• Đạo hàm riêng theo biến y, tương tự xem x là tham số... Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong trên tại 2, −1.. Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong đ
Trang 1Đạo hàm riêng 1
Mục lục
1 Đạo hàm riêng 1
2 Ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến 5
3 Gradient và đạo hàm theo hướng 6
1 Đạo hàm riêng
• Đạo hàm riêng theo biến x, xem y là tham số, cho y = y0, thay vào f (x, y)
thu được g(x), tính g0
• Đạo hàm riêng theo biến y, tương tự xem x là tham số
• Thực hiện tương tự với hàm n ≥ 3 biến
• Định lí cơ bản của phép tính tích phân:
– Cho F (x) =
ψ(x)
Z
ϕ(x)
f (t)dt, với f (t) là hàm số liên tục
– Khi đó:
F0(x) = d
dx
ψ(x)
Z
ϕ(x)
f (t)dt = ψ0(x)f (ψ(x)) − ϕ0(x)f (ϕ(x))
1 Tính ∂f
∂x và
∂f
∂y của các hàm số được cho sau:
(a) f (x, y) = 2x2− 3y − 4
(b) f (x, y) = x2 − xy + y2
(c) f (x, y) = (x2− 1)(y + 2)
(d) f (x, y) = 5xy − 7x2− y2+ 3x − 6y + 2
(e) f (x, y) = (xy − 1)2
(f) f (x, y) = (2x − 3y)3
(g) f (x, y) =px2+ y2
(h) f (x, y) =x3+ y
2
23
(i) f (x, y) = 1
x + y
Trang 22 Đạo hàm riêng
(j) f (x, y) = x
x2+ y2
(k) f (x, y) = x + y
xy − 1
(l) f (x, y) = arctany
x
(m) f (x, y) = ex+y+1
(n) f (x, y) = e−xsin(x + y)
(o) f (x, y) = ln(x + y)
(p) f (x, y) = eeyln y
(q) f (x, y) = sin2(x − 3y)
(r) f (x, y) = cos2(3x − y2)
(s) f (x, y) = xy
(t) f (x, y) = logyx
(u) f (x, y) =
y
Z
x
g(t)dt, với g(t) là hàm số liên tục
(v) f (x, y) =
∞
X
n=0
(xy)n, |xy| < 1
Đáp án:
(a) ∂f
∂x = 4x;
∂f
∂y = −3
(b) ∂f
∂x = 2x − y;
∂f
∂y = 2y − x
(c) ∂f
∂x = 2x(y + 2);
∂f
∂y = x
2− 1
(d) ∂f
∂x = 5y − 14x + 3;
∂f
∂y = 5x − 2y − 6
(e) ∂f
∂x = 2y(xy − 1);
∂f
∂y = 2x(xy − 1)
(f) ∂f
∂x = 6(2x − 3y)
2; ∂f
∂y = −9(2x − 3y)
2
(g) ∂f
∂x =
x
p
x2+ y2; ∂f
∂y =
y
p
x2+ y2
(h) ∂f
∂x = 2x
2x3+ y
2
−1/3
; ∂f
∂y =
1
3
x3+y
2
−1/3
(i) ∂f
∂x =
∂f
∂y = −
1
(x + y)2;
(j) ∂f
∂x =
y2− x2
(x2+ y2)2; ∂f
∂y = −
2xy
(x2+ y2)2
Trang 3Đạo hàm riêng 3
(k) ∂f
∂x = −
1 + y2
(xy − 1)2; ∂f
∂y = −
1 + x2
(xy − 1)2
(l) ∂f
∂x = −
y
x2+ y2; ∂f
∂y =
x
x2+ y2
(m) ∂f
∂x =
∂f
∂y = e
x+y+1
(n) ∂f
∂x = −e
−xsin(x + y) + e−xcos(x + y); ∂f
∂y = e
−xcos(x + y)
(o) ∂f
∂x =
∂f
∂y =
1
x + y
(p) ∂f
∂x = 0;
∂f
∂y = e
ey+1ln y + e
ey
y
(q) ∂f
∂x = sin 2(x − 3y);
∂f
∂y = −3 sin 2(x − 3y)
(r) ∂f
∂x = −3 sin 2(3x − y
2); ∂f
∂y = 2y sin 2(3x − y
2)
(s) ∂f
∂x = yx
y−1; ∂f
∂y = x
yln x
(t) ∂f
∂x =
1
x ln y;
∂f
∂y = −
1
y ln x log2xy
(u) ∂f
∂x = −g(x);
∂f
∂y = g(y)
(v) ∂f
∂x =
∞
X
1
nxn−1yn; ∂f
∂y =
∞
X
1
nyn−1xn
2 Tính fx0, fy0, fz0 của các hàm số sau:
(a) f (x, y, z) = 1 + xy2− 2z2
(b) f (x, y, z) = xy + yz + xz
(c) f (x, y, z) = x −py2+ z2
