Sáng kiến kinh nghiệm: Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm dựa trên nội dung kiến thức phần tích phân lớp 12

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN TÊN SÁNG KIẾN XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DỰA TRÊN NỘI DUNG KIẾN THỨC PHẦN TÍCH PHÂN LỚP 12 Đồng tác giả: Phạm Thành Trung – Tổ trưởng chun mơn tổ Tốn – Tin trường THPT Nho Quan B Bùi Việt Hùng – Phó hiệu trưởng trường THPT Nho Quan B Lê Hồng Thi Sỹ - Giáo viên Tốn trường THPT Nho Quan B Nho Quan, tháng 04 năm 2019 ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình I Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tơi gồm: Tỷ lệ % TT Họ tên Nơi Chức công tác danh Trình độ đóng góp chun vào việc mơn tạo Ghi sáng kiến Tổ Phạm Thành Trung Bùi Việt Hùng Lê Hoàng Thi Sỹ THPT Nho trưởng Quan B chuyên THPT Nho Quan B THPT Nho Quan B Đại học 40% Thạc sỹ 30% chun Thạc sỹ 30% mơn Phó hiệu trưởng Tổ phó môn Tác giả Đồng tác giả Đồng tác giả Là đồng tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Xây dựng hệ thống tập trắc nghiệm dựa nội dung kiến thức phần tích phân lớp 12” II Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục (Giảng dạy mơn Tốn cấp THPT) III Nội dung sáng kiến Thực trạng giải pháp cũ thường làm - Hạn chế giải pháp cũ 1 Thực trạng Trong chương trình tốn THPT tốn tích phân ln tốn khiến học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng Các tốn chương trình SGK lớp 12 hành viết cịn sơ sài chủ yếu dừng lại mức độ thông hiểu Các dạng tập sách viết theo dạng tự luận, cần có lời giải tường minh để đến kết MTCT có chức tính xác kết số tích phân sử dụng để kiểm tra kết tốn tính tốn tích phân Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 năm 2018 đề thi minh họa Bộ giáo dục Đào tạo hai năm vừa qua, nội dung đánh giá mức độ vận dụng, vận dụng cao Các tốn tính tốn tích phân thường trải theo mức độ khác đề thi Ở mức độ nhận biết thơng hiểu tốn trình bày có nhiều đường tiếp cận Tuy nhiên toán thuộc mức độ vận dụng vận dụng cao tốn ngun hàm, tích phân ứng dụng khai thác cách khéo léo vận dụng nhiều kiến thức có liên quan Để giải tốn học sinh khơng phải nắm kiến thức nguyên hàm tích phân, ý nghĩa , giải thành thạo tốn mà cịn phải sử dụng cơng cụ, tính chất liên hệ để làm tập Theo thống kê 80% học sinh trường THPT Nho Quan B tham gia thi đại học không giải toán thuộc mức độ vận dụng vận dụng cao dạng tốn Bên cạnh với dạng tập đòi hỏi học sinh phải tư duy, phân tích, nhìn nhận tốn nhiều góc độ khác nhau, biết vận dụng nhiều kiến thức liên quan Bên cạnh qua nghiên cứu thực hành giảng dạy lớp nhóm tác giả sáng kiến nhận thấy toán đề thi cần vận dụng thành thạo kiến thức phương pháp trình bày SGK đến lời giải cách tự nhiên Giải pháp cũ thường làm Trong sách giáo khoa hành nội dung tập liên quan sơ sài, chưa định hướng lời giải cho học sinh Các toán dừng lại mức độ vận dụng trực tiếp lý thuyết vào giải trực tiếp, chưa có gắn kết logic dạng toán Các toán cho dạng tự luận đáp số tìm việc sử dụng máy tính cầm tay Nội dung tập đơn dừng lại khuôn khổ tốn tính ngun hàm tích phân mà chưa có gắn kết tốn kỹ vận dụng cơng thức ý nghĩa hình học Các tập SGK Sách tập