SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12 THPT HÀ NỘI Năm học 2015 – 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút(Đề gồm 01 trang) Bài 1(1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 y= Bài 2(1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số 2x −1 x −1 biết d có hệ số góc -1 Bài 3(1,0 điểm) 1) Cho số phức z = + 2i Tìm phần thực số phức ω = 3z – P = log + z log 27 2) Tính giá trị biểu thức π I = ∫ ( x + cos x).cosxdx Bài 4(1,0 điểm) Tính tích phân I = Bài 5(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; -1), B(3; 0; -5) mặt phẳng (P):2x – y – z + = Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A, cắt trục Ox song song với mặt phẳng (P) Bài 6(1,0 điểm)1) Giải phương trình π s in3x+cos3x=2sin 2x+ ÷ 3 2) Hội đồng coi thi THPT Quốc gia gồm 30 cán coi thi đến từ ba trường THPT có 12 giáo viên trường A, 10 giáo viên trường B, giáo viên trường C Chủ tịch hội đồng coi thi chọn coi thi chứng kiến niêm phong gói đựng bì để thi Tính xác suất để cán coi thi chọn giáo viên hai trường THPT khác · BAC = 600 Bài 7(1,0 điểm).Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = 2a, , cạnh bên SA a vuông góc với mặt phẳng đáy SA = Gọi M trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SB, CM Bài 8(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H(5,5) hình chiếu vuông góc A cạnh BC, đường phân giác góc A tam giác ABC nằm đường thẳng x- 7y +20 = Đường thẳng chứa trung tuyến AM tam giác ABC qua điểm K(-10, 5) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm B có tung độ dương Truy cập trang web http://dethikiemtra.com/ để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn nhất! Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x (1 + y ) − + x = − xy (2 x − xy )( x − − x + xy ) = x + y + z = xy + xz + 10 yz Câu 10(1,0 điểm).Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ 3x P = xyz − y + z2 biểu thức ĐÁP ÁN - ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 12 THPT Năm học 2015 – 2016 Môn: TOÁN Bài y = x4 − x2 TXĐ: D= R Sự biến thiên lim y = lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ y ' = x3 − x x = y ' = ⇔ x − x = ⇔ x( x − 1) = ⇔ x = −1 x = x y’ y -∞ +∞ -1 -1 + 0 - -1 +∞ + +∞ Hàm số đồng biến khoảng (-1;0) (1; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (-∞; -1) (0;1) Hàm số đạt cực đại điểm (0;0) Hàm số đạt cực tiểu điểm (-1;-1); (1;-1) Đồ thị Giao với trục tung (0;0) Giao với trục hoành điểm ; (0;0) Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị: HS tự vẽ hình Bài Truy cập trang web http://dethikiemtra.com/ để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn nhất! y= 2x −1 −1 ⇒ y' = x −1 ( x − 1) Gọi M(x0;y0) tiếp điểm tiếp tuyến d với đồ thị hàm số y '( x0 ) = −1 ⇔ Ta có: x0 − = x0 = −1 = −1 ⇔ ( x0 − 1) = ⇔ ⇔ ( x0 − 1) x0 − = −1 x0 = +) TH1: x0 = ta có y0 = Phương trình tiếp tuyến điểm M(2;3) là: y = - x + +) TH2: x0 = ta có y0 = Phương trình tiếp tuyến M(0;1) là: y = - x + Bài 1) z = + 2i ⇒ z = − 