Nhắc lại giới hạn và tích phân

Trần Só Tùng Tích phân Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân Các giới hạn đặc biệt: sin x =1 a) lim x ®0 x x =1 x ®0 sin x Hệ quả: lim sin u(x) =1 u(x)®0 u(x) u(x) =1 u(x)®0 sin u(x) ln(1 + x) =1 x® x lim lim lim x ỉ 1ư b) lim ç + ÷ = e, x Ỵ R x ®¥ è xø Hệ quả: lim (1 + x) x = e x®0 lim ex - =1 x® x Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp hệ quả: (c)’ = (c số) (x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u ' ỉ1ư ç ÷' = - èxø x ( x )' = x x (e )' = ex u' ỉ1ư ç ÷' = - u èù ( u ) ' = u' u u (e )' = u'.e u (ax )' = a x ln a (a u )' = a u ln a u ' u' (ln x )' = (ln u )' = x u u' (loga x ') = (loga u )' = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu u' (tgx)' = = + tg x (tgu)' = = (1 + tg u).u' 2 cos x cos u -1 - u' (cot gx)' = = -(1 + cot g x) (cot gu)' = = - (1 + cot g u).u' 2 sin x sin u Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a ; b) có đạo hàm x Ỵ (a; b) Cho số gia Dx x cho x + Dx Ỵ (a; b) Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) vi phân hàm số y = f(x) x, ký hiệu dy (hoặc df(x)) dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng đònh nghóa vào hàm số y = x, dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Trang Tích phân Trần Só Tùng NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN §Bài 1: NGUYÊN HÀM Đònh nghóa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x) Nếu thay cho khoảng (a ; b) đoạn [a ; b] phải có thêm: F '(a+ ) = f(x) F '(b - ) = f(b) Đònh lý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) : a/ Với số C, F(x) + C nguyên hàm hàm số f(x) khoảng b/ Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) viết dạng: F(x) + C với C số Người ta ký hiệu họ tất nguyên hàm hàm số f(x) ò f(x)dx Do viết: ò f(x)dx = F(x) + C Bổ đề: Nếu F¢(x) = khoảng (a ; b) F(x) không đổi khoảng Các tính chất nguyên hàm: · · · · ( ò f(x)dx ) ' = f(x) ò af(x)dx = f(x)dx (a ¹ 0) ò [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C (u = u(x)) Sự tồn nguyên hàm: · Đònh lý: Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a ; b] có nguyên hàm đoạn Trang Trần Só Tùng Tích phân BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp thường gặp (dưới u = u(x)) ò dx = x + C ò du = u + C x a+1 ò x dx = a + + C (a ¹ -1) ua+1 ò u du = a + + C dx = ln x + C x (x ¹ 0) ò a ò ò e dx = e x x ò a dx = x du = ln u + C u ò e du = e u +C ax +C ln a (a ¹ -1) a u ò a du = (0 < a ¹ 1) u (u = u(x) ¹ 0) +C au +C ln a (0 < a ¹ 1) ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C ò sin xdx = - cos x + C ò sin udu = - cos u + C dx ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C du ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C dx ò sin x = ò (1 + cot g x)dx = - cot gx + C dx = x +C x ò2 du ò sin du = u +C u ò2 (x > 0) ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ¹ 0) sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C ò a (a ¹ 0) dx ò ax + b = a ln ax + b + C òe ò ax + b u = ò (1 + cot g u)du = - cot gu + C dx = eax + b + C a (a ¹ 0) dx = ax + b + C ax + b a (a ¹ 0) Trang (u > 0) Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) Xác đònh F’(a+) Xác đònh F’(b–) ìF '(x) = f(x), "x Ỵ (a ; b) ï + Bước 2: Chứng tỏ íF '(a + ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: F(x) = ln(x + x + a) với a > nguyên hàm hàm số f(x) = x2 + a R Giải: Ta có: F '(x) = [ln(x + x + a)]' = (x + x + a)' x + x2 + a 2x 1+ x2 + a x + x2 + a = = x2 + a + x x + a(x + x + a) = Vậy F(x) với a > nguyên hàm hàm số f(x) R ìex ï Ví dụ 2: CMR hàm số: F(x) = í ïx + x + ỵ x ³ x < ìex x ³ Là nguyên hàm hàm số f(x) = í R 2x + x < ỵ Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: a/ Với x ¹ , ta có: ìe x x > F '(x) = í ỵ2x + x < b/ Với x = 0, ta có: Trang x2 + a = f(x) Trần Só Tùng · Tích phân Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = F '(0 - ) = limx®0 · F(x) - F(0) x + x + - e0 = lim = x ® 0x-0 x Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = F '(0 + ) = lim+ x®0 F(x) - F(0) ex - e0 = lim+ = x®0 x-0 x Nhận xét F '(0 - ) = F '(0 + ) = Þ F '(0) = ìe x x ³ Tóm lại: F '(x) = í = f(x) ỵ2x + x < Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f(x) R Bài toán 2: Xác đònh giá trò tham số để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: F '(x) = f(x) với "x Ỵ (a; b) Dùng đồng hàm đa thức Þ giá trò tham số Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác đònh F’(x) (a ; b) Xác đònh F’(a+) Xác đònh F’(b–) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: ìF '(x) = f(x), "x Ỵ (a ; b) ï + Þ giá trò tham số íF '(a ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) ỵ Bài toán 3: Tìm số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề cho để tìm số C Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm Trang Tích phân Trần Só Tùng ìx2 x £ Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số: F(x) = í ỵax + b x > ì2x nguyên hàm hàm số: f(x) = í ỵ2 x £ x > R Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: ì2x x < a/ Với x ¹ , ta có: F '(x) = í ỵ2 x > b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục x = 1, : lim F(x) = lim F(x) = f(1) Û a + b = Û b = - a (1) + x ®1 x ®1 · Đạo hàm bên trái hàm số y = F(x) điểm x = F'(1) = lim x ®1 f(x) - F(1) x2 - = lim = x ®1- x - x -1 · Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x0 = F '(1+ ) = lim + x ®1 F(x) - F(1) ax + b - ax + - a - = lim = lim = a + + x ®1 x ®1 x -1 x -1 x -1 Hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = (2) Thay (2) vào (1), ta b = –1 Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = 1, a = 2, b = –1 Khi đó: F’(1) = = f(1) Tóm lại với a = 2, b = F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Ví dụ 4: Xác đònh a , b , c để hàm số: F(x) = (ax + bx + c)e -2x nguyên hàm F(x) = - (2x - 8x + 7)e-2 x R Giải: Ta có: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax + bx + c)e -2x = é-2ax + 2(a - b)x + b - 2cùe-2x ë û Do F(x) nguyên hàm f(x) R Û F '(x) = f(x), "x Ỵ R Û - 2ax + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x + 8x - 7, "x Ỵ R ìa = ìa = ï ï Û ía - b = Û í b = -3 ï b - 2c = -7 ïc = ỵ ỵ Vậy F(x) = (x - 3x + 2)e-2x Trang Trần Só Tùng Tích phân BÀI TẬP ỉ x pư Bài Tính đạo hàm hàm số F(x) = ln tg ç + ÷ è2 4ø Từ suy nguyên hàm hàm số f(x) = cos x ì ln(x + 1) ,x¹0 ï Bài Chứng tỏ hàm số F(x) = í x ï0 ,x = ỵ ì ln(x + 1) ,x¹0 ï nguyên hàm hàm số f(x) = í x + x2 ï1 ,x=0 ỵ Bài Xác đònh a, b, c cho hàm số F(x) = (ax + bx + c).e- x nguyên hàm hàm số f(x) = (2x - 5x + 2)e- x R ĐS: a = –2 ; b = ; c = –1 Bài a/ b/ Tính nguyên hàm F(x) f(x) = Tìm nguyên hàm F(x) f(x) = sin ĐS: a/ F(x) = Bài a/ x + 3x + 3x - F(0) = (x + 1)2 x2 +x+ ; x +1 x ỉ pư p F ç ÷ = è2ø b/ F(x) = (x - sin x + 1) Xác đònh số a, b, c cho hàm số: F(x) = (ax + bx + c) 2x - nguyên hàm hàm số: f(x) = b/ 20x - 30x + ỉ3 khoảng ç ; + ¥ ÷ è2 ø 2x - Tìm nguyên hàm G(x) f(x) với G(2) = ĐS: a/ a = 4; b = -2; c = 1; b/ G(x) = (4x - 2x + 10) 2x - - 22 Trang Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN ò f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C với a ¹ Ví dụ 1: CMR , ò f(x)dx = F(x) + C Giải: Ta có: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) với a ¹ a Áp dụng tính chất 4, ta được: 1 ò f(ax + b)dx = a ò (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (đpcm) Ghi chú: Công thức áp dụng cho hàm số hợp: ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f(u)du = F(u) + C, với u = u(x) Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh sau: a/ ò (2x + 3) dx b/ ò cos4 x.sin xdx c/ ò 2e x dx ex + d/ ò (2 ln x + 1)2 dx x Giải: 1 (2x + 3)4 (2x + 3)4 +C= + C a/ Ta có: ò (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = 2 b/ Ta có: ò cos4 x.sin xdx = - ò cos xd(cos x) = c/ Ta có: cos5 x +C 2ex d(ex + 1) dx = ò x = ln(e x + 1) + C ò ex + e +1 (2 ln x + 1)2 1 d/ Ta có: ò dx = ò (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C x 2 Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh sau: a/ ò 2sin x dx b/ ò cot g2 xdx c/ ò tgxdx Giải: a/ Ta có: ò 2sin x dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C ỉ b/ Ta có: ò cot g xdx = ò ç - ÷ dx = - cot gx - x + C è sin x ø c/ Ta có: ò tgxdx = ò sin x d(cos x) dx = - ò = - ln cos x + C cos x cos x Trang d/ ò tgx dx cos3 x Trần Só Tùng d/ Ta có: Tích phân tgx ò cos x dx = ò sin x d(cos x) 1 dx = - ò = - cos -3 x + C = + C 4 cos x cos x 3cos3 x Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh sau: a/ x ò + x dx b/ òx dx - 3x + Giải: a/ Ta có: x d(1 + x ) dx = ò = ln(1 + x ) + C ò + x2 1+ x b/ Ta có: òx 1 ỉ dx = ò dx = ò ç ÷dx - 3x + (x - 1)(x - 2) è x - x -1 ø = ln x - - ln x - + C = ln x-2 + C x -1 BÀI TẬP Bài Tìm nguyên hàm hàm số: x a/ f(x) = cos2 ; b/ ĐS: a/ (x + sin x) + C ; f(x) sin x - cos x + cos3 x + C b/ Bài Tính tích phân bất đònh : a/ ò e (2 - e d/ e2-5x + ò ex dx; x -x )dx; b/ e/ ĐS: a/ 2e - x + C; x d/ ex ò 2x dx ; c/ 2x.3x.5x ò 10x dx ex ò ex + 2dx ex + C; (1 - ln 2)2 x b/ - e2-6 x - e- x + C; e/ c/ 6x +C ln ln(ex + 2) + C Bài Tính tích phân bất đònh : a/ ò d/ ò (1 - 2x) x + x -4 + dx ; 2001 dx; e/ x3 ĐS: a/ - + C; x d/ ò b/ ò x x dx ; c/ òx x + dx ; - ln x dx x 55 x + C; b/ (1 - 2x)2002 - + C; 2002 Trang e/ c/ (x + 1) x + + C ; (3 + ln x) + ln x + C Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng biểu thức mà nguyên hàm biểu thức nhận từ bảng nguyên hàm phép biến đổi đơn giản biết Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt phép phân tích rút ý tưởng cho riêng từ vài minh hoạ sau: · Với f(x) = (x - 2)2 viết lại f(x) = x - 4x + · Với f(x) = x - 4x + viết lại f(x) = x - + x -1 x -1 · Với f(x) = 1 viết lại