skkn một PHƯƠNG án dạy học TÍCH vô HƯỚNG của HAI VECTƠ TRÊN cơ sở PHÂN TÍCH KHOA học LUẬN TRI THỨC

Từ những lý do đó, tác giả quyết định thực hiện một nghiên cứu: “Dạy và học tích vô hướng của hai vectơ, trên cơ sở phân tích khoa học luận tri thức” với những yêu cầu cụ thể sau: - Phân

MỘT PHƯƠNG ÁN DẠY HỌC

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

TRÊN CƠ SỞ PHÂN TÍCH

KHOA HỌC LUẬN TRI THỨC

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

1 Họ và tên: Lê Thanh Hải

2 Ngày sinh: 05 / 04 / 1983

3 Nam, nữ: Nam

4 Địa chỉ: 14A – KP3 – P Tam Hoà – Biên Hoà – Đồng Nai

5 Điện thoại: 0908544873

6 Email: thanhhai0504@yahoo.com

7 Chức vụ: Giáo viên

8 Đơn vị công tác: THPT Ngô Quyền – Biên Hoà – Đồng Nai

- Học vị cao nhất: Thạc sĩ

- Năm nhận bằng: 2010

- Chuyên ngành đào tạo : Lý luận và phương pháp dạy học toán

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: giảng dạy toán

Số năm có kinh nghiệm: 6 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 2

A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Một câu hỏi thường gặp trong dạy-học là “Học để làm gì?” Cụ thể hơn, trong một tiết học, đối với một nội dung kiến thức, học sinh (HS) có khi vẫn đặt ra câu hỏi

“Học khái niệm này, tri thức kia để làm gì?”, “Tại sao phải nghiên cứu chúng?”… Có câu hỏi mà trong một số trường hợp, giáo viên (GV) cũng khó trả lời thoả đáng

Nguyên nhân của những câu hỏi như vậy là vì HS không hiểu được “nghĩa” của những tri thức họ đang học HS học một tri thức không biết để làm gì, ứng dụng ra sao, không hiểu được vì sao phải có những tri thức như vậy Lâu dần có thể dẫn đến những áp đặt, chấp nhận, bào mòn tư duy sáng tạo, sự tò mò chính đáng về tri thức…

Vì vậy, việc dạy – học trên cơ sở giúp HS hiểu được nghĩa của tri thức là thực

sự quan trọng và cần thiết Muốn vậy, GV – người có vai trò quyết định trong dạy học, phải là người hiểu rõ được nghĩa của những tri thức mà mình đang truyền tải Đây luôn là một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu đầy thú vị và không ít gian nan, đòi hỏi người GV phải thực sự đam mê, quyết tâm và có kiến thức, am hiểu nhất định

“Tích vô hướng của hai vectơ” là một khái niệm có lịch sử ra đời và phát triển phức tạp Định nghĩa, tính chất và ứng dụng của khái niệm này cũng rất khác nhau trong các thể chế: tri thức bác học, tri thức ở bậc Đại học và tri thức dạy – học ở bậc phổ thông Vì vậy, dạy – học thành công tri thức này không phải là dễ dàng, mà đòi hỏi người GV phải nắm vững, hiểu sâu thì việc tổ chức dạy – học mới có hiệu quả

Từ những lý do đó, tác giả quyết định thực hiện một nghiên cứu: “Dạy và học tích vô hướng của hai vectơ, trên cơ sở phân tích khoa học luận tri thức” với những yêu cầu cụ thể sau:

- Phân tích lịch sử hình thành tri thức tích vô hướng của hai vectơ;

- Phân tích quan điểm sư phạm khi dạy học tri thức tích vô hướng của hai vectơ;

- Phân tích đặc trưng của tri thức tích vô hướng trong sách giáo khoa;

- Đưa ra một phương án dạy học tích vô hướng hiệu quả

MỤC LỤC

A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

MỤC LỤC

B NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I LỊCH SỬ HÌNH THÀNH TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Vì sao phải phân tích lịch sử hình thành tri thức ?

