Khoá luận tốt nghiệp một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng hệ phương trình haminton

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ BÙI THỊ PHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP c ơ LÝ THUYẾT GIẢI BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC• • • • Chuyên ngành: Vật lý l

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

8o*£»EEW<j!ỉ

BÙI THỊ PHƯƠNG

MỘT SỐ BÀI TẬP c ơ LÝ THUYẾT

GIẢI BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC• • • •

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

HÀ N Ộ I-2 0 1 5

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

BÙI THỊ PHƯƠNG

MỘT SỐ BÀI TẬP c ơ LÝ THUYẾT

GIẢI BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC• • • •

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

L Ờ I C Ả M Ơ N

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã cung cấp cho tôi những kiến thức chuyên ngành tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa luận của mình

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè những người đã luôn quan tâm giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận của mình

Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Bùi Thị Phương

L Ờ I C A M Đ O A N

Tôi xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan Tôi cũng xin cam đoan kết quả nghiên cứu này của mình không trùng với kết quả nghiên cứu của bất kí tác giả nào Neu trong khóa luận có gì không trung thực thì tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày thảng 5 năm 2015

Sinh viên

Bùi Thị Phưong

M Ụ C L Ụ C

L Ờ I C Ả M ƠN

L Ờ I C A M Đ O A N

M Ở Đ À U 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu đề tài 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên c ứ u 2

5 Phương pháp nghiên c ứ u 2

6 Bố cục của đề tà i 2

7 Đóng góp của đề tà i 2

CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM c ơ BẢN 3

1.1 Khái niệm về liên k ế t 3

1.1.1 Số bậc tự do - Liên k ế t 3

1.1.2 Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ả o 5

1.2 Tọa độ suy rộng 6

1.3 Liên kết lí tưởng 6

1.4 Hàm Lagrange 7

1.4.1 Hàm Lagrange 7

1.4.2 Hàm Lagrange của hạt tự do 9

1.4.3 Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau 10

1.5 Hàm Haminton 11

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON 12

2.1 Phương trình tổng quát của động lực học 12

2.2 Phương trình Haminton 13

2.2.1 Xung lượng suy rộng 13

2.2.2 Xây dựng hàm Haminton 13

2.2.3 Phương trình Haminton 15

CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SỔ BÀI TẬP BẰNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAMINTON 17

3.1 Các bước áp dụng hệ phương trình Hamintin đế giải bài tập 17

3.2 Áp dụng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập 17

K ÉT L U Ậ N 45

T À I L IỆ U T H A M K H Ả O 46

Là một bộ môn mới trong chuyên ngành “Vật lý lý thuyết” môn “cơ lý thuyết”- khoa học về cân bằng và chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của các lực cũng nhận được sự quan tâm đặc biệt Việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết bài tập cơ lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với người học Qua đó, giúp họ hiểu được sâu sắc lí thuyết, đồng thời góp phần phát triển khả năng tư duy Tuy nhiên, dưới sự phát triển cao của toán học, ngày càng có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết các bài tập cơ lý thuyết nhưng việc giải quyết một số bài tập vẫn gây không ít khó khăn cho người học Là một phần quan trọng trong bộ môn cơ lý thuyết hệ phương trình Haminton sẽ cung cấp cho chúng ta một cách giải mới để tiếp cận bài tập.

Chính vì thế, em đã chọn đề tài “Một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng hệ phương trình Haminton” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cún đề tài

Dùng hệ phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Sử dụng phương trình Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết để tìm ra quy luật chuyển động của chất điểm, của cơ hệ

1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cún

- Nghiên cứu các khái niệm cơ bản của một cơ hệ có chịu liên kết

- Dùng hình thức luận Haminton để giải một số bài tập cơ lý thuyết

- Nghiên cứu cách xây dựng hệ phương trình Haminton

5 Phương pháp nghiên cún

- Phương pháp vật lý lý thuyết

- Phương pháp vật lý toán học

6 Bố cục của đề tàỉ

Chương 1: Những khái niệm cơ bản

Chương 2: Phương trình Haminton

Chương 3: Giải một số bài tập bằng hệ phương trình Haminton

bởi bán kính vecto r hay ba tọa độ Descartes Xi, Ỵi, Zj Đe xác định vị trí của

cơ hệ ta cần phải có N bán kính vecto ĩị, ( z = l , 2 h a y 3N tọa độ

Descartes Xi, Ỵi, Zj (/ = 1,2, ,#)

Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ

hệ gọi là số bậc tự do của nó

1.1.1.2 Khái niệm về liên kết

Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ trong không gian gọi là liên kết

Phương trình liên kết: Là các phương trình ràng buộc sự liên kết của

các tọa độ Xét 3 chất điểm A(xì, y Ị, z Ị),B(x2, y 2,z 2),C(x3, y 3,z3)vầL khoảng

cách giữa 2 chất điểm A, B là rị2, 2 chất điểm B, c là r23, 2 chất điểm A, c là

r3l, biểu thức thể hiện sự ràng buộc: A(x,,y,,Zị)

( x 2- J C , ) 2 + ( y 2 - y , ) 2 + (Zj - z , ) 2 - rỊ22 = 0

( x , - x 2) 2 + ( y , - }’2) 2 + (Zj - z 2) 2 - i-232 = 0 (*, - X3)2 + (y, - y 3)2 + ( z , ~ z})2 - r}l2 = 0Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bằng

Cơ hệ không chịu liên kết hình học và liên kết động học khả tích đặt lên

nó gọi là cơ hệ hôlônôm

P/liri + g / ,( ĩi ' t ) = 0

xl +bl„ỹí +cllli l + g ll(ĩ„t) = ữ a,r

h ^ + t Á 7»*) 0

Ppidri + g p ịr.,t)dt = ồ với (/? = 1,2, ,N;i = 1,2, N) (1.2)Phương trình (1.2) được gọi là phương trình liên kết động học không tích phân được Cơ hệ chịu cả liên kết động học không tích phân được được gọi là cơ hệ không hôlônôm

1.1.2 Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo

1.2 Tọa độ suy rộng

Ta khảo sát cơ hệ hôlônôm gồm N chất điểm Mj (/ = 1 , 2 , với liên kết đặt lên nó được biếu diễn bằng n phương trình liên kết hình học và m phương trình liên kết động học

Đe xác định trạng thái của cơ hệ cần biết s = 3N — m — n tọa độ độc lập qi,

q2, qs thì q b q2, qs là những tọa độ suy rộng

với (/ = \,N;k = 1,5) 7; = 7t e k J )

SỐ tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do của nó

1.3 Liên kết lí tưởng

Giả sử có chất điểm Mi chuyển động dưới tác dụng của lực Fị

(ỉ = 1 , 2 Nếu chất điểm chuyển động tự do, theo định luật II Niutown, ta có:

Ш./

F Khi có liên kêt đặt lên cơ hệ, gia tôc W = — có thê không thỏa mãn các

ý nghĩa là liên kết đã tác dụng lên chất điểm Mị một lực nào đó gọi là phản

lực liên kết Kí hiệu là R thì phương phương trình chuyển động của chất

điểm không tự do Mị có dạng:

m.w.=F.+R (/ = l,2, ,AO (1.5)

Để phân biệt với phản lực R ta gọi lực F là hoạt lực hay lực hoạt động.

Liên kết được gọi là lí tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực liên kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là:

ỷ R.ồr, = Ỳ ( R & , + R â y , + Rhỏzi ) = i i v ix i iy s i iz I 7 0

/=] /=]

1.4 Hàm Lagrange

1.4.1 Hàm Lagrange

Một hệ có s bậc tự do, được xác định bởi s tọa độ suy rộng qx,q2, q

thì hàm Lgrange L = L ( qx, q2, qir, ậị, q2, qi;, t ) h a y : L = L (qk, qk, t ) với

k = 1,2, ,5

Neu điều kiện liên kết đặt lên cơ hệ là dừng và việc chuyển trạng tháicủa cơ hệ là thực thì có thể xác định các qk nhờ phương trình Lagrange:

7

Hệ cơ học được cấu tạo từ 2 phần A và B có hàm Lagrange là LA, LB Neu

bỏ qua tương tác của A và B thì hệ này có hàm Lagrange là: L= LA+ LB.b) Hàm Lagrange có tính bất định

Xét 2 hàm L( qk,ậk,t) và Lr(qk,ậk, t ) liên hệ với nhau bằng biểu thức:

^ Ổ S ' = ỔS

Vậy L và L'cùng mô tả 1 trạng thái vật lý, có nghĩa là hàm Lagrange

có ý nghĩa bất định

h S' = ị ư d t \S = ị Ldt

'-d f ( q k,t)’'-d f ( q t , t ) dt

Ổ S ’ = ỏ s + ỗ ị d f

ô \ d f ( q t ,t)= \ d ( S f ị q l ,t)) = ổ f ( q , , t ) t' = ổ f ( q 2, t ) - ổ f ( q r t) = 0