chủ yếu rèn kỹ tính tốn biến đổi Với hệ thống tập vậy, học sinh cần luyện tập làm nhiều tập giải Tuy nhiên vấn đề đặt học sinh làm tập thường có lời giải theo dạng tốn cố định lớp tích phân đa thức, hữu tỷ, thức, lượng giác, mũ logarit Và gặp dạng toán tương tự đại phận em suy nghĩ hướng đến lời giải theo lối mòn định sẵn Điều giúp em việc rèn kỹ trình bày hệ thống phần kiến thức Tuy nhiên với việc giải nhiều dạng làm cho em tư duy, sáng tạo việc hình thành tiếp nhận kiến thức 3 Hạn chế giải pháp cũ - Với việc đưa hệ thống dạng toán cố định mặc định sẵn phương pháp giải tương ứng khiến học sinh vất vả việc nhớ dạng toán phương pháp tương ứng cho dạng - Trong tập khác đề cho không dạng chuẩn học sinh cách định hướng tìm lời giải - Khi thực theo giải pháp cũ hầu hết học sinh khơng làm tốn mà yếu tố đề cho dạng suy luận - Hệ thống tập chưa thực phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Bài tập nặng yếu tố ghi nhớ tính tốn theo cơng thức không phát huy lực sáng tạo người học Việc khắc sâu đặc điểm tính chất phát triển kiến thức học việc sử lí tình toán cụ thể gặp nhiều hạn chế - Trong đề thi THPT Quốc gia năm 2017 năm 2018 đề minh họa giáo dục cho hai năm vừa qua toán vận dụng vận dụng cao nguyên hàm tích phân đòi hỏi học sinh phải định hướng, tư duy, phân tích kiện giả thiết kết hợp với kiến thức học để làm áp dụng giải pháp cũ đại phận học sinh không làm tập thuộc dạng - Theo xu dạy học mới, giải pháp cũ bộc lộ nhược điểm rõ rệt, khơng phát huy tính chủ động, sáng tạo học sinh trình giải tốn Bên cạnh với việc cung cấp q nhiều dạng toán phương pháp tài liệu khiến học sinh phải chịu áp lực lớn trình học tập, phải ghi nhớ lượng kiến thức lớn Điều khiến em sáng tạo hứng thú học tập Đặc biệt để làm tập theo dạng học sinh phải nhớ nhiều công thức đại lượng liên hệ cách máy móc Với cách tiếp cận toán giải pháp cũ học sinh thụ động Trong trình làm tập học sinh khơng tìm đượchứng thú tự giác Học sinh không nghĩ suy độc lập sáng tạo Những giải pháp ưu điểm giải pháp Những nội dung giải pháp - Sáng kiến hình thành theo dạng chủ đề dạy học Hệ thống lý thuyết trình bày cách đọng ngắn gọn Các dạng tập xây dựng cách hệ thống, có phân chia mức độ Bài tập thiết kế theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh có khả phát huy hết lực thân - Trình lại hệ thống kiến thức chương trình sách giáo khoa mà tối thiểu học sinh cần nắm Mỗi phần kiến thức học sinh tiếp nhận có dạng tập vận dụng với mức độ yêu cầu khác để học sinh luyện tập - Nêu định hướng số phương pháp để giải tập đề thi đại học với kiến thức Giúp học sinh vận dụng trực tiếp kiến thức học vào sử lý toán liên quan, hình thành đường tư liên tục kỹ vận dụng kiến thức vào tình cụ thể - Trong trình hình thành lời giải có phân tích cách tư đường tìm lời giải sở giả thiết từ giúp học sinh tạo thói quen tư liên kết gặp toán lạ - Phân tích lời giải tư để hình thành đường đến lời giải cách tự nhiên Liên kết dạng toán giúp học sinh hình thành suy luận hợp lý, tổng quát toán theo nhiều hướng khác - Các tốn nhóm tác giả chia theo trình tự nội dung kiến thức trình bày sách giáo khoa để đảm bảo cho học sinh dễ dàng tiếp cận từ cung