HỆ THỐNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC TỌA ĐỘ TRONG PHẲNG & KHÔNG GIAN

Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 VECTƠ TRONG PHẲNG VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoan thẳng có điểm đầu, điểm lại điểm cuối Giá vectơ đường thẳng mang vectơ 3- Kí hiệu:  Nếu vectơ có điểm đầu A điểm cuối B, kí hiệu AB     Ta kí hiệu vectơ chữ in thường, với mũi tên trên, ví dụ vectơ a, b, x, y, Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ đó, chẳng hạn:   - Độ dài vectơ a , kí hiệu a   - Độ dài vectơ AB , kí hiệu AB 5  Vectơ AB Nha Trang * A điểm đầu B điểm cuối * Hướng : từ A đến B * Đường thẳng AB giá  * Độ dài AB  AB -1- Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 Nha Trang Hai vectơ phƣơng hai vectơ có giá hai đường thẳng song song trùng   a / /b   Hai vectơ hướng Hai vectơ ngược hướng   a  b   Hai vectơ hai vectơ hướng độ dài a  b      a  b   Cho hai vectơ a, b     Từ điểm A tùy ý, vẽ AB  a , vẽ BC  b    Khi AC gọi tổng hai vectơ a, b    Kí hiệu AC  a  b    a0  a     ab  ba       ab c  a bc         10 Nếu tổng hai vectơ a, b vectơ – không a  b  ta bảo a vectơ đối vectơ b   b vectơ đối vectơ a      11 Hiệu hai vectơ tổng vectơ thứ với vectơ đối vectơ thứ hai a  b  a  b   -2-    Độ dài vectơ – không   Vectơ phương với vectơ  Vectơ hướng với vectơ  Vectơ - không vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu      a  b   a  b      Vectơ đối vectơ a vectơ a   Vectơ đối vectơ AB vectơ BA   Ngược hướng với a  Vectơ đối vectơ a Cùng độ dài với a   Vectơ đối vectơ vectơ Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30   12 Tích vectơ a với số thực k vectơ, kí hiệu k a , xác định sau:   * ka  a k >   ka  a k <    * Độ dài vectơ k a ka  k a        13 Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O tùy ý, vẽ OA  a OB  b   Khi đó: a,b = AOB   Nha Trang   k la   kl  a     k  l  a  ka  la     k a  b  ka  kb       k  ka      a    Góc hai vectơ a b không phụ thuộc vào vị trí chọn điểm O     Nếu a, b  900 a  b      Nếu a  b  a, b có số đo tùy ý         a  b  a, b  a  b  a, b  1800     14 Phép nhân hai vectơ số thực, số thực gọi tích vô hƣớng hai vectơ,      xác định công thức a.b  a b cos a, b     Bình phương vô hướng bình phương độ dài 2  vectơ đó: a  a       Công thức hình chiếu: a.b  a.b ' với b '  hca b    a.b   a  b   a.b  b.a    ka b  k a.b      a b  c  a.b  a.c        -3-   Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 Nha Trang       15* Điều kiện để hai vectơ phƣơng: Vectơ b phương với vectơ a a   k  R : b  ka      A, B, C thẳng hàng  AB / / AC      16* Cho hai vectơ không phương a b , lúc vectơ x biểu diễn cách theo hai vectơ a b , nghĩa tồn    cặp số thực  ;   cho x   a   b 17* Các quy tắc vectơ      Quy tắc cộng: AA1  A1 A2  A2 A3   An1 An  AAn      Quy tắc chèn điểm: AAn  AA1  A1 A2  A2 A3   An1 An    Quy tắc hiệu: AB  AC  CB    Quy tắc