f(x) = x - 5x + x -3 x -2 · Với f(x) = · Với f(x) = (2 x - 3x )2 viết lại f(x) = x - 2.6 x + x · Với f(x) = cos3 x.sin x viết lại f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x 1 viết lại f(x) = ( - 2x - 2x + 1) 2x + + - 2x = cos3x.sin x + cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + sin 2x · tg x = (1 + tg x) - · cot g x = (1 + cot g x) - · x n (1 + x ) + 1 = xn + 1+ x + x2 Đó vài minh hoạ mang tính điển hình Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: I = ò x(1 - x)2002 dx Giải: Sử dụng đồng thức : x = – (1 – x) ta được: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 Khi đó: I = ò (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x) =- (1 - x)2003 (1 - x)2004 + + C 2003 2004 Tổng quát: Tính tích phân bất đònh: I = ò x(ax + b)a dx, với a ¹ 1 Sử dụng đồng thức: x = ax = [(ax + b) - b] a a Trang 10 Tích phân Trần Só Tùng * Gọi S diện tích hình tròn (C) Þ S = p.R = 8p * 4ư ỉ Gọi S2 phần diện tích hình tròn lại Þ S2 = S - SOBAC = 8p - ç p + ÷ 3ø è Û S2 = p - Ví dụ (vấn đề 4): Chứng minh m thay đổi Parabol (P): y = x2 + cắt đường thẳng (d): y = mx + hai điểm phân biệt Hãy xác đònh m cho phần diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng parabol nhỏ Giải: * Phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): x + = mx + Û x - mx - = (1) y D = m + > 0, "m (P) (d) * Vậy (d): cắt (P) điểm phân biệt A, B có hoành độ x1, x2 nghiệm (1) * Diện tích hình phẳng S là: A B x2 x2 ỉ x mx + x÷ S = ò (mx + - x - 1)dx = ç - + è ø x1 x1 x1 x x2 m = - (x - x1 ) + (x - x1 ) + (x - x1 ) 2 2 = - (x - x1 ) é2(x + x1x + x1 ) - 3m(x + x1 ) - ù ë û 1 é ù =m + ë2(m + 1) - 3m - û = (m + 4)3 ³ 6 Vậy: S = m = Ví dụ (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x2 , y = x2 27 ,y= x Giải: x2 27 * Đồ thò (P1 ) : y = x , (P2 ) : y = , (H) : y = x hình vẽ * (P1) A x2 = 27 Û x = 27 Û x = Þ toạ độ A(3, 9) x Phương trình hoành độ giao điểm (P2) (H): Trang 138 (P2) (H) Phương trình hoành độ giao điểm (P1) (H): * y 9/2 B S2 S1 x Trần Só Tùng Tích phân x 27 ỉ 9ư = Û x = Þ toạ độ B ç 6, ÷ x è 2ø * Diện tích hình phẳng S cần tìm: S = S1 + S2 = ò (x ỉ 27 x x2 )dx + ò ç 8 3è x ÷ dx = = 27 ln (đvdt) ø Ví dụ (vấn đề 3): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: parabol (P): y = 4x - x đường tiếp tuyến với parabol này, biết tiếp tuyến qua M(5/2, 6) Giải: * Phương trình đường thẳng (d) qua M hệ số góc K: y (d2) 5ư ỉ y = Kç x - ÷ + è 2ø * (d) tiếp xúc (P) hệ sau có nghiệm: ì 5ư ỉ ï4x - x = K ç x - ÷ + 2ø è í ï4 - 2x = K ỵ * (1) (d1) M S1 S2 A (2) (P) Thế (2) vào (1) ta được: 4x - x = (4 - 2x)(x - ) + B 5/2 x éx = Þ K = Û x - 5x + = Û ê ë x = Þ K = -4 * Vậy có phương trình tiếp tuyến là: (d1 ) :y = 2x + 1; (d ) : y = -4x + 16 * Diện tích hình phẳng S cần tìm: S = S1 + S2 = 5/2 ò (2x + - 4x + x )dx + ò (-4x + 16 - 4x + x )dx = = 5/ (đvdt) Ví dụ (vấn đề 3): Tính diện tích giới hạn đường: y = x - 4x + y = Giải: * Vẽ đồ thò (C): y = f(x) = x - 4x + ì f(x), f(x) ³ * Xét đồ thò (C’) : y = f(x) = í ỵ -f(x), f(x) < * Từ đồ thò (C) ta suy đồ thò (C’) sau: ì+ Giữ nguyên phần đồ thò (C) nằm Ox í ỵ+ Lấy đối xứng phần đồ thò (C) nằm Ox qua trục hoành * Đồ thò (C’) hợp phần Trang 139 y (C) –1 x Tích phân Trần Só Tùng * Đường thẳng y = cắt (C’) A(0 ; 3), B(4 ; 3) * Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm * Do tính đối xứng nên ta có: S = 2(S1 + S2 ) 2 é1 ù = 2.