(d) f (x, y, z) = (x2+ y2+ z2)−1/2
(e) f (x, y, z) = arcsin(xyz)
(f) f (x, y, z) = ln(x + 2y + 3z)
(g) f (x, y, z) = yz ln(xy)
(h) f (x, y, z) = e−(x2+y 2 +z 2 )
(i) f (x, y, z) = e−xyz
Đáp án:
(a) fx0 = y2; fy0 = 2xy; fz0 = −4z
(b) fx0 = y + z; fy0 = x + z; fz0 = x + y
Trang 44 Đạo hàm riêng
(c) fx0 = 1; fy0 = −p y
y2+ z2; fz0 = −p z
y2+ z2
(d) fx0 = −p x
(x2+ y2+ z2)3; fy0 = −p y
(x2+ y2+ z2)3; fz0 = −p z
(x2+ y2+ z2)3
(e) fx0 = p yz
1 − (xyz)2; fy0 = p xz
1 − (xyz)2; fz0 = p xy
1 − (xyz)2
(f) fx0 = 1
z + 2y + 3z; f
0
y = 2
z + 2y + 3z; f
0
z = 3
z + 2y + 3z
(g) fx0 = yz
x; f
0
y = z(ln(xy) + 1); fz0 = y ln(xy)
(h) fx0 = −2xe−(x2+y 2 +z 2 ); fy0 = −2ye−(x2+y 2 +z 2 ); fz0 = −2ze−(x2+y 2 +z 2 )
(i) fx0 = −yze−xyz; fy0 = −xze−xyz; fz0 = −xye−xyz
3 Tính đạo hàm riêng của hàm số với biến tương ứng của hàm số đó:
(a) f (t, α) = cos(2πt − α)
(b) g(u, v) = v2e2uv
(c) h(ρ, φ, θ) = ρ sin φ cos θ
(d) g(r, θ, z) = r(1 − cos θ) − z
(e) W (P, V, δ, v, g) = P V + V δv
2
2g
(f) A(c, h, k, m, q) = km
q + cm +
hq
2
Đáp án:
(a) ft0 = −2π sin(2πt − α); fα0 = sin(2πt − α)
(b) gu0 = 2ve2u/v; gv0 = 2ve2u/v− 2ue2u/v
(c) h0ρ= sin φ cos θ; h0φ= ρ cos φ cos θ; h0θ = −ρ sin φ sin θ
(d) gr0 = 1 − cos θ; gθ0 = r sin θ; ; gz0 = 1
(e) WP0 = V ; WV0 = P + δv
2
2g ; W
0
δ= V v
2
2g
Wv0 = V δv
g ; W
0
g = −V δv
2
2g2 ;
(f) A0c= m; A0h = q
2; A
0
k = m
q; A
0
m = k
q + c; A
0
q = −km
q2 +h
2
Trang 5Đạo hàm riêng 5
2 Ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến
• Vector ~n = (f0
x, fy0, −1) = (a, b, −1) là vector pháp tuyến của tiếp diện tại
P (x0, y0, z0 = f (x0, y0))
• Phương trình tiếp diện
a(x − x0) + b(y − y0) − (z − z0) = 0
• Phương trình đường thẳng pháp tuyến của (S) tại P
x − x0
a =
y − y0
b =
z − z0
−1
hay
x = x0+ at
y = y0+ bt
z = z0+ (−1)t
1 Mặt phẳng x = 1 cắt paraboloid z = x2 + y2 theo giao tuyến là một parabola Hãy tìm
độ dốc của tiếp tuyến của parabola đó tại điểm M (1, 2, 5)
2 Cho hàm số z = f (x, y) = 2x + 3y − 4 Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của
mặt cong trên tại (2, −1)
3 Cho hàm số z = f (x, y) = x2+ y3 Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt
cong đó tại (−1, 1)
Đáp án:
1 Tiếp tuyến của parabola thuộc mặt phẳng x = 1 do đó độ dốc của tiếp tuyến tại (1, 2, 5)
là:
zx0(1, 2, 5) = (x2+ y2)0x
(x,y,z)=(1,2,5) = 2x
x=1 = 2.1 = 2
2 zx0 = 2, zy0 = 3 ⇒ pháp véctơ (2, 3, −1)
Phương trình tiếp diện tại (2, −1, f (2, −1)) = (2, −1, −3)
2(x − 2) + 3(y + 1) − (x + 3) = 0
hay
2x + 3y − z − 4 = 0
Pháp tuyến của mp tại điểm trên: x − 2
2 =
y + 1
3 =
z + 3
−1 .
