Lý thuyết xác suất và thống kê toán lê khánh luận, nguyễn thanh sơn

HCMGIÁO TRÌNH: LÝ THUYẾT XÁC SUÂT VÀ THỐNG KÊ TOÁN DỤNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC, CAO ĐANG KHỐI NGÀNH KINH TẾ, TÀI CHÍNH, NGẤN HÀNG, NGOẠI THƯƠNG, QUẢN TRỊ KINH DOANH,..... Ợ f f ừ vài c

L 250 L

RƯỜNG Đ Ạ I HỌC KINH TẾ T P H ồ CHÍ MINH

-Ê KHÁNH LUẬN - NGUYỄN thanh sơn

THU VIEN DAI HOC NHA TRANG

TRƯỜNG ĐẠI HỌ C KINH T Ế TP H ổ C H Í MINH

GIÁO TRÌNH :

VÀ THỐNG KÊ TOÁN

(DÌỪNG c h o s i n h v i ê n đ ạ i h ọ c , c a o đ ẳ n g k h ô i

MGÀNH KINH TÊ, TÀI CHÍNH, NGOẠI THƯƠNG,

NGÂN HÀNG, QUẢN TRỊ KINH DOANH, )

ị T H Ư V i ệ n ị

NHÀ XUẤT BẢN THỐNG KÊ

Năm 2007

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP HCM

GIÁO TRÌNH:

LÝ THUYẾT XÁC SUÂT

VÀ THỐNG KÊ TOÁN

(DỤNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC, CAO ĐANG

KHỐI NGÀNH KINH TẾ, TÀI CHÍNH, NGẤN HÀNG,

NGOẠI THƯƠNG, QUẢN TRỊ KINH DOANH, )

Chịu trách nhiệm xuất bản : CÁT VĂN THÀNH

In 1.000 cuốn', khổ 14,3 X 20,3 cm, tại Công ty X N K Ngành In TP HCM

Giấy xác nhận đăng ký kế hoạch xuất bản số 2412/2005/CXB do Cục

Xuất bản cấp ngày 27/12/2005 và giấy trích ngang kế hoạch xuất bản

số 117/QĐ-TK do Nhà Xuất bản Thống kê cấp ngày 22/3/2006 In xong

và nộp lưu chiểu Quý 2/2007

Ợ f f ừ vài chục năm trở lại đây, môn Xác xu ất thống kê

được giảng dạy rộng, rãi như một m ôn học cơ bản trong giai đoạn đầu tại tất cả các trường đ ạ i học Kinh

tế, Ngoại thương, Xã hội nhân vần, Y dược, Kỹ thuật, Tự nhiên, ở tất cả các hệ đào tạo

N hằm đ á p ứng nhu cầu dạy và học đó, qua kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm môn học này cho nhiều đôi tượng khác nhau, chúng tôi biên soạn quyển s ách này với

hy vọng d à n h cho nhiều đôi tượng độc giả

Môn học xác xuất thông kê là môn học n g h iên cứu về

các sự kiện và các đại lượng ngẫu nhiên Nó sẽ trang bị cho chúng ta một công cụ để tìm hiếu p h á t h i ệ n quy luật của một tiêu chuẩn trong một tập hợp đông đ ảo các đôi tượng nghiên cứu Và ta biết cách phân tích, n g h iên cứu nó, qua các giá trị đặc trưng của nó Từ đó rút ra những kết

lu ận cần thiết cho công việc của chúng ta

Môn học này được xem là khó đôi với những người khồng chuyên học toán Do đó, trong quyển s ách này, chúng tôi cô" gắng trình bày súc tích, ngắn gọn nhưng đầy

đủ các khái niệm cốt lõi và dưa ra những ví dụ m inh hoạ

đ ể độc giả dễ hiểu Các bài tập được trình bày theo trình tự

từ dễ đến khó

Để giúp độc giả học tập iô\ và kiểm tra được kết quá

học tập của mình, chúng tôi đã biên soạn quyển bài giải

Và để dễ nhớ, dễ theo dõi, trong đó đ ầ u mỗi chương chúng tôi có tóm tắt giáo khoa

Hy vọng q u y ển sách lý thuyết và quyển giải bài tập sẽ giúp độc giả làm việc hiệu quả

Mặc dù đã cố gắng nhưng không sao tránh khỏi những,

sai sót, thiếu sót Mong đón n h ậ n những ý kiến đóng g ó p >

đ ể lần tái b ản sau h o àn chỉnh hơn

TP.HCM, n g à y 01/01/2007

Các tác giả

Chương 0: Vài yếu tô' về tập hợp và giải tích tể hợp

C H Ư Ơ N G 0.

