Bài tập xác suất thống kê thái bảo khánh, nguyễn đình ai

1.4.Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm.Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 5 sản phẩm.Tính xác suất để có không quá 1 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra.. Hỏi xác suất để mộ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

h H : không có hơn 2 người bắn trúng

i I: người thứ nhất bắn trúng, hoặc người thứ hai và người thứ ba cùng bắn trúng

j K:người thứ nhất bắn trúng hay người thứ hai bắn trúng

1.2.Một túi đựng 12 quả cầu, trong đó có 7 quả màu xanh, 5 quả

vàng Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) từ túi ra 4 quả cầu

a) Tính xác suất để có 2 quả cầu xanh trong 4 quả cầu lấy

ra từ túi

b) Tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy ra có ít nhất 1 quả cầu xanh

ĐS.a)C C72 52/C124 b)1C54/C124

1.3.Một người gọi điện thoại quên mất hai chữ số cuối của số điện

thoại cần gọi và chỉ nhớ là hai chữ số đó khác nhau và chữ số cuối cùng là 1, 4, hoặc 5 gì đó.Tìm xác suất để xãy ra biến cố A: quay

ngẫu nhiên một lần thì trúng ngay số điện thoại đó.ĐS 1/27

1.4.Một hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 3 phế phẩm).Lấy ngẫu

nhiên (không hoàn lại) từ hộp ra 5 sản phẩm.Tính xác suất để có

không quá 1 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra

1.7 Trên giá sách có 50 cuốn sách, trong đó có 3 cuốn sách của

cùng một tác giả Tìm xác suất để 3 cuốn đó không đứng cạnh

nhau

1.8 Một dãy ghế trong hội trường rạp chiếu phim có 20 chổ ngồi,

xếp 20 người vào ngồi một cách ngẫu nhiên, trong đó có Lan và

Tuấn Tính xác suất để:

a Lan được ngồi ở một trong hai đầu dãy ghế

b Lan và Tuấn được ngồi gần nhau

1.9 Một công ty cần tuyển hai nhân viên Có 6 người nộp đơn (

trong đó có 4 nữ và 2 nam ) Giả sử khả năng trúng tuyển của 6

người là như nhau Tính xác suất để:

a cả 2 người trúng tuyển đều là nam

b cả 2 người trúng tuyển đều là nữ

c có ít nhất một nữ trúng tuyển

1.10 Trong một lớp có 25 sinh viên, trong đó có 10 nam và 15 nữ

Chọn ngẫu nhiên một nhóm gồm 8 sinh viên để đi chiến dịch sinh viên tình nguyện Tính xác suất để:

a Có 4 nam trong số 8 sinh viên được chọn?

b Có nhiều nhất 3 sinh viên nam được chọn?

c Không có sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?

d Có ít nhất 1 sinh viên nam trong 8 sinh viên được chọn?

ĐS.a)C C104 154 /C 258 b)1 P(A) = … c)P(C)=C158 /C258

c)P(D)=1P(C) 1.11 Trong 30 đề thi, trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung bình Tìm

xác suất để:

a Một học sinh bốc 1 đề, gặp đề trung bình

b Một học sinh bốc 2 đề, gặp ít nhất một đề trung bình

ĐS.a)20/30 = … b)1C102 /C302

1.12 Một công ty có 60 nhân viên, trong đó có 20 nam và 40 nữ

Tỷ lệ nhân viên nữ có thể nói tiếng Anh lưu loát là 15% và tỷ lệ

này đối với nam là 20%

a Gặp ngẫu nhiên một nhân viên của công ty Tìm xác suất

để gặp được nhân viên nói tiếng Anh lưu loát?

b Gặp ngẫu nhiên hai nhân viên của công ty Tìm xác suất

để có ít nhất một người nói tiếng Anh lưu loát trong số 2 người gặp?

HD&ĐS Số nhân viên giỏi tiếng Anh là 10 và kém là 50 a)10/60 = 1/6 b)1C502 /C602

Công thức cộng và công thức nhân xác suất

1.13.Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh gan là 9%, bệnh

sốt rét là 12% và mắc cả hai bệnh là 7% Chọn ngẫu nhiên một người

trong vùng Tính xác suất để người đó không mắc bệnh nào trong 2

bệnh Giả sử vùng dân cư khoảng 100.000 người Số người không

mắc bệnh nào trong 2 bệnh khoảng chừng bao nhiêu ?