Sự ra đời của “tích vô hướng”, cũng như các tri thức bác học khác, đều là kết quả của một quá trình hoạt động khoa học Từ khi được phát minh ra bởi các nhà khoa học, đến khi có thể trở thành tri thức dạy học, khái niệm “tích vô hướng” đã phải trải qua một quá trình biến đổi mạnh mẽ, bị biến mất đi toàn bộ bối cảnh của phát minh, che dấu đi những câu hỏi ban đầu mà tri thức này là một câu trả lời, làm cho “tích vô hướng” trở thành bí ẩn và bị tước mất nghĩa Từ đó, cần phải phân tích lịch sử hình thành và phát triển của “tích vô hướng” Phân tích này sẽ giúp chúng ta vạch rõ sự tiến triển theo lịch sử của quá trình xây dựng “tích vô hướng” trong cộng

đồng các nhà khoa học, từ đó xác định được nghĩa của “tích vô hướng”, tình huống mang lại nghĩa đó, những vấn đề gắn liền với nó, vị trí tương đối của “tích vô hướng” trong một tri thức tổng quát hơn…

Đồng thời, nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển của “tích

vô hướng” sẽ giúp ta xác định một số chướng ngại hay quan niệm cho phép giải thích sai lầm của học sinh, cũng như tìm những tình huống giúp học sinh vượt qua chướng ngại, loại bỏ quan niệm sai lầm và hiểu được nghĩa của “tích vô hướng”.

1 Các hệ thống tính toán đầu tiên trong nội tại hình học

a Leibniz và “Hình học vị trí”: Ý tưởng đầu tiên về sự sáng tạo ra một hệ

thống tính toán trong nội tại hình học thuộc về Leibniz Với ý định đó, ông đã xây

dựng “hình học vị trí” Với hình học vị trí, ông chỉ quan tâm đến khoảng cách giữa

hai điểm, được hình thành trên khái niệm tương đẳng Từ đó, ông đã giải được một

vài bài toán khá cơ bản, nhưng chỉ dừng lại ở đó, về sau không đưa thêm kết quả mới nào

b “Tính toán tâm tỉ cự” của Mobius: Đây là một mô hình toán học giống

với hệ thống vectơ ngày nay trên khá nhiều phương diện, có tư tưởng cốt lõi và mới

mẻ là liên quan đến sự định hướng của các hình trong không gian Ông đã đưa ra phép cộng các đoạn thẳng cùng phương, mở rộng quy tắc dấu và quy tắc cộng 16 năm sau, Mobius khái quát hoá phép cộng và trừ các đoạn thẳng không cùng phương, nhưng đồng phẳng 19 năm sau nữa ông xây dựng phép nhân hình học hai đoạn thẳng “Tích hình học” của Mobius bằng tích có hướng của hai vectơ ngày nay về phương diện số, nhưng không đồng nhất Rồi ông xây dựng “tích chiếu” của hai đoạn thẳng định hướng (tương ứng với tích vô hướng ngày nay) Phát minh của Mobius là một giai đoạn quan trọng đối với sự phát sinh phép toán vectơ Lần đầu tiên, phép nhân của hai đoạn thẳng (định hướng) được đề cập đến Đây là một điểm quan trọng trong quá trình xây dựng hệ thống tính toán vectơ sau này Tuy nhiên, trong “tính toán tâm tỉ cự”, việc thiếu thói quen kết hợp cả độ dài và phương trong một đại lượng duy nhất đã gây ra một số lúng túng, mập mờ thiếu căn cứ hoặc thiếu chính xác

c “Tính toán tương đẳng” của Bellavitius: Năm 1833, nhà khoa học người

Ý Bellavitius công bố “tính toán các tương đẳng” Trong mô hình của Bellavitius

chứa rất nhiều yếu tố của lý thuyết vectơ hiện đại Phép cộng, phép nhân với một số trùng với các phép toán tương ứng trên các vectơ ngày nay Thế nhưng, ông đụng

phải một khó khăn không giải quyết được là tích của hai đoạn Lịch sử đã chỉ ra rằng vấn đề khái quát hoá các tính toán vectơ trong mặt phẳng luôn luôn đụng phải vấn

đề gai góc là phép nhân.

