Mục tiêu là dạy cho học sinh biết khám phá, tìm tòi, khai thác bài toán theo những hướng tiếp cận khác nhau, không chỉ dừng lại ở một kết quả, một cách giải, mà còn phải biết đề xuất cách giải khác, một hướng phát triển bài toán mới – đó chính là mục tiêu hướng đến của đề tài này.
Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ: Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2 Ý nghĩa tác dụng đề tài 3 Phạm vi nghiên cứu II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH Cơ sở lí luận thực tiển Các biện pháp tiến hành B NỘI DUNG I MỤC TIÊU II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuyết minh tính Khả áp dụng 20 Lợi ích kinh tế xã hội 20 C KẾT LUẬN 21 Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp 21 Những triển vọng việc vận dụng phát triển giải pháp 21 Đề xuất, kiến nghị 21 NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG 24 Saùng kiến kinh nghiệm Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: A MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ: Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong nhà trường trung học sở nay, thầy cô giáo không ngừng đổi phương pháp dạy học việc tìm phương pháp hợp lí, phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh, thu hút học sinh chuyện đơn giản! Phương pháp dạy học giáo viên cịn nặng tính thuyết trình, giải thích sách giáo khoa, cịn bị động sách giáo khoa, chưa có gia cơng đáng kể để đề xuất phương pháp mới, dẫn đến học sinh tiếp thu kiến thức cách thụ động hội phát huy sáng tạo thân Đối với học sinh: khách quan cho thấy lực học tốn học sinh cịn nhiều thiếu xót đặc biệt q trình vận dụng kiến thức học vào tập thực tiễn Tỷ lệ học sinh yếu cao Tình trạng phổ biến học sinh làm tốn khơng chịu nghiên cứu kĩ tốn, khơng chịu khai thác huy động kiến thức để làm toán Trong trình giải suy luận thiếu luẩn quẩn Trình bày cẩu thả, tuỳ tiện … Vì yêu cầu đặt cải cách phải đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, tổ chức hướng dẫn giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tịi, phát hiện, giải vấn đề có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học vào tập thực tiễn Trong có đổi dạy, học mơn Tốn Trong q trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trường THCS, cần phải trọng đến việc khai thác phát triển cho tốn, khơng cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức dạng toán, mà nâng cao tính khái qt hố, đặc biệt hố tốn để từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho em học sinh Hơn nữa, việc liên kết toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung chúng giúp cho học sinh có hứng thú khoa học học Tốn Một điều kiện phát triển tư tích cực - độc lập - sáng tạo học sinh phát giải vấn đề từ vấn đề quen thuộc Trong trình công tác, thân không ngừng học tập, nghiên cứu vận dụng lý luận đổi vào thực tế giảng dạy Qua trình tập huấn, cộng tác đồng nghiệp đạo ban giám hiệu nhà trường tiến hành nghiên cứu vận dụng quan điểm vào cơng tác giảng dạy thấy có hiệu Xuất phát từ lý chọn đề tài “Phát triển tư tích cực, sáng tạo học sinh khá, giỏi thông qua việc xây dựng, khái quát mở rộng toán số học ”.Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn theo tinh thần đổi Sáng kiến kinh nghiệm Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: Ý nghĩa tác dụng đề tài Hình thành cho học sinh phương pháp suy luận khoa học, rèn luyện thao tác tư quan trọng tốn học như: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá, tương tự hoá, lật ngược vấn đề, quy lạ quen, … có thói quen dự đốn, tìm tịi, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh khác nhau, có lực phát vấn đề, giải vấn đề, đánh giá cách giải vấn đề đó, diễn đạt vấn đề có sức thuyết phục Ngồi mục đích trên, đề tài tài liệu tham khảo cho giáo viên trình đọc nghiên cứu tài liệu, giảng dạy bồi dưỡng mơn tốn Phạm vi nghiên cứu Khảo sát, đề xuất mở rộng tốn số học dạng tính tổng chương trình tốn THCS chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khá, giỏi lớp 6, 7, II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH Cơ sở lí luận thực tiển a Cơ sở lí luận: – Đặc điểm lứa tuổi THCS là: muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự khám phá, tìm hiểu trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy giáo Hoạt động dạy học tốn, giải tốn khó có điều kiện thuận lợi giúp cho việc hình thành phát triển tư tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh cách tốt – Tư tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh thể số mặt sau: + Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khn, máy móc + Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh + Phải có óc hồi nghi, đặt câu hỏi sao? Do đâu? Như nào? Liệu có trường hợp khơng ? Các trường hợp khác kết luận có khơng ? + Tính độc lập cịn thể chổ biết nhìn nhận vấn đề giải vấn đề + Có khả khai thác vấn đề từ vấn đề biết b Cơ sở thực tiễn: Qua nhiều năm giảng dạy, tơi thấy: – Học sinh yếu tốn kiến thức hổng, chưa thực nắm vững kiến thức, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư q trình học tập Sáng kiến kinh nghiệm Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: – Học sinh cịn thụ động, làm việc rập khn, máy móc để từ làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân – Học không đôi với hành làm cho em cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân không phát huy hết – Không học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao – Nhiều học sinh hài lòng với lời giải mình, mà khơng tìm lời giải khác, khơng khai thác phát triển toán, sáng tạo toán nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân – Một số giáo viên chưa thực quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo toán các luyện tập, tự chọn – Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ tốn với nhau, phát triển toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức, quan trọng nâng cao tư cho em làm cho em có hứng thú học tốn Trước thực trạng địi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp Các biện pháp tiến hành Để hoàn thành đề tài sử dụng kết hợp nhiều phương pháp cụ thể là: + Phương pháp đọc sách, nghiên cứu tài liệu + Phương pháp thực nghiệm + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm + Phương pháp trò chuyện + Phương pháp điều tra, trắc nghiệm Ngồi ra, tơi cịn sử dụng số phương pháp khác Sáng kiến kinh nghiệm Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: B NỘI DUNG I MỤC TIÊU Dạy cho học sinh biết khám phá, tìm tịi, khai thác tốn theo hướng tiếp cận khác nhau, không dừng lại kết quả, cách giải, mà phải biết đề xuất cách giải khác, hướng phát triển tốn mới- mục tiêu hướng đến đề tài II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuyết minh tính - Qua tốn mà học sinh giải được, tơi định hướng cho học sinh tư theo phương pháp như: Tương tự, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá để phát triển thêm vấn đề mới, tốn - Trong phần tơi xin phép phát triển từ toán quen thuộc để xây dựng số tốn khác có liên quan Nhằm làm cho học sinh thấy được, tầm quan trọng việc thay đổi giả thiết, tương tự hoá toán, liên hệ toán với toán khác có liên quan Bài tốn mở đầu: Tính tổng: S 1 2 3 4 99 100 Việc tính tổng S tốn hồn tồn quen thuộc, cách dựa vào cách tính nhà toán học Gauss sách giáo khoa toán tập Ta có: S 99 100 S 100 99 98 97 2S 101 101 101 101 101 101(có100 sốhạng) �S 100.101 5050 Từ tốn ta có nhận xét: 2S (100 1) (100 1) (100 1) (100 1) (100 1) �S (có 100 sốhạng) 100.