cấp kiến thức lý thuyết Bài tập ví dụ minh họa xếp theo hệ thống kiến thức phân dạng mức độ từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng vận dụng cao Do học sinh dễ dàng tiếp cận kiến thức vận dụng trực tiếp kiến thức vào mức độ khác toán Bên cạnh việc hướng dẫn chi tiết lời giải tác giả đưa nhận xét, phân tích đường đến lời giải cách hợp lý nêu suy luận dựa kiến thức học vận dụng vào tình cụ thể Điều ngồi việc giúp học sinh tìm đường lối tư giải tập giúp em tự tư tìm đường hợp lý cho toán khác Dưới sơ đồ minh họa nội dung kiến thức tốn tính tích phân SGK dạng toán xây dựng dựa sở kiến thức SƠ ĐỒ MINH HỌA NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN 2 Những ưu điểm giải pháp - Giải pháp nhằm giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trình học tập: Kiến thức cần thiết nằm khuôn khổ sách giáo khoa hành, nhớ q nhiều dạng tập cách máy móc, khơng phải tốn trình mua tài liệu tham khảo - Khi tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh tự chủ động tìm lời giải độc lập cho toán dựa lượng kiến thức có sẵn Do học sinh chủ động linh hoạt trước toán áp đặt theo khuôn mẫu định sẵn - Giáo viên dựa vào kết quen thuộc sách giáo khoa đề cho học sinh cách chủ động không trùng lặp - Các giải pháp nêu sử dụng phần lớn kiến thức mà học sinh học lớp Sự liên kết phần kiến thức với định hướng ban đầu khiến cho toán trở nên quen thuộc dễ tiếp cận Việc vận dụng cách phù hợp vào toán cụ thể tạo mẻ quen thuộc với học sinh Các tập vận dụng giải pháp toán xuất tài liệu tham khảo Đề thi đại học năm gần tiếp cận cách hoàn toàn mẻ đồng thời gần gũi với mức độ suy luận em học sinh IV Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt Hiệu kinh tế: - Học sinh sử dụng nhiều tài liệu việc sử dụng phương pháp khác Có thể tự sáng tạo giải toán khác theo phương pháp Thời gian nghiên cứu học tập tương đối phù hợp Các em học sinh dựa vào phân tích tốn sáng kiến để tìm lời giải cho tốn khác, tránh tình trạng học thêm tràn lan vừa tốn vừa không mang lại hiệu cao Hiệu xã hội - Sáng kiến mang tính thực tiễn cao: Kiến thức vừa phải, phù hợp với đại phận học sinh Là tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh bạn đồng nghiệp - Trong kì thi THPT quốc gia năm 2017, năm 2018 đề minh họa giáo dục, chủ đề liên quan đề cập đến sử dụng phương pháp nêu sáng kiến - Sáng kiến áp dụng qua hoạt động giảng dạy nhóm tác giả, đồng nghiệp, lớp ơn thi THPT Quốc gia, bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT Nho Quan B bước đầu có kết đáng kể - Các hoạt động mà sáng kiến đề cập giúp đỡ nhiều cho giáo viên việc dạy học theo phương pháp mới, nhằm đổi phương pháp dạy học Cũng nhờ hoạt động xác định, giáo viên sử dụng tài liệu tham khảo, giúp cho giáo viên giảm bớt nhiều công sức việc soạn bài, chuẩn bị lên lớp - Việc áp dụng sáng kiến hoạt động dạy học giúp học sinh hình thành tư duy, khả vận dụng Sáng kiến cho thấy việc học nghiên cứu kỹ nội dung sách giáo khoa cần thiết cho học sinh trình học tập V Điều kiện khả áp dụng: Sáng kiến: “Xây dựng hệ thống tập trắc nghiệm dựa nội dung kiến thức phần tích phân lớp 12” mà nhóm tác giả trình bày dễ dàng áp dụng thực tế, phù hợp với