Bai5 CUC TRI HAM NHIEU BIEN

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN NỘI DUNG Cực trị tự Cực trị có điều kiện Giá trị lớn nhất, nhỏ tập compact CỰC TRỊ TỰ DO Hàm z = f(x, y) xác định miển mở D chứa P0(x0, y0) P0 điểm cực đại f tồn lân cận V P0 cho: f(x, y) ≤ f(x0, y0), ∀ (x, y) ∈ V Bỏ dấu “ = “ ta gọi P0 điểm cực đại chặt f Thay ≤ ≥ ta có định nghĩa điểm cực tiểu Lưu ý: dùng định nghĩa để xét cực trị xét dấu biểu thức sau với (x,y) gần (x0,y0) ∆f ( x0 , y ) = f ( x , y ) − f ( x0 , y ) hay ∆f ( x0 , y ) = f ( x0 + ∆x , y + ∆y ) − f ( x0 , y ) ∆x, ∆y gần (nhưng không đồng thời 0) Nếu ∆f giữ nguyên dấu lân cận (x0, y0) f đạt cực trị điểm này, ngược lại f không đạt cực trị Ví dụ 1/ P(0, 0) điểm cực tiểu chặt f(x, y) = x2+y2 ∆f(0,0) = f(x, y) – f(0, 0) = x2 + y2 > 0, ∀(x, y) ≠ (0, 0) hay f(x, y) > f(0, 0), ∀(x, y) ≠ (0, 0) 2/ P(0, 0) điểm cực tiểu không chặt f(x, y) = x2y2 ∆f(0,0) = f(x, y) – f(0, 0) = x 2y2 ≥ 0, ∀(x, y) hay f(x, y) ≥ f(0, 0), ∀(x, y) f(x, 0) = f(0, 0), ∀x ≠ f(0, y) = f(0, 0), ∀y ≠ Tức là: lân cận V (0, 0) luôn có đíểm (x, y) để dấu “ = “ xảy 3/ f(x, y) = x2 – y2 không đạt cực trị (0, ) f(x, ) > = f(0, 0),∀x≠0; f(0, y) < f(0,0), ∀y≠0 Trong lân cận (0,0) luôn có điểm P1, P2 mà f(P1) > f(0,0) f(P2) < f(0,0) Điều kiện cần cực trị: Nếu z = f(x,y) đạt cực trị P0(x0, y0) • Hoặc f’x(P0) = f’y(P0) = • Hoặc đạo hàm riêng P0 không tồn Định nghĩa: • f’x(P0) = f’y(P0) = : P0 điểm dừng •P0 điểm tới hạn ⇔ P0 điểm dừng đạo hàm f P0 không tồn Điều kiện đủ cực trị: Hàm z = f(x, y) có đạo hàm cấp liên tục lân cận điểm dừng P0(x0, y0) f 1.Nếu d2f(x0,y0) xác định dương f đạt cực tiểu chặt P0 2.Nếu d2f(x0,y0) xác định âm f đạt cực đại chặt P0 3.Nếu d2f(x0,y0) không xác định dấu f không đạt cực trị P0 Các bước để tìm cực trị hàm biến 1.Giải hệ pt: fx′ ( x , y ) = 0, fy′ ( x , y ) = ⇒ ( x0 , y ) ′′ ( x0 , y ), B = fxy ′′ ( x0 , y ),C = fyy ′′ ( x0 , y ) 2.Tính : A = fxx ∆ = AC – B2 ∆ >  f đạt cực tiểu chặt P A > 0  ∆ >  f đạt cực đại chặt P0 A < ∆ < f không đạt cực trị P0 ∆ = Xét P0 theo định nghĩa VÍ DỤ 1/ Tìm cực trị z = f(x, y) = x3 + y3 – 3xy fx′ = 3x − 3y = ( x , y ) = (0,0) ⇔  hay ( x , y ) = (1,1) fy′ = 3y − 3x = ′′ = x , fxy ′′ = −3, fyy ′′ = 6y fxx Tại (0,0): A = f”xx(0,0) = 0, B = f”xy(0,0) = -3, C = f”yy(0,0) = 0, ∆= AC – B2 = - < ⇒ f không đạt cực trị (0,0) ′′ = x , fxy ′′ = −3, fyy ′′ = y fxx Tại (1,1): A = f”xx(1,1) = 6, B = f”xy(1,1) = -3, C = f”yy(1,1) = 6, ∆= AC – B2 = 36 – > A>0 ⇒ f đạt cực tiểu (1,1), f(1,1) = -1 2/ Tìm cực trị z = f(x, y) = x4 + y4 – x2 – 2xy – y2 ( x , y ) = (1,1)  fx′ = x − x − y =  ⇔ ( x , y ) = ( −1, −1)   ′ f = y − x − y =  y ( x , y ) = (0,0) 2 ′′ ′′ ′′ fxx = 12 x − 2, fxy = −2, fyy = 12 y − Tại (1,1): A = f”xx(1,1) = 10, B = f”xy(1,1) = -2, C = f”yy(1,1) = 10, ∆= AC – B2 = 100 – > A>0 ⇒ f đạt cực tiểu (1,1), f(1,1) = -2 f(x, y) = x4 + y4 – x2 – 2xy – y2 ′′ = 12 x − 2, fxy ′′ = −2, fyy ′′ = 12 y − fxx Tại (1,1): A = f”xx(-1,-1) = 10, B = f”xy(-1,-1) = -2, C = f”yy(-1,-1) = 10, ∆= AC – B2 = 100 – > A>0 ⇒ f đạt cực tiểu (-1,-1), f(-1,-1) = -2 2 ′′ = 12 x − 2, fxy ′′ = −2, fyy ′′ = 12 y − fxx Tại (0,0): A = f”xx(0,0) = -2, B = f”xy(0,0) = -2, C = f”yy(0,0) = -2, ∆ = AC – B2 = ⇒ kết luận Xét ∆f(0,0) = f(x,y) – f(0,0) = x4 + y4 – x2 – 2xy – y2 = x4 + y4 – (x + y)2 ∆f(0,0) = x4 + y4 – (x + y)2 Nếu x = – y : ∆f(0,0) = 2x4 > Nếu x = y: ∆f(0,0) = 2x4 – 4x2 = 2x2(x2 – 2) < với x gần Vậy lân cận tùy (0,0) luôn có điểm P1, P2 mà f(P1) > f(0,0) f(P2) < f(0,0) Kết luận: f không đạt cực trị (0, 0) x=y P2 P1 V x=-y 3/ Cho f(x, y) = 2x4 + y4 – x2 – 2y2 Điểm sau cực trị f a/ P1(0,0) c/ P3(1/2, -1) b/ P2(-1, 1) d/ P4(0,1) Vì f có đhr R2 nên f đạt cực trị điểm dừng Vậy phải kiểm tra xem điểm điểm dừng xét ∆ điểm (Loại câu hỏi xét xem điểm thỏa hệ {f’x = 0, f’y = 0} không cần giải hệ khó) f(x, y) = 2x4 + y4 – x2 – 2y2 Xét hệ:  ′ fx = x − x =  ′ f = y − 4y =  y P1(0,0), P2(-1, 1), P3(1/2, -1), P4(0,1) Chỉ có P1, P3 P4 thỏa hệ nên P2 không điểm dừng, P2 không điểm cực trị 2 ′′ ′′ ′′ fxx = 24 x − 2, fxy = 0, fyy = 12 y − Tại P1(0,0): A = -2, B = 0, C = - ⇒ ∆ = > 0, A < 0: f đạt cực đại chặt Tại P3(1/2,-1): A = 4, B = 0, C = ⇒ ∆ = 32 > 0, A > 0: f đạt cực tiểu chặt Tại P4(0, 1): A = -2, B = 0, C = ⇒ ∆ = -16 < 0: f không đạt cực trị 4/ Tìm cực trị f(x, y, z) = −x2 + y2 + z2 – 4xz + 4x + 6y – 2z fx′ = −2 x − 4z + =  ⇔ ( x , y , z) = (0, −3,1) fy′ = y + =  ′ fz = 2z − x − = 2 2 d z (0, −3,1) = −2dx + 2dy + 2dz − 8dxdz Đây dạng toàn phương không định dấu nên f không đạt cực trị (0, -3, 1)( hay f cực trị)