(100 1) Như vậy: S 99 100 100.(100 1) Nếu mở rộng tổng với n số hạng ta có tốn sau: Bài tốn 1a Tính tổng: S 1 2 3 4 n 1 n ( n��) Dựa vào cách tính tổng tốn mở đầu ta dễ dàng có được: S 1 3 n 1 n Sáng kiến kinh nghiệm n(n 1) Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: Vấn đề ngồi cách tính ta cịn có cách tính khác hay khơng? Ta thử phân tích khác sau: 1.2 2.3 3 1 1 6 3.4 1 3 10 4.5 1 n(n 1) Ta chứng minh kết phương pháp quy nạp: Kiểm tra với n = ta có: Phải S 1 3 n 1 n S(1) = (đúng) n(n 1) k(k 1) với n = k, (k > 1) nghĩa là: S(k) 2 Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + tức: Giả sử S(n) S(k 1) 1 3 k k 1 (k 1)(k 2) Thật theo giả thiết quy nạp ta có: S 1 3 k k(k 1) k(k 1) (k 1)(k 2) (k 1) (đpcm) 2 Ở toán khoảng cách số hạng đơn vị Liệu tính tổng dãy số với khoảng cách số hạng cho trước tùy ý hay khơng? Ta thử làm tốn sau: Suy ra: S(k 1) 1 3 k (k 1) Bài tốn 1b Tính tổng: A = + + + +… + 2n B = + + + +… + (2n – 1) Nhận xét: * Tổng A tính cách dễ dàng nhờ cách phân tích: n (n 1) A 2 � 2n 2(1 3 � n) n(n 1) Sáng kiến kinh nghiệm Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 A B 1 3 � 2(n 1) 2n Do đó: Năm học: 2n(2n 1) n(2n 1) B n(2n 1) n(n 1) n2 * Tổng B tính cách khác dựa vào cách phân tích sau: 3 � 1 3� 4 2 � � �2 � 5 � 1 5� 9 3 � � �2 � 2 2 � 1 � 16 � � �2 � 7 2 1 � (2n 1) � 1 (2n 1) � � � n � � Tương tự ta có tốn: Bài tốn 1c Tính tổng: S 1 4 7 10 (3n 2) Có thể phát triển tốn dạng tổng qt sau đây: Bài tốn 1d Tính tổng: S a1 a2 a3 an Với ( a1 �0, an an1 d, n �2, d nguyên dương tùy ý) Theo đề ta có: a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d ………………………… an = an-1 + d = a1 + (n – 1)d Suy ra: S a1 a2 a3 an = na1 + d + 2d + 3d + 4d +…+ (n – 1)d n(a1 an ) (n 1)n d 2 * Tới lại xuất vấn đề liệu tính tổng dãy số với khoảng cách d thay đổi số hạng hay không ? Xuất phát từ việc phân tích tốn 1a, ta có: na1 [1 3 (n 1)]d na1 1 3 10 n(n 1) 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 2 2 Sáng kiến kinh nghiệm Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: Từ suy nghĩ trên, ta đề xuất tốn sau: Bài tốn 1e: Tính tổng: E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + n.(n+1) Ta cố gắng tìm cách phân tích để đưa tốn gần với toán cách sau đây: E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + n.(n+1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + 4.( 1+ 4) + ……+ n.(1 + n) = (1 + + + + + … + n) + ( 12 22 32 n ) Như để tính tổng E ta cần tính tổng: F = 12 22 32 n Việc nghiên cứu tốn 1e cho ta nhiều kết lí thú ta dành lại mục riêng, ta xét tốn sau: Bài tốn 2: Tính tổng: P(n) = 12+ 22 +32 + + n2 Dựa vào cách phân tích kết tốn 1để tính tổng ta lập bảng sau (Theo gợi ý nhà toán học Polya) n A(n) A(n) P(n) S(n) P (n) s(n) 1 1 2 3 14 4 16 30 10 5 25 55 15 6 36 91 21 3 11 13 Dựa vào bảng ta có: P ( n) 2.n n(n 1) = ; với S(n) = ( kết toán 1), suy ra: S ( n) P(n) = 2.n n( n 1) 2.n n(n 1)(2n 1) S(n) hay P(n) = = 3 Có kết ta dựa vào toán số 1a, sử dụng kết mối quan hệ S(n) P(n) để tính P(n) Cũng từ ta phát triển mở rộng để tốn sau : Bài tốn 2a Tính tổng : A = 22 + 42 + 62 + .