2 Biểu diễn hình học các số phức

Việc biểu diễn hình học các số phức đóng vai trò quan trọng trong sự phát sinh tính toán vectơ, đặc biệt là phép nhân vectơ

a Mô hình của Wessel: Xuất phát điểm của Wessel là hình học, và ông muốn

tìm cách biển diễn các phương trong không gian theo kiểu giải tích Wessel đã đưa ra được phép cộng các đường và phép nhân một đường với một số Vấn đề còn lại là phép nhân hai đường thì ông không thể giải quyết được triệt để, và thế là ông cũng không vượt qua được khó khăn trong việc xây dựng khái niệm tích các đường trong không gian Thế nhưng, những phát hiện của ông được thừa nhận là khám phá đầu tiên về biểu diễn hình học các số phức

b Mô hình của Argand: Khác với Wessel, điểm xuất phát của Argand là đại

số Trong quá trình tìm cách biểu diễn trung bình nhân của hai đại lượng đối nhau, Argand đã hoàn thiện phương pháp của mình bằng các phát hiện ngầm ẩn khái niệm

vectơ, sự phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương Thế nhưng, ông cũng không giải quyết được vấn đề khái quát phép nhân Sau đó lần lượt Servoir, và đặc biệt là Hamilton và Grassmann đã xây dựng lý thuyết các quaternion, trong đó chứa đựng tích của hai cặp số (vectơ) bằng biểu thức đại số1

3 Kết luận sư phạm rút ra từ phân tích lịch sử

Lịch sử hình thành lý thuyết vectơ đã chỉ ra cho ta thấy là những khó khăn, trở ngại mà các nhà toán học phải vượt qua luôn luôn liên quan đến việc định hướng các đối tượng hình học và việc xây dựng phép toán nhân trên các đường định hướng

a Vấn đề định hướng các đại lượng hình học: Hình học Euclid phát sinh từ

thời cổ chỉ cho phép các số can thiệp trên phương diện độ đo, từ đó mà mối quan hệ giữa hình học và số học được thiết lập Phương pháp giải tích của Descartes và Fermat đã làm đảo lộn sự cân bằng này Trong giai đoạn này, đối tượng của các phép toán vẫn luôn luôn là các số Tư tưởng gán cho các đối tượng hình học những đặc trưng khác với đại lượng vô hướng đã không dễ dàng xuất hiện trong lịch sử Đó là nguyên nhân dẫn đến những thất bại của nhiều nhà toán học khi xem xét phép nhân

giữa hai đại lượng có hướng Từ đó dự đoán được khó khăn có thể sẽ gặp phải đối với HS khi xem xét kết quả của phép nhân giữa hai vectơ (đại lượng có hướng) lại là một số (đại lượng vô hướng).

b Tính phức tạp của bản chất kép đại số và hình học: Khi mở rộng hệ

thống tính toán vectơ vào không gian, các nhà toán học luôn phải đương đầu với khó khăn của việc khái quát hoá phép nhân các đoạn thẳng định hướng Khó khăn này mãi về sau mới được vượt qua nhờ sự phân tích sâu sắc những tác động qua lại giữa quan điểm đại số và quan điểm hình học khi xây dựng các phép toán Liên hệ với việc học của HS, có thể đưa ra giả thuyết về những khó khăn mà HS phải đương đầu,

đó là khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học của phép toán vectơ, trong đó có phép nhân vô hướng Từ đó có thể dẫn đến những sai lầm như cho rằng

II VỀ DẠY – HỌC TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Khi dạy học các phép toán vectơ cần chú ý đến ba mảng kiến thức: định nghĩa phép toán, quy tắc xác định các phép toán và tính chất của các phép toán

1 Về định nghĩa phép toán

Tích vô hướng có thể được định nghĩa bằng một trong bốn biểu thức tương đương với nhau:

1 Chính nhờ xem xét phép toán nhân cả từ góc độ đại số lẫn góc độ hình học mà Hamilton mới giải quyết được triệt để vấn đề mở rộng tính toán vectơ.

•

• với là hình chiếu của trên giá của ;

Mỗi định nghĩa đều có những thuận lợi và khó khăn riêng Điều quan trọng là phải làm cho HS phân biệt được các loại tích: tích hai số, tích một vectơ với một số, tích

vô hướng (và sau này là tích có hướng) của hai vectơ

2 Về quy tắc xác định phép toán

Nhìn chung, phép nhân vô hướng hai vectơ không được định nghĩa bằng phương pháp kiến thiết như phép cộng hai vectơ và phép nhân một vectơ với một số, nên quy tắc xác định phép toán không được đặt nặng (trừ khi phép nhân vô hướng

được định nghĩa bằng phương pháp “tích chiếu” – thế nhưng, định nghĩa này không

được SGK ưu tiên sử dụng)

