TỔ HỢP – XÁC SUẤT BÀI 1: QUY TẮC ĐẾM HAI QUY TẮC ĐẾM 1) Quy tắc cộng Nếu công việc A thực cách khác nhau: Cách thứ cho m kết cách thứ hai cho n kết Khi việc thực công việc cho m+n kết 2) Quy tắc nhân Nếu công việc A thực theo hai giai đoạn liên tiếp nhau: Giai đoạn có m cách thực giai đoạn có n cách thực Khi có m.n cách khác để thực tồn cơng việc 1) CÁC BÀI TOÁN DÙNG QUY TẮC ĐẾM Trên kệ sách có 12 sách tham khảo Tốn 11 sách tham khảo Lý 11 Hỏi học sinh có { 18} cách chọn hai loại sách nói 2) Từ TP Hồ Chí Minh đến TP Nha Trang tơ, tàu hoả, hay tàu thuỷ Mỗi ngày có chuyến tơ, có chuyến tàu hoả chuyến tàu thuỷ Hỏi có lựa chọn để từ TP Hồ Chí { 13} Minh đến Nha Trang? 3) Một lớp học có 40 học sinh Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban điều hành lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thủ quỹ Hỏi có cách chọn biết học sinh làm nhiệm vụ { 58280} 4) 5) Có số tự nhiên gồm chữ số từ chữ số -> 9? Có số tự nhiên gồm chữ số khác từ -> 9? 6) Từ chữ số 1, 5, 6, lập số tự nhiên có chữ số? 7) Cho số 1, 2, 3, 4, 5, Có thể tạo số gồm chữ số khác nhau? 8) Có số tự nhiên có chữ số lấy từ tập { 360} A = { 1;2;3;4;5;6} cho: a) Các chữ số đôi khác nhau? 9) { 256} b) Các chữ số đôi khác chữ số đầu lớn 3? Với số 0, ,2, 3, 4, lập bao nhiêu: a) Số lẻ gồm chữ số khác nhau? { 6!} { 360} { 144} { 156} 10) b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác thành lập từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 { 1260} { 625} 11) Có số tự nhiên khác nhau, bé 10 000 tạo từ chữ số 0,1,2,3,4 { 819} 12) 13) Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên bé 1000 Có tất số thành lập từ chữ số: 2,4,6,8 nếu: a) Số có chữ số khác {24} b) Số lớn 200 nhỏ 600 {32} 14) Có số lẻ khoảng (2000;3000) tạo nên từ chữ số 1,2,3,4,5,6 chữ số khác đơi một? {36} 15) Một lớp học có 20 học sinh nam 15 học sinh nữ a) Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn học sinh nam hay nữ dự trại hè trường Hỏi có cách chọn? b) Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn học sinh nam học sinh nữ dự trại hè trường bạn Có bao { 300} 16) nhiêu cách chọn? Trên giá sách có 14 sách, có sách tốn, sách văn sách ngoại { 63} ngữ Hỏi có cách chọn sách khác thể loại giá sách? BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP CÁC CƠNG THỨC 1) Hốn vị: • Cho tập A gồm n phần tử Số cách xếp thứ tự n phần tử cho A gọi hoán vị n phần tử Pn = n! • Cơng thức: 2) Chỉnh hợp: • Cho tập A gồm n phần tử Mỗi cách chọn k phần tử A xếp theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Ank = n! (n − k )! • Cơng thức: 3) Tổ hợp: • Cho tập A gồm n phần tử Mỗi cách chọn k phần tử A khơng tính thứ tự gọi tổ hợp chập k n phần tử Cnk = n! k !(n − k )! • Công thức: Chú ý Khi cần xếp phần tử theo thứ tự: Dủng chỉnh hợp hay hoán vị Khi chọn phần tử không phân biệt thứ tự: Dùng tổ hợp DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM SỐ CƠNG VIỆC 1) Trong đua xe đạp, có 30 xe đạp xuất phát Hỏi có khả xếp loại: a) Ba xe đạp nhất, nhì, ba? b) Ba xe đạp đích đầu tiên? Một tổ học sinh gồm 14 học sinh;8 nam nữ GVCN chọn học sinh để trực thư viện Hỏi có cách chọn nếu: a) Chọn học sinh {1001} b) Trong học sinh chọn có học sinh nữ {420} c) Trong học sinh chọn có học sinh