1.4.2 Hàm Lagrange của hạt tự do

Do tính đồng nhất của không gian và thời gian mà hàm Lagrange L của

hạt tự do không phụ thuộc tường minh vào r,t có nghĩa là L chỉ phụ thuộc

r , T Ÿ г т л dl_

K d t J \ L U J dt dl2 = dx2 + dy2 + dz

=> L = — [r2 + г2# 2 + r 2 sin2

1.4.3 Hàm Lagrange L của hệ hạt tương tác lẫn nhau

Xét hệ của các hạt tương tác với nhau nhưng không tương tác với các vật bên ngoài hệ

L = Ỳ iỈ Ĩ Ỉ Ệ - - U ự l,K1, rfl)

i=l 2Dùng các hệ tọa độ suy rộng:

C H Ư Ơ N G 2

P H Ư Ơ N G T R ÌN H H A M IN T O N 2.1 Phương trình tổng quát của động lực học

Xét hệ gồm N chất điểm chịu tác dụng của những liên kết lí tưởng Phương trình chuyển động của chất điếm i của cơ hệ có dạng:

Trong trường hợp đặc biệt khi hệ ở trạng thái cân bằng V = 0, w =0 ta

được nguyên lí quan trọng sau của tĩnh học:

(=1

Phương trình này còn được gọi là nguyên lí dịch chuyến ảo.

2.2 Phương trình Hamỉnton

2.2.1 Xung lượng suy rộng

Xét hàm Lagrange của cơ hệ:

Khi đó, qk được gọi là vận tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k

qk được gọi là gia tốc suy rộng ứng với bậc tự do thứ k.

Thế năng u không phụ thuộc vào qk nên pk có dạng:

L = L(qt ,ql ,t)

c!L = ± k=1

i ỔL

Ẩ : = 1 o t

Như vậy, khác với hàm Lagrange mô tả hệ cơ học bằng tọa độ suy rộng

và vận tốc suy rộng, hàm Haminton mô tả cơ hệ bằng tọa độ suy rộng và xung lượng suy rộng

õp ổ<7<

ÕH , H - dt

Mà ta có:

15

H là một đại lượng bảo toàn.

Như vậy, để mô tả những định luật chuyển động của cơ hệ, ngoài việc sử dụng phương trình Lagrange loại II ta còn có thể sử dụng 2s phương trình Haminton (2.7)

Neu định luật chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng những phương trình Lagrange thì trạng thái của cơ hệ được xác lập bởi những tọa độ suy

rộng ^ ( ^ = 1,5 , vận tốc suy rộng qk{k = \,s) Những biến số qk(k = \,s),

qk (k = 1,5) và t gọi là biến số Lagrange.

Nếu chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng 2s phương trình Haminton thì trạng thái của cơ hệ được xác định bởi những tọa độ suy rộng

qk(k = \,s)vầ xung lượng suy rộng p k(k = 1,s)và gọi là biên sô Haminton

trong trường lực thế Hệ phương trình (2.7) được áp dụng trong trường lực thế

vì nó được xây dựng cho phương trình Lagrange loại II trong trường lực thế

C H Ư Ơ N G 3

G IẢ I M Ộ T SÓ B À I T Ậ P B Ằ N G H Ệ P H Ư Ơ N G T R ÌN H• • •

H A M IN T O N

Áp dụng hệ phương trình Haminton đế giải bài tập đối với cơ hệ là cơ

hệ Hôlônôm, cơ hệ chịu liên kết lí tưởng

3.1 Các bước áp dụng hệ phương trình Hamỉntỉn đế giải bài tập.

B 1: Xác định số bậc tự do của cơ hệ (bằng số tọa độ suy rộng) và chọn tọa

độ suy rộng thích hợp

B2: Xác định biểu thức tính động năng T, thế năng u.

B3: Xác định hàm Lagrange L và xung lượng suy rộng p

ban đầu.

Bài tập 2:

Tìm phương trình chuyển động của con lắc toán học có độ dài / , khối

lượng m, góc lệch a khỏi phương thẳng đứng bé.

