Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng phương trình lagrange loại II

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ  NGUYỄN THÚY AN MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT GIẢI BẰNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI II KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ



NGUYỄN THÚY AN

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT

GIẢI BẰNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE

LOẠI II

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

HÀ NỘI – 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ



NGUYỄN THÚY AN

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT

GIẢI BẰNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã quan tâm chỉ bảo và nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này Cô cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thúy An

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài: “Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng phương trình Lagrange loại II” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân

cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Tôi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của bất kì một tác giả nào Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2015

Sinh viên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Nội dung của khóa luận 2

7 Phạm vi nghiên cứu 2

NỘI DUNG Chương 1: Những khái niệm cơ bản 1.1: Khái niệm về liên kết 3

1.1.1: Số bậc tự do- liên kết 3

1.1.2: Dịch chuyển ảo và dịch chuyển khả dĩ 5

1.2: Tọa độ suy rộng 5

1.3: Liên kết lý tưởng 6

1.4: Hàm Lagrange 6

1.5: Hàm Haminton 10

Chương 2: Phương trình Lagrange

2.1: Phương trình Lagrange loại I 11

2.1.1: Nguyên lí Đalămbe –Lagrange 11

2.1.2: Phương trình Lagrange loại I 11

2.2: Những hạn chế của phương trình Lagrange loại I 13

2.3: Phương trình Lagrange loại II 14

2.3.1: Xây dựng phương trình 14

2.3.2: Ý nghĩa vật lí của Qk 15

2.3.3: Ý nghĩa của Zk 17

2.3.4: Phương trình Lagrange loại II viết cho trường lực thế 16

2.3.3: Phương trình Lagrange loại II là một phương trình vi phân bậc hai đối với tọa độ suy rộng 17

Chương 3: Ứng dụng của phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài tập cơ lý thuyết 3.1: Các bước vận dụng phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài toán cơ học 19

3.2: Vận dụng giải một số bài tập trong cơ lý thuyết 19

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

1

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết cho đến thế kỉ XIX 1 chuyên ngành vật lý mới ra

đời, đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và toán học đó là “chuyên nghành vật lý lý thuyết” Sự ra đời của ngành vật lý lý thuyết này đã góp phần nâng cao và khái quát hóa những định luật vật lý thành những quy luật, những học thuyết hết sức tổng quát, có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển của khoa học, đời sống và kĩ thuật Với sự kết hợp những phương pháp toán học hiện đại, phát triển cao, vật lý lý thuyết còn tìm ra được những quy luật mới chưa tìm được bằng thực nghiệm và tiên đoán trước những mối quan hệ giữa các hiện tượng vật lý

Phương pháp toán học giải tích nghiên cứu vật lý đặc biệt là nghiên cứu

cơ học được gọi là cơ lý thuyết Đối với cơ hệ có chịu liên kết đã được nhà vật lý Lagrange tìm ra và được gọi là phương trình Lagrange Phương trình Lagrange loại II thì có ưu điển hơn phương trình Lagrange loại I

Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng phương trình Lagrange loại II” giải quyết một số bài toán trong cơ lý thuyết

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của khóa luận này là áp dụng phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài tập cơ lý thuyết để nghiên cứu các hệ dao động bé

và chuyển động của vật rắn mà chúng ta thường gặp trong thực tế

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những khái niệm cơ bản về liên kết, liên kết lý tưởng, tọa

độ suy rộng, hàm Lagrange, hàm Haminton

2

- Xây dựng phương trình Lagrange loại I tìm ra những hạn chế của phương trình Lagrange loại I để từ đó xây dựng phương trình Lagrange loại

II

- Ứng dụng phương trình Lagrange loại II vào việc giải một số bài tập

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương trình Lagrange loại II là cơ sở quan trọng của nhiều bài toán Đối tượng của khóa luận là ứng dụng phương trình Lagrange loại II vào giải

một số bài tập cơ lý thuyết

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và giải tích toán học trong việc ứng dụng để giải các bài tập cơ lý thuyết bằng phương

trình Lagrange loại II

6 Nội dung nghiên cứu

Chương 1: Những khái niệm cơ bản

Chương 2: Phương trình Lagrange

Chương 3: Ứng dụng của phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài tập cơ lý thuyết

