BÀI TẬP ĐẠO HÀM HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng vi phân cấp Tính đạo hàm riêng vi phân cấp điểm ra: f (x, y) = x2 y + 3xy , (x0 , y0 ) = (2, −1) f (x, y) = x3 sin(y − x), (x0 , y0 ) = (π, π) f (x, y) = (y − 1)ex f (x, y) = +2y x y , (x0 , y0 ) = (−1, 1) , (x0 , y0 ) = (0, 1) x2 + y điểm (x0 , y) cho x0 = f (x, y) = ln y + Tính đạo hàm riêng vi phân cấp hàm ba biến Tính fx (1, 0, 1), fz (1, −1, 1) f (x, y, z) = Tính fy (x, y, z) f (x, y, z) = y y ln(y + 2z) xz y + x2 + z Tính fx , fy , fz f (x, y, z) = arctan x+z điểm mà f xác định y Tính fx (x, y, z) f (x, y, z) = (xy)z Tính df (1, 2, 1) với f (x, y, z) = x2 z + y2 Tìm miền xác định fx với f (x, y) = x2 + y fy với f (x, y) = ln(x − 2y) fx , fy với f (x, y) = y x2 + y −x2 −y 1 − e , (x, y) = (0, 0) fx với f (x, y) = x2 + y 1, (x, y) = (0, 0) sin(xy) ,x = fx , fy với f (x, y) = x y, x = Với hàm số f cho trước, tính giá trị biểu thức A(x, y) theo x, y A(x, y, z) theo x, y, z f (x, y) = x2 x 1 x3 + + − ,A(x, y) = x2 fx (x, y) + y fy (x, y) ĐS : 2y x y y f (x, y) = xy + x2 ln y , A(x, y) = xfx (x, y) + yfy (x, y) − 2f (x, y) ĐS : x f (x, y) = 4e−2y + (2x + 4y − 3)e−y − x − 1, A(x, y) = (fx )2 + fy + z ĐS : −x f (x, y, z) = ln (x3 + y + z − 3xyz) , A(x, y, z) = fx + fy + fz ĐS : x+y+z Trong đây, tìm hàm f (x, y) khả vi thỏa mãn điều kiện cho fx (x, y) = x2 − y, fy (x, y) = y − x fx (x, y) = 3y + 2xy + 2x, fy (x, y) = 6xy + x2 + 3 df (x, y) = (ex + y + sin x) dx + (ey + x + sin y) dy x x df (x, y) = x + e y dx + e y 1− x y dy Tính số gia vi phân hàm số điểm f (x, y) = x2 y, (x0 , y0 ) = (1, 1) f (x, y) = x2 y, (x0 , y0 ) = (1, 1), ∆x = −0.1, ∆y = 0.01 f (x, y) = x2 − xy + y x thay đổi từ đến 2.1 y thay đổi từ đến 1.2 Các toán ứng dụng Tìm hệ số góc tiếp tuyến giao tuyến mặt cong S : z = x2 y + 2yxy mặt phẳng y = −1 điểm có hoành độ x = 2 Tìm hệ số góc tiếp tuyến giao tuyến mặt cong S : z = sin xy + 2x2 − y mặt phẳng x = π điểm có tung độ y = Một thùng hình trụ có kích thước bên là: bán kính R = 2.5m, chiều cao H = 4m, độ dày thành đáy 1dm Hãy tính gần thể tích vật tư sử dụng cho việc chế tạo thùng Một hình hộp chữ nhật có kích thước cạnh : a = 2m, b = 3m, c = 6m Hãy tính gần độ dài đường chéo hình hộp a tăng 2cm, b tăng 1cm c giảm 3cm Trong nón cụt có bán kính đáy R = 20cm, bán kính đáy r = 10cm, chiều cao h = 30cm Tính xấp xỉ thay đổi thể tích R tăng thêm 2mm, r tăng thêm 3mm h giảm 1mm Đạo hàm vi phân cấp cao Tính đạo hàm cấp hai theo yêu cầu điểm f ”xx (1, 0), f ”xy (−1, 1) với f (x, y) = arctan (x + 2y ) f ”yy (2, 0) với f (x, y) = sin (πx + x2 y) f ”xy (x, y), f ”yy (x, y) với f (x, y) = ln cosh x y f ”xz (0, 1, −1), f ”zz (1, 0, 0) với f (x, y, z) = xyz − arctan (x2 + z) f ”yz (x, y, z) với f (x, y, z) = (yz)x Tính vi phân cấp hai hàm số sau điểm f (x, y) = x3 + x2 y − 2x2 y + 3xy − 1, (x0 , y0 ) = (2, −3) f (x, y) = ln(x2 + 2xy), (x0 , y0 ) = (1, 0) f (x, y) = tan2 (2x − y), (x0 , y0 ) = (0, 0) Tìm đạo hàm cấp cao điểm (4) fxy3 0, π , f (x, y) = x cos(x + 2y) (6) 2 fxy5 (x, y), f (x, y) = (x + 1)ex y (6) fx2 y5 (1, −1), f (x, y) = xex y (10) fx5 y5 (−1, −1), f (x, y) = 2x − 3y (10) fx5 y5 (−1, −1), f (x, y) = sin(2x − y) (12) fx8 y4 (x, y), f (x, y) = (x − y ) ex+y f ”xz (0, 1, −1), f ”zz (0, 1, −1) với f (x, y, z) = yz − arctan (x2 + z) f ”yz (1, 1, 2) với f (x, y, z) = (xy)z Đạo hàm vi phân hàm hợp π Cho z = f (u, v) = u2 v−uv , u = sin(x−y), v = sin(x.y) Tính zx (π, ), zy (0, π) 2 Cho u = f (x, y, z) = xyz, với x = t2 + 1, y = ln t, z = tan t Tính u (t) Cho u = f (x, y, z) = yz + 2y, với x = arctan t, y = t2 + 1, z = et−1 Tính du(1) x Với 1mol khí lý tưởng, phương trình trạng thái cho P V = 8.31T , P (kP ascal), V (Lit), T (Kenvin) Tại thời điểm nhiệt độ đạt 3000 K thể tích khí đạt 100lit, vận tốc tăng nhiệt 0.1K/s vận tốc tăng thể tích 0.2L/s, tính tốc độ thay đổi áp suất P Cho z = f (x) = (x2 + 2x) Nếu x = u + v − e2u , tính zv (u, v) x Cho z = f (x, y) = arctan y a/ Tính fx (0, 1), fy (0, 1) b/ Nếu y = ln (x2 + e), tính dz(0) c/ Nếu x = 2t − 1, y = t3 + 2, tính dz(t) Cho z = f (x, y), với f hàm khả vi x = x(t), y = y(t) Biết x(3) = 12, y(3) = −4, x (3) = 1, y (3) = 6, fx (12, −4) = −2, fy (12, −4) = Tính z (3) Cho z = f (x, y) = arcsin(x − y), với x = u2 + v , y = − 2uv Tính zu , zv Cho g(s, t) = f (x(s, t), y(s, t)) Biết x(−1, 2) = 2, xs (−1, 2) = 0, xt (−1, 2) = −3, y(−1, 2) = 3, ys (−1, 2) = 1, yt (−1, 2) = 5, fx (2, 3) = −3, fy (2, 3) = Tính gs (−1, 2), gt (−1, 2) 10 Cho f (x, y) hàm khả vi theo hai biến x, y z(u, v) = f (eu + sin v, eu + cos v) Biết fx (1, 2) = 3, fy (1, 2) = 6, tính zu (0, 0), zv (0, 0) 11 Cho z = f (x, y), với x = s + t, y = s − t Chứng minh (fx )2 − fy 12 Cho z = f (x, y), với x = es cos t, y = es sin t Chứng minh (fx )2 + fy = e−2s (zs )2 + (zt )2 = zs zt 13 Cho z = f z y , Chứng minh zx + zy = −y ) x y y (x2 14 Cho u = f (x − y, y − z, z − x) Chứng minh ux + uy + uz = 15 Cho z = x2 + xy với x = t2 , y = 3t Tính z”(t) x 16 Cho z = x2 y − ln , với x = u2 − v , y = uv Tính z”uu (1, 1), z”uv (1, 1) y 17 Chứng minh hàm số u = xf (x + y) + yg(x + y), với f, g khả vi, thỏa mãn phương trình : u”xx − 2u”xy + u”yy = 18 Cho u = f (x, xy, xyz), với f hàm khả vi Tìm du(x, y, z) 19 Cho f, g hàm khả vi z = xf 20 Cho f hàm khả vi z = xf x y + yg x , chứng minh xzx + yzy = z y x , chứng minh 2xzx + yzy = 2z y2 21 Cho f, g hàm khả vi z = f (x + y) + g(x − y), chứng minh z”xx − z”yy = Đạo hàm vi phân hàm ẩn Hàm ẩn y = y(x) xác định từ phương trình x + y = ex−y Tính y (x), y”(x) Cho hàm ẩn y = y(x) thỏa phương trình x2 + 2xy + y − 4x + 2y − = y(1) = Tìm dy(1), d2 y(1) z Cho hàm ẩn z = z(x, y) thỏa phương trình : xz − e y + x3 + y = Tìm zx , zy Tìm zx (1, −2), zy (1, −2) z − 4xz + y − = 0, z(1, −2) = Tính z”xy z = z(x, y) thỏa phương trình x2 − 2y + z − 4x + 2z − = Với f hàm hai biến khả vi, cho hàm ẩnz = z(x, y) thỏa f (yz, exz ) = 0, tìm zx , zy Cho z = z(x, y) xác định từ hệ x cos α + y sin α + ln z = f (α), , −x sin α + y cos α = f (α) f = f (α), α = α(x, y) hàm khả vi Chứng minh rằng: (zx )2 + zy = z Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định từ hệ x = u + ln v, y = v − ln u, z = 2u + v Tìm zx , zy u = 1, v = Cho z = z(x, y) thỏa zez = xex + yey u = x+z Tính ux , uy y+z Đạo hàm theo hướng vector gradient Cho f (x, y, z) = x + exyz + tanh(z − y) Tìm ∇f (0, 1, −1) Cho f (x, y) = x3 sin(x + y − y ) Tìm ∇f (π, 1) ∂f (M ) − Cho f (x, y) = x2 y + arctan(x + y) vector → a = (1, −1) Tìm − ∂→ a Cho f (x, y) = ln x2 + y + Tìm hướng tăng nhanh f M (1, 2) Cho f (x, y) = −3 + 2xy + x3 + y M (2, 1) So sánh tốc độ thay đổi f M → − − theo hướng → a = (3, 4), b = (−3, 4) − Cho f (x, y) = x2 + y + z + +xy + 3x − 2y − 6z Gọi vector → a = ∇f (0, 0, 0) Tìm ∂f (1, −2, 2) ∂f (0, 0, 0) , − − ∂→ a ∂→ a Tại điểm không gian vector ∇f (x, y, z) f (x, y, z) = x3 + y + z − 3xyz a/ Vuông góc với trục Oz b/ Song song với trục Oz Cho g = f ( x2 + y + z ) với f hàm khả vi, tìm ∇g(x, y, z) Tìm phương trình mặt tiếp diện pháp tuyến mặt cong sau điểm √ a/ x2 + y + z = điểm M (1, 1, 2) π π , , b/ z = sin x cos y điểm M 4 c/ z = ex cos y điểm M 1, π, e d/ x(t + z)(xy − z) + = điểm M (2, 1, 3) Khai triển Taylor Tìm khai triển Maclaurin cấp f (x, y) = Cực trị hàm nhiều biến 7.1 Cực trị tự Tìm cực trị hàm số sau: f (x, y) = x2 + xy + y − 3x − 6y f (x, y) = 3x2 − x3 + 3y + 4y f (x, y) = xy + 50 20 + , (x > 0, y > 0) x y f (x, y) = x2 + y − ln x − 18 ln y f (x, y) = x3 − xy + 5x2 + y f (x, y) = xy (1 − x − y), (x > 0, y > 0) 7 f (x, y, z) = x2 + y + z − 4x + 6y − 2z f (x, y, z) = x + 7.2 y z + + x y z Cực trị có điều kiện Tìm cực trị hàm số với điều kiện tương ứng f (x, y) = x2 + y − xy + x + y − 4, x + y + = f (x, y) = x y + , x + y = 3 f (x, y) = x2 + 12xy + 2y , 4x2 + y = 25 f (x, y) = x2 + y , x2 − 2x + y − 4y = √ x−y f (x, y) = √ − 2, x2 + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Trong đây, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số miền f (x, y) = xy, x2 + y ≤ f (x, y) = 3x2 + 5y − 2, x2 + y ≤ f (x, y) = 3x2 + 5y − 2, 2x2 + 3y ≤ 25 f (x, y) = x2 − xy + y , |x| + |y| ≤