Trang 66 Gradient và đạo hàm theo hướng
3 zx0 = 2x, zy0 = 3y2 ⇒ zx0(−1, 1) = −2, zy0(−1, 1) = 3
Phương trình tiếp diện: 2x − 3y + z + 3 = 0
Phương trình pháp tuyến: x + 1
−2 =
y − 1
3 =
z − 2
−1
3 Gradient và đạo hàm theo hướng
• Gradient của hàm số f (x, y) tại điểm P (x, y) là vector:
∇f (P ) = ∇f (x, y) = gradf (x, y) = fx0(x, y).~i + fy0(x, y).~j = (fx0, fy0)
• Với ~u(u1, u2) là vector đơn vị (tức
q
u2
1+ u2
2 = 1), ta có đạo hàm theo hướng
của ~u:
D~ uf (x0, y0) = fx0(x0, y0).u1+ fy0(x0, y0).u2 = ~u.∇f (x0, y0)
• Hàm số f (x, y) tăng (giảm) nhanh nhất theo hướng của vector ∇f (x0, y0)
(−∇f (x0, y0))
• Bất kì vector nào vuông góc với ∇f (x0, y0) 6= 0 thì đạo hàm theo hướng của
vector đó đều bằng 0
1 Tìm Gradient của hàm số tại điểm được cho:
(a) f (x, y) = y − x (2, 1)
(b) f (x, y) = ln(x2+ y2) (1, 1)
(c) f (x, y) = xy2 (2, −1)
(d) f (x, y) = x
2
2 − y
2
2 (
√
2, −1)
(e) f (x, y) =p2x + 3y (−1, 2)
(f) f (x, y) = arctan
√
x
y (4, −2)
(g) f (x, y, z) = x2+ y2− 2z2+ z ln x (1, 1, 1)
(h) f (x, y, z) = 2z3− 3(x2+ y2)z + arctan(xz) (1, 1, 1)
(i) f (x, y, z) = (x2+ y2+ z2)−1/2+ ln(xyz) (−1, 2, −2)
(j) f (x, y, z) = ex+ycos z + (y + 1) arcsin x (0, 0,π
6)
Đáp án:
Trang 7Gradient và đạo hàm theo hướng 7
(a) ∇f (x, y) = −−→i +−→
j
⇒ ∇f (2, 1) = −−→i +−→
j = (−1, 1)
(b) ∇f (x, y) = 2x
x2+ y2
−
→
i + 2y
x2+ y2
−
→
j
⇒ ∇f (1, 1) =−→i +−→
j = (1, 1)
(c) ∇f (x, y) = y2, 2xy
⇒ ∇f (2, −1) = (1, −4)
(d) ∇f (x, y) = (x, −y) ⇒ ∇f√2, −1=√
2, 1
(e) ∇f (x, y) =
1
√
2x + 3y,
3
2√
2x + 3y
⇒ ∇f (−1, 2) = 1
2,
3
4
(f ) ∇f (x, y) =
y
2√
x (x + y2),
−√x
x + y2
⇒ ∇f (4, −2) = −1
8
1
2, 2
(g) ∇f (x, y, z) =2x + z
x, 2y, −4z + ln x
⇒ ∇f (1, 1, 1) = (3, 2, −4)
(h) ∇f (x, y, z) =
−6xz + z
1 + (xz)2, −6yz, 6z
2− 3 x2+ y2 + x
1 + (xz)2
⇒ ∇f (1, 1, 1) =
−11
2 , −6,
1
2
(i) ∇f (x, y, z) = −x
(x2+ y2 + z2)3/2 +
1
x,
−y
(x2+ y2+ z2)3/2 +
1
y,
−z
(x2+ y2+ z2)3/2 +
1
z
!