3

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1: Khái niệm về liên kết

1.1.1: Số bậc tự do – Liên kết

1.1.1.1: Số bậc tự do

Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ

hệ gọi là số bậc tự do của nó

1.1.1.2: Khái niệm về liên kết

Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ

trong không gian gọi là liên kết

Phương trình liên kết: Là các phương trình ràng buộc sự liên kết củả tọa độ và vận tốc

Giả sử ta xét cơ hệ gồm 3 chất điểm có tọa độ A x 1, y ,1 z1;

 2, y ,2 2

B x z ;C x 3, y ,3 z3 Khoảng cách giữa 3 điểm lần lượt là r12; r23; r31

biểu diễn như hình vẽ: A x 1, y ,1 z1

f i

- Khi cơ hệ phụ thuộc cả tọa độ, vận tốc, thời gian thì liên kết đặt lên cơ

hệ được gọi là liên kết động học:

5

Liên kết động học được biểu diễn bằng phương trình (1.1) được gọi là liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân được

1.1.1.1.3: Hệ hôlônôm

Cơ hệ không chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên

nó gọi là cơ hệ hôlônôm

1.1.2: Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo

i i

0)

- Một hệ có s bậc tự do, được xác định bởi s tọa độ suy rộngq q1, 2, q s

thì hàm Lagrange LL q 1,q , , ,2 q q q s 1 2, ,q t hay L s  : L q q t k, k, với k=1,2…s

Hệ cơ học được cấu tạo từ 2 phần A và B có hàm Lagrange là LA, LB Nếu

bỏ qua tương tác của A và B thì hệ này có hàm Lagrange là: L = LA + LB

8

1.4.2: Hàm Lagrange của hạt tự do

- Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào r , t có nghĩa là L chỉ phụ thuộc vào vận tốc v

- Từ tính đẳng hướng của không gian thì L không phụ thuộc vào hướng của v có nghĩa là:

2

( )

- Dạng của L được xác định bởi nguyên lí tương đối Galile L(v2) phải

có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính

- Khi chuyển từ hệ K sang K’ thì:

m v L

1.4.3: Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau

- Xét hệ của các hạt tương tác với nhau nhưng không tương tác với các vật bên ngoài hệ

, ,

1

,2

1

( )2

s i



  trong đó s là số bậc tự do của cơ hệ

Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng r i 0

11

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE 2.1: Phương trình Lagrange loại I

2.1.1: Nguyên lí Đalămbe - Lagrange

Xét một cơ hệ gồm N chất điểm chịu những liên kết lí tưởng đặt lên nó Phương trình chuyển động của chất điểm i của cơ hệ :

i i i

 : Nguyên lí dịch chuyển ảo nguyên lí Đalămbe

2.1.2: Phương trình Lagrange loại I

Từ nguyên lí Đalămbe – Lagrange và k phương trình biểu diễn liên kết



 

 ( 1,2, k) (2.3)

12

Ta có thể tìm được hệ phương trình vi phân mô tả chuyển động của cơ

hệ không tự do Thật vậy, nhân (2.3) với nhân tử vô định () rồi lấy tổng

  đứng trước các dịch chuyển ảo độc lập trong tổng

buộc phải bằng không Thành thử tất cả các nhân tử

k iy i

k ix i

z i

y i ix

A F

z m

A F

y m

A F

x m

1 1 1

, ,

2.2: Những hạn chế của phương trình Lagrange loại I

Phương trình Lagrange loại I:

Khi nghiên cứu chuyển động của cơ hệ tự do bài toán cho ta biết:

- Khối lượng của các chất điểm mi

- Lực chủ động tác dụng lên các chất điểm F i

- k phương trình liên kết

Yêu cầu của bài toán:

- Xác định phương trình động học của chất điểm r t i( )

- Xác định phản lực liên kết đặt lên các chất điểm R R R R i( ix, iy, iz)

Vậy có tất cả 3N+k phương trình trong đó có 3N phương trình mô tả chuyển động

Và k phương trình liên kết: fr r t i, ,i 0 với  1,2, k

Vì vậy để giải quyết bài toán đơn giản hơn, thuận tiện và dễ dàng hơn người ta nghiên cứu và đưa ra phương trình Lagrange loại II

