Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng hệ phương trình haminton

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ t2%«=ELLl<œcs BÙI THỊ PHƯƠNG

MOT SO BAI TAP CO LY THUYET

GIAI BANG HE PHUONG TRINH HAMINTON

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

HÀ NỘI - 2015

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ 2«=EHlcs BÙI THỊ PHƯƠNG

MOT SO BAI TAP CO LY THUYET

GIAI BANG HE PHUONG TRINH HAMINTON

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Nguyễn

Thị Hà Loan, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành

khóa luận này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã cung cấp cho tôi những kiến thức chuyên ngành tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa luận của mình

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè

những người đã luôn quan tâm giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành

khóa luận của mình

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Trang 4

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan Tôi cũng xin cam đoan kết quả nghiên cứu này của mình không trùng với kết quả nghiên cứu của bất kí tác giả nào Nếu trong khóa luận có gì không trung thực thì tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Trang 5

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU - HH 080004400000110040440 1 1 Lido chom 1 2 Muc dich nghién ctru dé tai ccc csesececsesecstssseevessscsessessseseveneeveveneass 1 6W In i0 (08514010150: 1 1 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . + 2© + +xeEeExreersrerrxe 2 hy 29) 056i) i0 ôn 2

6 Bố cục của đề tầi can ng ng v9 E3 8E xxx re rererererererererrrrrees 2 7 Đóng góp của đề tầi - + cc+cxcncx HT TH T1 1 11 11x erxrrrrkee 2

CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN -s5 ssssssseo 3

1.1 Khái niệm về liên kẾC :-2+2ccttrttsrrrtrrrrrrrrtrrrrrrrrrrrrrrrree 3 1.1.1 Số bậc tự do — Liên Kết . csccrtrrrrtrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrree 3 1.1.2 Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo 2- 2s s=s2cscssrsd 5 I2 nà 6 1.3 Liên kết lí tưỞngg - - - ssct SE Ecv 9gEchghtg ggg ggrcre 6 IS Pì 06c äA 7 IS acc 06 re 7 1.4.2 Hàm Lagrange của hạt tự đO - - < c9 993 9 11511 re 9 1.4.3 Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau . 10

Trang 6

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON s‹s5 s<s5s2 12 2.1 Phương trình tổng quát của động lực học «««s<ssssss2 12 “(001260 8sEiii0 018 13 “⁄NĐ.ì¡ìï2800,iis01ià ái 01077 13 2.2.2 Xây dựng hàm HaminfOH - 2< 5 + 5 131331933 5355353322 13 2.2.3 Phương trình Haminfon 55 - 555523332 ssssssss 15 CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SÓ BÀI TẬP BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH 7.90041900023727 17

3.1 Các bước áp dụng hệ phương trình Hamintin để giải bài tập 17

3.2 Áp dụng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập 17

910 00/007 45

Trang 7

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Dưới sự phát triển không ngừng của khoa học, vào thé ki XIX mot

chuyên ngành vật lý mới đã ra đời, khăng định mối liên hệ chặt chẽ giữa vật

lý học và toán học, đó chính là ngành “Vật lý lý thuyết” Nó đã diễn tả được các quy luật vật lý, những học thuyết hết sức tổng quát vả có ý nghĩa to lớn trong khoa học và đời sông cũng như trong kĩ thuật Bên cạnh đó, nhờ những suy luận lôgic nó còn tìm ra được những quy luật mới chưa thể tìm ra bằng thực nghiệm

Là một bộ môn mới trong chuyên ngành “Vật lý lý thuyết” môn “cơ lý thuyết”- khoa học về cân bằng và chuyển động của các vật thể dưới tác dụng

của các lực cũng nhận được sự quan tâm đặc biệt Việc vận dụng các kiến

thức đã học vào giải quyết bài tập cơ lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với người học Qua đó, giúp họ hiểu được sâu sắc lí thuyết, đồng thời góp phần phát triển khả năng tư duy Tuy nhiên, dưới sự phát triển cao của toán học, ngày càng có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết các bài tập cơ lý thuyết nhưng việc giải quyết một số bài tập vẫn gây không ít khó khăn cho người học Là một phần quan trọng trong bộ môn cơ lý thuyết hệ phương trình Haminton sẽ cung cấp cho chúng ta một cách giải mới để tiếp cận bài tập

