tích thiết diện trường hợp sau: a) (P) qua S vuông góc với BC b) (P) qua A vuông góc với trung tuyến SI tam giác SBC c) (P) qua trung điểm M SC vuông góc với AB HD: a) a2 b) a 21 49 c) 5a 32 Câu 16 Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) SA = a Vẽ đường cao AH tam giác SAB SH  a) CMR: SB b) Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SB (P) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện HD: 5a2 b) S = 18 VẤN ĐỀ 3: Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: Xác đònh góc đường thẳng a mặt phẳng (P)  Tìm giao điểm O a với (P)  Chon điểm A  a dựng AH  (P) Khi AOH (a,(P )) Câu 17 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O; N trung điểm cạnh SA BC Biết (MN ,(ABCD )) a) Tính MN SO b) Tính góc MN (SBD) HD: a) MN = a 30 a 10 ; SO = 2 b) sin (MN ,(SBD)) SO  (ABCD) Gọi M, 60 Câu 18 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) SA góc giữa: a) SC (ABCD) b) SC (SAB) c) SB (SAC) d) AC (SBC) HD: a) 600 b) arctan c) arcsin d) arcsin a Tính 21 14 Câu 19 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật; SA  (ABCD) Cạnh SC = a hợp với đáy góc  hợp với mặt bên SAB góc  a) Tính SA b) CMR: AB = a cos(   ).cos(   ) HD: a) a.sin Câu 20 Cho hình chóp SABC, có ABC tam giác cân, AB = AC = a, BAC Biết SA, SB, SC hợp với mặt phẳng (ABC) góc  a) CMR: hình chiếu S mp(ABC) tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  a.sin b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC) HD: b) cos  www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com Câu 21 Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy tam giác cạnh a, AA  (ABC) Đường chéo BC mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300 a) Tính AA b) Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến (BAC) c) Gọi N trung điểm cạnh BB Tính góc MN (BAC) a 66 54 c) arcsin 11 55 Câu 22 Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC tam giác vuông cân A; AA  (ABC) Đoạn nối trung điểm M AB trung điểm N BC có độ dài a, MN hợp với đáy góc  mặt bên BCCB góc  a) Tính cạnh đáy cạnh bên lăng trụ theo a  HD: a) a b) b) Chứng minh rằng: cos = a.sin sin HD: a) AB = AC = 2a.cos; BC = 2a cos; AA = www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com §4 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Góc hai mặt phẳng a  (P )    (P ),(Q ) b  (Q) a,b a  (P ), a  c  Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng   (P ),(Q ) b  (Q), b  c Chú ý: 00 a,b 900 (P ),(Q) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q),  = (P ),(Q ) Khi đó: S = S.cos Hai mặt phẳng vuông góc  (P)  (Q)  (P ),(Q ) 900 (P )  a  Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:   (P )  (Q) a  (Q) Tính chất (P)  (Q)  (P)  (Q),(P)  (Q)  c    a  (Q)   A  (P)  a  (P ) a  (P ), a  c  a  A , a  ( Q )  (P )  (Q)  a   (P )  ( R)  a  ( R)  (Q)  ( R) VẤN ĐỀ 1: Góc hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng cách sau:  Tìm hai đường thẳng a, b: a  (P), b  (Q) Khi đó: (P ),(Q ) a  (P ), a  c  Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng   (P ),(Q ) b  (Q), b  c a,b a,b Câu Cho hình chóp SABC, có đáy ABC tam giác vuông cân với BA=BC=a; SA  (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB AC a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SEF) (SBC) 10 www.vmathlish.com Hình học 11 HD: www.vmathlish.com a) (SAC ),(SBC ) = 600 b) cos ((SEF ),(SBC )) 10 Câu Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA  (ABCD) Tính SA theo a để số đo góc hai mặt phẳng (SCB) (SCD) 600 HD: SA = a Câu Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA  (ABCD) SA = a a) Tính góc mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (SCD) HD: a) tan ((SAD ),(SBC )) b) cos ((SBC ),(SCD)) 10 Câu Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD) SA = a Tính góc cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) (ABC) b) (SBD) (ABD) c) (SAB) (SCD) a) 600 HD: c) 300 b) arctan Câu Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB= a a ; SA(ABCD) SO= 3 a) Chứng minh ASC vuông b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) HD: c) 600 Câu Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) SA = a , đáy ABCD hình thang vuông A D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc cặp mặt phẳng: a) (SBC) (ABC) b) (SAB) (SBC) c) (SBC) (SCD) HD: a) 450 b) 600 c) arccos VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P)  (Q), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a  (Q)  Chứng minh (P ),(Q ) 900 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d(Q) với (Q)(P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q)  Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) (R)  (P) 11 www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com  Sử dụng cách chứng minh biết phần trước Câu Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với Câu Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD vuông góc với đáy DBC Vẽ đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD a) Chứng minh: AB  (BCD) b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vuông góc với mp(ADC) c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC CMR: OH (ADC) Câu Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông, SA  (ABCD) a) Chứng minh (SAC)  (SBD) b) Tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) c) Gọi BE, DF hai đường cao SBD CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC) HD: b) 900 Câu 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA (ABCD) Gọi M, N điểm a 3a cạnh BC, DC cho BM= , DN= Chứng minh mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB CC vuông góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB)  (ACC) b) Gọi AH, AK đường cao ABC ABC Chứng minh mặt phẳng (BCCB) (ABC) vuông góc với mặt phẳng (AHK) Câu 12 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông góc với đáy Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh SI  (ABCD), AD  (SAB) b) Tính góc BD mp(SAD) c) Tính góc SD mp(SCI) HD: b) arcsin c) arcsin 10 Câu 13 Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Gọi (P) mặt phẳng qua BC vuông góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho SABC hình chóp có mặt bên SAB, SAC hợp  với đáy ABC hai góc có số đo    Gọi H, I, J hình chiếu vuông góc S BC, AB, AC a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ b) Tìm giá trò lớn SH tìm giá trò  HD: b) SHmax = c bc ;   arctan b Câu 14 Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC)  (BCD) b) Mặt phẳng (ABC)  (ACD) 12 www.vmathlish.com Hình học 11 HD: www.vmathlish.com a) x2 – y2 + b =0 b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = Câu 15 Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) ; M N hai điểm nằm cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y a) Chứng minh điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với MN  (SAM) Từ suy hệ thức liên hệ x y b) Chứng minh điều kiện cần đủ để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) có số đo 300 a(x + y) + xy = a2 HD: a) a2 – a(x + y) + x2 = Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 60 0, cạnh SC = a SC  (ABCD) a) Chứng minh (SBD)  (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA K Tính độ dài IK c) Chứng minh BKD a HD: b) IK  900 từ suy (SAB)  (SAD) VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu đa giác Phương pháp: Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q),  = (P ),(Q ) Khi đó: S = S.cos Câu 17 Cho hình thoi ABCD có đỉnh A mặt phẳng (P), đỉnh khác không (P), BD = a, AC = a Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta hình vuông ABCD a) Tính diện tích ABCD ABCD Suy góc (ABCD) (P) b) Gọi E F giao điểm CB, CD với (P) Tính diện tích tứ giác EFDB EFDB HD: a) 450 3a2 3a b) SEFDB = ; SEFDB = 4 Câu 18 Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a , đáy BC = 3a; BC  (P) Gọi A hình chiếu A (P) Khi ABC vuông A, tính góc (P) (ABC) HD: 300 Câu 19 Cho tam giác ABC cạnh a, nằm mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với a , CE = a nằm bên (P) a) Chứng minh tam giác ADE vuông Tính diện tích tam giác ADE b) Tính góc hai mặt phẳng (ADE) (P) (P) vẽ từ B C lấy đoạn BD = HD: a) 3a b) arccos 3 13 www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com Câu 20 Cho hình chóp SABC có mặt bên hợp với đáy góc  a) Chứng minh hình chiếu S mp(ABC) tâm đường tròn nội tiếp ABC S b) Chứng minh: SSAB + SSBC + SSCA = ABC cos Câu 21 Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi vuông góc Gọi H trực tâm ABC Chứng minh rằng: a) SH  (ABC) b) (SSBC)2 = SABC.SHBC Từ suy ra: (SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 +(SSCA)2 Câu 22 Trong mặt phẳng (P) cho OAB vuông O, AB = 2a, OB = a Trên tia vuông góc với (P) vẽ từ A B bên (P), lấy AA = a, BB = x a) Đònh x để tam giác OAB vuông O b) Tính AB, OA, OB theo a x Chứng tỏ tam giác OAB vuông B Đònh x để tam giác vuông A HD: a) x = b) x = 4a §5 KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a)  MH H hình chiếu M a (P) d ( M ,(P ))  MH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo  Đường thẳng  cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b  Nếu  cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vuông góc chung a, b  Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng VẤN ĐỀ 1: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách 1: Giả sử a  b:  Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a A  Dựng AB  b B  AB đoạn vuông góc chung a b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song 14 www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com  Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a  Chọn M  a, dựng MH  (P) H  Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b B  Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A  AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc  Dựng mặt phẳng (P)  a O  Dựng hình chiếu b b (P)  Dựng OH  b H  Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A  AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH Câu Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC=a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) OA BC b) AI OC HD: a) a 2 b) a 5 Câu Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a, SA(ABCD) SA=a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD b) AC SD HD: a) a 6 b) a 3 Câu Cho tứ diện SABC có SA  (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC  (BHK), HK  (SBC) c) Xác đònh đường vuông góc chung BC SA HD: c) Gọi E = AH  BC Đường vuông góc chung BC SA AE Câu a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC dường vuông góc chung AB CD đường nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD b) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vuông góc chung AB CD AC = BD, AD = BC HD: b) Giả sử BC = a, AD = a, AC = b, BD = b Chứng minh a = a, b = b a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) NP AC b) MN AP Câu Cho hình vuông ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS (ABCD) IS= HD: a) a b) a 15 www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác đònh đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) Câu Cho hình chóp SABCD, có SA  (ABCD) SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) a cách (SAD) khoảng a a a2 HD: a) d(A,(SCD)) = a ; d(B,(SCD)) = b) c) Câu Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) AA = a, đáy ABC tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB  (ACCA) tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) HD: a) a b) a 21 c) a 2 Câu Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA(ABCD) SA=2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) b) M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD) c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự E, F Cho biết AD cách (P) khoảng a , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) diện tích tứ giác BCFE HD: a a) a ; a b) a2 c) Câu Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 600, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mp(ABD) b) Tính khoảng cách AC BD a a a 93 HD: a) AD = ; d(C,(ABD)) = b) 2 31 16 www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com Câu 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD 600 Gọi O giao điểm 3a AC BD Đường thẳng SO  (ABCD) SO = Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE a) Chứng minh (SOF)  (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) 3a 3a HD: b) d(O,(SBC)) = , d(A,(SBC)) = www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng 17 www.vmathlish.com Hình học 11 www.vmathlish.com …………………… …………………… …………………… …………………… …………… ……… …………………… …………………… …………………… …………………… 18 www.vmathlish.com ... tích vectơ AG theo ba vectơ AC, AF, AH HD: b) AG   AF  AH  AC  a) Phân tích vectơ AE theo ba vectơ AC, AF, AH HD: a) AE  VẤN ĐỀ 3: Tích vô hướng hai vectơ không gian Câu 14 Cho hình lập... VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng  Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: + Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng... vectơ a , b , c không đồng phẳng vectơ d a) Cho d  ma  nb với m n  Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng: i) b, c, d ii) a , c , d b) Cho d  ma  nb  pc với m, n p  Chứng minh ba vectơ