giáo viên, học sinh trung học phổ thơng Khơng hữu ích với học sinh ơn thi đại học mà hiệu với học sinh đại trà khác, giúp em nâng cao khả tư giải vấn đề liên quan Sáng kiến nhóm tác giả sử dụng trình giảng dạy, tài liệu tham khảo cho em học sinh, thầy q trình ơn thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc gia trường THPT Nho Quan B áp dụng cho trường THPT tỉnh Qua sáng kiến cho thấy tốn tích phân tiếp cận với nhiều đối tượng học sinh, với tảng kiến thức giới hạn nội dung chương trình sách giáo khoa hành Do khả áp dụng sáng kiến vào thực tế khả quan dễ thực VI Hiệu áp dụng: Trong q trình giảng dạy tơi hướng dẫn cho học sinh nắm ý tưởng bản, thuật toán thường dùng việc giải tốn liên quan cơng thức tích phân đặc biệt với dạng tốn mà hình thức cho ta nghĩ đến hướng giải đường khác Việc tìm nhiều lời giải cho toán với vận dụng khai thác tính chất cho từ giả thiết để tìm đường cho lời giải toán quan trọng Thơng qua việc phân tích hướng tìm tịi suy nghĩ khác cho đề toán nhằm rèn luyện cho em học sinh khả tư thông qua cách tiếp cận phát mối liên hệ đại lượng, phát tính chất hướng giải đặc trưng cho loạt tập dạng Mấu chốt quan trọng tốn tích phân theo xu biết khai thác triệt để giả thiết, vận dụng yếu tố có mặt giả thiết tính chất cho giả thiết xây dựng nên mối quan hệ đại lượng liên quan Từ tìm đường giải toán Khi tiếp cận với phương pháp số em học sinh giỏi cảm thấy thích thú, ham mê tìm tịi phát đưa đến cách giải sáng tạo linh hoạt nhiều Các em bó buộc suy nghĩ, phải cố gắng để nhớ nhiều dạng toán, đặc điểm hàm số cần tính tích phân mà cần nắm vững tốn SGK Thơng qua tiết dạy lớp, tiết ôn tập triển khai nội dung sáng kiến hầu hết học sinh nhiệt tình tham gia Đặc biệt trình xây dựng hình thành nên lời giải tốn, em chủ động sáng tạo Điều cho thấy việc áp dụng sáng kiến q trình giảng dạy góp phần vào việc đổi phương pháp giảng dạy Tuy nhiên đối tượng áp dụng sáng kiến học sinh thuộc khu vực miền núi, trình độ cịn hạn chế Bên cạnh với thời lượng lớp có hạn, trình độ nhận thức đại phận học sinh cịn hạn chế việc áp dụng phương pháp nhiều nhược điểm chưa mang lại hiệu cao mong muốn VII: Kết luận kiến nghị I Kết luận: Trên số toán cách giải số dạng tập tích phân phép tốn phương páp tính tích phân mà chúng tơi học hỏi đúc rút trình giảng dạy trường THPT Nho Quan B Sáng kiến mảng áp dụng phương pháp tốn tính tích phân Ngồi phương pháp nêu cịn có nhiều phương pháp khác để tiếp cận toán Sáng kiến thực bước đổi trình hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu Khi triển khai sáng kiến áp dụng cho học sinh thuộc lớp giảng dạy tạo niềm tin, say mê hứng thú cho em học sinh Các em học sinh chủ động sáng tạo việc phân tích tốn, dự đốn tính chất định hướng lời giải cho tốn Sáng kiến áp dụng năm học giảng dạy lớp 12, học sinh đồng tình đạt số kết quả, đặc biệt tốn có vận dụng tính chất liên quan khai thác trực tiếp từ giả thiết Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 12 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số học sinh hiểu có kỹ giải dạng tốn nói ` Như tơi thấy phương pháp có hiệu tương đối tốt Theo tơi dạy phần tốn tích phân ứng dụng giáo viên cần hướng