Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trong phần tổ hợp xác suất ở trường THPT triệu sơn 2

MỤC LỤC Trang I Mở đầu .2 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho em theo định hướng phát giải vấn đề 2.3.2 Thường xuyên hướng dẫn học sinh thực Tương tự hóa, Khái quát hóa để tạo toán .8 2.3.3 Rèn luyện cho học sinh thực phân chia thành trường hợp nhỏ để dễ thực giải toán .11 2.3.4 Ln linh hoạt giải tốn, đơi sử dụng phương pháp thủ cơng .13 2.3.5 Khuyến khích học sinh sáng tạo giải toán .15 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 17 III Kết luận, kiến nghị 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 18 Tài liệu tham khảo .19 I Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ quan trọng việc nâng cao chất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài cho nhà trường nói riêng, cho địa phương nói chung Bồi dưỡng học sinh giỏi cơng việc khó khăn lâu dài, địi hỏi nhiều cơng sức thầy trò Trong năm trước đây, kết thi học sinh giỏi Trường THPT Triệu Sơn thấp Tuy nhiên, năm gần đây, với nỗ lực thầy trò kết kỳ thi học sinh giỏi nhà trường đạt thành công định Phần Tổ hợp - Xác xuất chương trình tốn học phổ thơng phần khó em học sinh Các toán loại mang tính tổng hợp khái qt hóa cao Vì nhiều học sinh học đến phần thường ngại, say mê, sáng tạo giảm Những năm đầu dạy đội tuyển học sinh giỏi trường, thân tơi gặp nhiều khó khăn việc hướng dẫn học sinh giải toán phần Để giúp học sinh khắc phục tình trạng trên, giúp cho em có say mê, tư sáng tạo việc học phần Tổ hợp - Xác xuất Tôi đọc tài liệu, nghiên cứu, phân tích, cải tiến cách dạy, tìm tịi thêm cơng thức khác, hướng dẫn em tự tìm tịi, tự phát triển công thức dựa công thức có, tập để trang bị cho em lượng kiến thức để em vận dụng làm tập cách khoa học hơn, sáng tạo Tạo hứng thú học tập đồng thời giúp em rèn luyện phương pháp giải tập loại tập mà vận dụng cách tư cho loại tập khác Trong khuôn khổ đề tài “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi số nội dung phần Tổ hợp - Xác suất Trường THPT Triệu Sơn 2” nêu số phương pháp thường dùng để em giải tốn cách khoa học hơn, có sở có tính sáng tạo Từ để em củng cố kiến thức, rèn luyện khả nghiên cứu khoa học, đồng thời trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi Học sinh giỏi năm học 2017-2018 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm tìm phương pháp dạy học phù hợp dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi số nội dung phần Tổ hợp - Xác suất Trường THPT Triệu Sơn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn Trường THPT Triệu Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu Tổ hợp, Xác xuất, Phương pháp dạy học mơn Tốn, có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học đội tuyển HSG mơn Tốn nói chung phần Tổ hợp - Xác suất nói riêng Trường THPT Triệu Sơn Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi hiệu việc vận dụng dạy học số nội dung phần Tổ hợp Xác suất vào đội tuyển học sinh giỏi Toán Trường THPT Triệu Sơn II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Quy tắc cộng Giả sử cơng việc thực theo phương án A phương án B Có n cách thực phương án A m cách thực phương án B Khi cơng việc thực n + m cách Quy tắc nhân Giả sử cơng việc bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A làm theo n cách Với cách thực cơng đoạn A cơng đoạn B thực theo m cách Khi cơng việc thực theo nm cách Hoán vị Cho tập hợp A có n ( n ≥ ) phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập A (gọi tắt hoán vị A) Số hốn vị tập hợp có n phần tử Pn =n!