HỆ THỐNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC LỚP 7, 8

1 Hệ thống kiến thức Môn : Hình học Lớp 7; Đường trung trực đoạn thẳng a) Định nghĩa: Đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm gọi đường trung trực đoạn thẳng b) Tổng quát: a đường trung trực AB a AB t¹i I    IA =IB a B I A Các góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng a) Các cặp góc so le trong:  vµ B  ; A  vµ B2  A b) Các cặp góc đồng vị: B ; A vµ B  ; A  c) Khi a//b A1 a A  vµ B  ; A  vµ B  A    gäi lµ B2 ; A vµ B b 2B 41 cặp góc phía bù Hai đường thẳng song song a) Dấu hiệu nhận biết - Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b góc tạo thành có cỈp gãc so le b»ng (hc mét cỈp góc đồng vị nhau) a b song song với c a b b) Tiên đề Ơ_clít - Qua điểm đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng M b a c, Tính chất hai đường thẳng song song - Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song th×:  Hai gãc so le nhau; Hai góc đồng vị nhau;  Hai gãc cïng phÝa bï d) Quan hệ tính vuông góc với tính song song c - Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với b a  c   a / / b b c a - Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song vuông góc với đường thẳng c b c  b   c  a a / / b a e) Ba đường thẳng song song - Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với a//c vµ b//c => a//b a b c Gãc ngoµi tam giác a) Định nghĩa: Góc tam giác góc kề bù với góc tam giác b) Tính chất: Mỗi góc tam giác tổng hai góc không kề với nã A A  B  ACx B Hai tam gi¸c b»ng C x A a) Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc t­¬ng øng b»ng ABC  A 'B 'C ' AB  A 'B '; AC  A 'C '; BC  B 'C '   A  '; B  B  '; C C ' A  B C A' C B' b) Các trường hợp hai tam giác *) Trường hợp 1: Cạnh - C¹nh - C¹nh (c.c.c) - NÕu ba c¹nh cđa tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác Nếu ABC A'B'C' cã: AB  A 'B '   AC  A 'C '   ABC  A 'B 'C '( c.c.c ) BC  B 'C '  *) Trường hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB  A 'B '   B  '   ABC  A 'B 'C '( c.g.c ) B  BC  B 'C '   A B C' B ' B B' *) Trường hợp 3: Góc - Cạnh - Gãc (g.c.g) A' C A A' C C' A - Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác NÕu ABC vµ A'B'C' cã:  B '  B  BC  B 'C '   ABC  A 'B 'C '(g.c.g )  C '  C B C A' C' B' c) Các trường hợp hai tam giác vuông Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông B B' A C A' C'  Tr­êng hỵp 2: NÕu cạnh góc vuông góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vuông góc nhọn kề cạnh tam giác vuông hai giác vuông B B' A C A' C'  Tr­êng hỵp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông hai tam giác vuông b»ng B B' A C A' C' Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông B B' A C A' C' A Quan hệ yếu tố tam giác (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) - Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lín h¬n  >C  ABC : NÕu AC > AB B C B - Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn  >C  th× AC > AB ABC : NÕu B Quan hệ đường vuông góc đường xiên, đường xiên hình chiếu Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu đường xiên - L : A  d, k AH  d, l B d v B H Khi - Đoạn thẳng AH gọi đường vuông góc kẻ A từ A đến đường thẳng d - Điểm H gọi hình chiếu A đường thẳng d - Đoạn thẳng AB gọi đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d - Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu d đường xiên AB đ.thẳng d H B Quan hệ đường xiên đường vuông góc: Trong đường xiên đường vuông góc kẻ từ điểm đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc đường ngắn Quan hệ đường xiên hình chiếu: Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó, thì: - Đường xiên có hình chiếu lớn lớn - Đường xiên lớn có hình chiếu lớn - Nếu hai đường xiên hai hình chiếu ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác - Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại A AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB B C - Trong mét tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh lại AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC - NhËn xÐt : Trong mét tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh l¹i VD: AB - AC < BC < AB + AC TÝnh chÊt ba ®­êng trung tun cđa tam giác Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng A độ dài đường trung tuyến F ®i qua ®Ønh Êy: GA  GB  GC DA EB FC G trọng tâm tam giác ABC 10 Tính chất ba đường phân gi¸c cđa tam gi¸c B G D E C Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác - Điểm O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC (lớp 9) A O C B 11 TÝnh chÊt ba ®­êng trung trùc cđa tam giác Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác A - Điểm O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC O B C 12 Phương pháp chứng minh số toán (sử dụng cách sau đây) a) Chứng minh tam giác cân Chứng minh tam giác có hai cạnh Chứng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng Chøng minh tam giác có đường trung tuyến vừa đường cao Chứng minh tam giác có đường cao vừa đường phân giác đỉnh b) Chứng minh tam giác Chứng minh tam giác có ba cạnh Chứng minh tam giác có ba góc Chứng minh tam giác cân cã mét gãc lµ 600 c) Chøng minh mét tø giác hình bình hành Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có cạnh đối hình bình hành Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có góc đối hình bình