đến cho học sinh nhiều hướng tiếp cận khác nhau, đồng thời phân tích cho học sinh thấy rõ khó khăn hạn chế cách tiếp cận Thông qua hình thành cho học sinh lực phát vấn đề thông qua kiện tốn Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Chúng mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý Xin chân thành cảm ơn Kiến nghị đề xuất: - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều hoạt động trao đổi chun mơn dạng hoạt động theo chuyên đề, nhằm bước nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ cho thầy cô giáo trình độ nhận thức cho em học sinh - Nhà trường cần tổ chức bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập Xin chân thành cám ơn! Nho Quan, ngày tháng năm 2019 Xác nhận nhà trường Các tác giả Phạm Thành Trung Bùi Việt Hùng Lê Hoàng Thi Sỹ 10 ⇔∫ d ( f ( x) ) f ( x) =∫ 2 dx ⇔ ln f ( x ) = 3x + + C ⇔ f ( x ) = e 3 3x + x +1 + C Mà f ( 1) = nên e +C = ⇔ C = − Suy f ( ) = e ≈ 3, 794 Vậy < f ( ) < Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 1; 4] , đồng biến đoạn [ 1; 4] thỏa mãn đẳng thức x + x f ( x ) =  f ′ ( x )  , ∀x ∈ [ 1; 4] Biết f ( 1) = , tính 2 I = ∫ f ( x ) dx ? A I = 1186 45 B I = 1174 45 C I = 1222 45 D I = 1201 45 Hướng dẫn: Đáp án: A Mức độ: Vận dụng f ′( x) ⇒ = x , ∀x ∈ [ 1; 4] ′ x + x f x ′ ⇒ x + f x = f x ( ) =  f x  ( ) ( ) Ta có  ( ) 1+ f ( x) Suy f ′( x) ∫ dx = ∫ xdx + C ⇔ ∫ 1+ f ( x) df ( x ) 1+ f ( x) dx = ∫ x dx + C  32   x + ÷ −1 ⇒ + f ( x ) = x + C Mà f ( 1) = ⇒ C = Vậy 3 3 f ( x) =  Vậy I = ∫ f ( x ) dx = 1186 45 f Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R thỏa mãn f ′ ( x ) e f ( ) = Tích phân ( x ) − x −1 ∫ x f ( x ) dx A I = 45 B I = 15 C I = Hướng dẫn: Đáp án: A 47 D I = − 2x = f ( x) Mức độ: Vận dụng f Ta có f ′ ( x ) e ( x) = ex ( x) = ex Suy e f Do e f Vậy ∫ ( x ) − x −1 2x = ⇔ f ( x ) f ′ ( x ) e f ( x ) = x.e x2 +1 f ( x) +1 + C Mặt khác, f ( ) = nên C = +1 ⇔ f ( x ) = x2 + ⇔ f ( x ) = x2 + 2 − x f ( x ) dx = ∫ x x + dx = ∫ 45 x + d ( x + 1) = ( x + 1) x +  = 0 8 Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0; π ] thỏa mãn f ( ) = f ( x ) f ′ ( x ) = cos x + f ( x ) , ∀x ∈ [ 0; π ] với x ∈ [ 0;1] Tích phân A I = + 7π B I = 7π −8 C I = 11π −8 π ∫ f ( x ) dx D I = + 11π Hướng dẫn: Đáp án: A Mức độ: Vận dụng Ta có: f ( x) f ′( x) 1+ f ( x) = cos x ⇒ ∫ f ( x) f ′( x) 1+ f ( x) dx = ∫ cos xdx = sin x + C d ( f ( x ) ) = sin x + C ⇔ + f ( x ) = sin x + C Do đó: ∫ 1+ f ( x) Đối chiếu điều kiện: f ( ) = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = ( sin x + ) − π Vì ∫ π 7π f ( x ) dx = ∫ ( sin x + ) − 1 dx = +   2.3 Các toán sử dụng phép tích phân phần: Với tốn đặc điểm xuất đồng thời biểu thức dạng tích kết hợp với xuất đại lượng dạng u ( x); u '( x) Do với dạng tốn ta cần sử dụng thích hợp phép đặt phần Tuy nhiên số toán phức tạp cần phải kết hợp phương pháp với phương pháp nêu phần cách hợp lý Sau ta xét số ví dụ cụ thể 48 Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn 1 0 ∫ x ( f ′ ( x ) − ) dx = f ( 1) Giá trị I = ∫ f ( x ) dx A I = −1 B I = C I = D I = −2 Hướng dẫn: Đáp án: A Mức độ: Thông hiểu u = x du = dx ⇒ v = f ( x ) − x dv = ( f ′ ( x ) − ) dx Đặt  1 Khi f ( 