2i w = 3z − z = 3(3 + 2i ) − (3 − 2i ) = + 6i − + 2i = + 8i Vậy phần thực số phức w P = log + log 27 2) = log 2 + log 32 32 log 3 7 = 2+ 15 = = 2+ Bài 4: π π π 0 I = ∫ ( x + cos x ).cosxdx = ∫ x.cosxdx + ∫ cos xdx = I1 + I Truy cập trang web http://dethikiemtra.com/ để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn nhất! π I1 = ∫ x.cosxdxx Giải I1 ta có: Đặt u = x du = dx ⇔ dv = cosxdx v = s inx π π π I1 = ∫ x.cosxdx = x.s inx − ∫ sinxdx = 0 π π π + cosx 02 = 2 -1 π π π s in2x I = ∫ cos xdx = ∫ (1 + cos 2x)dx = x + 0 π = π Giải I2 ta có: Vậy I= π - Bài A(1;2;-1); B(3;0;-5) uuu r ⇒ AB = (2; −2; −4) Gọi I trung điểm AB nên I(2;1;-3) Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua điểm I có vtpt uuu r AB 2(x – ) – (y – ) – (z + 3) = x – – y + – 2z – = x – y - 2z – = Gọi vectơ phương d (a; b; c) Do đường thẳng d qua A( 1; 2; -1) nên d có dạng: x −1 y − z + = = a b c Mà d cắt Ox, chẳng hạn điểm có tọa độ (d; ; 0) : d − −2 = = → b + 2c = a b c (a; b; c) ⊥ n( P ) = (2; −1; −1) → a − b− c = Do d song song với (P) nên : Truy cập trang web http://dethikiemtra.com/ để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn nhất! Từ chọn a = ta b = 4; c = - Vậy phương trình đường thẳng d là: x −1 y − z + = = −2 Bài π s in3x+cos3x=2sin(2x+ ) 3 π s in3x+ cos3x=sin(2x+ ) 2 π π π ⇔ cos s in3x+ sin cos3x=sin(2x+ ) 6 ⇔ 1) π π ⇔ sin(3 x + ) = sin(2x+ ) π π 3 x + = 2x+ + k 2π ⇔ 3 x + π = π − 2x- π + k 2π π x = + k 2π ⇔ k ∈Z x = π + k 2π 10 Vậy phương trình cho có họ nghiệm 2) Không gian mẫu Ω tập hợp chọn cán coi thi chứng kiến niêm phong gói đựng bì đề thi” Do C302 số cách chọn cán 30 cán coi thi là: n(Ω)= =435 Gọi D biến cố “ chọn giáo viên trường THPT khác nhau” Tính n(D): 1 C12 C10 +) TH1: Số cách chọn cán có giáo viên trường A, giáo viên trường B là: C12 C81 +) TH2: Số cách chọn cán có giáo viên trường A, giáo viên trường C là: C10 C81 +) TH3: Số cách chọn cán có giáo viên trường B, giáo viên trường C là: Số cách chọn cán coi thi giáo viên trường THPT khác là: 1 1 C12 C10 C12 C81 C10 C81 n(D) = + + =296 Xác suất để chọn cán coi thi chọn giáo viên trường THPT khác là: P(D) = 296 435 Truy cập trang web http://dethikiemtra.com/ để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn nhất! Câu 7: AC = 4a 1 · BAC = 60 → → V = a .2a.2a = 2a (dvtt ) BC = 2a Trong mặt phẳng ABC, qua B dựng đường thằng d song song với CM Từ A hạ AK vuông góc với d, hạ AH vuông góc SK SA ⊥ ( ABC ) → SA ⊥ BK → BK ⊥ ( SAK ) → BK ⊥ AH → AH ⊥ ( SBK ) Ta có: d ( A, ( SBK )) = AH = 1 + SA AK Mà : CM // ( SBK) nên d(SB, CM) = d( CM, (SBK)) = d(M, (SBK)) = BC · BMC = ·ABK = 60 → sinBMC = = CM → AK = Do 2a a + 12a = 39 AK = 13 AB 4a 39 2a 87 → d ( SB, CM ) = 13 29 Câu 8: Phân tích: Gặp yếu tố đường phân giác, ta nghĩ đến việc sử dụng kẻ vuông góc, “ tìm điểm đối xứng với điểm biết” Tuy nhiên đây, cạnh AB, AC điểm nào, ta cần tìm cặp cạnh khác( mà AD góc tạo cạnh này) Do xuất H, ta bắt đầu xoay quanh H……… Lời giải: Ta có: Do tam giác ABC