1.14.Biết trong lớp 100 học sinh có 15 em giỏi môn toán và 20 em

giỏi Ngoại ngữ, trong đó có 5 em giỏi cả Toán lẫn Ngoại ngữ Quy

định giỏi ít nhất một môn thì được thưởng Chọn ngẫu nhiên một

em trong lớp Tính xác suất để em đó được thưởng.Suy ra tỉ lệ học

sinh được thưởng của lớp

1.15 Ba xạ thủ A B C, , độc lập với nhau cùng nổ súng vào một

mục tiêu Xác suất bắn trúng của xạ thủ A B C, , tương ứng là 0,4;

1.16.Một phân xưởng có 3 máy Xác suất các máy 1, 2, 3 bị hỏng

trong ngày tương ứng là 0,1; 0,2 và 0,15 Tính các xác suất của các

biến cố sau

a)A: có một máy bị hỏng trong ngày

b)B: có ít nhất một máy bị hỏng trong ngày

HD Gọi các biến cố máy 1, máy 2, máy 3 hỏng lần lượt là A 1 , A 2 ,

A 3

a)A = A A A1 2 3A A A1 2 3A A A1 2 3 b)BA A A1 2 3

1.17.Một bộ đề thi vấn đáp gồm 10 đề, trong đó có 4 đề về câu hỏi lý

thuyết và 6 đề bài tập tính toán Có 4 sinh viên lần lượt vào thi, mỗi sinh viên chỉ lấy một đề và không hoàn lại Tìm xác suất để xãy ra biến cố A : sinh viên vào lần 1 gặp đề bài tập và 2 sinh viên kế tiếp gặp đề lý thuyết và sinh viên thứ tư gặp đề bài tập

ĐS. 6 4 3 5

10 9 8 7

1.18 Có hai túi đựng các quả cầu Túi thứ nhất đựng 3 quả trắng, 7

quả đỏ và 15 quả xanh Túi thứ hai đựng 10 quả trắng, 6 quả đỏ và

9 quả xanh Từ mỗi túi chọn ngẫu nhiên một quả cầu Tính xác suất để 2 quả cầu được chọn đều có cùng màu

HD.Gọi các biến cố lấy được ở túi i quả cầu là trắng, đỏ , xanh lần lượt là T i , Đ i , X i , i = 1, 2 Khi đó A = T 1 T 2 Đ 1 Đ 2 X 1 X 2

1.19 Chị Lan có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc bề ngoài rất

giống nhau nhưng trong đó chỉ có 2 chiếc mở được cửa tủ Chị Lan thử ngẫu nhiên từng chìa ( chìa nào không đúng thì bỏ ra) Tìm xác suất để chị Lan mở được cửa ở lần thử thứ 3

ĐS.7 6 2

9 8 7

1.20 Có 3 sinh viên nhưng chỉ có 2 vé đi xem phim Họ làm 3 lá

thăm, trong đó có 2 thăm có đánh dấu Mỗi người lần lượt rút một thăm Nếu ai rút được thăm có đánh dấu thì được vé đi xem phim Hãy chứng minh sự công bằng của cách làm này

HD.Goi các biến cố sinh viên thứ i lấy được thăm có dấu là A 1 ,

A 2 , A 3

A 2 = A A1 2A A1 2,… , A 3 = A A A1 2 3A A A1 2 3

Công thức Bernoulli

1.21.Cho một lô hạt giống với tỉ lệ hạt nảy mầm là 90 %

a)Nếu 10 hạt thì xác suất để có 3 hạt nảy mầm là bao nhiêu?

b)Lấy một mẫu để kiểm tra Để xác suất mẫu có ít nhất một hạt lép

không bé hơn 0,9, cần lấy một mẫu cỡ bao nhiêu hạt?

HD.a)Coi việc kiểm tra 10 hạt là 10 phép thử Bernoulli với xác suất

nảy mầm trong mỗi phép thử là p = 0,9  P(A) = C p q =… 103 3 7

b)Giả sử mẫu kiểm tra có n hạt

Coi việc kiểm tra n hạt là n phép thử Bernoulli với xác suất nảy mầm

1.22 Có 3 lô hàng với số lượng sản phẩm rất lớn Tỷ lệ sản phẩm

loại I của lô hàng 1, 2, 3 lần lượt là: 70%, 80% và 90% Lấy từ

mỗi lô ra 10 sản phẩm để kiểm tra (không hoàn lại) Nếu trong 10

sản phẩm lấy ra kiểm tra có từ 8 sản phẩm loại I trở lên thì mua lô

hàng đó

a Tìm xác suất để lô hàng 1 được mua?

b Tìm xác suất để có ít nhất một lô hàng được mua?

c.Nếu chỉ có một lô hàng được mua Tìm xác suất để đó là

lô hàng 1?

HD&ĐS Các lô hàng có số lượng sản phẩm rất lớn Do đó trong

quá trình lấy các sản phẩm trên, tỉ lệ sản phẩm loại I của các lô

hàng coi như không đổi

 Coi việc kiểm tra 10 sản phẩm là 10 phép thử Bernoulli với xác

suất được sản phẩm loại I trong mỗi phép thử là

+ p=0,7 đối với lô 1 + p=0,8 đối với lô 2 + p=0,9 đối

với lô 3

a)Gọi A 1 , A 2 , A 3 là các biến cố lô hàng 1, 2, 3 được mua

P(A 1 ) = C108.0, 7 0, 38 2C109.0, 7 0, 3 0, 79  10= 0,3828 b)Tương tự P(A 2 ) = C108.0,8 0, 28 2C109.0,8 0, 2 0, 79  10= 0,6778 P(A 3 ) = C108.0, 9 0,18 2C109.0, 9 0,1 0, 99  10= 0.9298

1.23 Một phân xưởng có 3 máy Xác suất để mỗi máy sản xuất ra

sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật lần lượt là 0,9 ; 0,8 và 0,7 Trong một giờ mỗi máy sản suất được 5 sản phẩm Tìm xác suất để trong một giờ cả 3 máy sản xuất được ít nhất 14 sản phẩm đạt tiêu chuẩn

D = A 5 B 5 C 5  A 4 B 5 C 5  A 5 B 4 C 5  A 5 B 5 C 4 … P(D) = 0.161

Công thức xác suất đầy đủ và xác suất điều kiện

1.25 Trong hồ có 10 con cá cảnh (trong đó có 3 cá có đuôi màu

đỏ và 7 cá có đuôi màu xanh) Bắt ngẫu nhiên từ hồ ra một con cá Nếu bắt ra cá có đuôi màu đỏ thì bỏ vào hồ một con cá có đuôi màu xanh Nếu bắt ra cá có đuôi màu xanh thì bỏ vào một cá có đuôi màu đỏ Sau đó từ hồ bắt tiếp ra một con cá

a Tính xác suất để cá được bắt lần sau có đuôi màu đỏ?

b Nếu hai con cá được bắt ra (lần 1 và lần 2) có đuôi cùng màu

Tính xác suất để hai con cá này có đuôi cùng màu xanh?

HD&ĐS.Gọi biến cố cá bắt lần đầu đuôi đỏ là A 1

Hệ biến cố A 1 , A1là đầy đủ và xung khắc

a)P(A)=…0,34 b)B=A A1 A A1 , P(A A1 /B) = …=7/8

1.26 Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản

phẩm Phân xưởng 1 sản xuất 25%; phân xưởng 2 sản xuất 25% và

phân xưởng 3 sản xuất 50% sản phẩm của toàn nhà máy Tỷ lệ phế

phẩm của các phân xưởng 1, 2 và 3 lần lượt là: 1%, 5% và 10%

Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng do nhà máy sản xuất

a Tìm xác suất để lấy được phế phẩm? nêu ý nghĩa thực tế

của xác suất này?

b Nếu lấy được một phế phẩm, khả năng cao nhất sản

phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất?

c Nếu lấy được một chính phẩm, khả năng cao nhất sản

phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất?

HD.a) Gọi A i là biến cố sản phẩm lấy được do phân xưỡng i sản

xuất, i= 1, 2, 3 Gọi B : biến cố sản phẩm đó là phế phẩm

a)P(B) = 0,065, …b)do phân xưỡng 3 c)Do phân xưỡng 3

1.27.Cho tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá ở một vùng là 3% Biết tỉ

lệ người viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là 60% và tỉ lệ

người viêm họng trong số người không nghiện lá thuốc là 20%

Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng

a)Tìm xác suất để người đó viêm họng Suy ra tỉ lệ người

viêm họng trong vùng

b)Giả sử người đó viêm họng Tìm xác suất để người đó

nghiện thuốc

kê c)Giả sử người đó không viêm họng Tìm xác suất để người đó nghiện thuốc lá

HD.Gọi A 1 : biến cố người đó nghiện thuốc lá

Hệ biến cố A 1 , A1là đầy đủ và xung khắc

a)P(A) =…=0, b) P(A 1 /A) =…=0,0849 c)P(A 1 /A)=0,0152

Tính xác suất để sản phẩm lấy ra từ hộp từ hộp thứ 2 là sản phẩm của hộp thứ nhất bỏ vào

HD.Gọi A 1 : biến cố người đó nghiện thuốc lá

Hệ biến cố A 1 , A1là đầy đủ và xung khắc

Gọi B : biến cố sản phẩm lấy lần 2 là phế phẩm P(B) = …= 57/90

C : biến cố sản phẩm lấy từ hộp 2 là do từ hộp 1 bỏ vào P( C ) = …= 7/57

BÀI TẬP TỔNG HỢP

1.Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập với xác suất bị

hỏng trong thời gian một năm làm việc của các máy 1, 2, 3 theo thứ tự là 0,2; 0, 3; 0,4 Biết rằng cuối năm có hai máy bị hỏng Tìm xác suất để hai máy bị hỏng là máy 1 và máy 2

HD.Gọi các biến cố máy 1, 2, 3 bị hỏng trong năm lần lượt là A 1 ,

A 2 , A 3

2.Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến bán hàng ở một công ty

nọ Xác suất để lần đầu bán được hàng là 0,8 Nếu lần trước bán

kê được hàng thì xác suất để lần sau bán được hàng là 0,9; còn nếu

lần trước không bán được hàng thì xác suất để lần sau bán được

hàng là 0,4

a)Tìm xác suất để cả ba lần đều bán được hàng

b)Tìm xác suất để có đúng hai lần bán được hàng

3.Tại một siêu thị, hệ thống tự động phun nước tự động được lắp

liên kết với một hệ thống báo động hỏa hoạn Khả năng hệ thống

phun nước bị hỏng là 0,1 Khả năng hệ thống báo động bị hỏng là

0,2 Khả năng để hai hệ thống cùng hỏng là 0,04 Tìm xác suất để

a)Có ít nhất một hệ thống hoạt động bình thường

b)cả hai hệ thống đều hoạt động bình thường

4.Trong một kho rượu số lượng chai rượu loại A và loại B như

nhau.Lấy ngẫu nhiên 1 chai rượu và đưa cho 4 người sành rượu

nếm thử để xác định đây là loại rượu nào.Khả năng đoán đúng của

mỗi người là 80%.Có 3 người kết luận chai rượu là loại A và 1

người kết luận chai rượu là loại B Tìm khả năng chai rượu đó là

loại A

ĐS.0,9412

5.Trong một cửa hàng bán giày lớn, tỉ lệ đôi giày có 0 , có 1 hoặc

có 2 chiếc bị hỏng lần lượt là 80%, 18% hoặc 2% Lấy ngẫu nhiên

một đôi giày và lấy ngẫu nhiên 1 chiếc thì biết nó bị hỏng

Tìm xác suất để chiếc kia cũng hỏng

6.Hai cửa hàng I và II cung cấp đĩa mềm cho một trung tâm tin

học với tỉ lệ 3 / 2 Tỉ lệ đĩa bị hỏng của cửa hàng I và II lân lượt là

1% và 2% Một sinh viên thực tập ở trung tâm chọn ngẫu nhiên

một hộp gồm 20 đĩa và từ đó rút ngẫu nhiên ra 1 đĩa

a)Tìm xác suất để đĩa đó bị lỗi

kê b)Biết đĩa bị lỗi.Tính xác suất để đĩa đó của cửa hàng I

7.Tỉ lệ phế phẩm của máy I là 1% và của máy II là 2% Một lô sản

phẩm gồm 40% sản phẩm của máy I và 60% sản phẩm của máy II Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm để kiểm tra

a)Tìm xác suất để có ít nhất một sản phẩm tốt trong 2 sản phẩm đó

b)Giả sử 2 sản phẩm kiểm tra đều là tốt Khả năng lấy tiếp được 2 sản phẩm tốt nữa là bao nhiêu?

8.Ba anh công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm Xác suất để

người thứ nhất và thứ hai làm ra chính phẩm là 0,9, con người thứ hai là 0,8.Một người trong số đó làm ra 8 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm Cho người đó làm tiếp 8 sản phẩm Tìm xác suất để trong 8 sản phẩm mới lại có 6 chính phẩm

ĐS  0,23

9.Một nhà máy có hai dây chuyền cùng sản xuất một loại sản

phẩm năng suất như nhau với tỉ lệ phế phẩm lần lượt 1% và 2% Một người mua 2 sản phẩm của nhà máy Tìm xác suất để có đúng

1 phế phẩm

10.Tỉ lệ phế phẩm của một máy là 5% Người ta lắp đặt một thiết

bị kiểm tra tự động Thiết bị này vẩn còn sai sót Tỉ lệ kết luận sai khi gặp chính phẩm là 4%, còn khi gặp phế phẩm là 1%

a)Tìm tỉ lệ sản phẩm bị thiết bị đó kết luận sai

b)Tìm tỉ lệ sản phẩm là phế phẩm trong số các sản phẩm bị kết luận sai Tìm tỉ lệ sản phẩm là chính phẩm trong số các sản phẩm kết luận sai

ĐS.a)3,85% b)1,3%; 98,7%

11.Một công nhân đi về nhà theo hai cách: đi đường ngầm hoặc

qua cầu Biết rằng anh ta đi đường ngầm trong 1/3 trường hợp về

kê nhà Nếu đi lối ngầm thì 75% trường hợp anh về nhà trước 6 giờ

Nếu đi qua cầu thì có 70% trường hợp anh về nhà trước 6 giờ.Biết

Anh ta về nhà sau 6 giờ Tìm xác suất để anh ta có qua cầu lúc về

12 Tủ của ông A có 3 ngăn kéo: 1 ngăn có 2 đồng tiền vàng, 1

ngăn có 2 đồng tiền bạc và 1 ngăn có 1 đồng tiền vàng và 1 đồng

tiền bạc Rút ngẫu nhiên một ngăn kéo và lấy ngẫu nhiên ra 1

đồDng tiền Giả sử được 1 đồng tiền vàng Tính xác suất để ngăn

kéo được rút ra là ngăn kéo chứa 2 đồng tiền vàng?