V ẰI YẾU TÒ VỀ T Ậ P H Ợ P

VÀ GIẢI TÍCII TỔ H Ợ P

§1 N H ẮC LẠI TẬP HỢP & ÁNH XẠ

1 Khái niêm tâp hợp :

Tập hợp là một khái niệm toán học không định nghĩa được mà chí mô tá như một họ hay một lớp các cá thế riêng khác nhau và có thể có chung một thuộc tính nào đó Mỗi cá th ể của tập hợp được gọi là phần tứ của tập hợp

Kỷ hiên:

a G A có nghĩa A là phần tứ của tập hợp A

a G A có nghĩa A không là phần tứ của tập hợp A

2 Cách cách biểu thi tâp hơp (cỏ 3 cách):

Chương 0: Vài yếu tố vể tập hợp và giải tích tổ hạp

6 Các phép toán của tâp hớp:

a) Giao: A giao B ký hiệu A n B là tập hợp những

p h ầ n tử vừa thuộc A vừa thuộc B

Chương 0: Vài yếu tố vê tập hợp và giải tích tẩ hợp

A = (a, b, c, d|, B = le, d, e, f I thì A \ B = la, b}

7 Cách tính chat của các phép toán (n, u , bù)«

a) Tính giao hoán: A n B = B o A ,

A U B = B U A

b) Tính kết hợp: (A n B) o c = A Ol (B n C),

( A u B Ị c C = A n ( B n C )c) Tính p h â n bô": A ^ (B w C) = (A O B) U (A n C),

A u (B ^ C) = (A u BỊ O (A u C)d) Tính đối ngẫu (De- Morgan):

Phần tử f(x) gọi là ảnh của X bới f.

Chương 0: Vài yếu tô' về tập hợp và giải tích tổ hợp

Ví du l i

Các p h é p gán sau, p h é p gán nào là á n h xạ, p h é p n à o không là -°

2 A nh của tâp A bửi f

Kv h iệ u f(A) đ ịn h bởi /(.-0 = 1 ve B\y = J\xỶị

song ánh

III TÂP ĐẾM ĐƯƠC:

Đinh nghĩa: Cho X là một tập vô hạn Nếu có th ế thiết lậpmột song á n h giữa tập sô" tự nhiỏn N với tập X thì ta nói X

Đoạn đường từ A đ ế n c phá (li qua B Từ A tới B có

2 lôi đi và từ B tới c có 3 lôi di Vậy ta có 6 cách đi từ A

tới c

Khi đó nil = 2, m2 = 3 và a> = nij X rn2 = 2 x 3 = 6

Ví du 2 :

Tại một cứa hàng ăn sáng có 3 món ă n và 4 món uổhg

Tâm được mẹ cho p h é p ăn một món và uống một món Hỏi

có hao n h iê u cách đ ể Tâm lựa chọn

' -? *

Chương fl: Vài yếu tô' về tập hợp giải lô

s ố cách đ ể T âm lựa chọn là: n = m n X m2 = 3 X 4 = 12

Tổng q u á t: Một công việc được tiến h à n h qua k gia đ o ạ n

Giai đ ọ an 1 có m, cách, giai đoạn 2 có m 2 cách, , g ia

đ o ạ n k có nik cách Thì số cách n đ ể thực h iệ n toàn bộ

công việc là:

n = m, X m2 X X mk

Ví d u 3:

Cụ Huy có 5 bộ q u ần áo mới 4 cà vạt và 3 đôi giàv

Mỗi lần đi chơi cụ m ặc một bộ quần áo mới, thắt một c à

vạt và mang một đôi giày Hỏi có bao n h iê u cách đ ể cụ

nhau, được gọi là một chính hựp c h ậ p k trên n phần tử

Gọi ,4* là sô' các chỉnh hợp c h ậ p k trên n p h ầ n tử Ta

có:

Akn = n(n - 1)•• • ịn- k+ 1) = — ——

( n - k ) \

6

Chứng m in h :