3 Về tính chất các phép toán

Ở phổ thông không yêu cầu xây dựng tường minh một không gian vectơ với các phép toán trên đó, nên không đòi hỏi HS phải chứng minh được mọi tính chất của phép toán, do đó ta có thể khai thác nhận thức “trực giác” của HS rồi khẳng định tính

có lý của những trực giác ấy Liên hệ với những tính chất của phép toán trên số sẽ giúp HS hiểu và vận dụng kiến thức được dễ dàng hơn Thế nhưng, cần phải nhấn mạnh cho HS thấy bên cạnh những tính chất giống nhau giữa các phép toán số và phép toán vectơ, thì bản chất của hai loại phép toán đó hoàn toàn khác nhau, và chúng có những tính chất không giống nhau Điều này có thể được khai thác rất đa dạng giữa phép nhân hai số và tích vô hướng Ví dụ như với ,

không thể khử được

Từ đó, nên đưa ra một số bài tập làm cho HS phạm phải sai lầm do suy luận tương tự, do áp dụng tuỳ tiện những tính chất của phép nhân hai số lên phép nhân vô hướng hai vectơ

4 Về ý nghĩa khởi sinh tích vô hướng của hai vectơ

Các phép toán cộng, trừ giữa hai vectơ, phép nhân vectơ với một số là các phép toán tuyến tính, chúng chỉ có tác dụng định tính Do đó, có một nhu cầu tự nhiên là cần một phép toán vectơ có tác dụng kiểm soát các định lượng, đo đạc hình học …

Các phép đo đạc cơ bản như độ dài, góc, khoảng cách, diện tích, thể tích … đều liên quan đến sự vuông góc Do đó, một phép toán của vectơ muốn kiểm soát được các đo đạc như vậy nhất thiết phải xuất phát (hoặc ít nhất là phải kiểm soát

được một cách chặt chẽ) các hình chiếu của vectơ Từ đó, “tích chiếu” của vectơ ra

đời

Ta có thể định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ như sau: Tích vô hướng của hai vectơ bằng tích độ dài đại số của một vectơ với độ dài đại số hình chiếu của vectơ còn lại trên trục của vectơ đầu.2

Như vậy, định nghĩa “tích chiếu” của tích vô hướng của hai vectơ chính là

định nghĩa mang lại nghĩa của phép nhân vô hướng của hai vectơ Tuy nhiên, SGK chương trình mới đã giảm tải và không đề cập đến vấn đề này

III TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – TRÊN CƠ SỞ PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA

Sách giáo khoa xây dựng “tích vô hướng của hai vectơ” trên quan điểm nào? Nghĩa của tri thức được hiểu ra sao ? Sách giáo khoa chú trọng đến những tính chất nào của “tích vô hướng” ? Để trả lời các câu hỏi nêu trên, tác giả tiến hành phân tích chương trình Sách giáo khoa Hình học 10, do Trần Văn Hạo tổng chủ biên

1 Về ý nghĩa khởi sinh

SGK Hình học 10 đưa ra vấn đề mở đầu dẫn đến tích vô hướng là một nhu cầu vật lý: tính công do lực làm một vật di chuyển một quãng đường

Trong đó là cường độ của lực tính bằng Niutơn, là độ dài của vectơ tính bằng mét (m), là góc giữa hai vectơ và Từ đó

giới thiệu: “Trong toán học, giá trị của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ và ”.

2 Tài liệu chuyên toán Hình học 10 (Đoàn Quỳnh CB) – Ý nghĩa hình học của tích vô hướng (trang 115)

2 Về định nghĩa

SGK Hình học 10 định nghĩa tích vô hướng:

“ Cho hai vectơ và khác vectơ Tích vô hướng của và là một

số, ký hiệu là , được xác định bởi công thức sau:

.”

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ và bằng vectơ ta quy ước

3 Về các tính chất của tích vô hýớng

SGK giới thiệu các tính chất của tích vô hướng bằng khởi đầu: “Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng …” rồi đưa ra bốn tính

chất (tính giao hoán, tính phân phối với phép cộng, tính kết hợp với tích của vectơ với một số và tính bình phương không âm), sau đó là ba nhận xét (là ba hằng đẳng thức vô hướng)

4 Về ứng dụng của tích vô hướng

SGK nêu ra ba ứng dụng của tích vô hướng là tính độ dài của vectơ, tính góc giữa hai vectơ và tính khoảng cách giữa hai điểm Cả ba ứng dụng này đều thực hiện

trên toạ độ của vectơ.