+ (2n)2 B = 12 + 32 + 52 ……… + (2n – 1)2 Bằng cách làm tương tự toán 1b, ta thu kết sau : 2n(n 1)(2n 1) Mặt khác ta có: A = Sáng kiến kinh nghiệm Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 A B 12 22 33 2n Năm học: 2n(2n 1)(4n 1) n(2n 1)(4n 1) n(2n 1)(4n 1) n(2n 1)(4n 1) 2n(n 1)(2n 1) 4n3 n Và: B A 3 3 Có thể phát triển toán 2a dạng tổng quát sau đây: Bài toán 2b Tính tổng: C a12 a22 a32 an2 Với an an1 d ( a1 �0, d nguyên dương tùy ý) Ta dựa vào quy luật sau: a12 a12 a22 a1 d a32 a2 d a1 2d 2 an2 an1 d � a1 (n 1)d� � � 2 Suy ra: C a12 a22 a32 an2 na12 2da1[1 3 (n 1)] +d2[12 22 32 (n 1)2 ] (n 1)n (n 1)n(2n 1) d Áp dụng kết ta tính tổng sau nhanh chóng: Bài tốn 2c Tính tổng: =na12 2a1.d E 8 2n n(6n2 3n 1) n1 2 2 F 3 12 3.2n1 3(2n 1) (vớ i an an1.2; n�1) D 12 42 72 (3n 1)2 Bài tốn 3: Tính tổng sau: K(n) =13 + 23 + 43 + + n3 Ta dự đốn kết tốn dựa vào cách phân tích sau đây: 13 23 (1 2)2 13 23 33 36 (1 3)2 13 23 33 43 100 (1 3 4)2 n 3 3 �n(n 1) � (1 3 n) � � � � Sáng kiến kinh nghiệm Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: Qua việc khảo sát toán trên, nhu cầu tất yếu đặt tính tổng trường hợp tổng quát hay không ? Ta xuất phát từ tốn sau : Bài tốn : Tính tổng : S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + n(n + 1) Cách thứ 1: Như trình bày tốn 1e, ta có: S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + 4.( 1+ 4) + ……+ n.(1 + n) = (1 + + + + + … + n) + (12 + 22 + 32 + + n2) = n(n 1) + n(n 1)(2n 1) = n(n 1)(n 2) Cách thứ 2: Để tính A ta biến đổi A để xuất hạng tử đối Muốn ta cần tách thừa số hạng tử thành hiệu : a = b – c Với S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + n.(n +1) Nhân hai vế đẳng thức với ta được: 3.S(n) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 + 5.6.3 + …… + n.(n +1).3 = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4(5 – 2) + 4.5(6 – 3) + …+ n.(n +1)[ (n +2) – (n – 1)] Suy ra: 3.S(n) = n(n + 1)(n + 2) � S(n) n(n 1)(n 2) Nhận xét : Đặt : S2(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + n(n +1) S1(n) = + + + + n Ta liên hệ với tốn 1bằng cách nhân S1(n) với 2, thu được: S1(n) = 1.2 + 2.2 + 3.2 + + n.2 Do đó: S2(n) – 2.S1(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + n.(n – 1) Vế phải đẳng thức : S2(n) – n(n+1) Vì : S2(n) – 2.S1(n) = S2(n) – n(n+1) n(n 1) Nhận xét: Trong cách làm ta chưa tính S 2(n) lại tính tổng S1(n) Điều quan trọng gợi cho ta ý nghĩ muốn tính S 2(n) lại phải liên hệ với tổng tương tự khác Xét tổng S3(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n +1)(n +2) Suy : S1(n) Sáng kiến kinh nghiệm 10 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: Nhân S2(n) với 3, ta có: 3.S2(n) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3 + 5.6.3 + …… + n.(n +1).3 S3(n) – 3.S2(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+ ……………… + (n –1)n(n +1) = S3(n) – n(n +1)(n + 2) n(n 1)(n 2) S3(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + … + n.(n + 1).(n + 2) Do đó: : S2(n) Bài tốn 5: Tính tổng: n(n 1)(n 2)(n 3) Có thể phát triển tốn dạng tổng quát sau: Bằng cách tương tự ta tính được: S3 (n) Bài tốn 6: Tính tổng: Sk(n) = 1.2.…k + 2.3….(k + 1) + ……+ n (n + 1)……(n + k – 1) Bằng cách tương tự ta xét tổng: Sk+1(n) = 1.2.…(k + 1) + 2.3….