vuông A, AM trung tuyến nên : Truy cập trang web http://dethikiemtra.com/ để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn nhất! AM = BM = MC = BC · · · → MAC = MCA = BAH ( phụ với góc HAC) Do AD phân giác nên ta dễ dàng · · HAD = DAM suy ra: Từ H dựng đường vuông góc với AD, cắt AM E, cắt AD F Dễ có E điểm đối xứng với H qua AD Phương trình HK: 7( x – 5) + ( y – ) = hay 7x + y – 40 = Tọa độ F nghiệm hệ: 26 x = x − y + 20 = 27 11 ⇔ → E( ; ) 5 7 x + y − 40 = y = 18 Từ phương trình EK hay AM là: 2( x + 10) + 11( y – 5) = hay 2x + 11y - 35 = Tọa độ A giao AM AD nên A( 1; 3) Phương trình BC là: Tọa độ M (x − 13 ( ; 2) uuur AH (4; 2) → 2( x − 5) + ( y − 5) = ⇔ x + y − 15 = qua H (5;5) Phương trình đường tròn tâm M bán kính AM hay ngoại tiếp tam giác ABC là: 13 125 ) + ( y − 2)2 = 2 Tọa độ B, C giao đường tròn đường thẳng BC nên: 2a + b − 15 = → b = 15 − 2a → ( a − Gọi B( a; b) thì: a = B(9; −3) 13 125 ) + (15 − 2a − 2) = ⇔ → a = B(4;7) Do B có tung độ dương nên ta kết luận: A( 1; 3); B( 4; 7); C( 9; -3) Câu 9: Phân tích: Trước hết ta cần dự đoán xem đâu phương trình cần xử lý Bài toán không khó để nhận ra, phương trình số (2) “ khó lòng biến đổi” Phương trình (1) “ hoang mang” sử dụng casio nhập Y = 100 nhận X = 0,01, nhậm Y = 10 nhận X = 0,1 tức dễ có XY – = nhân tử( tức vế phải = 0)… Lời giải: Truy cập trang web http://dethikiemtra.com/ để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn nhất! (1) ⇔ x2 + x2 y −1 − x2 x (1 + y ) + + x 2 + xy − = ⇔ ( xy − 1)( xy + x (1 + y ) + + x 2 + 1) = ⇔ xy = ( Do biểu thức xy + + x (1 + y ) + + x x (1 + y ) + + x 2 ; x (1 + y ) + xy ≥ xy + ( xy ) ≥ ngoặc ) (2 x − 7)( x − − x + 3) = ⇔ x − 24 x + 35 = 5( x − + x + 3) Thay vào (2) ta được: ( Lưu ý cần liên hợp đẩy tổng sang vế phải không “ dây dưa với tích 2x – không liên hợp phức tạp hơn) Tới bấm máy liên hợp cách “ dê nghĩ hầu hết bạn làm theo” −9( x − x + 6) x2 − x + 3x − − (3 x + 2) + x + − ( x + 9) = x − 28 x + 24 ⇔ + = 4( x − x + 6) x − + (3x + 2) x + + ( x + 9) ⇔ ( x − x + 6)(4 + x≥ ( Do x = 1 + )=0⇔ x + + x + 3x − + (3x + 2) x = → ≤ x+3+ x+9 < 4; > 0) 2 x − + (3x + 2) 3+ + + 3 Kết luận: Nghiệm hệ phương trình cho (1;1); (6; ) Câu 10: Phân tích: Trước hết ta cần đánh giá điểm rơi BDT trước Do y, z đối xứng nên ta đự đoán y = z Thế vào giả thiết vào giải nốt ta có x = 4; y = z = Lời giải: gt ⇔ x + ( y + z ) − x( y + z ) = 12 yz ≤ 3(y + z) ⇔ ( x + y + z )( x − y − z ) ≤ ⇔ x ≤ y + z → y + z ≥ khác: x2 Mặt x 3 x2 12 yz = ( − y − z ) + x ≥ x → yz ≥ 4 16 Truy cập trang web http://dethikiemtra.com/ để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn nhất! P ≥ x Từ ta có: x x3 ( x − 4) ( x + 8) − = − 64 ≥ −64 16 x 2 Vậy MinP = -64, đạt chẳng hạn x = 4; y = z = Đáp án thực Ban chuyên môn Tuyensinh247.com Xem thêm: http://dethikiemtra.com/lop-12/de-thi-thu-thpt-quoc-gia Nguồn trang web: http://dethikiemtra.com Truy cập trang web http://dethikiemtra.com/ để cập nhật đề thi, đáp án, điểm thi, điểm chuẩn nhất!