ò (3 - x - 4x + )dx = ê ò [3 - (x - 4x + 3)]dx + ò [3 - ( -x + 4x - 3)]dx ú ë0 û = (đvdt) Bảng xét dấu: x x2–4x+3 + – Trang 140 + Trần Só Tùng Tích phân BÀI TẬP Bài Cho Parabol (P): y = x - 4x + đường thẳng (d) : y = x – Tính diện tích giới hạn bởi: a/ (P) trục Ox; b/ (P), trục Ox trục Oy; c/ (P), trục Ox, x = x = 4; d/ (P) (d); e/ (P), (d), x = x = 4 b/ ; c/ 2; d/ ; ĐS: a/ ; 3 Bài Tính diện tích giới hạn đường: a/ (C) : y = x + , tiệm cận xiên (C), x = x = 3; 2x b/ y = x(x + 1) , trục Ox, trục Oy x = 1; e/ c/ 2(y - 1)2 = x (y - 1)2 = x - ; d/ y = x - 2x + 2, y = x + 4x + y = x - 4x + y = 1; x2 e/ y = , y = , y = (với x > 0) x x 418 b/ ; c/ ; d/ ; e/ 7ln2 ĐS: a/ ; 35 Bài Tính diện tích giới hạn bởi: a/ (C) : y = x - 2x tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) A(3 ; 3) (C) b/ (C) : y = x - 2x + 4x - 3, y = tiếp tuyến với (C) tiếp điểm có hoành độ x = ; ĐS: a/ b/ 48 Bài Cho Parabol (P): y2 = x đường tròn (C) : x + y2 - 4x + = a/ Chứng tỏ (P) (C) tiếp xúc A B b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P) tiếp tuyến chung A B ỉ3 6ư 6 ỉ3 6ư 6 ĐS: a/ A ç ; x+ ; Bç ; x b/ ÷; y = ÷; y = è2 ø è2 ø Bài Đường thẳng (d): x – 3y + = chia đường tròn (C): x + y2 = thành hai phần, tính diện tích phần 5p 15p ĐS: S1 = - ; S2 = + 4 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường a/ y = x , y = x b/ x - y3 + = 0; x + y - = c/ x + y2 = 8; y2 = 2x d/ y = - x ; y3 = x Trang 141 Tích phân Trần Só Tùng x e/ y = ĐS: a/ - x4 ; x = 0; x = ; b/ ; 4 c/ p + ; d/ 32 ; 15 e/ p 12 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = x.ex ; y = 0; x = -1; x = b/ y = x.ln x; y = 0; x = 1; x = e c/ y = e x ; y = e- x ; x = d/ y = 5x -2 ; y = 0; x = 0; y = - x e/ y = (x + 1)5 ; y = ex ; x = ĐS: a/ e2 - + 2; b/ e/ 24 + ; 25ln d/ (e - 1); 23 - e c/ e + - 2; Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = x2 + 2x y = x + 4; b/ y = - x + x + 3x + 5y - = 0; c/ y = x y = 0; x = 1; x = 2; x +1 d/ y = ln x ; y = 0; x = ĐS: a/ 26 ; b/ 55 ; c/ - ln ; x = e e d/ - e Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a/ y = sin x + cos2 x, trục toạ độ x = p; b/ y = sin x + sin x + 1, trục toạ độ x = p c/ y = x + sin x; y = x; x = 0; x = p d/ y = x + sin x; y = p;x = 0; x = p p ĐS: a/ + ; b/ + 3p ; c/ 4; d/ p Bài 10 Diện tích giới hạn đường thẳng x = –1; x = 2; y = Parabol (P) 15 Tìm phương trình (P), biết (P) có đỉnh I(1 ; 2) ĐS: y = 3x - 6x + x + 2x - Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C): y = , tiện cận xiên x+2 x = x = m > Tìm giới hạn diện tích m ®+ ¥ ỉm+2ư ĐS: S = 3ln ç ÷ ; lim S = +¥ è ø m ®+¥ Trang 142 Trần Só Tùng Bài 12 Cho (H): y = Tích phân 2x x -1 a/ Chứng minh hình phẳng giới hạn (H), tiệm cận ngang đường thẳng x = a + 1; x = 2a + có diện tích không phụ thuộc vào tham số a dương b/ Lập phương trình tiếp tuyến (d) (H) gốc toạ độ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (H), (d) đường thẳng x = ĐS: a/ 2ln2; b/ 2ln3 Bài 13 Cho Parabol (P) : y = x2 Hai điểm A B di động (P) cho AB = a/ Tìm tập hợp trung điểm