1) = ∫ x ( f ′ ( x ) − ) dx = x ( f ( x ) − x ) − ∫ ( f ( x ) − x ) dx = f ( 1) − − I + 1 0 Suy I = −1 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) có có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn 1 0 ∫ x ( f ′ ( x ) − ) dx = f ( 1) Giá trị I = ∫ f ( x ) dx A I = −2 B I = −1 C I = D I = Hướng dẫn: Đáp án: A Mức độ: Thông hiểu u = x du = dx ⇒ v = f ( x ) − x dv = ( f ′ ( x ) − ) dx Đặt  1 Khi f ( 1) = ∫ x ( f ′ ( x ) − ) dx = x ( f ( x ) − x ) − ∫ ( f ( x ) − x ) dx = f ( 1) − − I + 0 Suy I = −2 Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn ∫ f ( x − 1) dx = 1 ∫ xf ′ ( x ) dx = 2; f ( 1) = 16 Tính A I = 20 B I = π I = ∫ cos xf ( 3sin x ) dx C I = 49 14 D I = 16 Hướng dẫn: Đáp án: A Mức độ: Vận dụng π Ta có: I = cos xf ( 3sin x ) dx ∫ Đặt t = 3sin x ⇒ dt = cos xdx Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = π ⇒t =3 π 30 Vậy I = cos xf ( 3sin x ) dx = f ( t ) dt ∫ ∫ Xét ∫ f ( x − 1) dx = 1 Đặt t = x − ⇒ dt = dx Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = ∫ f ( x − 1) dx = ⇒ Xét 3 f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( t ) dt = 12 ∫1 1 ∫ xf ′ ( x ) dx =  du = dx u = x  ⇒ Đặt   dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  2 2  xf ( x )  ÷ − ∫ f ( x ) dx = 2 0 ∫ xf ′ ( x ) dx = ⇒  2 20 Vì f ( 1) = 16 ⇒ − f ( x ) dx = ⇒ f ( x ) dx = ∫ ∫ 1 ⇒ ∫ f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( t ) dt = 20 I= 3  1 1 20 f t dt = f t dt + f ( t ) dt ÷ = ( 12 + ) = ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ 30 3  50 Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10 f ( 1) − f ( ) = Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = −8 C I = B I = −12 D I = 12 Hướng dẫn: Đáp án: A Mức độ: Thông hiểu u = x + du = dx ⇒ dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) Đặt  1 Khi 10 = ∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = ( x + 1) f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( 1) − f ( ) − I 0 Suy I = −8 Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn f ( ) = 16; ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ xf ′ ( x ) dx A I = B I = 13 C I = 14 D I = 12 Hướng dẫn: Đáp án: A Mức độ: Thông hiểu du = dx u = x  ⇒ Đặt  dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )  1 1 1 Khi I = ∫ xf ′ ( x ) dx = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( ) − ∫ f ( x ) dx = − = 40 20 0 Suy I = Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thoả mãn f ( x ) + f ( − x ) = x ( − x ) , ∀x ∈ ¡ f ( ) = Tính x ∫ xf ′  ÷ dx 51 A I = − 10 B I = 20 C I = − 10 D I = − 20 Hướng dẫn: Đáp án: A Mức độ: Thông hiểu Từ giả thiết f ( x ) + f ( − x ) = x ( − x ) , ∀x ∈ ¡ ⇒ f ( 1) = Ta có: ∫ 1 0 f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) dx = ∫ x ( − x ) dx =  x Gọi I = ∫ xf ′  ÷dx , Đặt 2 1 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 20 40 u = x du = dx   x ⇒    x dv = f ′  ÷dx v = f  ÷       2 1  x  x  x x Nên I = xf  ÷ − 2∫ f  ÷dx = f ( 1) − ∫ f  ÷dx = −2 ∫ f  ÷dx = −4∫ f ( t ) dt = − 10 2 0 2 2 2 0 2.4 Một số sai lầm sáng tác toán tích phân hàm khơng tường minh: Trong phần tác giả đề cập đến số sai lầm thường gặp cách thức đề với hàm số