(k + 2) + ……+ n (n + 1)……(n + k) Nhân Sk(n) với (k + 1) ta có: Sk+1(n) – (k+1) Sk(n) = Sk+1(n) – n (n +1)……(n + k) n(n 1) (n k) k 1 Một vấn đề đáng lưu ý áp dụng cách tính tưởng đơn giản lại cho ta kết quan trọng sau đây: Vì vậy: Sk (n) Bài tốn 7: Tính tổng : Tk(n) = 1k + 2k + 3k +……………+ nk Để tính tổng trên, ta lần theo lối suy luận quy nạp sau đây: Do : n( n + 1) = n2 + n , theo tốn 1e ta có : S2(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + n(n + 1) = (12 22 33 n ) + (1 + + + + + … + n) = T2(n) + Suy : T2 (n) S2 (n) S1(n) S1(n) n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1)(2n 1) Tương tự để tính T3(n) =13 + 23 + 33 + + n3 , ta xét S2(n) với ý rằng: (n – 1)n(n + 1) = n3 – n, Ta thấy: S3(n – 1) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+ ……………… + (n – 1)n(n +1) = (13 + 23 + 33 + + n3) – ( + + + + n ) Hay : 12 22 33 n2 Sáng kiến kinh nghiệm 11 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Suy ra: T3(n) S3(n 1) S1(n) Năm học: (n 1)n(n 1)(n 2) n(n 1) 2 �n(n 1) � Vậy : 2 n � � � � 3 3 Bằng cách tương tự ta tính Tk(n) biết T1(n), T2(n)… Tk-1(n) Sk(n) Bài tốn 8: Tính tổng : R(n) 1.22 2.32 3.42 n(n 1)2 Ta có: R(n) = 1.2.(3 – 1) + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5-1) + …+ n.(n+1)[(n+2) – 1] = [1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …+ n.(n+1).(n+2)] – [1.2 + 2.3 + 3.4 + ….+ n.(n+1)] n(n 1)(n 2)(n 3) = Bài tốn 9: Tính tổng sau: – n(n 1)(n 2) = n(n 1)(n 2)(3n 5) 12 F(n) 12.2 22.3 32.4 n (n 1) Ta có: F(n) = 1.1.2 + (1+1).2.3 + (1+2).3.4 +…+ [1+(n – 1)].n.(n+1) = [1.2 + 2.3 + 3.4 +… + n.(n+1) ] + [ 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n – 1).n(n+1)] = n(n 1)(n 2) + (n 1) n(n 1)(n 2) n(n 1)(n 2)(3n 1) = 12 1 1 Bài tốn 10: Tính tổng dãy số sau: B(n) 1.2 2.3 3.4 n(n 1) Ta phân tích sau: 1 1 1.2 1 2.3 1 3.4 1 n.(n 1) n n 1 1 1 n 1 Vậy: B(n) 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1 n 1 Có thể mở rộng dần tốn sau : Bài tốn 11: Tính tổng sau : C(n) Sáng kiến kinh nghiệm 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) 12 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 Nhận xét: 1.2.3 0913690645 Năm học: �1 � � � 2� 1.2 2.3 � 1 �1 � � � 2.3.4 �2.3 3.4 � 1 �1 � � � 3.4.5 �3.4 4.5 � � 1� 1 � � n(n 1)(n 2) �n(n 1) (n 1)(n 2) � C(n) � 1 1 �1 n(n 3) � � 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) �2 (n 1)(n 2) � 4(n 1)(n 2) Bài tốn 12: Tính tổng sau: D(n) 1 1 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n(n 1)(n 2).(n 3) Tương tự cách phân tích tốn 11, ta có: 1� 1 � � � 1.2.3.4 � 1.2.3 2.3.4 � 1� 1 � � � 2.3.4.5 �2.3.4 3.4.5 � 1� 1 � � � 3.4.5.6 �3.4.5 4.5.6 � � 1� 1 � � n(n 1)(n 2)(n 3) �n(n 1)(n 2) (n 1)(n 2)(n 3) � D(n) 1 1 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n(n 1)(n 2)(n 3) � 1� 1 n(n 6n 11) � � 3� 1.2.3 (n 1)(n 2)(n 3) � 18(n 1)(n 2)(n 3) Trên sở ta mở rộng đến tốn sau Bài tốn 13: Tính tổng sau: L(n) 1 1 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) Nhận xét: Sáng kiến kinh nghiệm 13 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 1.3 0913690645 Năm học: 1� 1� 1 � � 2� 3� 1 �1 � � � 3.5 �3 � 1 �1 � � � 5.7 �5 � 1� 1 � � � (2n 1)(2 n 1) �2n 2n � Cộng đẳng thức vế theo vế ta kết quả: L(n) 1 1 n 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2n Bài tốn 14: Tính tổng sau: M(n) 1 1 1.5 5.9 9.13 (4n 3)(4n 1) Tương tự tốn số 11 ta phân tích có quy luật sau: Nhận xét: 1� 1� � 1 � 1.5 4� 5� 1 �1 � � � 5.9 �5 � 1 �1 � � � 9.13 �9 13 � 1� 1 � � � (4n 3)(4n 1) �4n 4n � Cộng vế theo đẳng thức ta được: M(n) 1 1 n 1.5 5.9 9.13 (4n 3)(4n 1) 4n Từ kết tốn 13 14 ta tổng quát lên toán sau: Bài