I AB b/ Xác đònh vò trí A, B cho diện tích phần mặt phẳng giới hạn (P) cát tuyến AB đạt giá trò lớn ĐS: a/ y = x + ; + 4x b/ max S = 1; A( -1; 1);B(1; 1) ỉ1 Bài 14 Đường thẳng (D) qua điểm M ç ; 1÷ bán kính trục dương Ox, Oy lập è2 ø thành tam giác Xác đònh (D) để diện tích tam giác có giá trò nhỏ tính giá trò ĐS: (D) : y = -2x + Bài 15 Cho Parabol (P): y = x2 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I(1 ; 3) cho diện tích hình phẳng giới hạn (d) (P) đạt giá trò nhỏ ĐS: y = 2x + Bài 16 Trên Parabol (P) : y = x lấy hai điểm A(–1 ; 1) B(3 ; 3) Tìm điểm M » cung AB (P) cho tam giác MAB có diện tích lớn ỉ1 1ư ĐS: M ç ; ÷ è3 9ø Bài 17 Xét hình (H) giới hạn đường tròn (C): y = x + đường thẳng y = 0; x = 0; x = Tiếp tuyến điểm (C) cắt từ (H) hình thang có diện tích lớn ỉ1 5ư ĐS: max S = ; M ç ; ÷ è2 4ø Trang 143 Tích phân Trần Só Tùng §Bài 2: THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY Chú ý: Khi tìm thể tích vật thể tròn xoay ta cần xác đònh: * Miền hình phẳng (H) sinh ((H) giới hạn đường: x = , x = , y = , y = ) * (H) quay quanh trục Ox trục Oy để ta dùng công thức thích hợp Nếu (H) quay quanh trục Ox hàm dấu tích phân y = f(x), biến x hai cận x Nếu (H) quay quanh trục Oy hàm dấu tích phân x = f(y), biến y hai cận y Vấn đề 1: Thể tích vật tròn xoay hình phẳng (H) giới hạn đường: (C) :y = f(x); y = 0; x = a;x = b (a < b) sinh quay quanh trục Ox tính công thức: b b V = pò y dx = pò [d(x)]2 dx a y a y (C) (H) a (C) b (H) a x b b x b Diện tích: S = ò f(x) dx Thể tích: V = pò [f(x)]2 dx a a Vấn đề 2: Thể tích vật tròn xoay hình phẳng (H) giới hạn đường: (C) :x = f(y), x = 0, y = a, y = b (a < b) sinh quay quanh trục Oy tính công thức: b b a a V = pò x dy = p ò [f(y)]2 dy y y b (C) b (C) (H) x 0 x a a b b Diện tích: S = ò f(y) dy Thể tích: V = pò [f(y)]2 dy a a Trang 144 Trần Só Tùng Tích phân Vấn đề 3: Thể tích vật tròn xoay hình phẳng (H) giới hạn đường: (C1 ) : y = f(x), (C2 ) : y = g(x), x = a, x = b (a < b) với f(x) g(x) dấu) sinh quay quanh trục Ox tính bởi: b V = pò f (x) - g (x) dx (3) a * f(x) g(x) dấu có nghóa hai phần đồ thò nằm phía trục Ox, với x Ỵ đoạn [a; b] * Để bỏ dấu “| |” công thức (3) ta ý trường hợp sau: y TH1: (C1 ) Ç (C2 ) = Ỉ f(x) > g(x) ³ 0, "x Ỵ [a; b]: b (C1) y (C2) (H) (3) Û V = pò [f (x) - g (x)].dx a a b a b x y TH2: (C1 ) Ç (C2 ) = Ỉ f(x) < g(x) £ 0, "x Ỵ [a; b]: b (3) Û V = pò [f (x) - g (x)].dx x (C2) y (C ) (H) a TH3: (C1 ) cắt (C2 ) điểm A, B có hoành độ y x = a, x = b d(x) > g(x) ³ 0, "x Ỵ [a; b]: A (H) B (C2) b (3) Û V = pò [f (x) - g (x)].dx a TH4: (C1 ) cắt (C2 ) điểm A, B có hoành độ x = a f(x) < g(x) £ 0, "x Ỵ [a; b]: b (3) Û V = pò [f (x) - g (x)].dx a Trang 145 a b (C1) x y a b (C1) x A (H) B (C2) Tích phân Trần Só Tùng TH5: (C1 ) cắt (C2 ) điểm A, B, C, xA = a y xB = b, xC = c với a < c < b hình bên: (3) Û V = V1 + V2 c B V1 A b a (C1) V2 C c = p ò [f (x) - g2 (x)]dx + pò [g2 (x) - f (x)]dx (C2) a c b x Vấn đề 4: Thể tích vật tròn xoay hình phẳng (H) giới hạn đường: (C1 ) : x = f(y), (C2 ) : x = g(y), y = a, y = b (a < b) với f(y) g(y) dấu) sinh quay quanh trục Oy tính bởi: b V = pò f (y) - g (x) dy (4) a y TH1: (C1 ) Ç (C ) =Ỉ x1 = f(y) > x = g(y) ³ 