Để có một chỉnh hợp chập k, ta chọn p h ầ n tử đứng đầu

co n cách, p h ầ n tứ dứng thứ hai có (n- 1 ) c á c h phần tửđứng thứ k có (n - k + 1 ) cách.-

Vậy theo nguyên lv nhân ta có:

Chương o: Vài yếu tô' vế tập hợp và giải tích tổ hợp

Biết rằng b iể n số xe gắn máy tại TP.HCM có 4 chữ số

Hỏi có th ể có tôi đa bao nhiêu biến số trên đó có 4 chữ số

h o à n toàn khác nhau

Giải:

Bôn chữ số h oàn toàn khác nhau trên một biển sô" xe là

một chỉnh hợp c h ậ p 4 trên 10 phần tử |0, 1 , 2 , , 9| Nên • sô" tối đa biển sô" trên đó 4 chữ sô hoàn toàn khác nhau là:

Chương 0: Vài yếu tô'về tập hợp và giải tích tổ hợp

4 = ——— = = 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 6720

Vi du 3 :

Có bao n h iê u c ách chọn 4 người đi làm công việc khác

n h au trong sô 6 người được để cứ

Chương 0: Vài yếu tô' vế tập hợp và giải tích tổ hợp

Giải:

Mỏi cách bô" trí 5 giáo viên là chủ nhiệm 5 lớp là một

p h é p hoán vị Vậy sô" cách bô" trí là:

Ví du 2:

Có 3 nam và 3 nữ Hói có bao nhiêu cách sắp xốp thành

3 đôi nam nữ đ ế khiêu vũ

Một cách sắp xếp thành 3 dôi nam nữ là một phép

h o á n vị Vậv sô" cách là:

4 Chỉnh hơp l ă p

Một cách chọn lặp k phần tứ có đ ể ý đến thứ tự từ một tập hợp cỏ n p h ầ n tử khác nhau lccíc phần tử có th ể lập lại

tôi da k lần) được gọi là một chính hợp lặp chập k trên n

p h ầ n tứ

Gọi A* là sô" các chỉnh hợp lặp chập k trên 11 phần tứ

đó Ta có:

Chứng m in h :

Đây là trường hợp đặt hiệt của nguyên lýnhân, một

công việc được tiến hành qua k gia đoạn Mõi giai đoạn có

n c á c h thực hiện

p = 5! — n 120

lìáì:

k có th ể lớn hơn n

Vậy Aln = rriịX mì x

Người thứ nhâ"t có 8 cách lên tàu

Người thứ hai có 8 cách lên tàu

Người thứ n ă m có 8 cách lên tàu

Áp dụng nguyên lý n h â n , ta có sô" c ách lê n tàu

Ví du 3:

Giả sử có một vị thần có quyền ban p h á t ngày sinh cho con người Hỏi có bao nhiôu cách phân phôi ngàv sinh cho

5 em b é ra đời trong năm 1993?

Chương 0: Vài yếu tô' vể tập hợp và giải tích tổ hợp _

N ă m 1993 có 365 ngàv, nên mỗi cách ban p h á t ngày

sinh cho 5 em bé là một chỉnh hợp lặp chập 5 trên 1993

p h ầ n tử Vậy sô' cách là:

à ^ = ( 3 6 5 ỹ

5 H oán vi lă p

N ế u trong n p h ầ n tử có m phần tứ giông nhau thì mỗi

h o á n vị của n p h ầ n tử đó được gọi là một hoán vị lặp

/>(3) = - = 4x5 = 20

3!

Tổng quát: Trong n p h ầ n tử có nij phần tử giông nhau, m2

p h ầ n tử giôúig nhau, , nik phần tử giỏng nhau

Chương 0: Vài yếu tô' về tập hợp và giải tích tể hợp

m ! + m2 + + m k = nSô" hoán vị của n p h ầ n tử này là:

Vì yêu n ê n buộc p h á i đi

Mỗi ngày khác trước tính thì bao n h iê u

Bô" Mẹ nàng đô" ấy điều

Nếu chàng tính đúng thì chiu V ngay

(Đi trên các cạn h của ố vuông Cho biết các ô vuông bằng n hau và đi theo đường ngắn nhâ"t)

T ' " r p4

, ị

ĩ i Ị

! 1

xyvxxxyyyyxxxvy

Đó là sự đối chỗ của 7 chữ X và 8 chữ y, chính là hoán

vị lặp Vậy sô" đường đi là:

Chương 0: Vài yếu tô' vế tập hợp và giải tích tổ hợp

• 2 ĩ

Giai:

việc k h á c nhau trong số 6 người dược đề cử, là một chỉnh hợp c h ậ p 4 trên 6 phần tử Vậy số cách là:

Cách 2 :

Chương 0: Vài yếu tô' vế tập hợp và giải /ế hợp

"b°

16

Chương0: Vài ỵếutô' vế tập hợp và giải tích

ệ i- l‘

B à i 1: Một hộp có 5 bi trắng, 3 bi xanh Lấy từ hộp ra 2

bi Có 3 cách lấy:

Cách 1:lấy ngẫu nhiên 2 bi

Cách 2: lấy lần lượt 2 bi

Cách 3 :lấy có hoàn lại 2 bi (chọn lặp)

Xét theo 3 cách lây:

1 ) Có bao nhiêu cách lấy 2 bi?

2 ) Có bao nhiêu cách lấy 2 bi trắng?

3) Có bao nhiêu cách lấy 1 bi trắng, 1 bi xanh?

Chương 0: Vài yếu tố về tập hợp và giải tích tổ hợp

Giải:

Công việc sắp xếp 10 người gồm 3 giai đoạn:

Giai đoạn í: Chọn tùy V 4 người vào nước Mỹ: Cị40 cách

Giai đoạn 2: Chọn tùy ý 3 người vào nước Pháp: cách

Giai đoạn 3: Chọn tùy ý 3 người vào nước Anh : c ỉ cách

Theo nguyên lý n h â n , số cách s ắp x ếp là:

Bải 3: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có 20 là nam

Có bao n h iê u cách chọn ra một ban c á n sự gồm 4 sinh viên nếu:

1 ) Có đúng 2 nam 2 ) Không có nam

3) N hiều n h ấ t 2 nam 4) Có ít n h â t 1 nam

f)d p sô':

18

Chương O; Vài yếu tô' về tập hợp và giải tích tổ hợp _

3) c 20 x c 10 + c 20 x (■ 10 + (- 20 y C ịo

4) C 3 0 “ c , 0 ’ c 20 x c 1 3 + C20 x C ĩo + C 20 x C 1 0 + C 2 0

Bải 4: Trong một buối dạ vũ có 22 nam và 18 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn :

1 J Hai người ra khiêu vũ ?

2) Một đôi nam nữ ra khiêu vũ ?

3) Ba đôi nam nữ ra khiêu vũ ?

Đ á p sô:

Bài 5: Người ta dùng 5 cột cờ đế báo hiệu trên biển Biết

rằng có tất cả 7 màu cờ khác nhau Hỏi có bao n h iê u tín hiệu khác n h a u nếu:

3) Có đúng một nam 4) Toàn là nữ

5) Có ít nhâd một nam

Chương 0: Vài yếu lô' về tập hợp và giải tích tổ hợp

Bải 7: Cùng câu hỏi n h ư bài sô' 6, n ế u Ban cán sự gồm: 1

lớp trưởng, 2 lớp phó, và 1 ủy viên đời sông

Giai đoạn 2: c h ọ n b G B \ |a}, có 9 cách

Giai đoạn 3: chọn c G B\{a,b|, có 8 cách

Vậy số cách là : 9 X 9 X 8 = 648

20

Chương O: Vài yếu tô' vế tập hợp và giải tích tổ_hợp _

2) n = a b c a, b, c G {1, 3 5, 7, 9} = c

Vậy sô" cách là : a Ị = 5?= 125

3 j n = a b c a e A , b G B , c e c

Giai đ o ạ/7 1: Chọn c G c , có 5 cách

Giai đoạn 2 : Chọn ae A\(cỊ, có 8 cách

Giai đoạn 2: Chọn b G B\|c, aị có 8 cách

Vậv sô cách thỏa đề bài là: 72+256 = 328

Cách khác: câu 4 = câu 1 - câu 3 = 648 -320 = 328

Chương 0: Vài yếu tô' vể tập hợp và giải tích tổ hợp

B à i 10: Năm người cùng lên m ột đoàn tàu hóa có 8 toa xe

Có bao nhiêu cách đế:

1 ) Lên tùy ý

2 ) Lên cùng một toa

3) Lên 5 toa đầu

4) Lên 5 toa khác nhau

5) A và B lên cùng toa đầu

Chương 1: Các khái niệm cơ bản cùa xác xuất

CẮC K H Á I NIỆM C ơ BẢN

CỦA XÁC I^CẤT

§1 CÁC KHÁI N IỆ M BAN ĐAU

1 Phép thử - không gian mẫu - biến cô':

■ P h é p thứ: Khi quan sát một hiện tượng hay làm một thí n g h iệm và chú ý đ ế n kết quá của hiện tượng hay thí nghiệm đó, ta nói đã làm một phép thử Người ta thường ký

h iệ u một p h é p thử bởi chữ T

• Không gian mẫu: Tập tất cá các kết quá có thể xảy

ra cúa một p h é p thử T, ctưực gọi là không gian m ẫu và ký

b) Tung một đồng xu, là làm một p h é p thứ Mặt sấp xuâ't hiện hay mặt ngứa xuất hiện là những biến cô'

2 Các loại biến cô'.

■ Biến cố' sơ câ'p: mỗi phần tứ Cù e Q , được gọi là một biến cô' sơ câ'p

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác xuất _

■ Biến cỏ' chắc c h ẩ n : Là biến cô" n h ấ t thiết xáy ra k h i

p h é p thử được thực hiện Ký h iệ u n

■ Biến cỏ' khống th ể c ỏ : Là b iế n cô' không thế xảy r a khi p h é p thử được thự hiện.Ký h iệ u 0

Ví du: Cho p h é p thử T là tung một con xúc xắc

Ta có: Không gian m ẫu Q = {1,2,3,4,5,61 N

{1} {2}, {3|, (4|, (5|, {6 }: nhưng biến cô' sơ cấp

A = {2,4,6}: biến cô' m ặt chắn

B = {1,3,5}: biến cô' m ặ t lẻ

c = {1 ,2 }: b iến cô'

D = 11,2,3.4,5,6): b iế n cô' ch ắc ch ắ n , tức là D = o

E = {7}: biến cô' không thế có, tức là E = 0

N ếu m ặt một xuâ't hiện: ta nói biến cô' ịlỊ, B, c, D xảy ra

N ếu mặt hai xuất hiện: ta nói biến cô' |2 Ị, A c, D xáy ra

3 Số trưcmg họp đồng khả năng.

- Hai hay n h iề u biến cô' trong một p h é p thử có khá

n ăn g xảy ra như nhau, được gọi là đồng khá n ă n g

- Trong một p h é p thử mà mọi biến cô' sơ cap đều đồng khả n ăn g thì sô' p h ầ n tử của khồng gian m ẫ u được gọi

là sô' trường hợp đồng khá n ăn g c ủ a p h é p thử

Ví dụ:

1 ) Tung một đồng xu cân đô'i đồng châ't, ta có sô' trường hợp đồng khả năng là 2

24

Chương 1: Các khái niệm cơ bản cùa xác xuất _

2) Tung một con xúc xắc cân đôi dồng châ’t, ta có sô" trường hợp đồng khả năng là 6

Quy Ước:

Từ nay về sau trong bài toán tung xúc xắc hay tung đồng xu và không nói gì thêm, ta hiểu đó là con xúc xắc hay đồng xu cân đôi dồng chất Còn nếu đồng xu hay con xúc xắc b ấ t thường thì bài toán sẽ nêu ra

4 Các phép toán về biên c ô

Cho A, B c f i

a) Tống của 2 biến cô" A và B ký hiệu A + B định bởi:

A + B = A U B

A + B xảy ra khi A xáv ra hay B xảy ra

b) Tích của 2 biến cô’ A và B kv hiệu A.B định bởi:

A.B = A n B

A.B xảy ra khi A và B đồng thời xáy ra

c) Phần bù cúa biến cô’ A C Q , ký hiệu A định bởi:

A = Q \ A = |w 6 Q; w Ể A|

Ví d u 1: Hai sinh viên A,B cùng dự thi môn XSTK Gọi A

là b iến cô sinh viên A thi đậu, B là biến cô’ sinh viên B thi đậu, và c là biến cô’ sinh viên có ít nhâ’t một trong hai sinh viên trên thi đậu