=n(n-1)(n-2) Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k A) Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n ) là: A kn =n(n-1)(n-2) (n-k+1) Tổ hợp Cho tập A có n phần tử số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A (gọi tắt tổ hợp chập k A) Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n ) C kn = A kn k! = n(n-1)(n-2) (n-k+1) k! Tính chất: Ckn = Cnn −k , Ckn +1 = C nk + C nk −1 Công thức nhị thức Niu – tơn Công thức nhị thức Niu – tơn (gọi tắt nhị thức Niu – tơn) ( a + b) n n −1 = C a + C a b + + C a n n n k n n −k n b + + C b = ∑ C kn a n −k b k k n n n k =0 (quy ước a = b = 1) Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử) thí nghiệm hay hành động mà: -Kết khơng đốn trước; -Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử Phép thử thường kí hiệu chữ T Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu chữ Ω (đọc ô-mê-ga) Biến cố Biến cố A liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay không xảy A tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy ra, gọi kết thuận lợi cho A tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu ΩA Khi người ta nói biến cố A mơ tả tập ΩA -Biến cố chắn biến cố xảy thực phép thử T Kí hiệu Ω Biến cố khơng thể biến cố không xảy phép thử thực Kí hiệu ∅ Xác suất biến cố Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu Ω tập hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan với phép thử T ΩA tập hợp kết thuận lợi cho A xác suất A số, kí hiệu P(A), 0 xác định công thức P(A) = ΩA Ω 10 Biến cố hợp Cho hai biến cố A B Biến cố “A B xảy ra”, kí hiệu A∪B, gọi hợp hai biến cố A B Nếu ΩA ΩB tập hợp kết thuận lợi cho A B tập hợp kết thuận lợi cho A∪B ΩA∪ ΩB 11 Biến cố xung khắc Cho hai biến cố A B Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố không xảy 12 Quy tắc cộng xác suất Nếu hai biến cố A B xung khắc xác suất để A B xảy P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 13 biến cố đối Cho A biến cố Khi biến cố “Khơng xảy A”, kí hiệu A , gọi biến cố đối A Xác suất biến cố đối A P(A) = − P(A) 14 Biến cố giao Cho hai biến cố A B Biến cố “Cả A B xảy ra” , kí hiệu AB, gọi giao hai biến cố A B 15 Biến cố độc lập Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố 16 Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A B độc lập với P(AB) = P(A)P(B) [3] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy học phần Tổ hợp - Xác xuất đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn Trường THPT Triệu Sơn năm trước thường gặp nhiều khó khăn Nhiều học sinh học đến phần cảm thấy rắc rối dẫn đến ngại Một số em gặp toán mà em chưa tìm hướng giải em bỏ ngay, khơng có tính kiên trì tìm tịi, ỷ lại, chờ thầy giáo, giáo chữa Những năm đầu dạy đội tuyển học sinh giỏi trường, thân tơi gặp nhiều khó khăn việc hướng dẫn học sinh giải toán phần 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Qua nhiều năm phụ trách đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn trường THPT Triệu Sơn Tơi nghiên cứu, tìm tịi đưa giải pháp để khắc phục vấn đề nêu 2.3.1 Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho em theo định hướng phát giải vấn đề Hướng dẫn học sinh tìm hiểu tốn, tìm tịi lời giải tốn, thực lời giải mà khai thác toán [2] Trong trình học sinh suy nghĩ tìm hướng giải, giáo viên đưa gợi ý để học sinh phát lời giải theo định hướng phát giải vấn đề [1] Ví dụ Hướng dẫn học sinh giải tốn sau Bài tốn 1: Có 10 bạn nam, bạn nữ Có cách xếp 13 bạn theo hàng dọc mà khơng có nữ đứng kề Khi gặp toán nhiều học sinh gặp khó khăn Giáo viên có gợi ý cho học sinh với gợi ý sau: Đây thuộc vào loại tốn gì? (Bài tốn đếm số cách xếp người) Nếu bỏ kiện “khơng có nữ đứng kề nhau” giải nào? (Đáp số 13!) Có thể giải số tốn phụ dễ sau: Bài tốn 1.1: Có bạn nam, bạn nữ Có cách xếp bạn theo hàng ngang mà khơng có nữ đứng kề Giáo viên có gợi ý cho học sinh với gợi ý sau Bài toán 1.1: - Khi xếp, đổi chỗ bạn nữ có cách khơng? (có) - Em liệt kê số phương án khơng? (Nam1-Nữ1-Nam2Nữ2-Nam3; Nữ1-Nam1-Nữ2-Nam2-Nam3; … có 72 cách vậy) Bài tốn 1.2: Có bạn nam, bạn nữ Có cách xếp bạn theo hàng ngang mà nữ đứng kề Giáo viên có gợi ý cho học sinh với gợi ý sau Bài toán 1.2: - Khi xếp, đổi chỗ bạn nữ có cách khơng? (có) - Em liệt kê số phương án khơng? (Nam1-Nữ1-Nữ2Nam2-Nam3; Nữ1-Nữ2-Nam1-Nam2-Nam3; … có 48 cách vậy) - Đáp số Bài toán 1.2 gì? (Đáp số 4! × 2=48) - Qua Bài tốn 1.2 có gợi ý đến Bài tốn 1.1 (Tính cách bỏ qua điều kiện khơng có nữ đứng kề trừ cách có điều kiện nữ đứng kề nhau) - Đáp số Bài tốn 1.1 gì? (Đáp số 5!-48=72) Giáo viên quay lại gợi ý cho học sinh Bài tốn 1: Có thể áp dụng cách giải Bài toán 1.2 cho Bài toán khơng? (có khó hơn) - Có thể học sinh đưa cách giải Bài toán sau: Số cách xếp 13 bạn (bỏ qua điều kiện nữ đứng kề nhau) là: 13! Tính số cách xếp không thỏa mãn điều kiện (nữ đứng kề nhau): Trường hợp 1: Ba nữ đứng kề 11! × 3!= (coi bạn nữ bạn xếp chung với 10 bạn nam, sau hốn vị bạn nữ) Trường hợp 2: Hai nữ đứng kề : (12! × 2!) × C32 Vậy cách thỏa mãn điều kiện 13! - 11! × 3! - (12! × 2!) × C32 Giáo viên phân tích cho học sinh thấy cách giải lằng nhằng, cách giải sai có số trường hợp trùng Giáo viên hỏi học sinh tìm cách giải khác khơng? Giáo viên Hướng dẫn học sinh tìm cách giải khác: Cách giải Bài tốn 1.2 Xếp 10 HS nam trước có 10! Cách Đưa HS nữ vào 11 vị trí mà 10 bạn nam tạo ra: C11 Vậy số cách thực 10! × A11 =3.592.512.000 cách Ví dụ 2: Hướng dẫn học sinh giải tốn sau Bài tốn Tính S = C1n + 2C2n + 3C3n + + (n − 1)C nn −1 + nC nn thể giải số toán phụ dễ sau: Bài tốn 2.1: Tính A = C0n + C1n + C2n + C3n + + Cnn −1 + C nn (n ∈ N* ) Có Với tốn học sinh dễ dàng tìm cách giải sau: Xét khai triển (1 + x) n = C0n + C1n x + Cn2 x + + C nn −1x n −1 + C nn x n (n ∈ N* ) Thay x = ta được: 2n = C0n + C1n + C2n + C3n + + Cnn −1 + Cnn Sau Giáo viên gợi ý cơng thức: Ckn = Cnn −k học sinh Lúc Học sinh thấy C1n = Cnn −1 (0 ≤ k ≤ n,k ∈ N,n ∈ N* ) cho 2C2n = 2C nn −2 3C3n = 3Cnn −3 (n − 1)C nn −1 = (n − 1)C1n nC nn = nC0n Cộng vế với vế ta được: S = Cnn −1 + 2Cnn −2 + 3C nn −3 + + (n − 1)C1n + nC0n Từ ta có: 2S = n(C0n + C1n + C 2n + C3n + + C nn −1 + C nn ) Do đó: 2S = n.2n Hay S = C1n + 2C2n + 3C3n + + (n − 1)C nn −1 + nC nn = n.2n −1 Giáo viên hướng dẫn HS giải theo Cách sau đây: Cách 2: Áp dụng công thức: kCkn = nC kn −−11 (k ≤ n;k,n ∈ N* ) Ta có: C1n = nC0n −1 2C2n = nC1n −1 3C3n = nCn2 −1 nCnn = nC nn −−11 Cộng vế với vế ta được: S = n(C0n −1 + C1n −1 + C2n −1 + + Cnn −−11 ) Xét khai triển (1 + x) n −1 = C0n −1 + C1n −1x + C 2n −1x + + C nn −−11x n −1 (n ∈ N* ) Thay x = ta được: 2n −1 = C0n −1 + C1n −1 + C2n −1 + + C nn −−11 Do đó: S = n.2n −1 Giáo viên hướng dẫn HS dùng đạo hàm để giải Cách Xét khai triển (1 + x) n = C0n + C1n x + C2n x + C3n x + + C nn x n (n ∈ N* ) (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta được: n(1 + x) n −1 = C1n + 2xC2n + 3x 2C3n + + n.x n −1Cnn Thay x = ta có S = n.2n −1 Nhận xét: Khi học sinh học đạo hàm việc dùng đạo hàm để giải toán nhanh cách giải phần trước 2.3.2 Thường xuyên hướng dẫn học sinh thực Tương tự hóa, Khái quát hóa để tạo tốn Có nhiều tốn, sau giải xong ta thực Tương tự hóa, Khái quát hóa để tạo tốn Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh giải toán sau Bài toán Chứng minh: C1n + 2.2C2n + 3.22 C3n + 4.23 C 4n + + n.2n −1 C nn = n.3n −1 (n ∈ N* ) Đối với học sinh Áp dụng công thức: kCkn = nC kn −−11 (k ≤ n;k,n ∈ N* ) Để có: C1n = nC0n −1 ; 2.2C2n = 2.nC1n −1 ; 2n −1.nCnn = 2n −1.nC nn −−11 Cộng vế với vế ta được: S = n(C0n −1 + 2C1n −1 + 22 C2n −1 + + 2n −1 Cnn −−11 ) Xét khai triển (1 + x) n −1 = C0n −1 + C1n −1x + C 2n −1x + + C nn −−11x n −1 (n ∈ N* ) Thay x = ta được: 3n −1 = C0n −1 + 2C1n −1 + 22 C2n −1 + + 2n −1 Cnn −−11 Do đó: S = n.3n −1 Hay C1n + 2.2Cn2 + 3.22 C3n + 4.23 C 4n + + n.2 n −1 Cnn = n.3n −1 điều phải chứng minh Giáo viên làm cho học sinh hiểu rõ: Nếu ví dụ ta thay x số tự nhiên khác lại có tốn Từ giáo viên cho học sinh tổng quát thành toán: Bài tâp tổng quát: Chứng minh: C1n + 2.aC2n + 3.a 2C3n + 4.a 3C4n + + n.a n −1Cnn = n.(1 + a) n −1 (a,n ∈ N* ) Thơng qua ví dụ giáo viên làm cho học sinh thấy rõ, từ tập suy nghĩ, phát triển, mở rộng tập từ giúp cho học sinh tập làm quen với khả tư duy, sáng tạo học toán Giáo viên u cầu học sinh nhà tự tìm tịi tập khác từ ví dụ tìm tập tổng qt Ví dụ 2: Hướng dẫn học sinh giải toán sau Bài toán Cho n số tự nhiên n ≥ Chứng minh đẳng thức sau: 1 n −1 2n +1 − n Cn + C n + C n + Cn + + C n + Cn = n n +1 n +1 Đối với Giáo viên hướng dẫn học sinh Áp dụng công thức (k + 1)C kn ++11 = (n + 1)C kn (k ≤ n;k,n ∈ N* ) 1 Ckn = C kn ++11 Do đó: k +1 n +1 1 C0n = C n +1 ; n +1 1 Cn = Cn2 +1 ; n +1 Cn = C3n +1 n +1 1 Cnn = Cnn ++11 n +1 n +1 Để có Cộng vế với vế ta được: 1 1 1 C0n + C1n + C 2n + C3n + + C nn −1 + C nn = (C1n +1 + C 2n +1 + C3n +1 + + Cnn ++11 ) n n +1 n +1 Xét khai triển (1 + x) n +1 = C0n +1 + C1n +1x + Cn2 +1x + + Cnn ++11x n +1 (n ∈ N* ) (1) Thay x = ta được: (1 + 1) n +1 = C0n +1 + C1n +1 + C2n +1 + + Cnn ++11 1 n −1 2n +1 − n Cn = Do đó: C + C n + Cn + Cn + + Cn + n n +1 n +1 điều phải chứng minh Giáo viên gợi ý thêm khai triển (1) ví dụ ta thay x = 2; x = kết nào? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành toán Từ cho học sinh phát triển thành tập tổng quát với x = a (a ∈ N* ) n Ví dụ 3: Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo định hướng Tương tự hóa giải tốn sau Bài toán Chứng minh: 12 C1n + 22 C 2n + 32 C3n + + (n − 1) C nn −1 + n 2Cnn = n(n + 1).2 n −2 (n ≥ 2;n ∈ N) Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo định hướng Tương tự hóa Đặt: S = 12 C1n + 22 Cn2 + 32 C3n + + (n − 1) C nn −1 + n 2C nn Sử dụng công thức: k 2Ckn = n(n − 1)Cnk −−22 + nC nk −−11 (1) (k ≥ 2;k ≤ n;k,n ∈ N ) C1n = nC0n −1 ta có: 22 C2n = n(n − 1)C0n −2 + nC1n −1 32 C3n = n(n − 1)C1n −2 + nC 2n −1 (n − 1) Cnn −1 = n(n − 1)C nn −−32 + nC nn −−12 n 2Cnn = n(n − 1)Cnn −−22 + nC nn −−11 Cộng vế với vế ta được: S = n(n − 1)(C0n −2 + C1n −2 + C n2 −2 + + C nn −−21 ) + n(C 0n −1 + C1n −1 + C n2 −1 + + C nn −−11 ) Xét khai triển: (1 + x) n −2 = C0n −2 + C1n −2 x + C 2n −2 x + + C nn −−22 x n −2 (n ∈ N* ) (1 + x) n −1 = C0n −1 + C1n −1x + C 2n −1x + + C nn −−11x n −1 (n ∈ N* ) Thay x = ta được: S = n(n − 1)2n −2 + n.2n −1 = n(n + 1)2 n −2 dẫn đến điều phải chứng minh 