⇒ ∇f (−1, 2, −2) = −26
27 ,
23
54,
−23
54
(j) ∇f (x, y, z) =
ex+ycos z + √y + 1
1 − x2, ex+ycos z + arcsin x, −ex+ysin z
⇒ ∇f0, 0,π
6
=
√
3
2 + 1,
√
3
2 , −
1
2
!
2 Tìm đạo hàm của hàm số tại P0 theo hướng được cho:
(a) f (x, y) = 2xy − 3y2, P0(5, 5), ~u = 4~i + 3~j
(b) f (x, y) = 2x2+ y2, P0(−1, 1), ~u = 3~i − 4~j
(c) f (x, y) = x − y
xy + 2, P0(1, −1), ~u = 12~i + 5~j
(d) f (x, y) = arctany
x +
√
3 arcsinxy
2 , P0(1, 1), ~u = 3~i − 2~j
(e) f (x, y, z) = xy + z + zx, P0(1, −1, 2), ~u = 3~i + 6~j − 2~k
(f) f (x, y, z) = x2+ 2y2− 2z2, P0(1, 1, 1), ~u = ~i + ~j + ~k
Trang 88 Gradient và đạo hàm theo hướng
(g) f (x, y, z) = 3excos(yz), P0(0, 0, 0), ~u = 2~i + ~j − 2~k
(h) f (x, y, z) = cos(xy) + eyz+ ln(xz), P0(1, 0,1
2), ~u = ~i + 2~j + 2~k
Đáp án:
(a) • Chuẩn hóa ~u thành vector đơn vị
~v = ~u
|~u| =
(4, 3)
5 =
4
5,
3
5
• Tính Gradient của f tại điểm P0
∇f (P0) = (2y, 2x − 6y)
(5,5)
= (10, −20)
• Tính đạo hàm theo công thức:
D~f (5, 5) = ~v ∇f (5, 5) = 4
5,
3
5
(10, −20) = 8 − 12 = −4
(b)
−
→v = −→u
|−→u | =
3
5, −
4
5
∇f (P0) = (4x, 2y)|(−1,1) = (−4, 2)
D− →vf (P0) = 3
5, −
4
5
(−4, 2) = −4
(c)
−
→v = −→u
|−→u | =
12
13,
5
13
∇f (P0) =
2 + y2
(xy + 2)2,
−2 − x2
(xy + 2)2
(1,−1)
= 1
3, −
1
3
D− →vf (P0) = 12
13,
5
13
1
3, −
1
3
= 7
39
(d)
−
→v = −→u
|−→u | =
3
√
13, −
2
√
13
∇f (P0) =
−y
x2+ y2 +
√
3y
q
4 − (xy)2
, x
x2+ y2 +
√
3x
q
4 − (xy)2
(1,1)
= 3
2,
5
2
D− →vf (P0) = 1
2√
13(3, −2) (3, 5) = −
1
2√
13
(e)
−
→v = −→u
|−→u | =
1
7(3, 6, −2)
∇f (P0) = (1, 3, 0)
D− →vf (P0) = 3
Trang 9Gradient và đạo hàm theo hướng 9
(f)
−
→v = −→u
|−→u | =
1
√
3(1, 1, 1)
∇f (P0) = (2, 4, −4)
D− →vf (P0) = √1
3(1, 1, 1) (2, 4, −4) =
2
√
3
(g)
−
→v = −→u
|−→u | =
1
3(2, 1, −2)
∇f (P0) = (3excos (yz) , −3zexsin (yz) , −3yexsin (yz))|(0,0,0) = (3, 0, 0)
D− →vf (P0) = 1
3(2, 1, −2) (3, 0, 0) = 2
(h)
−
→v = −→u
|−→u | =
1
3(1, 2, 2)
∇f (P0) =
−y sin (xy) + 1
x, −x sin (xy) + ze
yz, yeyz+ 1
z
(1,0,12)
=
1,1
2, 2
D− →vf (P0) = 1
3(1, 2, 2) (1, 1/2, 2) = 2
3 Tìm hướng mà theo đó hàm số tăng nhanh nhất tại điểm P0, tính giá trị đạo hàm theo
hướng vừa tìm được