T a c ó : C = A + B

Ví du 2: Kiểm tra n s ả n p h ẩm Gọi A, là biến cố s ả n

p h ẩ m thử i xâu, c là biến cô" có ít nhâ"t một s á n p h ẩm xâ"u

Chương 1: Các khái niệm cơ bản cửa xác xuất

Ta có : c = Aị + A2 + + An

Ví du 3 : Chọn ngẫu n h iê n một lá bài trong bộ bài có 52

lá Gọi A là b iế n cồ" gặp lá xì B là biến cô' gặp lá bích, c là biến cô" gặp lá xì bích

Ta có : c= AB

A' là biến cô" bóng thứ i tốt, c lá biến cô' cả 5 bóng đều tốt

Ta có * c = Aj A? A;ị A4 A5

5 Các tính châ"t của các phép toán (+, , bù).

a) Tính p h ả n hồi: A + A = A

A A = Ab) Tính giao h o án : A + B = B + A

A.B = B.Ac) Tính kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + c

A(BC) = (AB)Cd) Tính p h â n bô": A( B + C) = AB + AC

A + BC= (A + B) (A + C)e) Tính đôi ngầu (De-Morgan):

à Tb A.B ÃJÌ = A + B

26

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác xuất

6 Quan hê giữa các biến cỏ".

■ Xjung khắc: hai biến cô" A và B được gọi là xung khắc

n h a u n ế u biến cô" này xảy ra thì biên cố kia không xảy ra

Tức là : A.B = 0

■ Ho xung k h á c : (còn gọi là họ sung khắc từng đôi)

Họ các biến cô" A1 , A 2, A nđược gọi là họ xung khắc

n ế u một biến cô" bâ"t kỳ trong họ xảy ra thì các biến cô" còn lại không xảy ra

Tức là : A1 Aị = 0 V i, j (i * j)

■ Đối l â p : hai biến cồ" A và B được gọi là đô"i lập nhau

n ế u chúng thỏa:

a) Xung khắc nhau: A B = 0

b) Phái có một trong hai biến cô" xảy ra: A + B = Q

■ Ho dầy đ ủ : họ các biến cố A ị , A.,, A n dược gọi là một họ đầy đú nếu chúng thỏa

a) Họ xung khắc: A j Aị = 0 Vi, ị (i * j)

b) Phải có một biến cô" trong họ xáy ra:

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác xuất

A j , A 2, A 3, A 4 là một họ xung khắc

A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6 là một họ đầy đủ

§2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN c ố

Là sô" đo khả n ăn g xảy ra của b iến cô" đó Có 3 c á c h

đ ịn h nghĩa

Đinh nghĩa xác suât theo cố đ iể n :

Cho A c Q, xác suâ"t củ a b iến cô" A ký h iệu P(A) đ ịn h bởi:

P(A) = —

n

n: sô" trường hợp đồng khả năng của p h é p thử

m: sô" trường hợp th u ậ n lợi đ ế biến cô" A x ảy ra

28

G iả i:

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác xuất

Gọi A là biến cô" chọn được bi đó

Ta có: P(A) = 4 _ 1

12 " 3

Đ inh n g h ĩa xác suât theo thông k e :

N ếu ta thực h iện n lần một phép thử và thấy r lần

b iế n cô" A xảy ra, thì tỷ sô":

Y

f(A) = -

nđược gọi tần suâ"t của biến cô" A

- Gọi fn(A) là tần suất cúa biến cô" A sau n lần thực

h iệ n m ột p h é p thứ Nếu sô" lần thử n tăng lê n mà tần suất luôn giao động quanh một sỗ" không đối p và ngày một gần tới sô" này, thì giá trị p nàv được gọi là xác suất biến cô" A

2) N ếu ta tung đồng xu méo đó n lần và khi n khá

lớn n ế u thâ"v f n (S) dao động quang giá trị 0,25 thì ta có

P(S)=0,25

* Ghi c h ú : Đô"i với những phép thứ không có sô" trường hợp

đồng khả năng, người ta phải dùng tần suâ"t và định nghĩa xác su ất theo thông kê đ ể xác định xác su ất cúa một biến cô" nào đó

Chương 7; Các khái niệm cứ bản của xác xuất

Ngoài ra còn có định nghĩa

Cho P(Q) = {A| A c Q| Á nh xạ p : P(Q) -> [0, 1] thỏa:

Đinh nghĩa xác suất theo hình h oc.