10 2.3.3 Rèn luyện cho học sinh thực phân chia thành trường hợp nhỏ để dễ thực giải toán Trong trình giải tốn đếm, Giáo viên hướng dẫn học sinh thực phân chia thành trường hợp nhỏ để dễ thực giải tốn Ví dụ Hướng dẫn học sinh giải tốn sau Bài tốn Có số tự nhiên gồm chữ số khác hai chữ số kề không số lẻ? (Đề thi HSG tỉnh 2014-2015) Đối với toán này, giáo viên gợi ý học sinh phân trường hợp nhỏ Khi học sinh dễ nhân thấy có trường hợp nhỏ là: A có chữ số lẻ, A có chữ số lẻ, A có chữ số lẻ Trong trường hợp lại có trường hợp nhỏ khác Từ Học sinh giải tốn sau: Gọi số A = a1a 2a 3a 4a 5a Từ giả thiết suy A có hoặc chữ số lẻ TH1: A có chữ số lẻ +) a1 lẻ: Số số A C15 P5 = 600 +) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Số số A 4.(C15C44 )P5 = 2400 Tổng có: 600 + 2400 = 3000 số số A có chữ số lẻ TH2: A có chữ số lẻ +) a1 lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn a chẵn Vậy số số A 5.5.(C14C34 )P4 = 9600 +) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Có cách chọn hai vị trí khơng kề hai số lẻ a a a a a Vậy số số A 4.(C52 6.P2 ).A 34 = 11520 Tổng có: 9600 + 11520 = 21120 số số A TH3: A có chữ số lẻ +) a1 lẻ: Có cách chọn a1 Có cách chọn a Có cách chọn hai vị trí khơng kề hai số lẻ a a a a Vậy số số A 5.5.(C 24 3.P2 ).A 24 = 10800 +) a1 chẵn: Có cách chọn a1 Có cách chọn vị trí khơng kề số lẻ a a a a a Vậy số số A 4.(C35 1.P3 ).A 42 = 2880 Tổng có: 10800 + 2880 = 13680 số số A Tóm lại có: 3000 + 21120 + 13680 = 37800 số số A 11 Ví dụ Hướng dẫn học sinh giải toán sau Bài toán Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0, lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác (Đề thi HSG tỉnh 2013-2014) Đối với toán này, giáo viên gợi ý học sinh phân trường hợp nhỏ Khi học sinh dễ nhân thấy có trường hợp nhỏ là: Cả chữ số lại chữ số a, b, c ; chữ số lại chữ số a, b, c chữ số chữ số khác chữ số Trong trường hợp lại có trường hợp nhỏ khác Từ Học sinh giải tốn sau: Ta có: Ω = = 59.049 Gọi A biến cố cần tìm xác suất, ta có: Số cách chọn chữ số phân biệt a, b, c từ chữ số thập phân khác C39 Chọn chữ số lại từ chữ số đó, có trường hợp rời sau đây: TH1 Cả chữ số lại chữ số a, b, c: có cách; hốn vị từ 5! hốn vị chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo số tự nhiên n; 3! hốn vị vị trí mà a, a, a chiếm chỗ tạo 5! số n, nên TH1 có thảy × = 60 số tự nhiên 3! TH2 chữ số lại chữ số a, b, c chữ số chữ số khác chữ số đó: có cách; hoán vị từ 5! hoán vị chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo số tự nhiên n; 2! hoán vị vị trí mà a, a chiếm chỗ 2! hốn vị vị trí mà b, b chiếm chỗ 5! = 90 số tự nhiên tạo số n, nên TH2 có thảy × 2!2! 9! = 150 ×7 ×4 ×3 = 12600 Vậy: ΩA = (60 + 90)C9 = 150 × 3!6! ΩA 12.600 1.400 = = ≈ 0,213382106 Kết luận: P ( A ) = Ω 59.049 6.561 Ví dụ Hướng dẫn học sinh giải toán sau Bài toán Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trường, trường THPT dùng sách tham khảo mơn Tốn, sách tham khảo mơn Vật lí, sách tham khảo mơn Hóa học để làm phần thưởng cho học sinh có kết cao Các sách thể loại: Tốn, Vật lí, Hóa học giống Mỗi học sinh nhận thưởng sách khác thể loại Trong số học sinh có hai học sinh tên An Bình Tìm xác suất để hai học sinh An Bình có phần thưởng giống (Đề thi HSG tỉnh 2015-2016) 12 Đối với toán này, giáo viên gợi ý học sinh phân trường hợp nhỏ Khi học sinh dễ nhân thấy có trường hợp nhỏ là: An Bình nhận sách Tốn, Lý; An Bình nhận sách Tốn, Hóa; An Bình nhận sách Hóa, Lý Trong trường hợp