không tường minh Trong đề thi thử, tài liệu tham khảo xuất toán Mong trao đổi bổ sung thêm a Sai lầm tính liên tục nguyên hàm: Sai lầm chưa nắm vững tồn hàm số khác tập hợp khơng liên tục Ví dụ : Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ \ { 0} , thỏa mãn f ′ ( x ) = , f ( 1) = a x + x5 f ( −2 ) = b Tính f ( −1) + f ( ) A f ( −1) + f ( ) = a + b B f ( −1) + f ( ) = a − b C f ( −1) + f ( ) = −a − b D f ( −1) + f ( ) = b − a Lời giải sai: Chọn A Ta có f ′ ( − x ) = Do ∫ −2 ( −x) + ( −x) f ′ ( x ) dx = ⇔ −1 ∫ −2 =− = − f ′ ( x ) nên f ′ ( x ) hàm số lẻ x + x5 f ′ ( x ) dx = − ∫ f ′ ( x ) dx Suy f ( −1) − f ( −2 ) = − f ( ) + f ( 1) ⇒ f ( −1) + f ( ) = f ( −2 ) + f ( 1) = a + b 52 Nhận xét: Nếu đọc qua ta nhận thấy giải tương đối hợp lý kết đáp án A Tuy nhiên suy xét kỹ vấn đề ta nhận thấy ta ln chọn hàm số để đảm bảo phương án Ta có f ( x) hàm số thỏa mãn yêu cầu toán  f ( x) + C1 = f1 ( x); x > f ( x) + C =   f ( x) + C2 = f ( x ); x < Vì f (1) = a ⇒ f (1) + C1 = a f (−2) = b ⇒ f (−2) + C2 = b Do hiển nhiên ta tìm số C1 ; C2 để đảm bảo cho tất đáp án sai Sai lầm lập luận f ( x) hàm chẵn Thực hàm f ( x) hàm số chẵn C1 = C2 tốn cho C1 = C2 b Sai lầm tồn hàm số: Sai lầm thường gặp tốn sử dụng tính chất đặc biệt hàm số Các tính chất hàm số thực khơng tồn Ví dụ: Cho hàm số f ( x) liên tục [ 0; 2] thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f ( − x ) = x Tính giá trị tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = D I = −4 Lời giải sai: Chọn A 2 0 Từ f ( x ) + f ( − x ) = x ⇒ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) dx = ∫ xdx =4 (*) Đặt u = − x ⇒ du =− dx ; Với x = ⇒u = x = ⇒ u = Suy ∫ f ( − x ) dx = ∫ f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx 2 0 Thay vào (*), ta ∫ f ( x ) dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx = Nhận xét: Lời giải mặt lý thuyết hồn tồn xác Tuy nhiên để ý ta thấy khơng có hàm số thỏa mãn giả thiết toán Ta thấy với x = f (0) + f (2) = với x = ta có f (0) + f (2) = từ thấy khơng có hàm số thỏa mãn u cầu giả thiết 53 c Sai lầm tính hàm số: Sai lầm thường xuất phát toán mà phép đặt ẩn phụ khơng đảm bảo tính đơn điệu hàm số phép đặt ẩn phụ Ví dụ: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) − f ( x ) + f ( x ) = x , " x Ỵ ¡ 30 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = 72 Lời giải sai: B I = 36 C I = 144 D I = 96 Chọn B 2 Đặt y = f ( x ) ⇒ x = y − y + y ⇒ dx = ( y − y + 1) dy Đổi cận: với x = ⇒ y − y + y = ⇒ y = x = 30 ⇒ y − y + y = 30 ⇔ y = 30 0 Khi I = ∫ f ( x ) dx = ∫ y ( y − y + 1) dy = 72 Nhận xét: Sai lầm toán xuất phát từ phép đặt y = f ( x) không đảm bảo tính đơn điệu cận số PHẦN III ĐỐI CHỨNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm kiểm tra tính khả thi hiệu số hệ thống câu hỏi tập xây dựng nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Qua việc tiến hành thực nghiệm, so sánh đối chiếu kết từ rút học, điều chỉnh hợp lý nội dung kiến thức phương pháp giảng dạy theo định hướng phát huy lực học sinh Nội dung thực nghiệm Dạy thử nghiệm số hệ thống câu hỏi tập xây dựng phần đầu sáng kiến theo hướng phát huy tính tích cực học sinh, tạo hứng thú để học sinh