13 Lan và Hoa cùng ăn cơm trưa tại căn tin nhà trường Cuối bữa

ăn, họ thay phiên nhau tung một đồng xu (cân đối) để quyết định

xem ai sẽ là người trả tiền bữa ăn theo quy tắc:

Nếu ai tung được mặt sấp trước thì người đó phải trả tiền Giải sử

Lan là người tung đồng xu trước Tính xác suất Hoa phải trả tiền

14(Ngành bảo hiểm) Một công ty bảo hiểm oto có 20000 người

đăng ký bảo hiểm Những người đăng ký bảo hiểm được công ty

phân loại theo 3 tiêu chuẩn:

i) Trẻ hay già,

ii) Đàn ông hay đàn bà,

iii) Có gia đình hay độc thân

Được biết, trong số những người đăng ký bảo hiểm, có 6300 người

trẻ, 9600 đàn ông, 13800 người có gia đình, 2700 đàn ông trẻ,

6400 đàn ông có vợ, 2900 người trẻ có gia đình, 1100 người là đàn

ông trẻ có vợ Hỏi xác suất để một người đăng ký bảo hiểm oto

của hãng được chọn một cách ngẫu nhiên là một phụ nữ trẻ độc

thân bằng bao nhiêu?

kê

15 Giả sử một công ty du lịch ở Nha trang thường nhận các hợp

đồng qua Fax từ một trong hai nơi: Trong thành phố Nha trang hoặc ngoài thành phố Nha trang Xác suất để công ty nhận một Fax trong thành phố nha trang là 0.75 Một ngày kia, công ty nhận được 10 Fax biết rằng có ít nhất 6 Fax trong thành phố Nha trang Tính xác suất chỉ có 1 Fax đến từ ngoài thành phố Nha trang?

17 Có ba hộp bi: Hộp 1 có 10 bi trong đó có 3 bi đỏ; hộp 2 có 15

bi trong đó có 4 bi đỏ; hộp 3 có 12 bi trong đó có 5 bi đỏ Gieo một con xúc sắc, nếu xuất hiện mặt 1 chấm thì chọn hộp 1, nếu xuất hiện mặt 2 chấm thì chọn hộp 2, nếu xuất hiện các mặt còn lại thì chọn hộp 3 Từ hộp đã chọn lấy ngẫu nhiên 1 bi

a) Tính xác suất để được bi đỏ

b) Giả sử lấy được bi đỏ Tính xác suất để bi đỏ này thuộc hộp 2

18 Gieo một con xúc sắc Tính xem cần gieo bao nhiêu lần thì xác

suất có ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm không nhỏ hơn 0.9

19 Giả sử một người xuất phát từ A bầng cách chọn ngẫu nhiên

các con đường trước mặt theo sơ đồ sau:

a) Tính xác suất để người này đến được B

b) Giả sử người này đã đến B Tính xác suất để người này đến từ A1

20 Một test kiểm tra sự hiện diện của virus H5N1 cho kết quả

dương tính nếu bệnh nhân thực sự nhiểm virus H5N1 Tuy nhiên test này cũng có sai sót, đôi khi cho kết quả dương tính đối với người không thực sự nhiễm vius, tỷ lệ sai sót là 1/20000 Gỉa sử

kê

cứ 10000 người thì có 1 người bị nhiễm vius H5N1 Tìm tỷ lệ

người có kết quả dương tính thực sự nhiễm H5N1

21 Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 500 khách hàng về một sản

phẩm định đưa ra thị trường và thấy có:

100 người trả lời “sẽ mua”

150 người trả lời “ có thể sẽ mua”

250 người trả lời “không mua”

Theo kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực sự mua sản

phẩm tương ứng với những cách trả lời trên là 40%; 20% và 1%

a) Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó (theo

nghĩa tỷ lệ người thực sự mua sản phẩm đó)

b) Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm đó có bao

nhiêu phần trăm trả lời “không mua” ?

22 Điền các giá trị thích hợp vào ô trống

Bài Tập chương 2

kê

(Đại lượng ngẫu nhiên)2.1 Một dây chuyền gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau

Xác suất trong thời gian 1 tuần các bộ phận bị hỏng tương ứng là

0,4; 0,2 và 0,3 Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian 1 tuần

a Lập bảng phân phối xác suất của ĐLNN X

b Tìm hàm phân phối xác suất và vẽ đồ thị của nó

c Tính xác suất trong 1 tuần có không quá 2 bộ phận bị hỏng

d Tính E(X), D(X), giá trị tin chắc nhất của X

Từ lô thứ nhất lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô thứ hai, sau

đó từ lô thứ hai lấy ra 2 sản phẩm Tìm qui luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra

từ kiện hai lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ vào kiện một Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A trong kiện một?