lại có trường hợp nhỏ khác Từ Học sinh giải toán sau: Gọi x, y,z số học sinh nhận phần thưởng sách (Toán, Lý); x + y = x =   (Tốn, Hóa); (Lý, Hóa) ta có :  y + z = ⇔  y = y + z = z =   Xét phép thử: “Trao phần thưởng cho học sinh”, suy Ω = C94 C53 C22 = 1260 Xét biến cốA: “An Bình có phần thưởng giống nhau” TH1:An Bình nhận sách Tốn, Lý có C72 C35 C 22 TH2:An Bình nhận sách Tốn, Hóa có C17 C64 C22 TH3:An Bình nhận sách Hóa, Lý có C74 C33 Suy Ω A = 350 Vậy xác suất cần tìm P(A) = ΩA = Ω 18 2.3.4 Luôn linh hoạt giải tốn, đơi sử dụng phương pháp thủ cơng Việc linh hoạt giải tốn Tổ hợp – Xác suất thực cần thiết, khơng nên gị bó khn mẫu định, đơi sử dụng phương pháp thủ cơng để làm cho vấn đề trở nên quen thuộc Ví dụ Hướng dẫn học sinh giải tốn sau Bài tốn Một lớp học có 42 học sinh xếp thành vòng tròn Chọn ngẫu nhiên học sinh để tham gia vào trò chơi Tính xác suất để học sinh chọn khơng có hoc sinh đứng kề Với tốn này, việc tìm Ω = C42 khơng có khó khăn Tuy nhiên giải vấn đề học sinh chọn khơng có hoc sinh đứng kề 42 học sinh xếp thành vòng trịn khơng phải đơn giản Lúc giáo viên gợi ý cho học sinh suy nghĩ cách linh hoạt thay kiện lớp học có 42 học sinh xếp thành vịng trịn thành lớp học có 42 học sinh xếp thành đường thẳng nào? 13 Sau lại gợi ý cho học sinh suy nghĩ cách linh hoạt khác thay kiện Chọn học sinh để tham gia vào trò chơi thành đưa học sinh quay lại hàng nào? Chẳng hạn Bài toán 1.1 sau Bài tốn 1.1 Một lớp học có 42 học sinh xếp thành hàng ngang Có cách chọn học sinh để tham gia vào trò chơi cho học sinh chọn khơng có hoc sinh đứng kề Với suy nghĩ cách linh hoạt khác thay kiện Chọn học sinh để tham gia vào trò chơi thành đưa học sinh quay lại hàng học sinh nhận với 39 học sinh cịn lại tạu 40 vị trí để đưa HS vào 40 vị trí Từ dễ dàng suy đáp số C340 cách Sau nắm cách giải Bài tốn 1.1, Học sinh giải Bài tốn sau: Chọn ngẫu nhiên học sinh 42 học sinh nên Ω = C42 Gọi A biến cố "trong học sinh chọn hoc sinh đứng kề nhau" Giả sử ta đặt tên 42 HS xếp thành vịng trịn 1, 2, , 42 Để tính ΩA ta xét trường hợp sau: TH1: HS10 chọn: Khi HS9 HS11 khơng chọn Ta chọn HS 39 HS cịn lại cho khơng có HS đứng kề nhau: có C382 cách TH2: HS10 khơng chọn: Khi ta chọn HS 41 HS cịn lại cho khơng có HS chọn đứng kề nhau: có C339 cách Từ ta có ΩA = C382 + C339 Vậy P(A) = C38 + C339 703 = C342 820 Ví dụ Hướng dẫn học sinh giải toán sau Bài toán Gọi S tập hợp ước số nguyên dương số 43200 Lấy ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S Tính xác suất lấy hai phần tử hai số không chia hết cho (Đề thi HSG tỉnh 2016-2017) Học sinh hồn tồn linh hoạt phân tích số 43200 thừa số nguyên tố để đưa lời giải sau: Ta có 43200 = 26.33.52 Mỗi ước nguyên dương số 43200 số có dạng 2i.3j.5k, i ∈ {0;1;2;3;4;5;6}, j ∈ {0;1;2;3}, k ∈ {0;1;2} Suy có 7.4.3= 84 ước, nên số phần tử S 84 Mỗi ước nguyên dương không chia hết cho số 43200 số có dạng 2i.3j.50 Suy số ước 43200 không chia hết cho tập S 7.4 =28 14 C228 Suy P= = C84 83 15 Ví dụ Hướng dẫn học sinh giải tốn sau Bài toán Cho khai triển: ( + 2x ) 10 ( x + x + 1) = a + a1x + a x + + a14 x14 Hãy tìm giá trị a Đối với toán này, thông thường học sinh sử dụng tổng xicma để giải, nhiên phương pháp lằng nhằng, nhiều trường hợp Ta sử dụng phương pháp thủ công để làm cho vấn đề trở nên quen thuộc để đến lời giải sau Ta có x + x + = (2x + 1) + nên ( + 2x ) (x + x + 1)2 = 10 (1 + 2x)14 + (1 + 2x)12 + (1 + 2x)10 16 16 14 Trong khai triển ( + 2x ) hệ số x là: 26 C146 12 Trong khai triển ( + 2x ) hệ số x là: 26 C126 10 Trong khai triển ( + 2x ) hệ số x là: 26 C106 Vậy hệ số a = 6 6 6 C14 + C12 + C10 = 41748 16 16 2.3.5 Khuyến khích học sinh sáng tạo giải toán Đối với đối tượng học sinh giỏi Toán, người Giáo viên phải thường xun khuyến khích học sinh sáng tạo giải tốn Tìm cách giải hay, ngắn gọn, dễ hiểu Ví dụ Hướng dẫn học sinh giải tốn sau Bài tốn Cho phương trình x + y + z + t = 2015 ( 1) , x, y,z, t ẩn Tìm số nghiệm phương trình (1) mà x, y,z, t nguyên dương (Đề thi HSG tỉnh Giải toán MTCT năm học 2014-2015) Với toán này, nhiều học sinh nghĩ đến việc phân chia trường hợp nhỏ Tuy nhiên cách gặp nhiều khó khăn có nhiều trường hợp Giáo viên gợi ý để học sinh sáng tạo như: Ta xem số 2015 lả tổng 2015 số 1, từ ta có khơng? Xét sơ đồ sau: 1+1+1+1+ +1+1+1 Sơ đồ gồm 2015 số xen dấu “+” Như sơ đồ có 2014 dấu “+” Ta chọn ba dấu“+” bất kì, sơ đồ chia phần, tính tổng số phần số nguyên dương tương ứng lập thành nghiệm phương trình (1) Điều ngược lại 16 Từ học sinh nhận số nghiệm cần tìm là: C32014 = 1359502364 Xuất phát từ Bài tốn 1, giáo viên gợi ý cho học sinh sáng tạo toán tổng quát sau Bài toán 1.2 Cho phương trình x + y + z + t = 2015 ( 1) , x, y,z, t ẩn Tìm số nghiệm phương trình (1) mà x, y,z, t nguyên không âm Với việc “đạo diễn” lời giải Bài toán cho gặp khó khăn Tuy nhiên với động viên khích lệ giáo viên, học sinh hồn tồn có sáng tạo như: Cách giải Xét sơ đồ sau: 1 1 1 Sơ đồ gồm 2018 số Ta chọn ba số để đổi thành ba dấu “+”, sơ đồ chia phần, tính tổng số phần số nguyên không âm tương ứng lập thành nghiệm phương trình (1) Điều ngược lại Từ học sinh nhận số nghiệm cần tìm là: C32018 Cách giải Đặt x’ = x + 1; y’ = y + 1; z’ = z + 1; t’ = t + ta đưa vè tốn giống tốn sau: Cho phương trình x '+ y'+ z '+ t ' = 2019 ( 1) , x ', y',z ', t ' ẩn Tìm số nghiệm phương trình (1) mà x ', y',z ', t ' nguyên dương Từ học sinh nhận số nghiệm cần tìm là: C32018 Cũng xuất phát từ Bài toán 1, giáo viên gợi ý cho học sinh sáng tạo toán tổng quát sau Bài tốn 1.3 Cho bất phương trình x + y + z ≤ 2017 ( 1) , x, y,z ẩn Tìm số nghiệm phương trình (1) mà x, y,z nguyên không âm Với định hướng cách giải trên, học sinh hồn tồn nghĩ đến toán tương đương Bài toán 1.4: Bài tốn 1.4: Cho phương trình x + y + z + t = 2017 ( 1) , x, y,z, t ẩn Tìm số nghiệm phương trình (1) mà x, y,z, t ngun khơng âm Khi giống Bài tốn 1.2 học sinh nhận số nghiệm cần tìm là: C32020 17 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Với cương vị người thường xuyên giao nhiệm vụ phụ trách đội tuyển Học sinh giỏi môn Toán, sau triển khai nội dung Sáng kiến kinh nghiệm vào dạy cho đội tuyển Học sinh giỏi mơn Tốn trường THPT Triệu Sơn 2, thu kết đáng khích lệ sau: Trước hết, em đội tuyển khơng cịn thấy “ngại” gặp Tổ hợp - Xác suất Khơng vậy, em cịn hào hứng muốn “chinh phục” dạng toán Kết làm Tổ hợp - Xác suất học sinh nhà trường kỳ thi Học sinh giỏi cấp tỉnh ngày cao Trong năm học 2015-2016, 2016-2017, 100% học sinh đội tuyển mơn Tốn nhà trường làm Tổ hợp - Xác suất kỳ thi Học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Văn hóa thi Học sinh giỏi cấp tỉnh cấp Quốc gia Giải tốn MTCT, góp phần đưa đến thắng lợi kỳ thi Học sinh giỏi nhà trường nói chung Tổ Tốn nói riêng Năm học 2015-2016 Kỳ thi Học sinh giỏi mơn văn hóa: Trường THPT Triệu Sơn đạt 37 giải với giải nhất; giải nhì; 18 giải ba; 11 giải KK, xếp thứ 7/106 trường THPT tồn tỉnh Mơn Tốn đạt giải với giải nhất; giải