Sáng kiến kinh nghiệm: Xây dựng hệ thống công thức giải nhanh toán trắc nghiệm chương I – giải tích 12

Mục đích của đề tài này nhằm đổi mới hình thức thi từ tự luận sang thi trắc nghiệm, đòi hỏi giáo viên và học sinh phải thay đổi phương pháp dạy và học để đảm bảo học sinh vừa nắm vững kiến thức, vừa xử lý bài toán trong thời gian nhanh nhất. Một trong những phương pháp đó là từ bài toán tự luận tìm ra các kĩ thuật ,công thức giải nhanh cho bài toán giải theo hình thức trắc nghiệm. Làm vậy sẽ đáp ứng được hai yêu cầu học sinh nắm trắc kiến thức và xử lý nhanh.

SỞ SỞGIÁO GIÁODỤC DỤCVÀ VÀĐÀO ĐÀOTẠO TẠO THANH THANH HOÁ HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ THANH II TRƯỜNG THPT NHƯ THANH II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HÌNH THÀNH TƯ DUY – KỸ NĂNG GIẢI NHANH TOÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN CỰC TÊN ĐỀTRỊ TÀI:CỦA HÀM SỐ BẬC BA CHOCHƠI HỌC Ơ SINH TRƯỜNG SỬ DỤNG TRỊ CHỮ Ở MỘTTHPT SỐ TIẾT BÀI TẬP NHƯ THANH II LUYỆN THI THPT GIALỚP 10 CỦA CHƯƠNG THUỘC CHƯƠNG TRÌNH QUỐC TIN HỌC NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TẬP MÔN TIN HỌC HỌC SINH Người thực hiện: Mạc Lương Thao Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn học Người thực hiện: Nguyễn Thị Hòng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tin Học THANH HỐ NĂM 2016 THANH HĨA NĂM 2017 MỤC LỤC Phần I: Đặt vấn đề …………………………………………………………… Phần II: Giải vấn đề.……………………………………………… … I Cơ sở đề tài…… ……………………………………………………… Cơ sở lý luận……………………………………………………………… …2 1.1 Khái niệm cực trị hàm số………………………………………………… 1.1.1 Khái niệm cực trị hàm số…………………………………… ………… 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đại cực trị……………………… …………… 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đại cực trị………………………… ………… 1.2 Cực trị hàm số bậc ba……………………………………………… 1.2.1 Điều kiện tồn cực trị……………………………………………… ….3 1.2.2 Kỹ tính nhanh………… ……………………………… ………… Thực trạng vấn đề ……………………………………………………… … II Các dạng toán cực trị hàm số bậc ba thường gặp…………… ………4 Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu x = x0 ………………… …….4 Biện luận theo m số cực trị hàm số…………………………………….….5 Tìm m để hàm số có hai cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước…………….…6 Áp dụng số công thức giải nhanh…………………………………….….12 4.1 Công thức phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị…….……….12 4.1.1 Công thức TS Nguyễn Thái Sơn………………………………… …12 4.1.2 Cơng thức có cách chia y cho y’…………………………… 13 4.2 Cơng thức tính độ dài hai điểm cực trị……………………………….…….14 Một số tập trắc nghiệm………………………………………………… 15 Phần III Kết luận ……………………………… ……………………… …21 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………….22 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Đạo hàm ứng dụng đạo hàm chiếm vai trò quan trọng chương trình Tốn THPT Nội dung đạo hàm ứng dụng đạo hàm trình bày tồn chương trình giải tích 11 giải tích 12, đạo hàm trình bày học kỳ II lớp 11, ứng dụng đạo hàm trình bày học kỳ I lớp 12 Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song đạo hàm ứng dụng đạo hàm nội dung bắt buộc đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ thi THPT Quốc gia Chúng ta kể đến số ứng dụng đạo hàm: Xét tính đơn điệu hàm số; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số; cực trị hàm số… Phần ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến cực trị hàm số bậc ba phần khơng q khó với học sinh khơng muốn nói phần “lấy điểm” học sinh Tuy nhiên, việc giải toán cực trị hàm số bậc ba nhanh hiệu điều mà học sinh làm bối cảnh kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 đổi từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm Ngồi ra, việc trình bày kiến thức SGK, SBT sách tham khảo, hệ thống tập dàn trải học sinh thường thời gian giải tập phần Từ kinh nghiệm thân năm giảng dạy tìm tịi, tham khảo tổng hợp tài liệu Toán internet, tơi lựa chọn đề tài: “Hình thành tư - kỹ giải nhanh toán trắc nghiệm phần cực trị hàm số bậc ba cho học sinh trường THPT Như Thanh II luyện thi THPT Quốc Gia” với mong muốn trang bị cho học sinh tảng kiến thức nâng cao từ rút số công thức giải nhanh phần cực trị hàm số bậc ba giúp em học sinh nắm bắt cách nhận dạng cách giải dạng tốn nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học, tạo tự tin cho học sinh kỳ thi PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở đề tài Cơ sở lí luận 1.1 Khái niệm cực trị hàm số 1.1.1 Khái niệm cực trị hàm số [3] Cho f : D → ¡ x0 ∈ D a) x0 gọi điểm cực đại f tồn khoảng ( a; b ) cho  x0 ∈ ( a; b ) ⊂ D   f ( x ) < f ( x0 ) ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } b) x0 gọi điểm cực tiểu f tồn khoảng ( a; b ) cho  x0 ∈ ( a; b ) ⊂ D   f ( x ) > f ( x0 ) ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } c) Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Bảng sau tóm tắt khái niệm sử dụng phần này: x0 f ( x0 ) ( x0 ; f ( x0 ) ) Điểm cực đại f ( x) Điểm cực tiểu f ( x) Điểm cực trị Giá trị cực đại (cực đại) Điểm cực đại đồ thị hàm f ( x) số f ( x) Giá trị cực tiểu (cực tiểu) Điểm cực tiểu đồ thị hàm f ( x) số f ( x) Cực trị f ( x) Điểm cực trị đồ thị hàm số f ( x) f ( x) 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị [6] Giả sử hàm f ( x) có đạo hàm x0 Khi đó: f ( x) đạt cực trị x0 f ' ( x0 ) = 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị [6] a) Quy tắc • Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f ( x) đạt cực đại x0 ; • Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f ( x) đạt cực tiểu x0 b) Quy tắc 2:  f ' ( x0 ) = ⇒ f ( x ) đạt cực đại x0 ;  f " ( x0 ) < •   f ' ( x0 ) = ⇒ f đạt cực tiểu x0  f " ( x0 ) > •  1.2 Cực trị hàm số bậc ba [5] Xét hàm y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ ) Đạo hàm: y ' = 3ax + 2bx + c 1.2.1 Điều kiện tồn cực trị: Hàm số có cực trị y ' = có hai nghiệm phân biệt hay ∆ ' = b − 3ac > 1.2.2 Kỹ tính nhanh cực trị: Giả sử ∆ ' = b − 3ac > , y ' = có hai nghiệm phân biệt −b ± b − 3ac hàm số đạt cực trị x1 , x2 x1,2 = 3a Thực phép chia y cho y’ ta có: b  2 b2  bc  1  f ( x) =  x + ÷ f '( x) +  c − ÷x +  d − ÷ 9a  3 3a  9a  3  Tức f ( x) = q ( x) f '( x) + r ( x )  2 b2  bc    y1 = f ( x1 ) =  c − ÷x1 +  d − ÷ 3 3a  9a    f '( x1 ) =  Do  nên   f '( x2 ) =  y = f ( x ) =  c − b  x +  d − bc  ÷  ÷   3 3a  9a    Từ ta có phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu hàm số là: 2 b  bc  bc  y =  c − ÷x +  d − ÷ = ( 3ac − b ) x + (d − ) 3 3a  9a  9a 9a  −2∆ ' bc   = x + d − ÷ 9a 9a   Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) điểm cực trị hàm số Khi khoảng cách hai điểm cực trị là: AB = = ( x2 − x1 ) ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2   −2 ∆ ' bc    −2∆ ' bc      + x2 +  d − ÷ −  x1 +  d − ÷ ÷ 9a    9a 9a        9a = ( x2 − x1 ) 2  −2 ∆ '  + ( x2 − x1 ) ÷  9a  2  −2 b − 3ac   −2∆ ' −2 b − 3ac  =  ÷ + ÷  ÷  9a ÷ a a     = 4∆ ' 16 + ∆ ') ( (3a) 9(3a) Đặt k = 3a ta AB = 4∆ ' 16 + ( ∆ ') k 9k Vậy khoảng cách hai điểm cực trị AB = 4∆ ' 16 + ( ∆ ') với k 9k k = 3a hệ số x phương trình y ' = Như k số khoảng cách hai điểm cực trị ngắn ∆ ' nhỏ Thực trạng vấn đề Trong kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ thi THPT Quốc gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm toán cực trị thường hay xuất hiện, với mục đích nhà giáo dục dành cho học sinh có học lực trung bình Đối với trường THPT Như Thanh II trường miền núi, chất lượng đầu vào học sinh thấp nên gần học sinh nhiều thời gian việc định hướng cách làm q trình làm thường mắc sai sót Đặc biệt thi trắc nghiệm có phương án nhiễu học sinh dễ mắc sai lầm II Các dạng toán cực trị hàm số bậc ba thường gặp Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu x = x0 Cách làm: Tính đạo hàm y’ ⇒ y’ = Điều kiện cần: Thay x0 vào phương trình y’ = ⇒ giá trị m (nếu có) Điều kiện đủ: Kết hợp xét dấu y’’:  Nếu y’’(x0) > hàm số đạt cực tiểu x0  Nếu y’’(x0) < hàm số đạt cực đại x0 (hoặc dùng bảng biến thiên) để suy giá trị m thỏa mãn yêu cầu Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số y = x3 − 3mx + (m − 1) x + Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = [3] Giải Ta có : y ' = 3x − 6mx + m − y ' = ⇔ x − 6mx + m − = (*) Điều kiện cần: thay x = vào (*) ⇒ m = Điều kiện đủ: y '' = x − 6m Với m = ⇒ ⇒y ''(2) = > (thỏa mãn) Vậy m = hàm số có cực tiểu x = 2 Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số y = x − mx + ( m − m + 1) x + Tìm m để hàm số [3] đạt cực đại x = Giải 2 Ta có: y ' = x − 2mx + m − m + y ' = ⇔ x − 2mx + m − m + = (*) Điều kiện cần: thay x = vào (*) ⇒m − 3m + = (m = m = 2) Điều kiện đủ: y '' = x − 2m  Với m = ⇒ y '' = x − ⇒y ''(1) = −2 < ( thỏa mãn)  Với m = ⇒ y '' = x − ⇒ ( khơng xét dấu) Nhưng đó: y ' = x − x + = ( x − 1) ≥ (∀x) ⇒ hàm số đồng biến nên ko có cực trị Hay m = không thỏa mãn Vậy m = hàm số có cực đại x = 2 Biện luận theo m số cực trị hàm số Số cực trị hàm số phụ thuộc vào số nghiệm phương trình y’ = Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số y = x3 − 3mx + (m − 1) x + Tìm m để hàm số không đạt cực trị [3] Giải Ta có: y ' = 3x − 6mx + m − y ' = ⇔ x − 6mx + m − = (*) Hàm số không đạt cực trị khi: ∆ ' = 9m − 3m + ≤ ⇔ 3m − m + ≤ (vơ lý) Vậy khơng có giá trị m để hàm số không đạt cực trị Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số y = mx + (m − 1) x + Tìm m để hàm số khơng đạt cực trị [3] Giải + Nếu m = hàm số trở thành y = − x + PT đường thẳng nên khơng có cực trị hay m = thỏa mãn + Nếu m ≠ Ta có: y ' = 3mx + m − 1− m y ' = ⇔ 3mx + m − = ⇔ x = 3m m ≥ 1− m ≤0⇔ Hàm số không đạt cực trị khi: 3m m < m ≥ Vậy để hàm số khơng đạt cực trị thì:  m ≤ Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Các bước làm: 1) Tính: y ' = 3ax + 2bx + c y ' = ⇔ g ( x) = 3ax + 2bx + c = a ≠ Để hàm số có cực trị g ( x) = có nghiệm x1 x2 hay  ∆ > 2) Gọi rõ ràng tọa độ điểm cực trị: A, B ( nghiệm x1 x2 gọn – đẹp) Hoặc biểu thị tọa độ A, B theo x1; x2 nghiệm q xấu khơng nên tính 3) Sử dụng tính chất quen thuộc xử lý yêu cầu đề 4) Kết luận giá trị m thỏa mãn Chú ý: Nếu biểu thị tọa độ A, B theo x1 x2 nghiệm xấu sau phải dùng hệ thức Vi-ét Ví dụ mẫu 1: THPT Quốc Gia 2016 Tìm m để hàm số f ( x) = x − x + mx − có hai điểm cực trị Gọi x1 x2 hoành độ hai điểm cực trị tìm m để x12 + x22 = Giải Ta có : f '( x) = 3x − x + m f '( x) = ⇔ x − x + m = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt ĐK : ∆ ' > ⇔ − 3m > ⇔ m < (**) b  x + x = − =2  a Theo định lý vi-ét:   x x = c = m  a 2m 2 =3⇔ m= Theo ta có : x1 + x2 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ − 3 Kết hợp điều kiện (**) ⇒ m = thỏa mãn đề Ví dụ mẫu 2: Tìm m để hàm số f ( x) = x − x + mx − có hai điểm cực trị Gọi x1 x2 hoành độ hai điểm cực trị tìm m để x1 x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền [2] Giải Ta có : f '( x) = 3x − x + m f '( x) = ⇔ x − x + m = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt : ĐK : ∆ ' > ⇔ − 3m > ⇔ m < (**) b  x + x = − =2  a Theo định lý vi-ét:   x x = c = m  a  Để x1 x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác thì:  x1 + x2 > ⇔ m > (***)  x x >   Để tam giác vng có cạnh huyền thì: x12 + x22 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ − Kết hợp điều kiện (**) (***) ⇒ m = 2m =3⇔ m = 3 thỏa mãn đề Ví dụ mẫu 3: KD – 2012 2 Cho hàm số : y = x − mx − 2(3m − 1) x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực 3 trị x1 x2 cho: x1.x2 + 2( x1 + x2 ) = Giải 2 Ta có y ' = x − 2mx − 2(3m − 1) y ' = ⇔ x − 2mx − 2(3m − 1) = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt :   m > 13 2 ĐK : ∆ ' > ⇔ m + 4(3m − 1) > ⇔ 13m − > ⇔  (**)  m < −2  13 b  x + x = − =m  a Theo định lý vi-ét:   x x = c = − 3m  a m = Theo ta có : x1.x2 + 2( x1 + x2 ) = ⇔ − 3m + 2m = ⇔  m =  Đối chiếu với (**) ta m = thỏa mãn điều kiện đề Ví dụ mẫu 4: Cho hàm số : y = x3 − (2m − 1) x + (2 − m) x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 hoành độ điểm cực trị dương [2] Giải Ta có : y ' = 3x − 2(2m − 1) x + − m y ' = ⇔ x − 2(2m − 1) x + − m = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt  m < −1 2 ĐK : V' > ⇔ ( 2m − 1) − ( − m ) > ⇔ 4m − m − > ⇔  (**) m >  b 2(2m − 1)  x + x = − =  a Theo định lý vi-ét:   x x = c = − m  a Để hàm số có hai điểm cực trị có hồnh độ dương :  2(2m − 1) >0   x1 + x2 >  m > ⇔ ⇔ ⇔ m <  Kết hợp điều kiện (**) ta < m < Ví dụ mẫu 5: Cho hàm số : y = (m + 2) x3 + x + mx − Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 hoành độ điểm cực trị dương Giải Ta có : y ' = 3(m + 2) x + x + m 10 y ' = ⇔ 3( m + 2) x + x + m = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt :  m ≠ −2 a ≠ m + ≠ m ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔ (**)     ∆ ' > 9 − 3m(m + 2) > −3m − 6m + > −3 < m < b −2  x + x = − =  a m+2 Theo định lý vi-ét:  m  x1.x2 = c = a 3(m + 2)  Để hàm số có hai điểm cực trị có hồnh độ dương : b −2   −2 x + x > = − =   m + > m + < a m+2 ⇔ ⇔ ⇔ m < −2  m m = c =  m >0 a 3(m + 2)   3(m + 2) Kết hợp điều kiện (**) ta −3 < m < −2 Ví dụ mẫu 6: Cho hàm số : y = x3 − 2(m + 1) x + (m − 3m + 2) x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Giải 2 Ta có : y ' = 3x − 4( m + 1) x + m − 3m + y ' = ⇔ x − 4(m + 1) x + m − 3m + = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt :  −17 − 33 m < ∆ ' > ⇔ 4( m + 1) − 3(m − 3m + 2) > ⇔ m + 17 m − > ⇔   −17 + 33 m >  (**) Theo định lý vi-ét: b 4(m + 1)   x1 + x2 = − a =   x x = c = m − 3m +  a Để cực trị nằm hai phía trục tung quan sát hình ảnh đồ thị bậc sau : 11 ⇒ Để cực trị nằm hai phía trục tung cần : x1 x2 < ⇔ m − 3m + < ⇔ < m < Kết hợp điều kiện (**) < m < Ví dụ mẫu 7: Cho hàm số : y = x3 − 2(m + 1) x + (m − 3m + 2) x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung [6] Giải 2 Ta có : y ' = 3x − 4( m + 1) x + m − 3m + y ' = ⇔ x − 4(m + 1) x + m − 3m + = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt : ∆ ' > ⇔ 4( m + 1) − 3(m − 3m + 2) > ⇔ m + 17 m − >  −17 − 33 m < (**) ⇔  −17 + 33 m >  b 4(m + 1)   x1 + x2 = − a = Theo định lý vi-ét:   x x = c = m − 3m +  a Để cực trị nằm cùng phía so với trục tung quan sát hình ảnh đồ thị bậc sau (hoặc cịn ảnh đối ngược ảnh bên trái Oy): 12 ⇒ Để cực trị nằm cùng m > x1 x2 > ⇔ m − 3m + > ⇔  m < phía so với trục tung  −17 − 33 m<  Kết hợp điều kiện (**) ta   m > Ví dụ mẫu 8: Cho hàm số : y = x3 − 3x + mx − Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía đường thẳng (d): x = Giải Ta có : y ' = 3x − x + m y ' = ⇔ x − x + m = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt : ∆ ' > ⇔ − 3m > ⇔ m < (**) b  x + x = − =2  a Theo định lý vi-ét:   x x = c = m  a Ta có : (d): x = ⇒ x – = Để hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía đường thẳng (d) m ( x1 − 1) ( x2 − 1) < ⇔ x1x2 − ( x1 + x2 ) + < ⇔ − < ⇔ m < Kết hợp điều kiện (**) ta m < Ví dụ mẫu 9: KB - 2014 Cho hàm số : y = x3 − 3mx + A( 2; 3) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị B C để tam giác ABC cân A Giải Ta có : y ' = 3x − 3m 13 y ' = ⇔ x − 3m = (*) Để hàm số có điểm cực trị B C phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt hay m > (**) Gọi tọa độ : B − m ;2m m + ( ) C ( m ;2m m + 1) uuu r AB ( − m ;2m m + 1) Suy ra: uuur AC ( m ;2m m + 1) Để tam giác ABC cân A nên AB = AC hay: (− ) m − + (2m m − 2) = ( m − 2) + ( −2m m − 2) m = ⇔ 16m m − m = ⇔  m =  Kết hợp điều kiện (**) ta m = Áp dụng số công thức giải nhanh 4.1 Cơng thức phương trình đường thẳng qua điểm cực trị 4.1.1 Công thức TS Nguyễn Thái Sơn [4] Gọi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y = Ax + B A, y ' y '' B xác định sau: Ax + B = y − 18a Ví dụ mẫu 1: viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số: y = x3 − x + 3x + Giải Áp dụng công thức học nhanh: 3x − x + 3) ( x − ) ( Ax + B = ( x − x + 3x + 1) − 18 - Thay x = vào đẳng thức ta được: B = - Thay x = vào lại đẳng thức ta lại được: 28 28 16 A+ B = ⇒ A= −B= 9 16 Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị sẽ là: y = x + Ví dụ mẫu 2: viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số: y = x3 + 3x + 14 Giải Áp dụng công thức học nhanh: x + 3) 12 x ( Ax + B = ( x + x + ) − 36 - Thay x = vào đẳng thức ta được: B = - Thay x = vào lại đẳng thức ta lại được: A + B = ⇒ A = − B = Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị sẽ là: y = x + 4.1.2 Công thức có cách chia y cho y’ −2 ∆ ' bc   y= x +d − ÷ 9a 9a   Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số : y = x3 − 3x − mx + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = −4 x + [1] Giải: Ta có y ' = 3x − x − m (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ĐK: ∆ ' > ⇔ + 3m > ⇔ m > −3 Ta có hệ số góc đường thẳng qua điểm cực trị −2∆ ' −2 k= = ( + 3m ) 9a Do đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng d: −2 y = −4 x + nên ( + 3m ) = ⇔ m = (tm) Vậy m = thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số : y = x3 + mx + x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng qua hai điểm cực trị vng góc với đường thẳng d: y = x + 2017 [1] Giải: Ta có: y ' = 3x + 2mx + (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt  m > 21 ĐK: ∆ ' > ⇔ m − 21 > ⇔   m < − 21 Ta có hệ số góc đường thẳng qua điểm cực trị −2∆ ' −2 k= = ( m − 21) 9a 15 Do cho đường thẳng qua hai điểm cực trị vng góc với đường thẳng d: −2 −2 m − 21) = ⇔ m = 24 ⇔ m = ± 24 (tm) y = x + 2017 nên ( Vậy m = ± 24 thỏa mãn yêu cầu tốn 4.1.3 Cơng thức tính độ dài hai điểm cực trị Khoảng cách hai điểm cực trị AB = hệ số x phương trình y ' = 4∆ ' 16 + ( ∆ ') với k = 3a k 9k Khi k số khoảng cách hai điểm cực trị ngắn ∆ ' nhỏ Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số : y = x − mx − x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B cho độ dài AB ngắn [2] Giải 2 Ta có: y ' = x − 2mx − ; ∆ ' = m + Hàm số có hai điểm cực trị A, B cho độ dài AB ngắn ∆ ' nhỏ ∆ 'min = m = Vậy với m = thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số : y = x3 + 3(m + 1) x + 3m(m + 2) x + m + m Biết hàm số ln có hai điểm cực trị A, B với m Tính khoảng cách giũa hai điểm cực trị Giải Ta có: y ' = 3x + 6( m + 1) x + 3m(m + 2) ∆ ' = 9(m + 1) − 9m(m + 2) = 4∆ ' 16 + ( ∆ ') = k 9k Vậy khoảng cách giũa hai điểm cực trị Áp dụng công thức: AB = Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số : y = x − mx − x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B cho độ dài AB = 15 Giải: Ta có: y ' = x − 2mx − ; ∆ ' = m + Theo ra: hàm số có hai điểm cực trị A, B cho độ dài AB = 15 4∆ ' 16 + ( ∆ ') ta Áp dụng công thức: AB = k 9k 2 16 AB = 4∆ ' 16 16 3 + ( ∆ ') = 15 ⇔ ( ∆ ') + 4∆ '− 60 = k 9k ⇔ ∆ ' = ⇔ m + = ⇔ m2 = ⇔ m = ± Vậy với m = ± thỏa mãn yêu cầu toán Một số tập trắc nghiệm Câu 1: Đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d số A a > B a < C a ≥ dạng hình vẽ có hệ D a ≤ Câu 2: Đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d dạng hình vẽ có hệ số A d = B d = C d = D d = 17 Câu 3: Đồ thị hàm số dạng hình vẽ bốn đồ thị hàm số liệt kê phương án A, B, C, D Đó đồ thị hàm số A y = x3 − 3x + C y = − x3 + x + B y = x3 D y = x3 + x + Câu 4: Đồ thị hàm số dạng hình vẽ Hỏi phương trình y = có nghiệm A B C D Câu 5: Đồ thị hàm số có dạng hình vẽ Khi 18 A ac > B ac < C ad > D ad < Câu 6: Đồ thị hàm số dtrong hình vẽ bốn đồ thị hàm số liệt kê phương án A, B, C, D Đó đồ thị hàm số A y = x3 − 3x + B y = x3 − 3x + C y = − x3 + x + D y = x3 + x + Câu 7: Biết đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu : A(x1; y1), B(x2; y2) Hàm số cho nghịch biến khoảng A ( x1; x2 ) B ( x2 ; x1 ) C ( − x1; − x2 ) D ( − x2 ; − x1 ) Câu 8: Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có tích hai giá trị cực trị nhỏ Khi đồ thị hàm số cắt trục hoành A điểm B điểm C điểm D điểm Câu 9: Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có tích hai giá trị cực trị lớn Khi đồ thị hàm số cắt trục hồnh A điểm B điểm C điểm D điểm Câu 10: Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có tích hai giá trị cực trị Khi phương trình y = có A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm Câu 11: Cho hàm số: y = x3 − 3x + (C) Đồ thị (C) đạt cực đại x A x = B x = C x = D x = - 19 Câu 12: Cho hàm số: (C) Đồ thị (C) đạt giá trị cực tiểu A y = B y = C y = - D y = - Câu 13: Cho hàm số: y = x − 3x + 20 x − (C) Đồ thị (C) có điểm cực trị A B C D Câu 14: Cho hàm số: (C) Đường thẳng qua hai điểm cực tiểu đồ thị (C) A y = −2 x − B y = −2 x C y = x − D y = −2 x + Câu 15: Cho hàm số: (C) Đồ thị (C) có điểm cực trị A, B Độ dài AB A B C D Câu 16: Cho hàm số: y = − x3 − 3x + x − (C) Đồ thị (C) có hồnh độ điểm cực trị A xCD > xCT B xCD < xCT C xCD xCT = D xCD + xCT = Câu 17: Cho hàm số: y = x3 − 3mx + x − (Cm) Đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị 2 A m > B m > C m > D m > 3 3 Câu 18: Cho hàm số: y = x3 − 3x + mx − (Cm) Đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A m < B m < C m > D m > Câu 19: Cho hàm số: y = x3 − 3x + m + (Cm) Đồ thị (Cm) có giá trị cực đại đạt nhỏ A m = B m = C m = D m = −1 Câu 20: Cho hàm số: y = − x3 − 3x + m − (C) Đồ thị (C) có giá trị điểm cực đại hai lần hoành độ điểm cực tiểu A m = B m = C m = −1 D m = −2 20 Câu 21: Cho hàm số: y = x3 − 3x − 3m(m + 2) x − (Cm) Đồ thị (Cm) có hồnh độ hai điểm cực trị cùng dấu  −2 < m < −1  −2 < m < −1  −3 < m < −1  −2 < m < −1 A  B  C  D   −1 < m <  −1 < m <  −1 < m <  −1 < m < Câu 22: Cho hàm số: y = x3 − 3mx + (m − 1) x + (Cm) Đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hồnh độ dương A m < B m > C m < D < m < Câu 23: Cho hàm số: y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho xA.xB = A m = B m = C m = D m = 3 Câu 24: Cho hàm số: y = x + (m − 1) x + 3(m − 2) x + (Cm) Tìm m để đồ 3 thị (Cm) có hai điểm cực trị có tổng hồnh độ A m = B m = C m = D m = Câu 25: Cho hàm số: y = − x3 + (2m + 1) x − (m − 3m + 2) x − (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung A < m < B < m < C < m < D < m < Câu 26: Cho hàm số: y = − x3 + 3mx + (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông O −1 A m = B m = C m = D m = 2 Câu 27: Cho hàm số: y = x3 + x + m (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho góc AOB 1200 −12 ± −12 + A m = B m = −12 − −12 − C m = D m = Câu 28: Cho hàm số: y = x3 − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + m (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB cân O A m = B m = C m = D m = 21 Câu 29: Cho hàm số: y = x3 + 3(m − 3) x + 11 − 3m (Cm) C (0; −1) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho A, B, C thẳng hàng A m = B m = C m = D m = Câu 30: Cho hàm số: y = x3 − 3x − mx + (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng qua A, B song song với đường thẳng: y = −4 x + 2017 1 A m = B m = C m = D m = 3 Câu 31: Cho hàm số: (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng qua A, B vng góc với đường thẳng: x − y + 2017 = A m = − B m = − C m = −1 D m = −2 2 ĐÁP ÁN: 1A 10B 19A 28B 2D 11A 20D 29D 3D 12C 21A 30D 4C 13D 22C 31B 5A 14A 23C 6C 15B 24C 7A 16B 25B 8C 17D 26C 9A 18A 27B 22 PHẦN III : KẾT LUẬN Sau thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua tài liệu tham khảo học hỏi đồng nghiệp; hệ thống lại số dạng toán cực trị hàm số bậc ba đưa số cơng thức tính nhanh, cụ thể: Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu x = x0 • • Biện luận theo m số cực trị hàm số • Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước • Cơng thức phương trình đường thẳng qua điểm cực trị • Cơng thức tính độ dài hai điểm cực trị Từ dạng toán thường gặp từ việc vận dụng cơng thức tính nhanh đưa hệ thống trắc nghiệm nhằm củng cố đồng thời giúp học sinh tiếp cận với tốn trắc nghiệm Thơng qua sáng kiến kinh nghiệm tơi mong muốn đóng góp phần cơng sức nhỏ bé việc hướng dẫn học sinh ứng dụng khai thác tốt toán cực trị hàm số bậc ba Đồng thời hình thành khả tư duy, sáng tạo, kỹ giải nhanh tốn trắc nghiệm, từ tạo hứng thú cho em học toán Tuy nhiên kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ thân cịn hạn chế nên tơi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Mạc Lương Thao 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh, Hướng dẫn ơn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2015-2016, Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Lê Hồnh Phị, 10 trọng điểm bồi dưỡng HSG, Nxb ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Duy Hiếu, Giải tốn giải tích 12, Nxb ĐH sư phạm [4] Nguyễn Thái Sơn, Giải toán THPT với máy tính cầm tay Fx-570VNPlus, Nxb ĐHSP TP Hị Chí Minh [5] Trần Phương, Hàm số, Nxb ĐHQG Hà Nội [6] Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa, Giải tốn câu hỏi giải tích 12, Nxb Giáo dục 24 ... ? ?i? ??m” học sinh Tuy nhiên, việc gi? ?i toán cực trị hàm số bậc ba nhanh hiệu ? ?i? ??u mà học sinh làm b? ?i cảnh kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 đ? ?i từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm Ng? ?i ra, việc trình... bày kiến thức SGK, SBT sách tham khảo, hệ thống tập dàn tr? ?i học sinh thường th? ?i gian gi? ?i tập phần Từ kinh nghiệm thân năm giảng dạy tìm t? ?i, tham khảo tổng hợp t? ?i liệu Tốn internet, t? ?i lựa... trắc nghiệm nhằm củng cố đồng th? ?i giúp học sinh tiếp cận v? ?i tốn trắc nghiệm Thơng qua sáng kiến kinh nghiệm t? ?i mong muốn đóng góp phần cơng sức nhỏ bé việc hướng dẫn học sinh ứng dụng khai