hình bình hành: canh  canh  duongcheo (Cùng xuất phát từ đỉnh) Quy tắc trung điểm: (IA = IB, I  AB )    IA  IB     MA  MB  2MI (M tùy ý) Quy tắc trọng tâm (G – trọng tâm ABC )     GA  GB  GC      MA  MB  MC  3MG (M tùy ý)     GA1  GA2   GAn      MA1  MA2   MAn  nMG (M tùy ý) Tổng quát: G – trọng tâm hình gồm n đỉnh -4- Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 Nha Trang     18* Quy tắc hình hộp: canh  canh  canh  duongcheo (xuất phát từ đỉnh) 19 Trong không gian, ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song chứa mặt phẳng    20* Cho vectơ a , b c không gian         Từ điểm O ta vẽ OA  a, OB  b, OC  c Khi ba vectơ a ,   b c đồng phẳng bốn điểm O, A, B, C nằm mặt phẳng      Nếu ba vectơ a , b c vectơ ba vectơ đồng phẳng     Nếu hai ba vectơ a , b c phương ba vectơ đồng phẳng    21* Cho hai vectơ không phương a , b vectơ c không gian    Khi đó, ba vectơ a , b c đồng phẳng tồn cặp số    m, n cho c  ma  nb     22* Cho a , b c ba vectơ không đồng phẳng Với vectơ x không gian ta tìm đƣợc ba số m, n, p cho:     x  ma  nb  pc -5- Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 TỌA ĐỘ TRONG PHẲNG    OM  xi  y j  M ( x; y )     u  xi  y j  u( x; y) 2*  a  a1 ; a2   b  b1 ; b2    a  b   a1  b1; a2  b2    a  b   a1  b1; a2  b2   ka   ka1; ka2  với k  R  a.b  a1.b1  a2 b2   a1  b1 ab a2  b2   a  kb1 a / /b  k  R :  a2  kb2 Nha Trang TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN     OM  xi  y j  zk  M ( x; y; z )      u  xi  y j  zk  u ( x; y; z )   a  b   a1  b1; a2  b2 ; a3  b3    a  b   a1  b1; a2  b2 ; a3  b3   với k  R ka   ka1; ka2 ; ka3   a.b  a1.b1  a2 b2  a3 b3  a  a1 ; a2 ; a3  2*   b  b1 ; b2 ; b3  * Đặc biệt: Nếu b1 , b2    a a a / /b   b1 b2  a  a12  a22 -6- a1  b1    a  b  a2  b2 a  b  3 a1  kb1    a / / b  k  R : a2  kb2 a  kb  * Đặc biêt: Nếu b1 , b2 , b3    a a a a / /b    b1 b2 b3  a  a12  a22  a32 Nguyễn Bá Vinh  A  xA ; y A   3*  B  xB ; yB   C  xC ; yC  01684.93.77.30 Nha Trang  AB   xB  xA ; yB  y A   AB   xB  xA ; yB  y A ; zB  z A  I trung điểm AB: x A  xB   xI    y  y A  yB  I x A  xB   xI   y  yB  I trung điểm AB:  yI  A  z A  zB   zI   G trọng tâm  ABC: x A  xB  xC   xG    y  y A  yB  yC  G  A  xA ; y A ; z A   3*  B  xB ; yB ; z B   C  xC ; yC ; zC  -7- G trọng tâm  ABC: x A  xB  xC   xG   y A  yB  yC   yG   z A  z B  zC   zG   Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 Nha Trang   a   a; b     b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2   b2      *  a; b    b; a       c  a  Nếu c   a; b     c  b *       *  a; b   a b sin a; b   * SABC  4* Tích có hƣớng    AB; AC   2   * ShbhABCD   AB; AC  * Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’    VhhABCD A ' B 'C ' D '   AB; AC  AA ' * Thể tích tứ diện ABCD :    VABCD   AB; AC  AD     * a, b phương   a, b         * a, b, c đồng phẳng   a, b  c  -8- Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG Nha Trang PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN  Vectơ pháp tuyến đƣờng thẳng vectơ khác có  giá vuông góc với đường thẳng Kí hiệu n d  Vectơ pháp tuyến mặt phẳng vectơ khác có giá vuông góc với mặt  phẳng Kí hiệu n   Vectơ phƣơng đƣờng thẳng vectơ khác có giá  song song trùng với đường thẳng Kí hiệu u d  Vectơ phƣơng mặt phẳng vectơ khác có giá song song nằm  mặt phẳng Kí hiệu u     n( A; B)  u( B; A) 2*   n( A; B) 3*  d  :    M ( x0 ; y0 )  u1      2* u2  n  u1 , u2     u1 / / u2  u u (u1 ; u2 )  k  u1 Phương trình tổng quát:  d  A( x  x0 )  B( y  y0 )     n( A; B; C ) 3*  P  :    M ( x0 ; y0 ; z0 )  d  Ax  By  C   n( A; B)  P  A( x  x0 )  B( y  y0 )  C( z  z0 )    P  Ax  By  Cz  D   n( A; B; C ) -9- Nguyễn Bá Vinh   u (u1 ; u2 ) 3*  d  :    M ( x0 ; y0 ) A  xA ; y A  B  xB ; y B  he-so  goc : k 4*  d    M ( x0 ; y0 )  d  Ox   A , x A  a 5* d :   d  Oy  B , yB  b 01684.93.77.30 Nha Trang Phương trình tham số  x  x0  ku1 ;k  R d    y  y0  ku2 Phương trình tắc x  x0 y  y0 (d )  u1 u2 Phương trình tắc đường AB: x  xA y  yA  xB  xA yB  y A (d ) y  y0  k  x  x0   d  y  kx  m Phương trình đoạn chắn x y (d )   a b  P   Ox   A , x A  a  5*  P  :  P   Oy  B , yB  b   P   Oz  C , zC  c - 10 - Phương trình đoạn chắn x y z  P    a b c Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG TRONG PHẲNG A1 B1 C1   A2 B2 C2 A B C  d1    d2     A2 B2 C2 A B  d1  cat  d2    A2 B2 Nha Trang VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN  d1  / /  d2    d1  A1x  B1 y  C1   d2  A2 x  B2 y  C2    P1  A1x  B1 y  C1z  D1   P2  A2 x  B2 y  C2 z  D2    d1    d2   n1  n2 GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG   Hai đường thẳng d1 , d cắt tạo thành bốn góc Số đo nhỏ góc gọi số đo góc hai đường thẳng d1 , d hay đơn giản góc d1 , d Khi d1 / / d d1  d , ta quy ước góc chúng 00  d1 ; d  Góc hai đường thẳng d1 ; d ký hiệu  hay đơn giản  d1 ; d  Góc không vượt 900 A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 A B C D  P1    P2      A2 B2 C2 D2 A B C  P1  cat  P2   ; ; không đồng A2 B2 C2 thời    P1    P2   n1  n2  P1  / /  P2   GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN  Hai mặt phẳng  P1  ,  P2  cắt tạo thành bốn góc Số đo nhỏ góc gọi số đo góc hai mặt phẳng  P 1 ,  P2  hay đơn giản góc  P1  ,  P2    Khi  P1  / /  P2   P1    P2  , ta quy ước góc chúng 00  Góc hai mặt phẳng  P 1 ,  P2  ký hiệu   P 1 ,  P 2  hay đơn giản - 11 -  P  ,  P   Góc không vượt 90 Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30   d1  A1x  B1 y  C1  0; n1 ( A1, B1 )   d2  A2 x  B2 y  C2  0; n2 ( A2 , B2 ) * Nếu  d1  y  k1 x  b1  d2  y  k2 x  b2   n1.n2 cos  d1 ; d     n1 n2 tan  d1 ; d     P1  A1x  B1 y  C1z  D1  0; n1 ( A1 , B1 , C1 )   P2  A2 x  B2 y  C2 z  D2  0; n2 ( A2 , B2 , C2 ) 2*  d1  A1x  B1 y  C1   d2  A2 x  B2 y  C2  d M;d   Ax0  By0  C A2  B Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng đến đường thẳng d1 / / d d  d1 , d     n1.n2 cos   P 1 ,  P2      n1 n2 k2  k1  k1.k2 KHOẢNG CÁCH TRONG MẶT PHẲNG   M  x0 , y0  1*    d  Ax  By  C  Nha Trang C2  C1 A B KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN   M  x0 , y0 , z0  1*    P  Ax  By  Cz  D  2*  P1  A1x  B1 y  C1z  D1   P2  A2 x  B2 y  C2 z  D2   P1  / /  P2  - 12 - d  M ,  P   Ax0  By0  Cz0 A2  B  C Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm tùy ý mặt phẳng đến mặt phẳng d   P 1 ,  P2    D2  D1 A  B2  C 2 Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 Nha Trang PHƢƠNG TRÌNH HAI ĐƢỜNG PHÂN GIÁC Phƣơng trình hai đƣờng phân giác góc tạo d1 ,d tập hợp tất điểm M thỏa: d  M , d1   d  M , d2   d  Ax  By  C  M  xM ; yM  , N  xN ; yN   d  M,N nằm phía d  f  M  f  N    M,N nằm khác phía d  f  M  f  N   Với f  x, y   Ax  By  C PHƢƠNG TRÌNH CHÙM ĐƢỜNG THẲNG Nếu  d1  A1 x  B1 y  C1   d2  A2 x  B2 y  C2  cắt M đường thẳng khác qua M có dang: m  A1 x  B1 y  C1   n  A2 x  B2 y  C2   với m2  n2  PHƢƠNG TRÌNH CHÙM MẶT PHẲNG Hai mặt phẳng  P1  A1 x  B1 y  C1 z  D1   P2  A2 x  B2 y  C2 z  D2  cắt  A1 x  B1 y  C1 z  D1  giao tuyến  d  :  mặt phẳng qua giao tuyến d  A2 x  B2 y  C2 z  D2  có dạng: m  A1 x  B1 y  C1 z  D1   n  A2 x  B2 y  C2 z  D2   với m2  n2  - 13 - Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 Nha Trang ĐƢỜNG TRÕN Phƣơng trình đƣờng tròn tâm I  x0 ;y  bán kính R tập hợp điểm M(x;y) thỏa phương trình:  x  x0    y  y0  2 Phƣơng trình mặt cầu tâm I  x0 ;y ;z  bán kính R tập hợp điểm M(x;y;z) thỏa phương trình:  x  x0    y  y0    z  z0   R2 2* Phương trình x2  y  ax  by  c  đường tròn tâm  a b I   ;   , bán kính R  xI2  yI2  c ; xI2  yI2  c   2 3* Vị trí M đƣờng tròn (C) tâm I, bán kính R MẶT CẦU M nằm (C)  MI > R M nằm (C)  MI = R M nằm bên (C)  MI R 4* Vị trí đƣờng thẳng d (d) tiếp xúc (C)  d(I,(d)) = R đƣờng tròn (C) tâm I, (d) cắt (C) hai điểm phân biệt  bán kính R d(I,(d)) < R  Muốn viết phương trình tiếp tuyến d (C), ta ý tới điều: - Điểm đường tròn mà d qua - Định lý: d tiếp tuyến (C) 2  R2 2* Phương trình x2  y  z  ax  by  cz  d  đường tròn tâm  a b c I   ;  ;   , bán kính R  xI2  yI2  zI2  d ; xI2  yI2  zI2  d   2 2 3* Vị trí M mặt cầu (S) tâm I, bán kính R M nằm (S)  MI > R M nằm (S)  MI = R M nằm bên (S)  MI R (P) tiếp xúc (S)  d(I,(P)) = R (P) cắt (S) hai điểm phân biệt  d(I,(P)) < R  (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn có dạng:  x  y  z  ax  by  cz  d  C   Ax+By+Cz+D=0 * Tâm O: hình chiếu I lên mặt phẳng (P) Cách tìm: - Viết phương trình đường thẳng qua I vuông góc với (P) - Tìm giao điểm O đường thẳng với (P) * Bán kính: r  R  IO2 - 14 - Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 ELLIP TRONG MẶT PHẮNG Nha Trang ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1F2  2c  c   Đƣờng elip tập hợp điểm M cho MF1  MF2  2a Trong a số cho trước lớn c Hai điểm F1 , F2 gọi tiêu điểm