Chính vì thế, em đã chọn đề tài “Một số bài tập cơ lý thuyết giải

bằng hệ phương trình Haminton” để làm để tài khóa luận tốt nghiệp 2 Mục đích nghiên cứu đề tài

Dùng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trang 8

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

- Nghiên cứu các khái niệm cơ bản của một cơ hệ có chịu liên kết

- Dùng hình thức luận Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết - Nghiên cứu cách xây dựng hệ phương trình Hammfon

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp vật lý lý thuyết - Phương pháp vật lý toán học 6 Bồ cục của đề tài

Chương 1: Những khái niệm cơ bản Chương 2: Phương trình Hammnton

Chương 3: Giải một số bài tập băng hệ phương trình Haminton

7 Đóng góp của đề tài

- Tìm hiểu tổng quan về xây dựng hệ phương trình Haminfon và áp

dụng nó để giải một số bài tập cơ lý thuyết

Trang 9

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1 Khái niệm về liên kết 1.1.1 Số bậc tự do — Liên kết

1.1.1.1 Số bậc tự do

Xét ] cơ hệ gôm N chất điểm M¡, M¿, MN chuyên động đối với hệ

quy chiếu quán tính Vị trí của chất điểm M; trong không gian được xác định bởi bán kính vecto ? hay ba tọa độ Descartes Xị, yi, Zi Để xác định vị trí của

cơ hệ ta cần phải có N bán kính vecto 7, (i=1,2, ,.N) hay 3N tọa độ

Descartes X;, y¡, Z¡ (7 = 1,2, ,N )

Sô thông sô độc lập can thiệt đê xác định một cách đơn gia vị trí của cơ

hệ gọi là số bậc tự do của nó 1.1.1.2 Khái niệm về liên kết

Những điêu kiện hạn chê vi trí và vận tôc của các chât điêm của cơ hệ trong không gian gọi là liên kết

Phương trình liên kết: Là các phương trình ràng buộc sự liên kết của

Trang 10

(x, —x} + (y, — vì + (Z, — z — ry =0 (x, — x,)° + (y; 7 Ys)" + (Z, —z,) = Ty =0 (%, — x;)° +(y, = y3)" + —Z)” = Ty =0 Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bằng k phương trình:

Ff, his Von Z ype yy Vays Sy X19 Vy Lape & yo Vy Syst) =OVGi (@ =1,2,3, 4)

Hay rut gon: #,Œ,1,£)=0 (œ =1,2, k,¡ = 1,2, N)

Khi ƒ không phụ thuộc vào vận tốc thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên

kết hình học:

ƒ Œ,t)=0 (œ =1,2, k,¡ = 1,2, N)

Khi ƒ phụ thuộc vào tọa độ, thời gian và cả vận tốc thì những liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết động học

f,(ñ,.t)=0 với (ø =1,2, k,¡ =1.2, N)

Ta có: 41,Œ,Ð =Š) Leah + Tear =0 với (œ =1,2, N) (1.1)

i=l OF,

Liên kết động học được biểu diễn bằng phương trình (1.1) được gọi là

liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân được

1.1.1.3 Hệ hôlônôm

Cơ hệ không chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên

Trang 11

Pf +g¢,(F,t)=0

a„#, +b„ÿ, +c„#, + g;(F,f) =0 B,“ +g,(E/)=0

P,dr + g,(7,t)dt =0 voi (B =1,2 ,Nji=1,2, N) (1.2)