(a) f (x, y) = x2 + xy + y2 P0(−1, 1)
(b) f (x, y) = x2y + exysin y P0(1, 0)
(c) f (x, y, z) = x
y − yz P0(4, 1, 1)
(d) f (x, y, z) = xey + z2 P0(1, ln 2,1
2)
(e) f (x, y, z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(xz) P0(1, 1, 1)
(f) f (x, y, z) = ln(x2+ y2− 1 + y + 6z) P0(1, 1, 0)
Đáp án:
(a) Hàm số tăng nhanh nhất theo hướng ∇f (P0), khi đó vector đơn vị ~u = ∇f (P0)
|∇f (P0)|
Và giá trị đạo hàm theo hướng :
D~uf (P0) = ∇f (P0).~u = ∇f (P0) ∇f (P0)
|∇f (P0)| =
|∇f (P0)|2
|∇f (P0)| = |∇f (P0)|
Áp dụng:
∇f (−1, 1) = (−1, 1) ⇒ ~u
−√1
2,
1
√
2
D~uf (−1, 1) =p(−1)2+ 12 =√
2
Trang 1010 Gradient và đạo hàm theo hướng
(b) ∇f (x, y) = 2xy + yexysin y, x2+ xexysin y + exycos y
⇒ ∇f (P0) = (0, 2)
⇒ D~ uf (P0) =
√
22 = 2
(c) ∇f (P0) = (1, −5, −1)
⇒ D~uf (P0) =
q
12+ (−5)2+ (−1)2 = 3√
3
(d) ∇f (P0) = (2, 2, 1)
⇒ D~uf (P0) = 3
(e) ∇f (P0) = (2, 2, 2)
⇒ D~uf (P0) = 2√
3
(f) ∇f (x, y, z) =
2x
x2+ y2− 1 + y + 6z,
2y + 1
x2 + y2− 1 + y + 6z,
6
x2+ y2− 1 + y + 6z
∇f (P0) = (1, 3/2, 3)
⇒ D~uf (P0) = 7/2
4 Cho hàm số f (x, y) = x2 − xy + y2 Tìm vector đơn vị ~u và giá trị của D~uf (1, −1) biết
rằng:
(a) D~uf (1, −1) lớn nhất
(b) D~uf (1, −1) nhỏ nhất
(c) D~uf (1, −1) = 0
(d) D~uf (1, −1) = 4
(e) D~uf (1, −1) = −3
Đáp án:
(a) Tương tự bài trên ta có: giá trị đạo hàm lớn nhất tại P0 khi đạo hàm theo hướng
tăng nhanh nhất tại P0
∇f (x, y) = (2x − y, 2y − x) ⇒ ∇f (1, −1) = (3, −3) ⇒ ~u = √1
2(1, −1)
D~uf (1, −1) = 3√
2
(b) Giá trị đạo hàm nhỏ nhất khi f’ giảm nhanh nhất, vậy:
~u = −√1
2(1, −1) và
D~uf (1, −1) = −3√
2
(c) Giá trị đạo hàm là 0 khi vector ~u vuông góc với vector gradient:
⇒ ~u.∇f (1, −1) = 0 ⇒ ~u = √1
2(1, 1)
(d) Với đạo hàm theo hướng tại P0 có giá trị m bất kì ta giả sử ~u = (a, b) Khi đó ~u
Trang 11Gradient và đạo hàm theo hướng 11
thỏa:
~
u.∇f (P0) = m
|~u| =√
a2+ b2 = 1
Áp dụng:
(a, b).(3, −3) = 3a − 3b = 4
a2+ b2 = 1
⇔
a2 = b2+ 83b + 169
2b2+ 83b + 79 = 0
⇒
b = −4+
√
2
6 ⇒ a = 4+√2
6
b = −4−
√
2
6 ⇒ a = 4−√2
6
⇒ kết luận
(e) Lý luận như bài (d) tính được: ~u(1, 0) hoặc ~u(0, 1)
5 (Tương tự câu trên) Cho hàm số f (x, y) = x − y