nhì; giải ba; giải KK Kỳ thi giải Toán Máy tính cầm tay: Trường THPT Triệu Sơn đạt 16 giải với giải nhất; giải nhì; giải ba; giải KK, xếp thứ 4/106 trường THPT tồn tỉnh Mơn Tốn đạt giải với giải nhì; giải ba; giải KK Đặc biệt có học sinh đạt giải Ba quốc gia Có em Đỗ Viết Nguyện đạt giải Ba mơn Tốn Năm học 2016-2017 Kỳ thi Học sinh giỏi mơn văn hóa: Trường THPT Triệu Sơn đạt 42 giải với giải nhất; 11 giải nhì; 14 giải ba; 13 giải KK, xếp thứ 5/106 trường THPT tồn tỉnh Mơn Tốn đạt giải với giải nhất; giải ba; giải KK Kỳ thi giải Tốn Máy tính cầm tay: Trường THPT Triệu Sơn đạt 16 giải với giải nhất; giải nhì; giải ba; giải KK, xếp thứ 3/106 trường THPT tồn tỉnh Mơn Tốn đạt giải với giải nhất; giải nhì 18 III Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Bồi dưỡng học sinh giỏi có ý nghĩa thiết thực việc chăm sóc bồi dưỡng nhân tài cho nhà trường tương lai xa cho quê hương, đất nước Đứng trước vận động kinh tế thị trường cách mạng công nghệ thông tin, công tác dạy học có nhiều thuận lợi gặp khơng khó khăn, thách thức, có cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn trường trung học phổ thông Triệu Sơn Phần Tổ hợp - Xác xuất chương trình tốn học phổ thơng phần khó em học sinh Các tốn loại mang tính tổng hợp khái qt hóa cao Tuy nhiên học sinh qua ngưỡng “ngại” em hứng thú với nội dung Để cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn phần Tổ hợp - Xác xuất chương trình tốn học phổ thơng ngồi việc động viên, khích lệ mặt tinh thần học sinh, khuyến khích em nỗ lực tìm tịi lời giải hay, tranh luận với bạn bè giúp tiến bộ, người giáo viện cần phải: Luôn củng cố khắc sâu kiến thức có liên quan; rèn luyện cho học sinh sau đọc đề cần phân tích chọn lời giả tối ưu nhất, biết linh hoạt việc lựa chọn cách giải phải để ý đến thời gian làm bài, là kiểm tra; Biết phân tích tốn tìm cách giải khác nhau, từ nhằm phát huy tính sáng tạo khái qt hóa tốn; Rèn luyện cách trình bày cách chặt chẽ, cẩn thận sáng sủa Trên số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi số nội dung phần Tổ hợp - Xác suất Trường THPT Triệu Sơn Tuy nhiên phạm vị đề tài tơi giải số dạng toán nội dung Rất mong bạn đồng nghiệp góp ý kiến để có cách dạy khai thác thể loại cách tốt hiệu cao 3.2 Kiến nghị Đề nghị Sở Giáo dục Đào tạo công bố rộng rãi Sáng kiến kinh nghiệm Đề tài khoa học để người tham khảo XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN thân, không chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Đình Thanh 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXBĐHSP, 2003 [2] G.Polia, Giải toán nào, NXBGD, 1997 [3] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Đại số Giải tích 11 – Nâng cao, Nxb Giáo dục, Hà Nội [4] Các đề thi Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa mơn Tốn năm 20 ... học phù hợp dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi số nội dung phần Tổ hợp - Xác suất Trường THPT Triệu Sơn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm đội tuyển học sinh giỏi. .. việc vận dụng dạy học số nội dung phần Tổ hợp Xác suất vào đội tuyển học sinh giỏi Toán Trường THPT Triệu Sơn II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2. 1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Quy tắc cộng... chẽ, cẩn thận sáng sủa Trên số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi số nội dung phần Tổ hợp - Xác suất Trường THPT Triệu Sơn Tuy nhiên phạm vị đề tài giải số dạng tốn nội dung Rất mong bạn đồng nghiệp