elip Khoảng cách 2c gọi tiêu cự elip 1*  M  x0 ; y0 ; z0  d :  u (u1 ; u2 ; u3 ) Phương trình tham số d:  x  x0  u1t   y  y0  u2t ; t  R z  z  u t  2* Phƣơng trình tắc elip Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho tiêu cự F1  c;0  , F2  c;0  Khi phương trình elip là:  E  : Phương trình tắc d x  x0 y  y0 z  z0 ; u1 , u2 , u3    u1 u2 u3 x y   1 a  b   a b Trong a  b2  c2 3* Bán kính qua tiêu Với M  xM ; yM    E  : A  xA ; y A ; z A   MF1  a  ex M x2 y   , ta có:  a b  MF2  a  ex M B  xB ; y B ; z B  - 15 - Phương trình tắc đường AB: x  xA y  yA z  zA   xB  xA yB  y A zB  z A Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 HÌNH DẠNG CUẢ ELIP 1* Tính đối xứng elip Nha Trang VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI 2* Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng 2 x y   1 a  b   nhận trục tọa độ a b làm trục đối xứng gốc tọa độ làm tâm đối xứng  (d1 ) qua M1  x1; y1; z1  có u (u1; u2 ; u3 )  (d ) qua M  x2 ; y2 ; z2  có v(v1; v2 ; v3 ) Hình chữ nhật sở    Cách 1: Đặt n  u; v  Elip có phương trình  E  : x2 y Elip  E  :   1 a  b   cắt trục Ox điểm hai điểm A1 a b A2 , cắt trục Oy hai điểm B1 B2 - Bốn điểm gọi đỉnh elip - Trục Ox gọi trục lớn, trục Oy gọi trục bé Người ta gọi đoạn A1 A2 trục lớn, đoạn B1B2 trục bé -   n  *d1 / / d    M  d   n  *d1  d    M  d   n.M 1.M  *  d1  cat  d      n  Độ dài trục lớn 2a, độ dài trục bé 2b  d1  d  u.v  Vẽ qua A1 , A2 hai đường thẳng song song với trục tung, vẽ qua B1 , B2 hai đường thẳng song song với trục hoành Bốn đường thẳng tạo thành hình chữ nhật sở   *  d1  cheo  d   n.M 1.M  - 16 - Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 Tâm sai elip Tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn elip gọi tâm sai elip c kí hiệu e, tức e    e  1 a Elip phép co đƣờng tròn Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x2  y  a2 Với điểm M(x;y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’;y’) cho: x '  x  b (0  b  a)   y '  a y Nha Trang Cách 2: Xét hệ phương trình tạo thành gồm phương trình (d1 ) (d )  Nếu hệ có nghiệm (d1 ) cắt (d )   Nếu hệ vô số nghiệm  d1   (d2 )  d1  / /(d ) Nếu hệ vô nghiệm   d1  , (d )cheonhau - Nếu VTCP phương hai đường thẳng song song với - Nếu VTCP không phương hai đường thẳng chéo Cách 3: Xét VTCP  Nếu VTCP phương xảy hai trường hợp song song, trùng -  x '2 y '2 tập hợp điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình   a b Khi ta nói đƣờng tròn (C) đƣợc co elip Nếu VTCP không phương hai đường thẳng cắt nhau, chéo Lúc lập hệ phương trình để xét - - 17 - Nếu M1  d1  M1  d2 d1  d Nếu M1  d1  M1  d2 d1 / / d Nếu hệ có nghiệm hai đường cắt Nếu hệ vô nghiệm hai đường chéo Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 Nha Trang 3* Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng  - Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có VTCP u  u1; u2 ; u3   - Mặt phẳng (P) có VTPT