0, với y Ỵ [a; b] b C2 b x2 (4) Û V = pò [f (y) - g (y)].dy C1 (H) x1 a a y TH3: (C1 ) cắt (C2 ) điểm A, B có tung độ y A = a < yB = b x1 = f(y) > x = g(y) ³ 0, x C2 C1 với y Ỵ [a; b] B b x2 b a (4) Û V = pò [f (y) - g (y)].dy (H) x1 A x a * Các TH2, TH4 TH5 thực tương tự vấn đề Ví dụ 1: Xét hình phẳng giới hạn (P) : y2 = 8x đường thẳng x = Tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng nói trên: a/ quanh trục hoành b/ quanh trục tung Giải: a/ (P): y = 8x Û (P) : y = ± 8x (x ³ 0) Thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn (P) x = quanh trục Ox là: Trang 146 Trần Só Tùng Tích phân y V = p ò y dx = p ò 8x.dx = 16 p (đvtt) (P) b/ (P) : y = 8x Û x = y Thể tích V khối quanh trục tung là: x 899 p ỉ1 ỉ V = p ò - ç y2 ÷ du = p ò ç 2 - y ÷ dy = = (đvtt) 64 ø 32 è8 ø -1 -4 è – x=2 Ví dụ 2: Gọi (H) hình phẳng giới hạn trục hoành parabol (p) : y = 2x - x Tính thể tích khối tròn xoay cho (H) a/ quay quanh trục hoành b/ quay quanh trục tung Giải: a/ Thể tích V khối tròn xoay quay (H) quanh trục hoành là: 2 V = p ò y dx = pò (2x - x )2 dx = = 0 16 p (đvtt) 15 y b/ (P) : y = 2x - x Û x - 2x + y = (1) D' = 1- y ³ Û £ y £ (P) x1 x2 (H) é x1 = - - y , (0 £ x1 £ 1) (1) Û ê ê x = + - y, (1 £ x £ 2) ë x Thể tích V khối tròn xoay quay (H) quanh trục tung là: 1 0 V = p ò (x - x )dy = pò (x + x1 )(x - x1 )dy = p ò 2(2 - y )dy = = 2 8p x2 + y = quay quanh trục hoành Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên Ví dụ 3: Cho hình giới hạn elip: Giải: y x2 x2 2 (E) : + y = Û y = 1Û y=± - x , (| x |£ 2) 4 Thể tích V khối tròn xoay cần tìm là: V = p ò y dx = -2 p 8p ò2 (4 - x ).dx = = (đvtt) 4- –2 –1 Ví dụ 4: Gọi (D) miền kín giới hạn đường: y = x, y = - x y = Tính thể tích vật thể tròn xoay quay (D) quanh trục Oy Giải: Trang 147 x Tích phân Trần Só Tùng · y = x Û x = x1 = · y = - x Û x = x = - y · Thể tích vật thể tròn xoay quay (D) quanh trục Oy là: y 1 V = p ò (x - x )dy = p ò [(2 - y)2 - (y )2 ] 2 0 y= x A x y = 2-x 32 p = (đvtt) 15 BÀI TẬP Bài 18 Tính vật thể tròn xoay sinh phép quay quanh trục Ox miền (D) giới hạn đường: a/ y = lnx; y = 0; x = b/ x + y - = 0; x + y - = c/ y = x ; y = x d/ y = x - 4x + 6; y = -x - 2x + e/ y = x(x - 1)2 f/ y = x.e x ; x = 1; y = (0 £ x £ 1) g/ y = e x ; y =- x + ; x = 0; x = h/ y = x ln(1 + x ); x = i/ (P) : y = x (x > 0), y = -3x + 10; y = (miền (D)) nằm (P)) p k/ y = cos x + sin x; y = 0; x = ; x = p 153p 3p ĐS: a/ p(ln - 1)2 ; b/ ; c/ ; 10 d/ 3p p e/ 105 g/ p(e2 - 1)2 ; h/ p (2 ln - 1) f/ p(e2 - 1) ; i/ 56 p k/ p2 Bài 19 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay xung quanh trục oy hình phẳng giới hạn đường: a/ y = x ; y = 1; y = b/ y = x ; x = y2 c/ Đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 3p 3p ĐS: a/ ; b/ ; c/ 24 p2 10 Bài 20 Xét hình (H) giới hạn đường cong y = ; trục Ox; x = x = t x a/ Tính diện tích S(t) (H) thể tích V(t) sinh (H) quay quanh Ox b/ Tính: lim S(t) lim V(t) t ®+¥ t ®+¥ Trang 148 Trần Só Tùng Tích phân p ĐS: a/ S(t) = ln t; V(t) = p - ; t b/ lim S(t) = +¥; lim V(t) = p t ®+¥ t ®+¥ Bài 21 Cho miền (D) giới hạn đường tròn (C): x + y2 = parabol (p): y2 = 2x a/ Tính diện tích S (D) b/ Tính thể tích V sinh (D) quay quanh Ox ĐS: a/ - p b/ 4p (8 - 7) Bài 22 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt tạo nên quay đường: ỉxư a/ y = b ç ÷ èà 2/3 (0 £ x £ a) quanh trục Ox b/ y = sin x; y = (0 £ x £ p) a/ quanh trục Ox b/ quanh trục Oy x ỉxư c/ y = b ç ÷ ; y = b a èà a/ quanh trục Ox b/ Quanh trục Oy d/ y = e - x ; y = (0 £ x < +¥) quanh trục Ox Oy ĐS: a/ pab ; p2 b/ a / Vx = ; b / Vy = p2 c/ a / Vx = pab ; 15 pab b / Vy = p d/ a / Vx = ; b / Vy = 2p Trang 149 Tích phân Trần Só Tùng ÔN TẬP TÍCH PHÂN Bài Tính tích phân sau: a/ 2 + x dx; x2 - dx; x b/ -2 c/ ò d/ x dx e/ ò ; (x + 1) g/ òe x f/ ; dx ò (1 + x )3 p/ ò ; x dx; cos2 x p/ sin x + cos x h/ ò dx; 3x + -p / cos xdx; i/ - x2 ò p/ x 2dx ò p cos2x.dx ò sin x + cos x + ; k/ p / 12 ò p / 12 (4 - 2); 1 e/ - + ln 2; 4 dx ; sin 2x + cos2 x + - p p ; c/ 3- ; d/ ; 3 p p/ 3p f/ + ln ; g/ (e - 1); h/ ; 2 16 i/ 2ln3 – 2; k/ ì-2)x + 1), x £ Tìm giá trò K để ò f(x).dx = Bài Biết f(x) = í ỵK(1 - x ), x > -1 ĐS: a/ b/ ĐS: K = Bài a/ Cho hàm số f(x) = e 2x ò t.ln t.dt Tìm hoành độ điểm cực đại x ex 2x sin t ỉ 3p b/ Tìm giá trò x Ỵ ç 0; để hàm số f(x) = ò dt đạt cực đại ÷ è ø t x ĐS: a/ x = - ln b/ x = p x 2t + dt, - £ x £ t - 2t + Bài Cho hàm số f(x) = ò Tìm giá trò lớn giá trò nhỏ hàm số f ỉ 1ư ĐS: a/ f = f ç - ÷ ; b/ max f = f(1) è 2ø x Bài Cho hàm số f(x) = ò (t - 1)(t - 2)2 dt Tìm điểm cực trò điểm uốn đồ thò f Trang 150 Trần Só Tùng Tích phân 17 ư ỉ 112 ỉ ỉ ĐS: CT : ç 1; - ÷ ; Đ.Uốn : ç 2; - ÷ ; ç ; ÷ è 12 ø è ø è 81 ø Bài Đường thẳng (D): x – 3y + = chia đường tròn (C) : x + y2 = thành phần, tính diện tích phần ĐS: S1 = 5p - ; S2 = 15p + Bài Xét hình phẳng (H) giới hạn đường cong (C): y = ; y = ; x = 1; x = Tìm x toạ độ điểm M (C) mà tiếp tuyến M cắt từ (H) hình thang có diện tích lớn ỉ3 2ư ĐS: M ç ; ÷ è2 3ø Bài Cho điểm A thuộc (P): y = x2, (A khác gốc O); (D) pháp tuyến A (P) ((D) vuông góc với tiếp tuyến A với (P)) Đònh vò trí A để diện tích giới hạn đỉnh (P) (D) nhỏ ỉ1 1ư ỉ 1ư ĐS: S = ; A ç ; ÷ hay A ç - ; ÷ è2 4ø è 4ø ì x y2 =1 ï Bài Cho hình (H) giới hạn bởi: í16 ïx = ỵ Tính thể tích sinh (H) quay quanh Oy ĐS: 128p ìy = ax , a > Bài 10 Cho hình (H) giới hạn bởi: í y = - bx, b > ỵ Quay hình (H) góc phần tư thứ hai hệ toạ độ quanh trục Ox Tìm hệ thức a b để thể tích khối tròn xoay sinh số, không phụ thuộc vào a b ĐS: b5 = K.a3, với K số dương Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x - 4x + , y = x + (Đề thi chung Bộ GDĐT–khối A_2002) 109 (đvdt) Bài 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: ĐS: x2 x2 y = 4và y = 4 (Đề thi chung Bộ GDĐT – khối B _ 2002) Trang 151 Tích phân Trần Só Tùng ĐS: p + (đvdt) -3x - hai trục x -1 (Đề thi khối D_2002) Bài 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y = toạ độ ĐS: + ln (đvdt) Bài 14 Tính tích phân I = ò ĐS: p/2 ò ĐS: x x +4 (Đề thi khối A_2003) ln Bài 15 Tính tích phân I = dx - 2sin x dx + sin 2x (Đề thi khối B_2003) ln 2 Bài 16 Tính tích phân I = ò x - x dx (Đề thi khối D_2003) ĐS: Bài 17 Tính tích phân I = ĐS: x ò + x + dx (Đề thi khối A_2004) 11 - ln Bài 18 Tính tích phân I = e ò ĐS: + ln x.ln x dx x (Đề thi khối B_2004) 116 135 Bài 19 Tính tích phân I = ò ln(x - x)dx (Đề thi khối D_2004) ĐS: 3ln3 – Trang 152