BÀI TẬP ĐẠO HÀM HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng vi phân cấp Tính đạo hàm riêng vi phân cấp điểm ra: −dx − 8dy π − π dy e3 dy dx xdx + y + x2 + y dy x2 + y y + x2 + y Tính đạo hàm riêng vi phân cấp hàm ba biến 0, ln − 3 x2 + 2y + z x2 + y + z y2 y x+z y ,− , 2 + (x + z) y + (x + z) y + (x + z)2 yz(xy)z−1 − dx − dy + dz 25 25 Tìm miền xác định R2 \ {(0, 0)} {(x, y) : x − 2y > 0} R2 \ {(0, 0)} R2 R2 Với hàm số f cho trước, tính giá trị biểu thức A(x, y) theo x, y A(x, y, z) theo x, y, z x3 y −x x+y+z Trong đây, tìm hàm f (x, y) khả vi thỏa mãn điều kiện cho x3 y3 − xy + 3 3xy + x2 y + x2 + 3y + C ex + ey + xy − cos x − cos y x x2 + ey Tính số gia vi phân hàm số điểm 2dx + dy, 2∆x + ∆y + ∆x2 + ∆x2 ∆y + 2∆x∆y df (1, 1) = −0, 19, ∆f (1, 1) = −0, 1819 df (2, 1) = 0.3 , ∆f (2, 1) = 0, 33 Các toán ứng dụng − 2 π − 8, 2m3 Giảm 1, 57cm Tăng 617, 5cm3 Đạo hàm vi phân cấp cao Tính đạo hàm cấp hai theo yêu cầu điểm 1 − , −2 2 2x 2x x + xy sinh y y − , x x 2 2y cosh y cosh y y 2x + y sinh 1, − x2 yz(yz)x−2 Tính vi phân cấp hai hàm số sau điểm 30dx2 + 68dxdy − 4dy −2dx2 − 4dxdy − 4dy 8dx2 − 8dxdy + 2dy Tìm đạo hàm cấp cao điểm 2 x9 (2x3 y + 2x2 y + 11x + 10) ex y 9e−1 −25 35 10! 5 −32 sin (x2 − 2xy + 8x + y − 8y + 4) ex+y 0, − Đạo hàm vi phân hàm hợp 0, 2yzt + xz + xy(1 + tan2 t) (hoặc hết theo t) t 16 16 − + dt π π 0, 042kP a/s 2x + cos2 (x2 + 2x) x Cho z = f (x, y) = arctan y a/ fx (0, 1) = 1, fy (0, 1) = b/ dz(0) = dx 2y − 3xt2 dt c/ dz(t) = x + y2 40 2u − 2v − (x − y)2 , 2v − 2u − (x − y)2 6, 39 10 9, 11 12 13 14 15 12t2 + 18t 16 22, −15 17 18 r = x, s = xy, t = xyz ⇒ du(x, y, z) = (fr + yfs + yzft )dx + (xfs + xzft )dy + xyft dz 19 20 21 4 Đạo hàm vi phân hàm ẩn y (x) = ex−y − , y”(x) = x−y x−y 1+e (e + 1)3 0, − dx2 3 y 3x2 + z z ze y + 3y , z z e y − xy y e y − xy 1, 2y(x − 2) de(z + 1)3 u = yz, v = exz , zx = − zfu zexz fv , zy = − xz yfu + xe fv yfu + xexz fv = zu = zx xu + zy yu , = zv = zx xv + zy yv , − HD: xét hệ 2 (x − y)(x + 1)ex−z x+z (x − y)(y + 1)ey−z − , − − y+z (z + 1)(y + z)2 (y + z)2 (z + 1)(y + z)2 Thay (u, v) = (1, 1) giải hệ Đạo hàm theo hướng vector gradient 0, tanh2 − 1, − tanh2 (−π , π ) −x2 + 2xy √ Là hướng ∇f (1, 2) = 1 , → − − Theo hướng → a = (3, 4) àm số tăng nhanh hướng b = (−3, 4) 7, 31 7 a/ xy = z b/ x = y = Cho g = f ( x2 + y + z ) với f hàm khả vi, tìm ∇g(x, y, z) √ z− a/ (x − 1) + (y − 1) + 2(z − 2) = điểm x − = y − = √ π π π π b/ x − − y− −2 z− = 0, x − = − y = − 2z 2 4 1 c/ z = − e( − 1)(x − 1), x = − t; y = π; z = + t e e x−2 y−1 z−3 d/ 4(x − 2) + 14(y − 1) − 10(z − 3) = 0, = = 14 −1 √ √ Cực trị hàm nhiều biến 6.1 Cực trị tự Tìm cực trị hàm số sau: fCT = f (0, 3) = −9 fCT = f (0, −2/3) = −4/3, không đạt cực trị (2, −2/3) fCT = f (5, 2) = 30 fCT = f (1, 3) = 10 − 18 ln √ √ fCT = f (0, 0) = 0, không đạt cực trị điểm dừng (−10/3, 0), (1, 13), (1, − 13) f (x, y) = xy (1 − x − y), (x > 0, y > 0) fCT = f (2, −3, 1) = −14 √ √ √ √ , 2, = 4, fCD = f fCT = f 6.2 √ − √ √ , 2, − √ = −2 4 Cực trị có điều kiện Tìm cực trị hàm số với điều kiện tương ứng f đạt cực tiểu f đạt cực đại fCD = f ± , ±4 −3 −3 , 2 , fCT = − 19 √ ,√ , đạt cực tiểu 13 13 = −√ , −√ 13 13 425 , fCT = f (±2, ∓3) = −50 fCT = f (0, 0) = 0, fCD = f (2, 4) = 20 fCT √ √ √ √ √ = f (1/ 2, 1/ 2) = −2 2, fCD = f (1/ 2, 1/ 2) = √ 2−4 √ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Trong đây, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số miền f (x, y) = xy, x2 + y ≤ f (x, y) = 3x2 + 5y − 2, x2 + y ≤ f (x, y) = 3x2 + 5y − 2, 2x2 + 3y ≤ 25 f (x, y) = x2 − xy + y , |x| + |y| ≤