5 Về bài tập tích vô hướng

SGK có 7 bài tập về tích vô hướng, trong đó:

- 2 bài tập tính tích vô hướng bằng định nghĩa;

- 1 bài tập chứng minh đẳng thức về tích vô hướng;

- 4 bài tập ứng dụng tích vô hướng để tính chu vi, diện tích của tam giác, chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc, tính góc giữa hai vectơ… hoàn toàn bằng phương pháp toạ độ

6 Về mối liên kết của tích vô hướng với các tri thức khác

Trong bài Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác, tích vô hướng

được sử dụng một lần duy nhất dưới dạng công thức bình phương vô hướng khi chứng minh định lý côsin, ngoài ra không còn được nhắc lại thêm lần nào nữa

Những kết luận rút ra từ việc phân tích SGK:

- Về ý nghĩa khởi sinh: SGK đưa ra ý nghĩa khởi sinh của tích vô hướng là giải

quyết vấn đề vật lý, hoàn toàn “phi toán”, không phải là nhu cầu tự nhiên về mặt toán học Từ đó cho thấy HS có thể bị nhầm lẫn rằng sự ra đời của tích vô

hướng xuất phát từ vật lý Sự khớp nối giữa tri thức “tích vô hướng” với các tri thức khác của vectơ (các đặc trưng của vectơ, các phép toán cộng, trừ …)

vì thế có chặt chẽ không ?

- Về định nghĩa: SGK đưa vào định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ bằng

một công thức, chưa tính đến những gợi mở cần thiết về nội dung và ý nghĩa của công thức tích vô hướng (mặc dù trước đó SGK đã giới thiệu công thức tính công của lực – nhưng như vậy là chưa thoả đáng) Từ đó có thể dự đoán:

HS có thể có cảm giác “áp đặt”, đặc biệt là không thấy rõ được ý nghĩa, cũng như sự cần thiết của phép toán nhân vô hướng trong nội tại tri thức vectơ.

- Về các tính chất của tích vô hướng: các tính chất của tích vô hướng được

công nhận, không chứng minh, cũng như chưa có các hoạt động minh hoạ hay

làm rõ Từ đó có thể đặt câu hỏi: HS có khả năng có những sai lầm khi áp đặt các tri thức về tích các số thực vào tích vô hướng của hai vectơ không?

- Về ứng dụng của tích vô hướng: Ứng dụng của tích vô hướng được giới thiệu

gắn liền với biểu thức toạ độ của tích vô hướng… Các ứng dụng của tích vô

hướng trong hình học tổng hợp khá mờ nhạt Liệu HS có sẵn sàng sử dụng tích

vô hướng để giải quyết các bài toán hình học tổng hợp (không có toạ độ), như

sử dụng bình phương vô hướng để tính độ dài đoạn thẳng, sử dụng tích vô hướng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc … không?

- Về bài tập tích vô hướng: Số lượng bài tập vận dụng tích vô hướng dưới dạng

toạ độ chiếm tỉ lệ cao, và không thấy xuất hiện bài tập vận dụng tích vô hướng

ở cơ chế “công cụ” Có thể gây ra cho HS đồng nhất tích vô hướng với các tính toán đại số trên các thành phần toạ độ, và HS có nắm rõ mục đích, vai trò của việc tính tích vô hướng không?

- Về mối liên kết tích vô hướng với các tri thức khác: Mối liên kết giữa tích

vô hướng với các tri thức khác còn rời rạc và khá mờ nhạt HS có thấy rõ được tầm quan trọng của tích vô hướng trong hệ thống tri thức vectơ tổng thể hay không?

Từ đó dẫn đến giả thuyết: Chương trình và SGK không đặt nặng hoạt động nghiên cứu tích vô hướng ở cơ chế công cụ trong hình học tổng hợp; vai trò của tích

vô hướng chỉ là chuẩn bị một số công cụ, phục vụ cho “hình học toạ độ” và xa hơn

là “hình học giải tích” ở chương sau.3

3 Việc kiểm chứng sự thoả đáng của giả thuyết đưa ra cần một thực nghiệm cụ thể và phân tích tiên nghiệm, hậu nghiệm chặt chẽ Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một nghiên cứu nhỏ, đề tài này chưa có điều kiện thực nghiệm kiểm chứng giả thuyết đã nêu.