nữ {595} Một đội văn nghệ có 20 người: 12 nam nữ Hỏi có cách chọn người có nam nữ? {13816} Một hộp đựng bi đỏ, bi vàng bi trắng Người ta chọn viên bị từ hộp Hỏi có cách lựa chọn để số bi lấy khơng có đủ màu? {645} Một nhóm học sinh có em nam em nữ Người ta cần chọn em nhóm tham gia đồng diễn 2) 3) 4) 5) { 126} thể dục Trong em chọn u cầu khơng có q em nữ Hỏi có cách chọn? Một tổ môn trường có 10 giáo viên nam 15 giáo viên nữ Có cách thành lập 6) { 96460} hội đồng gồm ủy viên tổ mơn, số ủy viên nam số ủy viên nữ? Có bi xanh, bi đỏ, bi vàng có kích thước khác Chọn bi 7) { C C } a) Số cách chọn bi đỏ 13 { 3045} b) Số cách chọn bi đỏ bi xanh Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hồng xem đôi khác nhau) người ta muốn chọn bó gồm bơng 8) { 1848} a) b) Có cách chọn bó hoa có bơng hồng đỏ? Có cách chọn bó hoa có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ? { 150} (DH QGHCM-2000) Cho đa giác lồi có đỉnh 9) {C a) Có đường chéo? − 5} b) Cứ đường chéo cắt tạo thành giao điểm Tính số giao điểm đường chéo này, biết {C } c) khơng có đường chéo chúng đồng quy? Đa giác lồi có số cạnh số đường chéo nhau? {5} 10) 11) Tìm số cạnh đa giác lồi biết số đường chéo đa giác gấp lần số cạnh đa giác {11} Giáo viên chủ nhiệm muốn chia 10 học sinh thành nhóm, nhóm gồm học sinh làm cơng tác xã hội, nhóm gồm học sinh làm vệ sinh nhóm gồm học sinh giữ trật tự Hỏi có cách chia? {2520} 12) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ { 207900} 13) a) b) c) d) 14) Một tổ học sinh có nam nữ xếp thành hàng dọc { 10!} Có cách xếp khác nhau? { 2800} Có cách xếp cho khơng có học sinh giới tính đứng cạnh nhau? Nam sinh ngồi gần nữ sinh ngồi gần nhau? Chỉ có nữ sinh ngồi gần nhau? Có cách chia đồ vật đôi khác cho người cho có người đồ vật hai người lại, người đồ vật? { 3.C C } DẠNG 2: BÀI TỐN LẬP SỐ • 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) Chọn số Có số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? {136080} Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhau? {420} Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 người ta lập số tự nhiên gồm chữ số khác Hỏi có số vậy? Tìm tổng số tự nhiên vừa tìm được? {120;46620} Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 {3024} Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số có chữ số bé 345 {50} Từ chữ số 1,2,5,7,8 có cách lập số có chữ số nhỏ 278? {20} Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600 000? {36960} { 2.5.A + 3.4 A84 } { 18} 8) 9) Có số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, biết tổng chữ số 8? Cho chữ số 1,2,3,4,5 Có số có chữ số khác chia hết cho 3? {24} • Chọn vị trí 1) Với chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Ta lập số tự nhiên gồm chữ số khác thiết phải có chữ số 4? {42 000} 2) Từ chữ số 0,1,2,3,4 lập số tự nhiên có chữ số, số có mặt lần số khác lần {720} 3) Có thể lập số gồm chữ số từ chữ số 1,2,3,4,5,6 chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? (ĐH Sư phạm – 2000) {10080} 4) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có chữ số phân biệt mà chữ số { 6!− 2.5!} 5) khơng đứng liền Có số tự nhiên gồm chữ số đôi (chữ số phải khác 0), có mặt chữ số { 5.A } khơng có mặt chữ số 1? Pn , Ank , Cnk DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA Điều kiện xác định biểu thức Pn , Ank , Cnk k , n ∈ N n ≥1 k ≤n m !