Rút ngẫu nhiên 2 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, sau đó

từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 bi bỏ vào hộp thứ nhất Gọi

X X lần lượt là số bi xanh có ở hộp thứ nhất, thứ hai sau khi

thực hiện phép thử Tìm qui luật phân phối xác suất của X X1, 2

ĐS

P 11/90 55/90 24/90 P 24/90 55/90 11/90

2.5 Có 3 kiện hàng

Kiện thứ nhất: Có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B

Kiện thứ hai : Có 5 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B

Kiện thứ ba : Có 3 sản phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B

a Chọn ngẫu nhiên một kiện rồi từ kiện đã chọn lấy ngẫu

nhiên không hoàn lại ra 2 sản phẩm thì được 2 sản phẩm loại A

Lấy tiếp từ kiện đã chọn ra 2 sản phẩm Tìm qui luật phân phối

xác suất của số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra lần

sau?

b Chọn ngẫu nhiên 2 kiện rồi từ 2 kiện đã chọn lấy ngẫu

nhiên không hoàn lại mỗi kiện 1 sản phẩm.Tìm qui luật phân phối

xác suất của số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra?

2.6 Lãi suất thu được trong một năm (tính theo %) khi đầu tư vào

công ty A, công ty B tương ứng là các ĐLNN X và Y (X và Y độc

a Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kỳ vọng cao hơn?

b Đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro ít hơn? Vì sao? ĐS.a)E(X)=9; E(Y)=7,5  … b) D(X)= 4,2; D(Y)=31,15 …

2.7 Số tiền lời trong năm tới (tính theo đơn vị: triệu đồng) thu

được khi đầu tư 100 triệu đồng vào hai nghành A và B tùy thuộc

vào tình hình kinh tế trong nước và cho ở bảng sau:

Tình hình kinh tế

a Số tiền lời kỳ vọng ngành nào là cao hơn?

b Mức độ rủi ro ngành nào là ít hơn?

kê ĐS.Gọi X(triệu đồng), Y(triệu đồng) lần lượt là tiền lời khi đầu tư

100 triệu tương ứng vào ngành A, nghành B

Lập các bảng phân phối xác suất của X , của Y và suy ra

a)E(X) = 44,5; E(Y) = 57  … b)D(X)=684,75; D(Y) = 2811 

2.8 X (ngàn sản phẩm) là nhu cầu hàng năm về một loại hàng A là

0 , 0,

x x

2.11 Bắn 5 viên đạn vào mục tiêu Xác suất trúng đích của mỗi lần

bắn là như nhau và bằng 0,2 Muốn phá hủy mục tiêu phải có ít nhất 3 viên đạn trúng mục tiêu.Tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy

HD Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu … X ~ B(5; 0,2) P(X ≥ 3) = … = 0,0579

2.12 Trong cuộc thi nâng cao tay nghề mỗi công nhân chọn ngẫu

nhiên 1 trong 2 máy Với máy đã chọn sản xuất ra 6 sản phẩm Nếu số sản phẩm hỏng nhiều nhất là 2 thì đạt yêu cầu Giả sử với công nhân Đậu, xác suất sản xuất sản phẩm hỏng khi dùng máy

1

M là 0,2 và khi dùng máy M là 0,4 Tìm xác suất để anh công 2

nhân Đậu thi đạt yêu cầu

HD.Coi việc kiểm tra 6 sản phẩm là 6 phép thử Bernoulli với xác suất bị hỏng là + p=0,2 khi dùng máy 1+p=0,4 khi dùng máy 2 Gọi X là số sản phẩm hỏng trong 6 sản phẩm

+X~B(6; 0,2) khi dùng máy 1 +X~B(6; 0,4) khi dùng máy

a Tìm xác suất để chị A có được ít nhất 130 trứng trong ngày?

b Nếu mỗi quả trứng bán được 900 đồng, tiền cho vịt ăn trong ngày là 300 đồng Tính số tiền lãi trung bình chị A thu được trong ngày là bao nhiêu?