14

2.3: Phương trình Lagrange loại II

2.3.1: Xây dựng phương trình

Ta khảo sát 1 cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm Liên kết đặt lên cơ hệ

được biểu diễn bằng n phương trình:

0),,

,,(r1 r2 r3 r t 

,(q1 q2 q t r

ri i s

 (i=1,2,…N) (2.9) Xuất phát từ nguyên lí Đalămbe- Lagrange (2.2) ta có thể thành lập phương trình chuyển động của cơ hệ trong tọa độ suy rộng

Khi thực hiện dịch chuyển, qk thay đổi theo thời gian và theo liên kết:

),(t 

q

q k  k (2.10) Trong đó: t là biến số thời gian

 là thông số thực biểu diễn tất cả các yếu tố khác mà qk phụ thuộc, kể cả liên kết

Khi liên kết thay đổi nhỏ hoặc tọa độ thay đổi nhỏ thì:

k

q t

q t

q t

q ( ) ( , ) ( , ) (2.11) Đại lượng q k (t) được gọi là biến phân của tọa độ suy rộng qk(t)

Dễ thấy:

)()

()

dt

d t

q dt

d

k k

    (2.12)

r F Q

q

r w m Z

F A

k

N

i s

k

k k

i i k

q

r F A

k k k

Q A

1

1 1 2

2 1

A Q

i k

i i i N

i i i N

i i i k

q

r dt

d r m q

r r m dt

d q

r dt

r d m q

r w m

Z

1 1

i i

k k

i i

i

t

r q q

r t

r dt

dq q

r dt

r d r

k k

i k i k i

q

r dt

r d q q

r dt d

q

r q

17

Thay (2.17) vào (2.16) ta có:

k i N

i

N

i i i k

i i i k

q

r r m q

r r m dt

d Z

k i k

q

r r m q

T

q

r r m r

q

m q

k

q

T q

T dt

d Z

Q q

T q

T dt

2.3.4: Phương trình Lagrange loại II viết cho trường lực thế

Xét cơ hệ chỉ chịu tác dụng của những lực thế Ta có thế năng tương tác của họ U r r( , , )1 2 r và lực thế N F i liên hệ với nhau bằng hệ thức:

i

U F

r



 



i i i N

i

i

F A

2.3.5: Phương trình Lagrange loại II là phương trình vi phân bậc 2 đối với tọa độ suy rộng

Biểu thức động năng của cơ hệ:

1

12

N

i i i i

2

N i i

2

12

s

k k k

 chứa đạo hàm bậc hai của tọa độ suy rộng

Vậy phương trình Lagrange loại II : k

21

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOẠI II TRONG VIỆC GIẢI

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT 3.1: Các bước vận dụng phương trình Lagrange loại II trong việc giải một số bài toán cơ học

Phương trình Lagrange loại II áp dụng đối với cơ hệ Hôlônôm hay cơ

hệ chịu liên kết lý tưởng

Các bước vận dụng phương trình Lagrange loại II để giải bài tập:

Bước 1: Phân tích đề bài, nếu liên kết là liên kết lý tưởng tức là

 ta có thể vận dụng phương trình Lagrange loại II để giải bài toán

Bước 2: Tìm số bậc tự do và chọn tọa độ suy rộng qk với k=1,2, s Bước 3: Tính động năng T và biểu diễn động năng T qua vận tốc suy rộng q kvà tính thế năng U

Bước 4: Tính công ảo cho các lực chủ động:

1

N

i i i



 và các lực suy rộng

và thay vào phương trình Lagrange loại II để giải bài tập

3.2: Vận dụng giải một số bài tập cơ lý thuyết

22

Bài tập 1: Hai chất điểm có khối lượng m1, m2 được nối với nhau bằng

1 sợi dây mềm không giãn, sợi dây có chiều dài l, khối lượng không đáng kể, sợi dây được vắt qua 1 ròng rọc Bỏ qua mọi loại ma sát hãy dùng phương trình Lagrange loại II viết hàm Lagrange và tìm phương trình chuyển động của chất điểm

Giải:

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ có gốc tọa độ tại tâm

của trục quay của ròng rọc

Hệ có 1 bậc tự do Ta chọn tọa độ suy rộng là x

( x là khoảng cách từ tâm của ròng rọc đến m1)