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình liên kết động học không tích phân được Cơ hệ chịu cả liên kết động học không tích phân được được

gọi là cơ hệ không hôlônôm

1.1.2 Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo 1.1.2.1 Dịch chuyển khả dĩ Dịch chuyển khả đĩ là những dịch chuyển thỏa mãn phương trình liên kết (1.1) và (1.2): af G,t)=> i=l OF Lear + Lear =0 ot i=l df t) = Yaa Sed =0 Pdr + g,(7,t)dt =0 I P,dr’+ g,(7,t)dt =0

1.1.2.2 Dich chuyén ảo

Dịch chuyển ảo là hiệu của 2 dịch chuyển khả đĩ vô cùng bé

— —f —

Trang 12

1.2 Tọa độ suy rộng

Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm M; (¡ =1,2, „N ) với liên kết đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m phương trình liên kết động học

Để xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s =3 —rmm—n tọa độ độc lập an, q›, q; thì q¡, qa, q; là những tọa độ suy rộng 4, = 4,(7,,t) Số với (=1,N;k =1,s) 7 =7.(q,,t) Số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do của nó 1.3 Liên kết lí tưởng

Giả sử có chất điểm M; chuyển động dưới tác dụng của lực #,

Trang 13

ia OF Ot Ot Tiép tuc dao ham bac 2 ta dugc: “Of, “wt+)> tudo, vy ——*4+——4 =0(a@ =1,2, k doa 1.4 %ø Ln oF dt ot t ) d4) s A - F 4 A Aw 2 ~ ` “A ` 4 Gia toc w,=— có thê không thỏa mãn phương trình (1.4) Điêu này có m,

ý nghĩa là liên kết đã tác dụng lên chất điểm M; một lực nào đó gợi là phản lực liên kết Kí hiệu là Ẩ, thì phương phương trình chuyển động của chất điểm không tự do M; có dạng:

mw,=F +R (i=1,2, ,N) (1.5) Dé phân biệt với phản lực Ñ ta gọi lực F là hoạt lực hay lực hoạt động

Liên kết được gọi là lí tưởng nếu tông công ảo của những phản lực liên kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là:

3"RØð; =Š`(R,ðc + R ở, + R,ð,)=0

1.4 Ham Lagrange 1.4.1 Ham Lagrange

Một hệ có s bậc tự do, được xác định bởi s toa dO suy rong q,,q., q,

tì ham Lgrange U=L(g,Q, g,.đ ở; 4,.f)hay:L=L(q,.d,.tf) với

k =1,2., ,8

Nếu điều kiện liên kết đặt lên cơ hệ là dừng và việc chuyên trạng thái

Trang 14

— 0 VỚI k=1,2, S

Trong đó: LE=T-U

a) Ham Lagrange co tinh chat cộng tính

Trang 15

1.4.2 Hàm Lagrange của hạt tự do

Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào ?,/ có nghĩa là L chỉ phụ thuộc

vào vận tốc Ở

Từ tính đẳng hướng của không gian thì L không phụ thuộc vào hướng của V có nghĩa là:

L=L(’)

Dạng của L được xác định bởi nguyên lí tương đối Galile L(v”) phải có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính

Khi chuyên từ hệ K sang K' thì: L@°)—> L(# +Ÿ} L=ay? L§°)=ay` =a|(B +} ]=aữ" + 2aÿ Ÿ +a" „ đp dt => L(v’) = L(¥”) + “(2a7ÿ +aV *t) dt 4 (2077 +aV1)= 4 4) dt dt 2 mV Chon a= do dé L= N 2

Ke pean Hy, , ` AK phy ath ’ ^

Đôi với hệ: L=3 ——* trong đó n là sô chât điệm của cơ hệ

i=]

Trang 16

> (dl) (ai (¥) =| —] =| — dt dt dl* = dx’ + dy’ + dz’ 2 2 2 pam OO 4 2\ dt dt dt L=F (tty +2’) - Trong toa độ trụ: X=rcos@ y=rsing <“—“ dl’ = dr? + r1do + dz? L=S +r?2°+?) - _ Trong hệ tọa độ cầu: x=rsinOcos@ y=rsinđØsinø Z=rcosỡ dị” = drˆ + rˆ4Ø” + rˆ sin” 0dợø” =>L= _ +r?#Ø +rˆ”sin? 09” ) 2

1.4.3 Ham Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau

Trang 18

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON

2.1 Phương trình tổng quát của động lực học

Xét hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng của những liên kết lí tưởng

Phương trình chuyển động của chất điểm ¡ của cơ hệ có dạng: mw, =F +R, (2.1) nén: mM; VU, ~~ F — R, Từ điều kiện: N — > R, OF, =O i=l Ta có: N > 5 _ứm,w, — F )ðr =0 (2.2) i=l

Đây là phương trình tổng quát của động lực học cơ hệ hay còn gọi là nguyên li D’ Alambert- Lagrange Do là một trong những nguyên lí quan trọng nhất của động lực học cơ hệ

Trang 19

2.2 Phương trình Haminton 2.2.1 Xung lượng suy rộng

Xét hàm Lagrange của cơ hệ: a1 + = — L=T-U=) mG) -UG sh, .a Ty) [=1 (=1,N) là xung lượng của chất điểm thứ i i Đại lượng ob =m =p, Or i Trường hợp tông quát đại lượng p, = sẽ (k=1,s) gọi là xung lượng q, suy rộng ứng với bậc tự do thứ k

Khi đó, ¿, được gọi là vận tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k

Trang 21

SN, oL

Và đH => ¿,dp, - p,dq, “aa (2.5)

k=l

Như vậy, khác với hàm Lagrange mô tả hệ cơ học băng tọa độ suy rộng và vận tôc suy rộng, hàm Haminton mô tả cơ hệ băng tọa độ suy rộng và xung lượng suy rộng , dp, _ dq, _, Chia phương trình (2.5) cho dt và chú ý rằng 1 L = pva 7 =4, Ta co: dH db att dF

Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là đừng thì 7 =0 và do đó lúc này hàm

Lagrange không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên = =0 ta thu được ƒ định luật bảo toàn đại lượng H: Ta có: dH _ 4L Do at dt

2.2.3 Phuong trinh Haminton

Biéu thức vi phân toàn phần của H có thể viết:

dH =Š'| “—dp,+——|+~-đi “| OH OH | OH (2.6)

i1| OD, 04, Ot Mata co:

Trang 22

So oL dH =3 _q,dp, — p, dq, —— di k=l Ot Ta thấy được: OH OH đ, =——Và P¿ =——— (k=1,s) (2.7) Op, 04, Đây là các phương trình Haminton và hệ thức - - _ t t Chia 2 về của phương trình (2.6) cho dt và chú ý các hệ thức (2.7) ta thu được: 4H _ôL at Ot

Néu H không phụ thuộc tường minh vào thời gian có nghĩa là a =0 thì f

H là một đại lượng bảo toàn

Như vậy, để mô tả những định luật chuyển động của cơ hệ, ngoài việc sử dụng phương trình Lagrange loại II ta còn có thể sử dụng 2s phương trình Haminton (2.7)

Nếu định luật chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng những phương trinh Lagrange thì trạng thái của cơ hệ được xác lập bởi những tọa độ suy

rộng g,(k=l,s , vận tốc suy rộng ở (k=1,s) Những biến số g,(k =1,8), q,(k = 1,s) và t gọi là biến số Lagrange

Nếu chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng 2s phương trình Haminton thì trạng thái của cơ hệ được xác định bởi những tọa độ suy rộng q,(k =1,5) va xung lugng suy rdng p,(k =1,s)và gọi là biên số Haminton trong trường lực thế Hệ phương trình (2.7) được áp dụng trong trường lực thế vì nó được xây dựng cho phương trình Lagrange loại II trong trường lực thế