− ( m − 1)! = ( m + 1)! 1) { 2;3} { 1; 2} 3Px = A3x 2) C x2+1 + 2C x2+ + 2C x2+3 + C x2+ = 149 3) {5} 2C x +1 + A < 30 x 4) {2} 2 A + 5C = 90 5 A − 2C = 80 y x y x 5) 6) y x y x Cxy+1 Cxy +1 Cxy −1 = = { 5; 2} { 8;3} Cnn+−21 + Cnn+ > An { n ≥ 2} An4+ 15 < ( n + ) ! (n − 1)! { 3; 4;5} 7) BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1a n −1b + + Cnk a n− k b k + + Cnnb n n = ∑ Cnk a n −k b k k =0 Với • • Cnk a n −k b k số hạng tổng quát thứ k + Các tính chất: Chú ý: a ) Cnk = Cnn−k b) Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk 2n = (1 + 1) n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn DẠNG 1: DÙNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 1) Chứng minh đẳng thức sau: a ) C20n + C21n + + C22nn = 2 n b) C20n + C22n + C24n + + C22nn = 22 n −1 c) C21n + C23n + C25n + + C22nn −1 = 22 n −1 d ) Cn0 + 6Cn1 + 62 Cn2 + + 6n Cnn = n 2) Tính tổng sau: 2015 a) S1 = C 2015 + C 2015 + C 2015 + + C 2015 b) S = 2n Cn0 + 2n−2Cn2 + 2n−4Cn4 + + 22Cnn−2 + Cnn (n chẵ n) 3) Tìm số ngun dương n thoả hệ thức sau: a ) Cn0 + 2Cn1 + 4Cn2 + + n Cnn = 243 {5} b) C21n + C23n + + C22nn −1 = 2048 ( x − 2) 4) 100 = a0 + a1 x + a x + + a100 x100 Cho a97 { −1293600} S = a0 + a1 + + a100 { 1} a) Tính b) Tính {2 } 100 A = a0 + 4a1 + 16a2 + + a100 4100 c) Tính 5) Cho khai ( 1+ 2x) n = a0 + a1 x + + an x n triển 1 a0 + a1 + + n an = 4096 2 , Tìm n? n số nguyên dương {12} DẠNG 2: XÁC ĐỊNH HỆ SỐ CỦA MỘT HẠNG TỬ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC (1 + x)5 ; (1 − x) ; (1 − x)8 ; (3 + x) 20 ; ( x − ) 24 ; ( x + x ) n ( x + y )13 x 1) Khai triển: ; 11 (1 + x) x 2) Tìm hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức Newton {330} 19 (2 − x) x 3) Tìm hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức Newton 20 2 +x ÷ x x10 4) Tìm hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức Newton {125 970} 17 x y (3x + y ) 5) Tìm hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức Newton 2 ( x + 1)( x − 1) 6) Khai triển x (2 + x)(1 − )8 x 7) Tìm hệ số số hạng chứa khai triển (1 + ax)(1 − x) x3 8) Tìm a để khai triển có hệ số số hạng chứa 405 15 3 x− ÷ , x>0 x 9) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức n 1 3 x+ ÷ { 240} An2 x 10) Tính , biết sơ hạng thứ khai triển không phụ thuộc vào x n P ( x ) = + x ÷ x x8 11) Tìm hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức Newton Biết n +1 n { 495} Cn + − Cn + = 7( n + 3) (A-2003) ... triển nhị thức Newton 20 2 +x ÷ x x10 4) Tìm hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức Newton {125 970} 17 x y (3x + y ) 5) Tìm hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức Newton 2 ( x + 1)(... TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC (1 + x)5 ; (1 − x) ; (1 − x)8 ; (3 + x) 20 ; ( x − ) 24 ; ( x + x ) n ( x + y )13 x 1) Khai triển: ; 11 (1 + x) x 2) Tìm hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức Newton... 8;3} Cnn+−21 + Cnn+ > An { n ≥ 2} An4+ 15 < ( n + ) ! (n − 1)! { 3; 4;5} 7) BÀI 3: NHỊ THỨC NEWTON ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1a n −1b + + Cnk a n− k b k + + Cnnb n n = ∑ Cnk a n −k b k k =0