HD Gọi X(trứng) là số trứng vịt đẻ trong ngày … X ~ B(160; 0,8)

kê a)Trong tính toán coi X có phân phối chuẩn với =E(X)=np = 128

(đồng)

2.14 Một lô hàng có 10000 sản phẩm ( trong đó có 4000 sản

phẩm loại A) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô hàng đó ra 10

sản phẩm để kiểm tra Tìm xác suất để có ít nhất 2 sản phẩm loại

A trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra

ĐS. 0,9536

2.17 Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 4 cuộc gọi

trong 1 phút, biết rằng các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu

nhiên và độc lập với nhau Tìm xác suất để:

a Không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây

b Có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 30 giây

c)Có nhiều nhất 3 cuộc gọi trong khoảng thời gian 30 giây

2.18 Lãi suất X (%) đầu tư vào một dự án được xem như một

ĐLNN phân phối theo qui luật chuẩn Theo đánh giá của ủy ban

đầu tư thì lãi suất cao hơn 20% có xác suất là 0,1587 và lãi suất

cao hơn 25% có xác suất là 0,0228 Vậy khả năng đầu tư mà

không bị thua lỗ là bao nhiêu?

HD.+Tìm  ,  + Tính P( X ≥ 0) = …

2.19 Một đại lý Điện thoại di động dự định sẽ áp dụng một trong 2

phương án kinh doanh:

X1, X2 (triệu đồng/ tháng) là lợi nhuận thu được khi áp dụng

phương án thứ nhất,phương án thứ hai

kê Giả sử X1 ~N(140; 2500) và X2 ~N(200; 3600) Nếu biết rằng để đại lý tồn tại và phát triển thì lợi nhuận thu được từ kinh doanh điện thoại phải đạt ít nhất 80 (triệu/ tháng) Theo bạn công ty nên

áp dụng phương án nào để kinh doanh điện thọai di động? vì sao?

HD P(X1 ≥ 80) = …= 0,8849; P(X2 ≥ 80) = … = 0,9772  …

kê

BÀI TẬP TỔNG HỢP

1.Biết thời gian X (giây) phải chờ trước trụ giao thông khi gặp đèn

đỏ là ĐLNN phân phối đều trên (0, 20) Thời gian trung bình chờ

trước trụ giao thông mỗi khi gặp đèn đỏ khoảng bao nhiêu giây?

Mỗi ngày, một người đi xe đến chổ làm phải qua 4 ngã tư với xác

suất gặp đèn đỏ ở các ngã tư lần lượt là 0,5 ; 0,3 ; 0,6 và 0,4 Tìm

thời gian trung bình dừng xe chờ các đèn đỏ mỗi khi người đó đi

làm.ĐS.18 (giây)

2.Theo thông kê, tỉ lệ để một người độ tuổi 40 sống thêm ít nhất 1

năm nữa là 99,5% Một công ty nhân thọ bán bảo hiểm 1 năm cho

mỗi người độ tuổi đó với giá 10(ngàn đồng) và trường hợp người

mua bảo hiểm chết sẽ có số tiền bồi thường là 1 triệu đồng Tìm

lợi nhuận trung bình của công ty bảo hiểm khi bán mỗi thẻ bảo

hiểm loại này ĐS.5(ngàn)

3.Trong một tuyến bay người ta thống kê được 0,5% hành khách

bị mất hành lý và trung bình số tiền bồi thường cho mỗi khách mất

hành lý là 600(ngàn đồng) Công ty hàng không muốn tăng giá vé

để bù cho số tiền bồi thường do khách mất hành lý Giá vé phải

tăng thêm là bao nhiêu?ĐS.3(ngàn)

4.Xác suất để máy hỏng trong một ngày làm việc là 1% Mỗi lần

máy hỏng, chi phí sữa chữa hết 1(triệu đồng) Vậy có nên ký hợp

đồng bảo dưỡng 100(ngàn đồng/ tháng ) để giảm xác suất hỏng

của máy đi một nữa không và nếu ký thì hiệu quả TB mang lại

mỗi năm là bao nhiêu? ĐS.825(ngàn)

5.Thời gian bảo hành mỗi sản phẩm được qui định là 3 năm Nếu

bán được một sản phẩm thì cửa hàng lãi 150(ngàn ) Còn nếu sản

phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì cửa hàng phải chi

500(ngàn) cho bảo hành Biết tuổi thọ X(năm) của mỗi sản phẩm

d)Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 10% thì phải qui định

thời gian bảo hành là bao nhiêu? ĐS.a)24,3(ngàn) b)2,688 năm

6.Độ dài chi tiết X (cm) do một máy sản suất là biến ngẫu nhiên

phân phối chuẩn với độ lệch là 9 (cm).Biết 84,13% chi tiết do máy sản xuất có độ dài không vượt quá 84 (cm) Lấy ngẫu nhiên 3 chi tiết Tìm xác suất có ít nhất 1 chi tiết có độ dài không dưới