toán 15: Tính tổng: Q(n) Sáng kiến kinh nghiệm 1 1 a1a a 2a a 3a anan 1 14 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: Với: a1 1, a a1 a a a a a n 1 a n b (b số tự nhiên bất kỳ, b �0) Khi ta có kết sau: 1 1 n Q(n) a1a a 2a a 3a a n a n 1 a n 1 Cũng chứng minh kết theo Phương pháp quy nạp: 1 Với n = ta có: Q(n) (đúng) a1a 1.a a Giả sử mệnh đề với n = k, (k > 1) tức là: 1 1 k Q(n) (đúng) a1a a 2a a 3a a k a k 1 a k 1 1 1 k ka k2 (1) a1a a 2a a 3a a k a k 1 a k 1a k 2 a k 1 a k 1a k 2 a k 1a k 2 Ta có: Q(n) Mặt khác ta có: a1 a a1 b a3 a b a4 a3 b a k 1 a k b Cộng đẳng thức vế theo vế ta : a k a1 a k (k 1)b � a k (k 1)(a k a k 1 ) � ka k ka k 1 a k 1 a k 1 (k 1) Vì a1 b a k a k 1 ) Thay ka k a k 1 (k 1) vào (1) ta được: Q(n) 1 1 ka k k2 a1a a 2a a 3a a k a k 1 a k 1a k a k 1a k 2 a k 2 Hay mệnh đề n = k + Vậy theo quy nạp ta có: Q(n) 1 1 n (đpcm) a1a a a a 3a a n a n 1 a n 1 Một số ví dụ ứng dụng phương pháp tính tổng giải tốn tìm x Bài tốn 1a: Tìm số tự nhiên x biết: + + + + + x = 500500 Sáng kiến kinh nghiệm 15 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: Áp dụng tốn Gau – xơ ta có biểu thức nào? Trả lời ; x( x+ 1) : = 500500 Giải: + + + + + x = 500500 x( x+ 1) : = 500500 Suy : x(x+1) = 500500 = 1001000 = 1000 1001 Vì x x + hai số tự nhiên liên tiếp nên x = 1000 Bài tốn 1b: Tìm số tự nhiên x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + + ( x + 100) = 7450 Giải: ( x + 1) + ( x + 2) + + ( x + 100) = 7450 100x + ( + + 3+ + 100) = 7450 100 x + (100 + 1) 100 : = 7450 100 x + 5050 = 7450 ( Đưa toán dạng bản) 100 x = 7450 – 5050 100 x = 2400 x = 24 Bài toán 2: Tìm x, biết: 1 1 1 Từ toán tổng quát giáo viên yêu cầu học 12 20 30 42 56 72 90 x= sinh phân tích mẫu thành tích hai số tự nhiên x= 1 1 1 12 20 30 42 56 72 90 x= 1 1 1 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 x= 1 1 1 1 1 1 1 4 5 6 7 8 9 10 x= 1 10 x= 10 30 30 30 Bài tốn 2a: Tìm số ngun x, biết: 6 318 x 1 5.7 7.9 109.111 555 Sáng kiến kinh nghiệm 16 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: Khi gặp tốn học sinh thường lung túng với tử số phân số đầu phân số 318 555 Giáo viên gởi ý: Phân tích số = 2.3 sau nhóm số hạng 2 � 6 �2 = 3� 109.111� 5.7 7.9 109.111 �5.7 7.9 � Giải: 6 318 x 1 5.7 7.9 109.111 555 2 � 318 �2 3� x (Đến toán quy toán quen � 109.111� 555 �5.7 7.9 thuộc) 1 � 318 �1 1 3� x 1 � 109 111� 555 �5 7 318 �1 � 3� x 1 � 555 �5 111� 106 318 x 1 555 555 x =–1 Giáo viên lại tiếp tục mở rộng tốn : Bài tốn 2b: Tìm số nguyên x, biết: 1 1 2011 12 x(x 1) 2012 1 1 2011 12 x(x 1) 2012 1 1 2011 1.2 2.3 3.4 x x 2012 1 1 1 1 2011 2 3 x x 2012 2011 1 x 2012 2011 1 x 2012 2012 � x 1 2012 � x 2011 Sáng kiến kinh nghiệm 17 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: Từ toán giáo viên lại tiếp tục mở rộng tốn: Bài tốn 2c: Tìm số ngun x, biết: 1 1 2001 10 x(x 1): 2003 Giáo viên hướng dẫn cách giải : Biến đổi mẫu số x(x+1) : = x(x 1) 1 1 2001 x(x 1) 2003 10 � 2001 �1 1 2� Đến toán đưa dạng tập 6b x(x 1) � �3 10 � 2003 1 � 2001 �1 1 1 2� x x 1� �2 3 4 � 2003 � 2001 �1 2� � �2 x 1� 2003 1 2001 x 2003 2001 1 x 2003 2003 x + = 2003 x = 2003 – x = 2002 Bài tốn 2d: Tìm số ngun x, biết: 1 1 100 3.5 5.7 7.9 (2x 1)(2x 3) 609 Từ tốn học sinh tìm cách giải toán dễ dàng Giải: 1 1 100 3.5 5.7 7.9 (2x 1)(2x 3) 609 �1 1 1 1 � 100 � �3 5 7 (2x 1) 2x 3� � 609 �1 � 100 � �3 2x 3� � 609 Sáng kiến kinh nghiệm 18 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 � 100 �1 �3 2x 3� 609 : � � 0913690645 