Với x là tọa độ suy rộng của chất điểm M1

nên (l-x) là tọa độ suy rộng của chất điểm M2

Động năng của cơ hệ là:

Bài tập 2: Các vật năng A, B được nối với nhau bằng sợi dây không

dãn vắt qua ròng rọc D (Hình 3.2) Khi vật nặng A có trọng lượng P1 hạ xuống dưới ròng rọc D có trọng lượng P3 quay xung quanh trục cố định của nó; còn vật B có trọng lượng P2 được nâng lên theo mặt phẳng nghiêng với phương ngang 1 góc  Hãy xác định gia tốc của các vật A, B bằng phương trình Lagrange- Đalămbe, biết hệ số ma sát trượt của vật vào mặt phẳng nghiêng là f Ròng rọc D được xem như đĩa tròn đồng chất Bỏ qua khối lượng của dây cũng như ma sát

Giải:

Cơ hệ có 1 bậc tự do ta chọn trục tọa độ suy rộng là x

Các lực tác dụng vào A, B như hình vẽ Chọn chiều chuyển động như hình vẽ

Vì dây không giãn, khối lượng không đáng kể nên A, B chuyển động với cùng gia tốc

ms x

Hàm Lagrange và phương trình chuyển động của nó có dạng:

2 2

1

cos2

m1

30

q q

sin cos sin cos sin cos sin cossin cos sin cos sin cos sin cos

( )sin

t t

Thế năng của chất điểm: U=mgz

Hàm Lagrange của chất điểm có dạng:

33

Ta có 3 phương trình Lagrange mô tả chuyển động của chất điểm:

000

12

loại II hãy viết phương trình vận tốc và phương trình chuyển động của vật trong trường hợp bỏ qua sức cản không khí

x

y

O

v R

sin2

x x

37

00

x x

x x

Trường hợp R0, vật chuyển động trong trường trọng lực chỉ chịu tác dụng của lực thế chính là lực trọng trường ( trọng lực) Khi đó ta giải phương trình Lagrange cho hệ chỉ chịu tác dụng của lực thế ( phương trình có vế phải bằng 0)

38

Chọn tọa độ x là tọa độ suy rộng

Động năng của khối trụ bao gồm động năng tịnh tiến của khối tâm và động năng quay quanh điểm tiếp xúc với nêm:

1

2

J  mr là momen quán tính của trụ đối với trục đi qua tâm của trụ

Theo định lí Huyghen- staino, momen quán tính của trụ đối với tâm quay đi qua điểm tiếp xúc với nêm và song song với trục của trụ:

1

32

sin5

Bài tập 9: Chất điểm M có khối lượng m chuyển động theo vòng

khuyên tròn bán kính r trong khi vòng khuyên tròn quay đều quanh đường kính thẳng đứng AB của nó với vận tốc  Tìm hàm Lagrange và phương trình vi phân mô tả chuyển động của chất điểm M

40

v2 là vận tốc quay của chất điểm ( tại vị trí xácđịnh bởi góc ) quanh đường kính thẳng đứng với vận tốc góc 

Chọn gốc thế năng là vị trí thấp nhất của chất điểm

Thế năng của chất điểm:

Đó chính là phương trình vi phân mô tả chuyển động của chất điểm M

Bài tập 10: Một hạt khối lượng m, điện tích e chuyển động dưới tác

z z

E, đầu còn lại cuốn vào ròng rọc B và vắt qua ròng rọc cố định Q gắn trên góc

A của chiếc nêm AOC nằm trên mặt phẳng ngang Khi vật E chuyển động kéo ròng rọc B lăn trên mặt phẳng nghiêng AC của chiếc nêm Khối lượng của nêm là m3 của ròng rọc Q không đáng kể, góc ACO Hãy tìm hàm Lagrange của hệ vật và quãng đường đi của vật E trong 2 trường hợp chiếc nêm đứng yên và trượt không ma sát trên mặt phẳng ngang

Giải:

a Xét khi nêm đứng yên

Hệ gồm vật E (khối lượng m1) và vật B( khối lượng m2)

Chọn trục tọa độ trùng với phương chuyển động của các vật

Gốc tọa trùng với vị trí ban đầu của các vật