80(cm) ĐS.0,6409

7.Một người cân nhắc giữa việc mua nhà bây giờ hay gửi tiết kiệm

lãi suất 12% một năm để chờ năm sau sẽ mua

Biết mức tăng giá nhà sau một năm X(%) là ĐLNN phân phối chuẩn với E(X) = 8(%) và (X) = 10(%) Giả sử người đó quyết định gửi tiền vào tiết kiệm.Tìm khả năng để quyết định đó là sai

lầm ĐS.0,3446

8.Thời gian hoạt động tốt ( không phải sữa chữa) X (giờ) của một

loại TV là một ĐLNN phân phối chuẩn N( , 2) với  = 4300 (giờ) và =250 (giờ) Giả thiết mỗi ngày trung bình người ta dùng

TV 10 (giờ) và thời hạn bảo hành miễn phí là 360 ngày

a)Tìm tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành

kê b)Phải nâng thời gian hoạt động tốt lên bao nhiêu để tỉ lệ bảo hành

vẩn như cũ nhưng thời gian bảo hành lên đến 720 ngày

b)Tìm xác suất để tuổi thọ trò chơi ít hơn 80 giờ

10.Một hãng quảng cáo tuyên bố trung bình cứ 5 bác sĩ thì có 2

bác sĩ chỉ định cho bệnh nhân loại thuốc mà hãng đó quảng cáo

a)Giả sử tuyên bố của hãng là đúng, tìm xác suất để chọn ngẫu

nhiên 20 bác sĩ có đúng 1 bác sĩ chỉ định loại thuốc đó

b)Đi kiểm tra ngẫu nhiên 20 bác sĩ ta thấy chỉ có 1 bác sĩ chỉ định

loại thuốc đó Bạn sẽ kết luận thế nào về tuyên bố của hảng quảng

cáo

11.Một máy bay bay dọc theo cầu dài10m, rộng 4m và ném 2 quả

bom Chọn hệ trục Oxy sao cho Ox là trục đối xứng của cầu theo

phương ngang và Oy là trục đối xứng theo phương dọc Biết rằng

hoành độ và tung độ của vị trí rơi của mỗi quả bom là các biến độc

lập có phân phối chuẩn với giá trị trung bình bằng 0 và các độ lệch

chuẩn lần lượt là 4m và 6m Tìm xác suất để cầu bị trúng bom

12.Một xí nghiệp cung cấp nguyên vật liệu gửi 5 giấy đòi nợ đến

xí nghiệp yêu cầu thanh toán cho 5 đợt giao hàng số lượng như

nhau Mỗi giấy cho một đợt.Trong 5 giấy đó có 2 giấy ghi sai số

tiền nợ Do đến hạn trả nợ cho ngân hàng, công ty yêu cầu xí

nghiệp phải trả ngay cho 3 giấy đòi nợ chọn ngẫu nhiên Công ty

kê

đã thỏa thuận với xí nghiệp như sau: trong 3 giấy đòi nợ đó nếu có giấy nào ghi sai số tiền thì hoãn trả nợ cho đợt giao hàng đó Mỗi giấy bị hoãn sẽ gây thiệt hại cho công ty khoảng 5 triệu đồng vì phải trả nợ quá hạn cho ngân hàng

Tìm số tiền thiệt hại trung bình công ty phải chịu do cách làm trên

13 Tỉ lệ phế phẩm trong một lô sản phẩm do một công ty sản xuất

là 0,4% Lô sản phẩm sẽ được mua nếu kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm, có không quá 2 phế phẩm Tìm xác suất để lô hàng được mua

14.Tổng đài điện thoại phục vụ 1000 máy điện thoại.Xác suất

trong mỗi phút , mỗi máy gọi đến tổng đài là 0,002

a)Tìm số máy gọi đến tổng đài trung bình trong một phút

b)Tìm xác suất để có 3, 4 máy gọi đến tổng đài trong một phút

15.Gọi X(KWh) là lượng điện tiêu thụ mỗi tháng của mỗi hộ gia

đình ở miền Trung Biết X có phân phối chuẩn với trung bình 100 (KWh) và độ lệch chuẩn là 50 (KWh)

Giả sử trong 50 (KWh ) đầu tiên phải trả 1 (ngàn) cho mỗi (KWh)điện Những (KWh) điện tiêu thụ tiếp theo phải trả 2(ngàn) cho mỗi (KWh)điện

Gọi Y (ngàn) là số tiền điện phải trả mỗi tháng của mỗi hộ gia đình

a)Tìm tỉ lệ hộ gia đình tiêu thụ dưới 80(KWh) trong 1 tháng b)Tìm tỉ lệ hộ gia đình trả tiền điện trong 1 tháng nhiều hơn 300(ngàn)

c)Tìm hàm phân phối và hàm mật độ xác suất của Y

16.Gọi X (mm) là chiều dài mỗi sản phẩm do một phân xưởng sản

xuất.X có phân phối chuẩn với độ lệch là 0,5(mm) Sản phẩm gọi

là đạt chất lượng cao nếu chiều dài sản phẩm sai lệch chiều dài trung bình (chiều dài qui định) không quá 0,1 (mm)