hành Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành d) Chứng minh tứ giác hình thang: Ta chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song e) Chứng minh hình thang hình thang cân Chøng minh h×nh thang cã hai gãc kỊ mét đáy Chứng minh hình thang có hai ®­êng chÐo b»ng f) Chøng minh mét tø gi¸c hình chữ nhật Tứ giác có ba góc vuông hình chữ nhật Hình cân có góc vuông hình chữ nhật Hình bình hành có góc vuông hình chữ nhật Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật g) Chứng minh tứ giác hình thoi Tứ giác có bốn cạnh Hình bình hành có hai cạnh kề Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc h) Chứng minh tứ giác hình vuông Hình chữ nhật co hai cạnh kề Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc Hình thoi có góc vuông Hình thoi có hai đường chéo 13 Đường trung bình tam giác, hình thang a) Đường trung bình tam giác Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Định lí: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh A E D DE / /BC, DE  BC B C b) Đường trung bình hình thang Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang Định lí: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy B A EF  AB  CD EF//AB, EF//CD, E F D C 14 Tam giác đồng dạng a) Định lí Ta_lét tam giác: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ A B 'C '/ / BC  AB '  AC ' ; AB AC AB '  AC ' ; B 'B  C 'C B 'B C 'C AB AC B' B C' a C b) Định lí đảo định lí Ta_lét: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại cđa tam gi¸c VÝ dơ: AB '  AC ' B 'C '/ /BC ; Các trường hợp khác tương tự AB AC c) Hệ định lí Ta_lét - Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác đà cho Hệ trường hợp đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại ( B 'C '/ /BC  AB '  AC '  B 'C ' ) AB AC BC A C' B' a A C B a B' C' C B d) Tính chất đường phân giác tam giác: Đường phân giác (hoặc ngoài) tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn A A B D C D' DB  AB DC AC C B D'B AB D'C AC ABC S e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng : Hai tam giác đồng dạng hai tam giác có góc tương ứng cạnh tương ứng tỉ lệ A  '; B  B  '; C  C '  A  A 'B 'C '   AB AC BC  A 'B '  A 'C '  B 'C '  k( t s  ng d g) f) Định lí hai tam giác đồng dạng: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác đà cho 10 A ABC S MN / /BC AMN M *) Lưu ý: Định lí trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại a N C B g) Các trường hợp đồng dạng hai tam giác *)Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng A' A C B B'  A 'B 'C '( c.c.c ) S NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB  AC  BC   ABC A 'B ' A 'C ' B 'C ' C ' *)Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cạnh hai tam giác đồng dạng A' A B C B' C' S NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB  BC  A 'B ' B 'C '   ABC  B '  B A 'B 'C '( c.g.c ) *)Tr­êng hỵp 3: NÕu hai gãc cđa tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng; 10 11 A' A C B B' C S NÕu ABC vµ A'B'C' cã: A  ' A    ABC A 'B 'C '(g.g )   B  B ' h) Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông *)Trường hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có góc nhọn chúng đồng d¹ng; B' B A C C' A’ S NÕu ABC vµ A'B'C' cã: A  '  90  A    ABC A 'B 'C '   C  C'  *)Tr­êng hỵp 2: NÕu hai cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác đồng dạng; B' B C C' A' Hai tam giác vuông ABC A'B'C' có: AB  AC   ABC  A 'B 'C ' A 'B ' A 'C ' S A *)Tr­êng hợp 3: Nếu cạnh góc vuông cạnh huyền tam giác vuông tỉ lệ với cạnh góc vuông cạnh huyền tam giác vuông hai giác đồng dạng S Hai tam giác vuông ABC vµ A'B'C' cã: AB  BC   ABC  A 'B 'C ' A 'B ' B 'C ' 11 12 S 15 TØ sè hai ®­êng cao, tØ số diện tích hai tam giác đồng dạng - Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng - Tỉ sô diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng - Cụ thể : A 'B 'C ' ABC theo tØ sè k S A 'B 'C' k => A 'H '  k AH S ABC 16 Hệ thức lượng tam giác vuông (lớp 9) b ab '  c  ac ' 2 A  a  b  c (Pi_ta_go)  bc = ah c  h  b'c'   2 b c h  b h b' c' B H C a 17 DiÖn tích hình h b a a S a b h a Sa a S  ah S  ah b h E a h a S  (a  b)h  EF.h S  ah h F d2 a S  a h S  d1  d 2 d1 18 Học sinh cần nắm vững toán dựng hình (dùng thước compa) a) Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho tr­íc; 12 13 b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho trước; c) Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trước, dựng trung điểm đoạn thẳng cho trước; d) Dựng tia phân giác góc cho tr­íc; e) Qua mét ®iĨm cho tr­íc, dùng ®­êng thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước; f) Qua điểm nằm đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước; g) Dựng tam giác biết ba cạnh, biết hai cạnh kề góc xen giữa, biết cạnh hai góc kề 13 ... Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Tứ giác có ba góc vuông hình chữ nhật Hình cân có góc vuông hình chữ nhật Hình bình hành có góc vuông hình chữ nhật Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật... đường hình bình hành d) Chứng minh tứ giác hình thang: Ta chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song e) Chứng minh hình thang hình thang cân Chứng minh hình thang có hai góc kề đáy Chứng minh hình. .. giác hình thoi Tứ giác có bốn cạnh Hình bình hành có hai cạnh kề Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc h) Chứng minh tứ giác hình vuông Hình