Một p h é p thử I có vô h ạ n biến cô" sơ cấp kết cục đồng khả năng A là b iế n cố bâ't kỳ trong p h é p thử N ếu có th ể

b iẽu diên:

T ập hợp vô h ạn biến cô' sơ cấ p trong p h é p thứ trê n

là m iề n s,

■ T ập hợp tấ t cả b iến cố sơ cấ p th u ận lợi cho A là

m iền s, thì xác su â t của b iế n cô' A là:

đô đo của sP(A) = —1 -

độ đo của s

(độ đo có th ể là độ d à i, d iệ n tích, th ể tích)

VÍ du 4: H ai người y êu n h a u h ẹ n n h au tại m ột q uán café,

trong k h o ản g từ 7.00 - 8.00 tôi, m ỗi người có th ể đ ế n chỗ

h ẹ n vào bâ't kỳ thời đ iểm n ào trong khoảng thời gian này Hôm đó cả hai cùng có việc b ận đột xuâ't, n ê n giao h ẹn rằn g người n ào đ ế n trước sẽ chờ người kia, quá 20 phút thì đi

30

T ính xác suâ't hai người gặp được; n hau.

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác xuất

Từ 7.00 - 8.00 là 60 phút

Thời điểm đ ến chỗ hẹn của A là X (kể từ 7.00)

Thời điểm đ ến chỗ hẹn của B là y (kể từ 7.00)

0 < X < 60

0 < y < 60

Đ iều kiện 2 người gặp nh au là : I X - y I < 2 0

B iểu diễn X, y trong hệ tọa độ DESCARTES, với đơn vị

là phút

ị y > X - 20

Ta có : I X - V I < 20 <=> ị

[ y < X + 20Đặt G : biến cô' 2 người gặp được nhau

Nhận x é t:

M iền biểu d iễ n của I X - y I < 20 là m iề n có gạch chéo

Suy ra xác suất đ ể 2 người gặp n h au là tỷ sô' d iệ n tích của m iền có gạch ch éo và d iệ n tích h ìn h vuông.

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác xuất

Gọi n là sô' p h ần tứ của Q

Gọi m là sô' p h ầ n tứ của A

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác xuất _

Đ inh lý 2:

Cho A|, A2, A ; j An là một họ xung khắc Ta có P(Ai +

A> s As) = P(A,) f P(A2) , + P(A„)

Chăng hạn n = 3

Ta có : P(A, +A2 +A3 )

= P[A, +( A2 + A3 )| do A,(A2 + A;1)= 0

= P( A,) +P(A2 +A3)

= P(A,)+P(A2) +P(A;t) do A2.A3= 0

Ví d5: Một người bắn bia bia có 3 vòng Xác suất để trúng vòng 1 là 0,2; trúng vòng 2 là 0.4; trúng vòng 3 là 0,3 Tính xác xuất người đó bắn 1 phát trúng bia

Cho A, B, c c Û

Ta có: P(A + 13) = P(A) +P(B) - P(AI3)

' Chứne minh:

Ví du ổ: Trong sô" 100 người nữ , sô" người thích nước hoa

A là 60, sô" người thích h o a B là 70, và sô' người th ích cả 2 loại nước hoa trê n là 50 C họn ngẫu n h iê n m ột người T in h xác suâ"t đ ể người n ày th íc h ít nhâ"t m ột trong hai loại nước hoa trên

G iải:

Gọi A là biến cô' gặp người th lch nước hoa A, B là gập người thích nước hoa B, và F là b iến cô" gặp người thích ít nhâ't m ột trong hai loại

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của xác x u ấ t _

2) PÍA+B+C+D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) - P(AB) - P(BC) - P(CA) - P(AD) - P(BD) - P(CD) + P(ABC) + P(BCD) + P(CDA) + P(DAB) - P(ABCD)

§3 XÁC SUẤT CÓ ĐIỂU KIỆN

Đinh nghĩa: Cho A.B c Q có P(B) > 0 Xác su ấ t củ a b iế n CCÍ

A được tính với d iều kiện biến cố B đã xảy ra, được gọi là xác suất có đ iều kiện của biến cố A đố i với b iến cố B và

v iết P( A /B )

Khi đó P( A /B ) - î- = î i * Ê l

r: sô" trường hợp thuận lợi dể B xảy ra

s: số trường hợp thuận lợi dế AB xảy ra

Ví d u : Tung m ột con xúc xắc Gọi A là b iến cô" m ặt n h ấ t

xuâ"t h iện , B là biến cô" m ặt lẻ xuất h iện T ín h P (A /B ),