Năm học: 1 2x 203 2x + = 203 x = 100 Sau học sinh vững tất dạng tập , giáo viên đưa tập vận dụng cách giải tập �1 � 1 � � 462 � 2,04: x 1,05 � Bài tập 3: Tìm x, biết: � � �:0,12 11.13 13.15 19.21� Vì 1 11.13 13.15 19.21 �1 1 1 1� � �(Dạng tập 6) 2� 11 13 13 15 19 21� �1 � � � 2� 11 21� 231 Ta có: 462 � 2,04: x 1,05 � � �:0,12 19 ( Dạng tập 1) 231 20 - [2,04 : ( x + 1,05)] : 0,12 = 19 [2,04 : ( x + 1,05)] : 0,12 = 10 – [2,04 : ( x + 1,05)] : 0,12 = [2,04 : ( x + 1,05)] = 0,12 ( x + 1,05) = 2,04 : 0,12 ( x + 1,05) = 17 x = 17 – 1,05 x = 15,95 Các dạng tập tương tự Tìm số nguyên x, biết: a) 11 11 11 11 1 x 23.34 34.45 45.56 90.101 101 Sáng kiến kinh nghiệm 19 Trường THCS Nhơn Bình 0913690645 2016-2017 1 1 2009 1 b) 1 10 x(x 1) 2011 Năm học: Ngồi mục tiêu hướng đến đề dạy học cho học sinh biết khám phá, tìm tịi, khai thác tốn theo hướng tiếp cận khác nhau, khơng dừng lại kết quả, cách giải, mà biết đề xuất cách giải khác, hướng phát triển tốn Đề tài cịn giúp học sinh biết sử dụng phương pháp quy nạp toán học việc phát triển mở rộng cho toán số học Khả áp dụng – Việc phát triển từ toán quen thuộc để xây dựng số tốn có liên quan áp dụng rộng rãi tiết học bồi dưỡng học sinh giỏi cấp học trường THCS – Đối với giáo viên: Có thể sử dụng đề tài làm tài liệu tham khảo việc dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi Lợi ích kinh tế xã hội a Đối với học sinh – Với phương pháp học sinh hội phát huy tính tích cực, sáng tạo việc học tập mơn tốn nói riêng tất mơn học khác nói chung – Học sinh hình thành kỹ dự đốn suy luận có lý, dự đốn thơng qua quan sát, so sánh, khái quát, quy nạp phương pháp học tập khoa học, hiệu Tự lĩnh kiến khác khoa học nhiều khía cạnh khác phát triển kiến thức thành vấn đề b Đối với giáo viên – Với đề tài giúp cho giáo viên phần đổi phương pháp dạy học tốn, có nhiều ý tưởng sáng tạo việc khai thác phát triển vấn đề toán học dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi – Sau nghiên cứu áp dụng đề tài tơi nhận thấy bước đầu có kết khả quan Tôi nhận thức cần phải đổi việc dạy học bồi dưỡng mơn tốn, cần phải phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh – Qua việc nghiên cứu đề tài góp phần nâng cao trình độ chun mơn hiệu việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi mơn tốn trường THCS Sáng kiến kinh nghiệm 20 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: C KẾT LUẬN Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp – Trong đề tài tơi chọn lọc số tốn số học điển hình với nhiều cách giải, nhiều hướng phát triển mở rộng với mục đích giúp cho em học sinh tiếp cận toán, vấn đề tốn học khơng dừng lại kết quả, cách giải mà phải biết khai thác, mở rộng phát triển theo khía cạnh khác nhau, tạo nên kết hay hơn, đẹp Các khả tự nhiên xuất hiện, mà phải trải qua trình luyện tập, từ tốn đơn giản đến phức tạp, từ say mê, u thích tốn học, tiền đề tư sáng tạo – Trong trình giảng dạy, bồi dưỡng việc khai thác tốn khơng cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức dạng tốn mà nâng cao tính khái qt hố, đặc biệt hố tốn để từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho em học sinh Hơn nữa, việc liên kết tốn khác nhau, tìm mối liên hệ chung chúng giúp cho học sinh có hứng thú khoa học học toán Những triển vọng việc vận dụng phát triển giải pháp – Việc xây dựng, khái quát mở rộng tốn số học chương trình tốn THCS khơng dừng lại tốn số học dạng tính tổng mà hướng đề tài tiếp tục phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh qua việc khai thác mở rộng từ tốn đại số, hình học chương trình tốn THCS – Tơi huy vọng rằng, việc áp dụng tính đề tài góp phần gây hứng thú cho học sinh việc học mơn tốn bước nâng cao chất lượng, hiệu việc bồi dưỡng học sinh giỏi Đề xuất, kiến nghị Đối với cấp lãnh đạo: Cần khuyến khích giáo viên nghiên cứu chọn giải pháp hữu hiệu nhằm nâng cao chất lượng mơn học, đặc biệt mơn tốn nhà trường Động viên, giúp đỡ khen thưởng giáo viên có thành tích việc nâng cao chất lượng dạy học nhà trường Đối với giáo viên: Phải khơng ngừng đầu tư nghiên cứu tìm giải pháp nâng cao chất lượng giáo dục Phải không ngừng học tập nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ thân, tích lũy kinh nghiệm từ đồng nghiệp, biết cách áp dụng hợp lí phương pháp, chun đề tốn vào q trình giảng dạy thân – Cần nâng cao việc đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học sinh, đặc biệt việc dạy học bồi dưỡng mơn tốn Sáng kiến kinh nghiệm 21 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: – Việc rèn luyện cho học sinh kỹ dự đoán suy luận logic, khoa học, dự đoán, quan sát, so sánh, khái quát, quy nạp phương pháp học tập khoa học cần phải áp thường xuyên với tất đối tượng học sinh tất tiết học để đạt hiệu giáo dục ngày tốt Trong trình nghiên cứu đề tài này, thời gian thực ngắn nên không tránh sai sót, mong góp ý hội đồng khoa học để đề tài ngày hoàn thiện Giáo viên thực Trần Đình Hồng Sáng kiến kinh nghiệm 22 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng Chúng: Rèn luyện khả sáng tạo tốn học trường phổ thơng NXB TP.HCM 1993 Nguyễn Hữu Điển: Phương pháp quy nạp toán học NXBGD Hà Nội, 2000 Nguyễn Hữu Hoan: Lý Thuyết Số NXB ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Hà Nội, 2004 Nguyễn Hữu Hoan: Bài tập số học NXB ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Hà Nội, 2004 Nguyễn Hữu Hoan: Số học phổ thông NXB ĐH TCCN Hà Nội, 1986 Đặng Văn Hương- Nguyễn Chí Thanh: Một số phương pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực học tập học sinh THCS NXB ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Hà Nội, 2007 Nguyễn Tiến Tài: Cơ sở số học NXB ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Hà Nội, 2005 Vũ Hữu Bình: Nâng cao phát triển toán tập NXBGD Hà Nội, 2011 Sách giáo khoa, Sách tập Toán 6, Tập 1;2 NXB Giáo dục 10 Tuyển chọn 400 toán số học (Nguyễn Anh Dũng, NXB Đà Nẵng) 11 Phương pháp dạy học nội dung mơn Tốn (Phạm Gia Đức, NXB ĐHSP, 6/2007) 12 Học thực hành theo chuẩn kiến thức , kĩ năng, toán 6, tập 1;2(Đặng Nhơn, Tơn Nữ Bích Vân, NXB Giáo dục Việt Nam) 13 Bài tập cao số chuyên đề Toán 6( Bùi Văn Tuyên, NXB Giáo dục) 14 Toán nâng cao THCS, Toán 6, Tập 1;2( TS Vũ Thế Hựu, NXB, Giáo dục ) Sáng kiến kinh nghiệm 23 Trường THCS Nhơn Bình 2016-2017 0913690645 Năm học: NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG Sáng kiến kinh nghiệm 24 ... tài ? ?Phát triển tư tích cực, sáng tạo học sinh khá, giỏi thông qua việc xây dựng, khái quát mở rộng toán số học ”.Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn theo tinh thần đổi Sáng. .. hướng phát triển toán Đề tài giúp học sinh biết sử dụng phương pháp quy nạp toán học việc phát triển mở rộng cho toán số học Khả áp dụng – Việc phát triển từ toán quen thuộc để xây dựng số toán. .. pháp – Việc xây dựng, khái quát mở rộng toán số học chương trình tốn THCS khơng dừng lại tốn số học dạng tính tổng mà hướng đề tài tiếp tục phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh qua việc khai