Khoá luận tốt nghiệp một số bài tập cơ lý thuyết giải bằng hệ phương trình haminton

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ 8o*£»EEW;,0 = (« = 1,2, *,1 = 1,2, #) Khi / phụ thuộc vào tọa độ, thời gian vận tốc liên kết đặt lên hệ gọi liên kết động học f a(r,r.9t) = với (a = 1,2, k,i = 1,2, N ) JLdf df Tacó: d f ợ.,t) = ỵ ^ ^ d r + ^ d t = với (« = 1,2, ,N) «=1 dr.i ' dt (1.1) Liên kết động học biểu diễn phương trình (1.1) gọi liên kết động học khả tích hay liên kết động học tích phân 1.1.1.3 Hệ hơlơnơm Cơ hệ khơng chịu liên kết hình học liên kết động học khả tích đặt lên gọi hệ hôlônôm _ r~ \ T, o o mi m2 B Hình 3.5 Chọn hệ tọa độ hình vẽ có gốc tọa độ tâm trục quay rịng rọc Hệ có bậc tự Ta chọn tọa độ suy rộng X (x khoảng cách từ ròng rọc đến rni) Với X tọa độ suy rộng chất điểm Mi nên l - X tọa độ suy rộng chất điểm M2 Động hệ là: T =_m X ' • 22 ' 2 = m.x + ^ m 0x 2 = — (ra , + m 2)jc2 ( Vì dây không giãn nên vận tốc vật đó: Chọn mốc Ta có tổng hệ: 31 X = (/ - x ) = - m ]gx —m2g ( l —x ) u = (m2 —ra, )gx —m2gl Hàm Lagrange xung lượng suy rộng có dạng: L =T - U = —(ra , + m 2) x - (m2 - m ^g x + m2gl Xung lượng suy rộng: _ỠL , p x =-— = (m, + m ỉ ) x dx Hàm Haminton: ÕL H = X— L = (ra, + m2)x2 - —(ra, + m2)x + (m2 - mx)gx - m2gl õx 2 = — ( m , + m 2) x - /7 * ( m ì + mv22) + ( m - m ^ g x - m 2g l + (m"2 - m ) g x - m g í , Những phương trình tắc Haminton: , dH px x = ^ — = — —— ô p ra, + m2 ■ -= - ÕH ^ px ^ - -= - (,m - m í)g dx Từ ta suy được: 32 (m, + m2)x = —(m2 - m.)g X= ra, + r a ra, + m (m, - m 2)gt: X— -hc f + (^2 (m , + m 2) Tại thời điểm t=0 ta có: c 2=xữ Nên ta có: J m ì - m l )ge + ( m , + m 2) 00 Như gia tốc chất điểm là: X— (m, - m 2)g m x+ m Và phương trình chuyển động chất điểm là: (m, - m 2)gt2 X=— — 1————+ XJ + xn 2(m +ra2) 0 Bài toán 8: Một khối trụ đồng chất khối lượng m, bán kính r lăn khơng trượt mặt phang AC nêm ABC cố định (trục hình trụ ln hướng theo phương ngang) có hình tam giác vng, góc ACB = Xác định gia tốc chuyển động tịnh tiến phương trình chuyển động khối trụ Giải: 33 Khối trụ đồng chất chuyển động lăn không trượt mặt phẳng AC nên số bậc tự Chọn trục tọa độ Ox hình vẽ Chọn tọa độ suy rộng X Động khối trụ bao gồm động tịnh tiến khối tâm động quay quanh điểm tiếp xúc với nêm nên ta có: ^T ,2 X 2 = —m x + —JOJ 7, = —mr momen quán tính trụ đôi với trục qua tâm trụ Theo định lí Huyghen- staino, momen quán tính trụ quay qua điểm tiếp xúc với nêm song song với trục trụ là: Chọn gốc vị trí ban đầu khối trụ Thế vật rắn là: u = —m g x ú n a Hàm Lagrange xung lượng suy rộng mô tả chuyến động vật rắn: L - T - = - m i + mgxsìna ÕL , p x =- =- m x x õx Hàm Haminton: ÕL H = X— ôx L = —m x mx - m g x s m a = —rrứ2 - m g x s i n a Pr = jL ^L- mgxsma 5m Những phương trình tắc Haminton: ƠH p x = ^ — = —LJL ơpx 5m ƠH p = - —— = mg sin a õx Từ ta có: 35 —mx = mg sin a 2 => x = —g s in a => X = —gt sin a + x0 ọ sin cc =>x = —— — t + x 0t + x0 _ _ _ e sin a Do x0 = 0;x0 = => X= ———— t Vậy gia tốc chuyến động tịnh tiến khối trụ là: ;_ X = —gsinci' Phương trình chuyển động khối trụ là: ^ sin ' x = Ẽ— — t Bài tập 9: Chất điếm M có khối lượng m chuyến động theo vịng khun trịn bán kính r vịng khun trịn quay quanh đường kính thẳng đứng AB với vận tốc Cở Tìm phương trình vi phân mơ tả chuyển động chất điểm M Giải: 36 Chuyển động chất điếm M mơ tả tọa độ suy rộng góc quay ọ chất điểm theo vòng khuyên tròn Động chất điểm: m m , X2 m , x2 T = —mv] + —v2 = — ự ộ ) + — y(ờrúrup) Trong đó: Vị vận tốc quay chất điểm so với vành khuyên v2 vận tốc quay chất điếm (tại vị trí xác định góc ọ ) quanh đường kính thắng đứng với vận tốc góc co Chọn gốc vị trí thấp chất điểm Thế chất điểm: u = mg(r —rcoscp) 37 Hàm Lagrange chất điểm: L = T - U =mr —rộ + —rco2sin2ỹ> -g(l -COSỹ>) = mr —r(ý>2 +CỞ2sin2ỹ> )-g(l -COS#?) Xung lượng suy rộng: ÔL 2, pt = —— = mr ộ ẹ õộ Hàm Haminton: ỠL 1 H = ộ — L —mr2ộ ——mr2ộ ——m r2cờ2sin2ọ + mrg —mrg cosọ ôộ 2 —mr2ộ ‘1 ——mr2co2sin2(p + mrg —mrg COS(p = —— - mr2Cở2sin2(Ọ+ mrg —mrg cosự) 2mr Những phương trình tắc Haminton: _ÕH _ p ẹ op r< í> mr ÕH 2 : : p = —— = mr co sin (pcosọ - mrg sin (Ọ ẹ dọ Từ ta suy được: mr2(ị) = mr2ũ)2sin (pcosọ —mrg sin (p R sin • ^7 (f) = (o2s •m ọ c o s ọ - — 38 >ạ>-co2siĩ\(pcos(p + — sin8= r £ =>