Trang 23

CHƯƠNG 3

GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON

Áp dụng hệ phương trình Haminton để giải bài tập đối với cơ hệ là cơ

hệ Hôlônôm, cơ hệ chịu liên kết lí tưởng

3.1 Các bước áp dụng hệ phương trình Hamintin đề giải bài tap

B1: Xác định số bậc tự do của cơ hệ (bằng số tọa độ suy rộng) và chọn tọa độ suy rộng thích hợp

B2: Xác định biểu thức tính động năng T, thế năng U B3: Xác định hàm Lagrange L và xung lượng suy rộng P B4: Xác định hàm Haminton

B5: Viết hệ phương trình Haminton và giải để tìm ra quy luật chuyên động của chất điểm, cơ hệ

3.2 Áp dụng hệ phương trình Haminton đề giải một số bài tập Bài tap 1:

Mot chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực thế

Trang 24

L=T-U= ——— 2 2 D,= ot mx "` Ø3 Hàm Haminton của chất điểm: 2 2 H=xŸ“_-L-T+U-=P-+## -p Ox 2m 2 Những phương trinh chinh tac Haminton: OH p, xX = EE Op, m OH D.=———=-k*X Ps Ox Từ hai phương trình trên ta suy ra: mà = —kx hay mở + w”x =0 Với w?= * m Giải phương trình vi phân này ta thu được: x = Acos(wt + Ø) Đây là phương trình dao động điều hòa với A va @ la bién dé va pha ban đầu Bài tập 2:

Tìm phương trình chuyển động của con lắc toán học có độ dài /, khối

Trang 26

Và giải phương trình này ta thu được: a= Acos(wt+ Ø) Trong đó A va Ø là các hằng số được xác định từ các điều kiện ban đầu Bài tập 3: Tìm quy luật chuyển động của chất điểm trong trường trọng lực Giải: Chọn các tọa độ suy rộng 1a x, y, z Động năng của chất điểm: — 1 » 2 s2 s2 T= aint +ỷ +Z)

Thế năng của chất điểm:

Trang 27

Những phương trình chính tắc Haminton: A po GH Ps, - Fg Op, m Ox _ OH DP, ôn y=— =— ,p, =-— =9 Oop, m Oy OH p, , oH z= =, p, =-—— =—mg _Ôp, om’ Oz Tu do ta suy ra:

Tich phân các phương trình này với các điêu kiện

đầu wạ,,Vạ „„ Vạ, „ Xạ, yạ.Z¿ ta được: X=#¿+Đwy#, Y=Vo + Voy, I, ma BF 5 Bai tap 4:

Một con lắc phăng M; có khôi lượng mạ, có điểm treo M¡ với khối

lượng mạ, chuyển động không ma sát trên một đường thắng nằm ngang Con lắc có chiêu dài là Tìm phương trình chuyên động của con lắc

Trang 29

— smi + 2m, I(x +l@cosg)’ + (—løsin Ø)ˆ |

— smi + sims +l’ + 2xl@cos@) 1 sa = 2m +ĩn,)x” + 2”; (I*@ˆ +2lx@cosøØ) Chọn gốc thế năng trùng với gốc tọa độ O Thế năng của hệ: U =—m.sy, =—m, gÏcosợ Hàm Lagrage của hệ có dạng: 1 2, 1 2-2 _

Trang 31

Với Avà ø là những hang số được xác định từ điều kiện ban đầu

Như vậy, ở đây con lắc toán học sẽ thực hiện dao động điêu hòa với chu ky:

Bai tap 5:

Một vật rơi xuống đất từ độ cao h, không có vận tốc ban đầu Dùng hệ

phương trình Haminton để tìm vận tốc của vật Biết bán kính Trái Đất là R, bỏ qua ma sát và sức cản không khí Giải: _Q — TT A xỶ h Vv CEE EEE 777) Hình 3.3 Cơ hệ có 1 bậc tự do Chọn tọa độ suy rộng là x

Chọn hệ trục tọa độ suy rộng Ox như hình vẽ, gốc O tại vị trí ban đầu trước khi vật rơi

Chọn gốc thế năng tại vị trí ban đầu trước khi thả vật Động năng của vật là:

Trang 33

hawt + iat +h, 1 =>h=-— et’ 25 ; 2h 2h —>f?=—>i= |— 8 8 >x=g * = Pgh § Vay van tốc của vật la: x= VJ2sh Bài tập 6:

Một vật khối lượng m được ném lên với vận tốc ban đầu y„, dưới một

góc # so với phương nằm ngang Hãy tìm phương trình vận tốc và phương trình chuyển động của vật Bỏ qua sức cản của không khí

790 Ạ

Giải: y

Vật có khối lượng m được ném theo phương hop với phương ngang một góc œ Bỏ qua sức cản của không không khí nên chuyên động của vật chỉ chịu tác

dụng của trọng lực

Vật chỉ chuyển động trong mặt phẳng thắng đứng nên chỉ có 2 bậc tự do

Trang 35

ÿ=——=——,jy=~——=-~m§ (**) Tu (*) ta suy ra: _ |x, =0 Trong do: y _ |x=v, cosa nén x=(v,cosa)t Tu (**) ta co: my=—mg > y=-8 y=-gt+y, gt’ y=—a To =0 y=—gt+v,sina Trong đó: “ _ nên gt (*#*)

3o — Yụ SIH1 đ y=~ + sin a)t

Trang 36

- Khi øz=90°ta có: + #, hướng lên trên vật chuyền động thắng đứng lên trên (x, =0; y, = Vy) gt to y=Y, — &f mm eM +Y, hướng xuông dưới; vật chuyên động ném thăng đứng xuông dưới (x, =0; 5, =—v, ) x=0 y=—-v, — gt =0 ° gt " TM -_ Khi ÿ, =ta có vật chuyển động rơi tự do(#, =0; ÿ, =0) =9 ae gt x=0 — — — 72

Từ các trường hợp trên ta thấy, bài toán ném vật nghiêng góc ø so với phương ngang là bài toán tổng quát Từ đó, dễ dàng suy ra kết quả của các bài toán ném ngang, ném thăng đứng, rơi tự do

Bài tập 7:

Hai chất điểm có khối lượng mị, mạ được nối với nhau bằng 1 sợi dây mềm không giãn, sợi dây có chiều dài 1, khối lượng không đáng kể, sợi dây

được vắt qua 1 ròng rọc Bỏ qua mọi loại ma sát hãy dùng hệ phương trình Haminton tìm gia tốc và phương trình chuyển động của chất điểm

Giải:

Trang 39

(m, +m,)x=—(m, —m,)g * Mm, Mm, >xX= m +m, m, —m,)gt 1 m +m, 2 m —m t a = Th) Bt 8 + C# + C, 2(m, +m,) ye “A Z C, Xo Tai thoi diém t=0 ta có: c Nén ta co: m,—m,)gt’ x — Wm) om) 8 + Xqt +X, 2(m, + m,) Như vậy gia tốc của chất điểm là: m, —m ¢_ im ~ m,)§ m, +m, Và phương trình chuyển động của chất điểm là: _ n, —m,)gf” + X,t +X, 2(m, +m, ) Bai toan 8:

Một khối trụ đồng chất khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trên mặt phăng AC của chiếc nêm ABC cô định (trục của hình trụ luôn hướng theo phương ngang) có hình tam giác vuông, góc ACB = Xác định gia tốc của chuyên động tịnh tiễn và phương trình chuyển động của khối trụ

Giải:

Trang 40

B a C Hình 3.6 Khối trụ đồng chất chỉ chuyển động lăn không trượt trên mặt phẳng AC nên số bậc tự do là 1 Chọn trục tọa độ Ox như hình vẽ Chọn tọa độ suy rộng là x

Động năng của khôi trụ bao gôm động năng tịnh tiên của khôi tâm và động năng quay quanh điêm tiêp xúc với nêm nên ta có:

Tah me ste

2 2

1 ` co , Le og a