chủ động tiến hành hoạt động tư tương tự hóa, tổng quát hóa … từ bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh THPT Đối tượng thực nghiệm: a Nhóm đối tượng học sinh giỏi: Học sinh lớp 12 trường THPT Nho Quan B Số lượng học sinh lớp 35 Lớp thực nghiệm 12B, lớp đối chứng 12D 54 Trình độ nhận thức hai lớp đánh giá tương đương Hai lớp học gồm em học sinh có học lực b Nhóm đối tượng học sinh đại trà: Học sinh lớp 12 trường THPT Nho Quan B Số lượng học sinh lớp 35 Lớp thực nghiệm 12M, lớp đối chứng 12N Trình độ nhận thức hai lớp đánh giá tương đương Hai lớp học gồm em học sinh có học lực yếu học sinh có học lực trung bình Đặc điểm đối tượng thực nghiệm: Là học sinh khu vực nông thôn, vùng sâu Điều kiện kinh tế cịn khó khăn Học sinh có điều kiện tiếp xúc với Internet mạng xã hội việc tiếp cận kiến thức cịn khó khăn Đánh giá thực nghiệm a) Kiểm tra Sau hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá kết thực nghiệm tác giả tiến hành cho học sinh bao gồm hai đối tượng: Lớp học sinh có chất lượng gồm hai lớp 12B, 12D (được đánh giá tương đương nhau) lớp học sinh có chất lượng yếu trung bình gồm hai lớp 12M; 12N (được đánh giá tương đương nhau) làm kiểm tra 45 phút với đề kiểm tra Nội dung ma trận đề kiểm tra sau: * Ma trận mơ tả dạng tốn mức độ tương ứng nội dung kiểm tra: MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA PHẦN TÍCH PHÂN STT Bài (chủ đề) Định nghĩa tính chất tích phân Các phép tốn tích phân Phương pháp đặt ẩn phụ tích phân Phương pháp tích phân phần Kết hợp phương pháp Thời gian: 45 phút Số câu theo mức độ nhận thức NB TH VD VDC TN TN TN TN Tổng số câu điểm 1.6 2.4 2 2 2.8 2 1 2.4 0.8 25 10.0 tính tích phân Tổng Tổng * Đề kiểm tra: 55 TRƯỜNG THPT NHO QUAN B BÀI KIỂM TRA KIẾN THỨC VỀ TÍCH PHÂN TỔ TỐN - TIN Thời gian làm bài: 45 phút không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 25 câu trang 11 Câu Biết ∫ −1 A I = 10 ) B I = Câu Cho ( f ( x ) dx = 18 Tính I = ∫ x + f ( x − 1) dx ∫ f ( x ) dx = 10 A C I = ∫ f ( x ) dx = D I = ∫ f ( x ) dx bằng: C −3 B 17 Câu Biết f ( x ) hàm liên tục ¡ ∫ D −17 f ( x ) dx = Khi giá trị A B ∫ f ( 3x − 3) dx C 27 D 24 Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ′ ( ) = f ′′ ( x ) +  f ′ ( x ) − x  = Tính T = f ( 1) − f ( ) A T = C T = + ln B T = − ln D T = + ln π π 0 Câu Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn sin x f ( x ) dx = f ( ) = Tính I = cos x f ′ ( x ) dx ∫ ∫ A I = −1 B I = C I = D I = Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm x ∈ ( 0; +∞ ) đồng thời thỏa mãn điều kiện: f ( x ) = x ( sin x + f ' ( x ) ) + cos x 3π ∫ f ( x ) sin xdx = −4 π Khi đó, f ( π ) nằm khoảng nào? A ( 5; ) B ( 6;7 ) C ( 12;13) D ( 11;12 ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm, liên tục ¡ f ( x) > x Ỵ [ 0;5] Biết f ( x) f ( - x ) = , tính tích phân I = ∫0 A I = B I = dx 1+ f ( x) C I = 56 D I = 10 Câu Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) hàm số có đạo hàm liên tục [ 0; 2] ∫ g ( x ) f ′ ( x ) dx = , 2 0 ′ ∫ g ′ ( x ) f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫  g ( x ) f ( x )  dx A I = B I = C I = −1 D I = ìï x - x ³ có đạo hàm liên tục ¡ đồng ïỵ g ( x) x