x + y Tìm vector đơn vị ~u và giá trị của
D~uf
−1
2,
3
2
biết rằng:
(a) D~uf
−1
2,
3
2
lớn nhất ( ~u = √1
13(3, 2))
(b) D~uf
−1
2,
3
2
nhỏ nhất (~u = −√1
13(3, 2))
(c) D~uf
−1
2,
3
2
= 0 (~u = √1
13(2, −3) hoặc ~u = √1
13(−2, 3))
(d) D~uf
−1
2,
3
2
= −2 (~u = (0, −1), ~u = (−1213 ,135))
(e) D~uf
−1
2,
3
2
= 1 (~u =3+4
√
3
13 ,2−6
√
3
13
, ~u =3−4
√
3
13 ,2+6
√
3
13
)
6 Theo hướng nào thì đạo hàm của hàm số f (x, y) = x
2− y2
x2+ y2 tại điểm (1, 1) bằng 0
(Hướng vuông góc với vector gradient và ~u = (1, 1))
7 Tồn tại hay không vector ~u mà theo hướng đó đạo hàm hàm số f (x, y) = x2− 3xy + 4y2
tại điểm P (1, 2) có giá trị 14 (Giải tương tự bài 4.(d)⇒ không tồn tại)
8 Tồn tại hay không vector ~u mà theo hướng đó tốc độ biến thiên hàm nhiệt độ
T (x, y) = 2xy − yz với nhiệt độ tính bằngoC, khoang cách tính bằng feet, tại điểm
P (1, −1, 1) có giá trị −3 (oC/f t) (Không)
9 Đạo hàm của hàm số f (x, y) tại điểm P0(1, 2) theo hướng ~i + ~j là 2√
2 và theo hướng
−2~j là −3 Đạo hàm của hàm f theo hướng −~i − 2~j nhận giá trị là bao nhiêu?
Đáp án: Gọi ~u = (1, 1), ~v = (0, −2), ~w = (−1, −2), ta có hệ:
D~ u
|~ u|
f (P0) = √1
2~u∇f (P0) = 2√
2 ⇒ ~u∇f (P0) = 4
D~
|~ f (P0) = 12~v∇f (P0) = −3
mà ~w = −~u +1
2~v nên
Trang 1212 Gradient và đạo hàm theo hướng
⇒ D w ~
| ~ w|f (P0) = √1
5w∇f (P~ 0) =
1
√
5(−~u +
1
2~v)∇f (P0) =
−4 − 3
√
5
Hoặc giả sử ∇f (P0) = (a, b) giải hệ được (a, b) rồi áp dụng công thức với vector w
10 Hàm số đạo hàm của hàm f (x, y, z) tại điểm P đạt giá trị lớn nhất theo hướng
~v = ~i + ~j − ~k và giá trị lớn nhất đó là 2√
3
(a) Tìm tọa độ ∇f tại P (∇f (P ) = (2, 2, −2))
(b) Tính đạo hàm của hàm f tại P theo hướng ~v = ~i + ~j (2√
2)
...9 Đạo hàm hàm số f (x, y) điểm P0(1, 2) theo hướng ~i + ~j 2√
2 theo hướng
−2~j −3 Đạo hàm hàm f theo hướng −~i − 2~j nhận giá trị bao nhiêu?
Đáp án: Gọi...
(e) D~uf (1, −1) = −3
Đáp án:
(a) Tương tự ta có: giá trị đạo hàm lớn P0 đạo hàm theo hướng
tăng nhanh P0
∇f (x, y)... 1, 0)
Đáp án:
(a) Hàm số tăng nhanh theo hướng ∇f (P0), vector đơn vị ~u = ∇f (P0)
|∇f (P0)|
Và giá trị đạo hàm theo hướng :
D~uf