n  A; B; C  Cách 1:  * u.n   d cắt (P)    d vuông góc (P)  u / / n  d / /  P  * u.n     d   P  - Nếu M  d  M   P  d   P  - Nếu M  d  M   P  d / /  P  Cách 2: - - - - 18 -  x  x0  u1t  Viết d dạng tham số  y  y0  u2t ; t  R z  z  u t   x  x0  u1t y  y u t  Giải hệ   z  z0  u3t  Ax  By  Cz  D  Nếu hệ có nghiệm d cắt (P) Nếu hệ vô nghiệm d // (P) Nếu hệ có vô số nghiệm d   P  Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 Nha Trang KHOẢNG CÁCH 1* Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng - Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có VTCP  u  u1; u2 ; u3  Một điểm M Tính d (M , d )  ?   M 0M ; u    Cách 1: d ( M , d )   u Cách 2: - Viết phương trình mặt phẳng   qua M vuông góc với d - Tìm giao điểm H d với   - Khi đó: d (M , d )  MH -  x  x0  u1t  Viết d dạng tham số  y  y0  u2t ; t  R z  z  u t  Cách 3: - - 19 - Gọi H điểm thuộc d  H  x0  u1t; y0  u2t; z0  u3t    Để H hình chiếu vuông góc M lên d  MH  u Khi d (M , d )  MH Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 Nha Trang 2* Khoảng cách hai đƣờng chéo -  Đường thẳng d qua điểm A có VTCP u  Đường thẳng d’ qua điểm B có VTCP v Tính d (d , d ')  ?    u; v  AB   Cách 1: d (d , d ')    u ; v    Cách 2: Tính độ dài đoạn vuông góc chung Cách 3: - - 20 - Viết phương trình mặt phẳng   chứa d’   // d Khi d (d , d ')  d  d ,     d  A,    Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 Nha Trang GÓC 1* Góc hai đƣờng thẳng  - Đường thẳng d có VTCP u  - Đường thẳng d’ có VTCP v  u.v - Khi cos  d , d '    u.v  00  cos  d , d '  900    d  d '  u  v  u.v  2* Góc đƣờng thẳng mặt phẳng -  Đường thẳng d có VTCP u  Mặt phẳng (P) có VTPT n  u.n Khi sin  d ,  P      u.n  00  sin  d ,  P    900   d / /  P  nu   d   P  - 21 - [...]... ĐƢỜNG THẲNG TRONG PHẲNG A1 B1 C1   A2 B2 C2 A B C  d1    d2   1  1  1 A2 B2 C2 A B  d1  cat  d2   1  1 A2 B2 Nha Trang VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN  d1  / /  d2    d1  A1x  B1 y  C1  0  d2  A2 x  B2 y  C2  0   P1  A1x  B1 y  C1z  D1  0  P2  A2 x  B2 y  C2 z  D2  0   d1    d2   n1  n2 GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG ... Góc này không vượt quá 900 A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 A B C D  P1    P2   1  1  1  1 A2 B2 C2 D2 A B C  P1  cat  P2   1 ; 1 ; 1 không đồng A2 B2 C2 thời bằng nhau    P1    P2   n1  n2  P1  / /  P2   GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN  Hai mặt phẳng  P1  ,  P2  cắt nhau tạo thành bốn góc Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo góc giữa hai mặt phẳng. .. Tâm O: là hình chiếu I lên mặt phẳng (P) Cách tìm: - Viết phương trình đường thẳng qua I và vuông góc với (P) - Tìm giao điểm O giữa đường thẳng này với (P) * Bán kính: r  R 2  IO2 - 14 - Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 ELLIP TRONG MẶT PHẮNG Nha Trang ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1 Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1F2  2c  c  0  Đƣờng elip là tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a Trong đó a...  k1 1  k1.k2 KHOẢNG CÁCH TRONG MẶT PHẲNG   M  x0 , y0  1*    d  Ax  By  C  0 Nha Trang C2  C1 A B 2 KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN   M  x0 , y0 , z0  1*    P  Ax  By  Cz  D  0 2*  P1  A1x  B1 y  C1z  D1  0  P2  A2 x  B2 y  C2 z  D2  0  P1  / /  P2  2 - 12 - d  M ,  P   Ax0  By0  Cz0 A2  B 2  C 2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng... A Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 HÌNH DẠNG CUẢ ELIP 1* Tính đối xứng của elip Nha Trang VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI 2* Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng 2 2 x y  2  1 a  b  0  nhận các trục tọa độ 2 a b làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng  (d1 ) đi qua M1  x1; y1; z1  và có u (u1; u2 ; u3 )  (d 2 ) đi qua M 2  x2 ; y2 ; z2  và có v(v1; v2 ; v3 ) 2 Hình chữ nhật cơ sở    Cách 1:... đƣờng tròn Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x2  y 2  a2 Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn ta xét điểm M’(x’;y’) sao cho: x '  x  b (0  b  a)   y '  a y Nha Trang Cách 2: Xét hệ phương trình tạo thành gồm các phương trình của (d1 ) và (d 2 )  Nếu hệ có một nghiệm duy nhất thì (d1 ) cắt (d 2 )   Nếu hệ vô số nghiệm thì  d1   (d2 )  d1  / /(d 2 ) Nếu hệ vô nghiệm... các VTCP không cùng phương thì hai đường thẳng chéo nhau Cách 3: Xét các VTCP  Nếu các VTCP cùng phương thì chỉ xảy ra 1 trong hai trường hợp là hoặc song song, hoặc trùng nhau -  x '2 y '2 thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình 2  2  1 a b Khi đó ta nói đƣờng tròn (C) đƣợc co về elip Nếu các VTCP không cùng phương thì hai đường thẳng cắt nhau, hoặc chéo nhau Lúc này lập hệ phương...  d 2      n  0 Độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b  d1  d 2  u.v  0 Vẽ qua A1 , A2 hai đường thẳng song song với trục tung, vẽ qua B1 , B2 hai đường thẳng song song với trục hoành Bốn đường thẳng đó tạo thành hình chữ nhật cơ sở   *  d1  cheo  d 2   n.M 1.M 2  0 - 16 - Nguyễn Bá Vinh 01684.93.77.30 3 Tâm sai của elip Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip... x0  u1t   y  y0  u2t ; t  R z  z  u t 0 3  2* Phƣơng trình chính tắc của elip Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tiêu cự F1  c;0  , F2  c;0  Khi đó phương trình elip là:  E  : 2 Phương trình chính tắc của d x  x0 y  y0 z  z0 ; u1 , u2 , u3  0   u1 u2 u3 2 x y  2  1 a  b  0  2 a b Trong đó a 2  b2  c2 3* Bán kính qua tiêu Với M  xM ; yM    E  : A  xA ; y A ; z A  ... 0 là đường tròn tâm  a b c I   ;  ;   , bán kính R  xI2  yI2  zI2  d ; trong đó xI2  yI2  zI2  d  0  2 2 2 3* Vị trí giữa M và mặt cầu (S) tâm I, bán kính R M nằm ngoài (S)  MI > R M nằm trên (S)  MI = R M nằm bên trong (S)  MI R (P) tiếp xúc (S)  d(I,(P)) = R (P) cắt (S) tại hai điểm