Giải:

o

a \ \

\

Hay á + w2a = 0 với w2 = —

19

Và giải phương trình này ta thu được:

a = v4cos(wí + /?) Trong đó A và Ị3 là các hằng số được xác định từ các điều kiện ban

Thế năng của chất điểm:

u = mgz (trục 0 z hướng từ dưới lên trên )

Hàm Lagrange và của chất điểm có dạng:

Tích phân các phương trình này với các điều kiện

đầu V«,, V0v, v0ĩ, x„, y„, z„ ta được:

21

Động năng của con lắc phẳng:

T = \ m , j â + \ m Ẩ x l + ỳl)

Hàm Haminton của chất điểm:

23

Với Л và a là những hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu

Như vậy, ở đây con lắc toán học sẽ thực hiện dao động điều hòa với chu kỳ:

Vật rơi xuống mặt đất từ độ cao h nên ta có:

Một vật khối lượng m được ném lên với vận tốc ban đầu v0, dưới một

góc a so với phương nằm ngang Hãy tìm phương trình vận tốc và phương

trình chuyến động của vật Bỏ qua sức cản của không khí

Giải:

Vật có khối lượng m được ném theo phương hợp với phương ngang một góc

a Bở qua sức cản của không không khí nên chuyển động của vật chỉ chịu tác

dụng của trọng lực

Vật chỉ chuyển động trong mặt phang thắng đứng nên chỉ có 2 bậc tựdo

27

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ Gốc tọa độ trùng với vị trí ban đầu của vật.

Chon tọa độ X, y trên các trục là tọa độ suy rộng của vật

Động năng của vật:

T = —m(x2 + ỳ2)

2Chọn gốc thế năng tại o.

- Khi a — 90° ta có I

+ v0 hướng lên trên vật chuyến động thắng đứng lên trên (i;0 = 0;ỷ0 = v0)

+ v0 hướng xuống dưới; vật chuyển động ném thẳng đứng xuống dưới ( i 0= 0 ;ý „ = - v 0)

Từ các trường hợp trên ta thấy, bài toán ném vật nghiêng góc a so với

phương ngang là bài toán tổng quát Từ đó, dễ dàng suy ra kết quả của các bài toán ném ngang, ném thẳng đứng, rơi tự d o

Bài tập 7:

Hai chất điểm có khối lượng mi, m2 được nối với nhau bằng 1 sợi dây mềm không giãn, sợi dây có chiều dài 1, khối lượng không đáng kể, sợi dây được vắt qua 1 ròng rọc Bỏ qua mọi loại ma sát hãy dùng hệ phương trình Haminton tìm gia tốc và phương trình chuyển động của chất điểm

ỷ = - v 0- 8 t

Khi v0 = õ ta có vật chuyển động rơi tự do ( i 0 = 0; ỷ0 = o)

Giải:

33

Khối trụ đồng chất chỉ chuyển động lăn không trượt trên mặt phẳng AC

7, = —mr là momen quán tính của trụ đôi với trục đi qua tâm của trụ.

Theo định lí Huyghen- staino, momen quán tính của trụ đối với quay đi qua điểm tiếp xúc với nêm và song song với trục của trụ là:

Chọn gốc thế năng là vị trí ban đầu của khối trụ.

Chuyển động của chất điếm M có thể mô tả bằng 1 tọa độ suy rộng là

góc quay ọ của chất điểm theo vòng khuyên tròn.

Động năng của chất điểm:

1 2 m 2 m , X2 m , x2

T = —mv] + —v2 = — ự ộ ) + — y(ờrúrup)

Trong đó:

Vị là vận tốc quay của chất điểm so với vành khuyên

v2 là vận tốc quay của chất điếm (tại vị trí xác định bởi góc ọ ) quanh đường kính thắng đứng với vận tốc góc co.

Chọn gốc thế năng là vị trí thấp nhất của chất điểm

Thế năng của chất điểm:

u = mg(r — rcoscp)

37

Hàm Lagrange của chất điểm:

L = T - U =mr — rộ + —rco2 sin2ỹ > -g (l -COSỹ>)

m3 của ròng rọc Q không đáng kể, góc ACO = a Hãy tìm hàm Haminton của

hệ vật và phương trình chuyến động trong trường hợp chiếc nêm đứng yên trên mặt phẳng ngang và bỏ qua ma sát

Hệ gồm vật E (khối lượng 0 1]) và vật B (khối lượng m2)

39

Chọn trục tọa độ trùng với phương chuyển động của các vật Gốc tọa trùng với vị trí ban đầu của các vật.

Chọn tọa độ suy rộng là X là quãng đường đi được của vật E

Động năng của hệ bao gồm động năng tịnh tiến của vật E, ròng rọc B

và động năng quay của ròng rọc B:

Chọn gốc thế năng tại vị trí ban đầu của các vật

Thế năng của cơ hệ: u = —ntịgx + m2gxsin a

Hàm Lagrange của cơ hệ: