Khoảng cách trong không gian

Các điểm thuộc mặt đứng khi hạ vuông góc xuống đáy thì đường hạ đó nằm trong mặt đứng và song song với đường cao có sẵn.. + TẤT CẢ CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH ĐỀU SỬ DỤNG DỊCH CHUYỂN K

YẾU TỐ BẤT BIẾN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

Hình không gian được mặc định là câu điểm 7, đòi hỏi có khả năng tưởng tượng, đưa ra cách chứng minh, tính toán lại dễ gây nhầm lẫn nên thường làm mất khá nhiều thời gian Khi đứng ở vai trò người giảng dạy thì mới thấy sự khó khăn của học sinh khi tiếp cận với hình không gian Một lỗ hổng chủ yếu là: các em

không hình dung, không gọi tên rõ ràng được cái đích, hình dạng cuối cùng của bài toán, nên cũng sẽ mơ

hồ ở đường lối, cách biến đổi Trong chuyên đề này, hy vọng làm rõ được “Đích”, làm rõ được “Phương tiện”

khi hiểu rồi, các em chỉ việc “Lên xe là phóng” Gặp bài toán có chữ tính khoảng cách là biết mình sẽ làm được Nếu khó khăn trong việc tiếp thu, các em nên đọc tài liệu cùng với bạn giỏi hơn

I DỊCH CHUYỂN KHOẢNG CÁCH

1 ĐIỂM VÀ MẶT

Cho điểm M &    Thay vì tính trực tiếp: MM1ta có thể

dịch chuyển các điểm khác như sau:

 ,  MI  ,  MI AF  , 

 ,   ,  BE  , 

DE

Cần xác định chân của các đường xiên: I E F , ,

Chú ý: Trong bài toán, để đi đến được điểm thuận lợi, nhiều

khi ta phải dịch chuyển tới hơn 3 lần Các đoạn tỉ lệ kia thường

có sẵn hoặc rất dễ tính

2 ĐIỂM VÀ CÁC MẶT SONG SONG

Cho điểm Mvà các mặt       Khi đó:

 

 

   

,

,

,













Ta có thể tính 1 trong 3 khoảng cách này qua 1 trong 2

khoảng cách còn lại và hệ số tỉ lệ:

MI  MB IH  BC IH  BC , từ đây tùy bài toán ta sẽ có cách

chọn và rút hợp lý

3 DỊCH CHUYỂN TRONG HÌNH PHẲNG

Để tính k/c từ A đến đường  Ta có thể dịch tới B C M , ,

như sau:AH d A ,  AE d B ,  AF d A ,  MN

Các cách trên chỉ là hệ quả của định lý Talet Ta dùng từ “dịch

chuyển” để có thể dễ hình dung về một “quá trình”

Chú ý: Lựa chọn các điểm đặc biệt để dịch về Đặc biệt với các điểm

thuộc 2 đường song song

4 CÁC HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

a  b  c c  c a b  b a

2

h  b c a h  bc  S

2 2 2

1 1 1

a

.

HC  HC BC  AC  b Đây là các công thức thường xuyên sử dụng, đặc biệt công thức

nghịch đảo bình phương đường cao

Bài toán sau có thể coi là “bất biến” với bài toán tính khoảng cách

BÀI TOÁN:TÍNH K/C TỪ CHÂN ĐƯỜNG CAO ĐẾN MẶT PHẲNG TỰA (Mặt nghiêng)

Cho mặt phẳng nghiêng  SBC  tựa trên đường cao SH   HBC  Tính

khoảng cách từ H   SBC 

Giải: Kẻ: HI  BC HK ;  SI  HK   ABC   HK  d H SBC  ,   

(Tự cm) HK là đường cao tam giác vuông nên: 1 2 12 12

HK  HS HI Đã

có SH nên ta chỉ cần tính HI là xong (Tùy từng bài)

Chú ý:

+) Mặt nghiêng là mặt không chứa đường cao

+) Mặt đứng: là mặt chứa đường cao, ví dụ mặt đứng SHB   , SHC  Các

điểm thuộc mặt đứng khi hạ vuông góc xuống đáy thì đường hạ đó nằm

trong mặt đứng và song song với đường cao có sẵn Ví dụ NE

Đường cao: Còn gọi là trục đứng

+) Mặt phẳng tựa: là mặt có 1 điểm nằm trên mặt đứng Quan trọng!

+) Thực tế hay gặp: Các mặt nghiêng chưa tựa trên một trục đứng nào, nhưng mặt đó lại có 1 đỉnh nằm trên

mặt đứng, từ đỉnh này kẻ song song với trục có sẵn thì ta có ngay đường tựa mới

+) TẤT CẢ CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH ĐỀU SỬ DỤNG DỊCH CHUYỂN KHOẢNG CÁCH ĐỂ QUY VỀ BÀI TOÁN TRÊN: MẶT PHẲNG TRONG ĐÓ SẼ LÀ MẶT NGHIÊNG NẾU MẶT ĐÓ CHƯA TỰA TRÊN ĐƯỜNG NÀO THÌ HÃY DỰNG ĐƯỜNG TỰA ĐÓ

TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG CHÉO NHAU: d1&d2

Trường hợp 1: Hai đường này nằm trong 2 mặt vuông góc với nhau, trong đó có 1 đường tựa trên trục đứng

 









   

     

1 2

1 2







SA là đường nghiêng, SA tựa trên đường cao SH Do đó, ta sẽ gán SA

vào 1 mặt phẳng tựa song song với BC: Từ A    kẻ Ax BC thì

HA

Thực tế có thể gặp: Tính k/c giữa một đường nằm trên đáy, 1 đường

nghiêng tựa trên 1 mặt đứng thì ta có thể tạo ra đường tựa cho

đường nghiêng này, bằng cách từ điểm tựa đó, hạ vuông góc xuống

mặt đáy (// với đ.cao có sẵn)

Nếu d2 // giao tuyến thì k/c này bằng k/c từ d2 tới giao tuyến

Trường hợp 2: Hai đường này không nằm trong 2 mặt vuông góc (cả 2 cùng nghiêng)

Khi đó, ta sẽ gán 1 trong 2 đường này vào 1 mặt phẳng tựa Đường được gán phải thỏa mãn điều kiện sau: Từ

1 trong các điểm của đường đó, kẻ 1 đường // với đường còn lại, đường kẻ thêm này phải cắt các cạnh có

trước tại 1 điểm đặc biệt (tỉ lệ, vuông góc)

III DỮ KIỆN VÀ DỰNG HÌNH

Các bài toán không gian có xu hướng đòi hỏi các em phải xử lý tốt dữ kiện ban đầu Sơ lược ta có dữ kiện chia làm 2 loại:

+) Dữ kiện định tính: Dùng để dựng hình Mỗi dữ kiện sẽ khống chế và giới hạn sự chuyển động của 1 điểm trên 1 mặt hoặc một đường nào đó Kết hợp các dữ kiện, điểm cần dựng sẽ bị cố định vào 1 vị trí

+) Dữ kiện định lượng: Dùng để tính đáy và đường cao

Thông thường: Cho trước một thông số độ lớn cạnh đáy Thêm các dữ kiện định tính và định lượng dùng để xác định nốt thông số còn lại của đáy và đường cao Do đó để tính được cạnh đáy còn lại và đường cao, ta cần:

chuyển các điều kiện có tính hình học, tính không gian về các tính chất trong các mặt phẳng, trong tam giác,

tứ giác sau đó thiết lập các phương trình kết nối đại lượng chưa biết với đã biết

Chú ý: Các quá trình trên là hiển nhiên, nhưng cần nhắc lại để ta có cách tiếp cận bài toán hình học một cách

rõ ràng, mạch lạc, tránh tình trạng bị rối trước bài toán có nhiều dữ kiện phức tạp

+) Dựng hình: Việc đầu tiên khi đọc đề bài toán không gian: Dựng chính xác đáy dưới góc nhìn chính diện như hình phẳng, chính xác tỉ lệ Sau đó mới vẽ hình ở dạng không gian Khi vẽ đúng tỉ lệ đáy: ta sẽ nhìn ra được các điểm đặc biệt của hình, mà nếu vẽ sai, không đúng tỉ lệ, ta nhìn không ra điểm đặc biệt Điểm đặc biệt của đáy, trong đa số trường hợp là chìa khóa của bài toán

+) Để vẽ đúng tỉ lệ: Ta cho amột giá trị cụ thể, Tính các cạnh khác ra cm giúp ta vẽ gần như chính xác tỉ lệ hình Ví dụ: a2cma 32 3 3.46cm a; 52 5 4, 47cm

+) Khi vẽ trong không gian: Tính song song được bảo toàn Các điểm chia tỉ lệ đoạn thẳng cũng được bảo toàn (trung điểm, trọng tâm, điểm chia 1/3 được bảo toàn)

+) Đánh dấu các đoạn bằng nhau, các góc vuông, các góc đã biết lên hình vẽ giúp quá trình chứng minh, tính toán nhanh hơn Vẽ chính xác, góc nhìn đẹp sẽ giúp ích rất lớn trong việc giải toán

Do đó, ngoài việc chú ý đến cách xử lý về khoảng cách, các em hết sức chú ý đến cách xử lý các dạng dữ kiện

dựng hình và tính thông số ở các ví dụ sau:

IV VÍ DỤ

Ví dụ 1 (01-Newstudy 2014): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt (ABCD) trùng

với trọng tâm tam giác ABD Cạnh SD tạo với mặt đáy (ABCD) một góc

bằng 600 Tính thể tích S.ABCD và khoảng cách từ A tới (SBC) theo a

Giải: Các ký hiệu như hình vẽ Điểm A không phải điểm đặc biệt nên, ta

dịch k/c này tới điểm G Dựng GNBC GH, SN Ta có:

2 3

AC

 

Ví dụ 2 (04-Newstudy 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình thang vuông tại A và B, ABBCa AD, 2a Hình chiếu vuông

góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với trực tâm tam giác ACD Góc giữa

đường thẳng SD và AB bằng 600 Tính theo akhoảng cách giữa SD AB ,

Giải: SD tựa trên SC nên từ D, kẻ đường // với AB, CB'DB', ta có:

MDMAMCa nên ACD vuông tại C, nên C chính là trực tâm Ta

CB  a DB AB  SDB 

0

DB SB SB DB a SCa CESB ;

' 6

SC CB a

CE

SB

  Ta có d AB SD , d AB SDB , ' 

 

3

a

Ví dụ 3.(09-Nguoithay.vn 2014): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình thang vuông tại A và D, AD  DC ,AB2AD mặt bên SBC là tam

giác đều cạnh 2a va thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt  ABCD 

Tính: VS ABCD. , d BC SA  , 

Giải: Từ điều kiện suy ra CA  CB  2 a  AD  DC  a 2 Ký hiệu

như hình vẽ SH  a 3 Có SA là đường tựa nên kẻ:

AM BC HMAM HI SM Ta có:

 ,   ,    ,  

d BC SA d BC SAM d H SAM HI

+) Tính HM, do đây là k/c của 2 đường song song nên, để tính nó ta không nên tính trực tiếp, mà ta sẽ dịch

nó sang 1 điểm nào đó thuộc 1 trong 2 đường song song, dễ thấy có 2 điểm A, hoặc C là đặc biệt, và

2

HMAC a Có HI là đường cao tam giác vuông đã biết 2 cạnh:

,

a

Ví dụ 4 (11-Moon 2014) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành với 10

2

AB

AD ACD

cân tại A có trọng tâm G Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB Gọi (P) là mặt phẳng qua SA và song song GC Biết (P) và (SCJ) cùng vuông góc với (ABCD) Khoảng cách giữa AI và SB bằng a 3 GÓc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 600 Tính VS.ABI vàd MC SA  ,  với M là trung điểm SD

Giải (P) qua SA song song CG  giao tuyến với đáy: đi qua A song song với CG (P) và (SCJ) cùng vuông với

đáy  SH là đường cao với H là giao của CJ và giao tuyến (P) với đáy Các ký hiệu như hình vẽ

2

AB

60

SJH  , d AI SB  ,   a 3 xác định thông số đáy và đường cao Chỉ có điều kiện về k/c là chưa rõ ràng, ta cần

liên kết nó với các thông số cạnh đáy và đường cao Có SB tựa nên:

Từ B kẻ Bx AIBxBA, kẻ

,

HV Bx HZ SV  d H SBx  ,     HZ

Ta cần dịch k/c AI và SB về H, nên phải đi tìm tỉ lệ giữa k/c H tới AI và Bx

không tìm mút cố định của AI, có: AH  Bx  W

W

d AI SB d A SBx  A d H SBx  HZ a

H

3

2

4 1 1

3

2 2

AD  x  CJ  x  x  x

     

0

Ta có  SAH   MFC   d CM SA  ,   d   SAH   , MFC    d AH CG  ,   2 HK ,  HK  AC  (do 2 mặt này cùng vuông với đáy Ta có Do H là trọng tâm ABC nên:

2 2



Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCDlà hình chữ nhật,

2

AB a, tam giác SABcân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc

với mặt phẳng  ABCD  Gọi M là trung điểm của SD, mặt phẳng (ABM)

vuông góc với (SCD), và đường thẳng AM vuông góc với BD Tính thể

tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ M đến (SBC)

Giải Các kí hiệu như hình vẽ: I, N, E là các trung điểm Do

AMNB SCD  



trung tuyến HIlà đường cao suy ra HEHSADb



Ta có:   1   1    

d M SBC  d D SBC  d A SBC d H SBC HF

,

a

d M SBC HF

Nhận xét: Sử dụng vectơ trong tính toán khoảng cách và chứng minh tính vuông góc ở các bài có yếu tố vuông góc là cách hiệu quả và ngắn gọn, nó không phụ thuộc nhiều vào hình vẽ Để làm được điều đó, ta chỉ cần phân tích các vectơ theo các “đường biên”, các đường mà đã tồn tại sẵn tính chất vuông góc (chú ý) +) Từ tính chất trong không gian: AMBD ta tìm cách hướng nó về tính chất phẳng Dễ suy ra BDAE

Ví dụ 6.(Nguoithay.vn 04): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với ADa Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm O của AC và BD Cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy góc 300, hình chiếu của điểm O lên mặt (SCD) trùng với trọng tâm tam giác SCD Gọi M là trung điểm của cạnh SC TÍnh theo athể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng BC và MD

Giải: Kẻ MHOC HE, AD HF, ME Các ký hiệu như hình vẽ

G là trọng tâm  SCD Ta có: OGSI Tam giác vuông SOIcó:

a

SO SI SG SI  SO OI SOOI 

 

Có DM tựa trên mặt đứng (SAC) nên:

3

CA

HA

CA

,

a

Ví dụ 7.( Nguoithay.vn 07) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông cân tại A với BC  a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh AB, hình chiếu

vuông góc của đỉnh S lên mặt (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác BMC Góc giữa đường thẳng SB và mặt (ABC) bằng 600 Tính VS.ABC và k/c

từ C đến (SAB)

Giải: Ký hiệu như hình vẽ IMIB EB, EC, dễ tính ABACa

o

 

4

CA

 

,

Nhận xét: Dịch chuyển khoảng cách (*) chưa có trong phần lý thuyết,

chứng minh không khó, bạn đọc có thể tự chứng minh Hoặc có thể dịch từ

C đến E, rồi từ E đến O

Ví dụ 8 (nguoithay.vn 10) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a, cạnh bên AA'a Hình chiếu vuông góc của A’ lên

mặt (ABCD) trùng với trung điểm I của AB Gọi K là trung điểm của BC

Tính VA’.IKD và khoảng cách từ I đến (A’KD)

Giải Kẻ: IMKD IQ, A M AN' , KD AB, KDL

2

a

A I ;

2 5   3 3 5

, '

a

Ví dụ 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh huyền BC  a 2, cạnh bên ' 2

AA  avà điểm A’ cách đều 3 điểm A,B,C Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA’ và AC Tính thể tích khối chóp B.CA’MN và khoảng cách từ C đến (MNB)

Giải: H là trung điểm BC, không vẽ B’, C’ vì không cần thiết Ta có:

BCa ABAC a AH  A H 

Ta sẽ dịch chuyển k/c từ C đến A: d C BMN  ,   d A BMN  ,  Từ

M kẻ: MEAH EP, BN ET, MP Với G là trọng tâm ABC

Các điểm E, G đều là điểm chia tỉ lệ của AH nên không cần tính cụ

thể, ta vẫn có được tỉ lệ:

EG

 d C BMN ,  4 d E BMN ,

Theo đặc trưng 3 suy ra d E BMN  ,   ET Ta cần tính EP, tính trực tiếp là khó khăn, ta lại “dịch” sang A:

4

AG

20 5

a

Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt

(SBD) vuông góc với mặt đáy (ABCD) Các đường SA, SD tạo với đáy một

AD  a BD  a ADB  Tính VS ABCD. và

 , 

d C SAD

cot 30

SHBDHSH HAHDvậy HADvuông

H  HD  a  SH  HD  a Kẻ

,

5 3

HD

Ví dụ 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang

vuông tại C, D, mặt (SAD) vuông với đáy, mặt (SBC) tạo với đáy

góc 450, mặt (SCD) tạo với đáy góc  biết tan 1

2

  TínhVS ABCD. và d C SAB  ,  Biết rằng BC  2 , a AD  DC  a

Giải: Khi bài toán không có gì mới, thì việc xử lý điều kiện vẫn là

khó nhất

45

SHADSBH SHHBDCa

2

SDH  HD aBC, Kẻ HFAB HG, SF

6 3 2

    (đ/c tam giác vuông) Ta có:

3

Nhận xét: Bài toán trên có 1 điểm chưa thật hợp lý, bạn đọc thử tìm và

chỉnh sửa

Ví dụ 12 Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D

có AB  3 , a AD  CD  SA  2 a SA   ABCD  Gọi G là trọng tâm

tam giác SAB, mặt (GCD) cắt SA, SB lần lượt tại M,N Tính V S CDMN. và

 , 

d DM BC

Giải Ta có: MN AB NH, ABHA2 ,a HBa

Đặc trưng 1: Kẻ DE BCAEa Tam diện vuông A MDE :

,

a

d A MDE

41

AE

Nhận xét: Ta có thể tính thể tích: V S CDMN. V S ABCD. V ADMNHCV NHBC hoặc

tính theo tỉ lệ thể tích của thể tích cần tính với thể tích S.ABCD

Ví dụ 13 Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a 3,

120

BAD  và góc giữa A’C và mặt ADD’A’ bằng 300 Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của A’D’ và BB’ Tính VABCD A B C D ' ' ' 'và d N C AM  , ' 

Giải Các tam giác đều ACD, ACB cạnh a 3nên đường cao

3

CA F

N đến B Mặt (C’AM) chưa tựa lên trục đứng Gọi E là trung điểm BC, C’E//

AM, cắt BB’ tại I Có BEAE,kẻ BGIE BI, a 6ta

có:BG   AEC M '  nên:

BI

Ví dụ 14 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là

hình thang cân, đáy lớn AD  a 2 Biết góc tạo bởi BC’ và mặt

đáy (ABCD) bằng 600, góc giữa A’D và mặt (ABCD) bằng  và

3

tan

2

  Cho biết CD   ABB A ' ' , ' '  A B   CDD C ' ' 

Tính V ABCD A B C D ' ' ' 'và d AB CD  ' ' 

Giải: Lăng trụ đứng vì:

CD  ABB A  CD  AB CD  AA ,

AB A B  CDD C  AB  DD  AB  AA  AA  ABCD

6 ' ' tan

2

a

' cot 60 *

BCCC   Ta thấy AB’ và CD’ đều nghiêng, nên ta gán 1 đoạn vào 1 mặt song song, tuy nhiên từ mỗi đỉnh kẻ // đoạn còn lại đều được các đường nằm ngoài hình nên ta chọn đường nào dễ nhất: Gọi I là điểm đối xứng với C qua AD, do đáy ABCD là hình thang cân nên dễ suy ra DI//=AN, D’D//=B’B nên AB' D I' Kẻ DFD E' Hình thang cân có (*) suy ra:

2 78

3 ,

AE DE DE DF

26

DE

Ví dụ 15 (02-Chuyên Hạ Long 2014): Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a Qua B’ dựng mặt phẳng (P) vuông góc với A’C, mặt phẳng (P) chia hình lăng trụ thành hai phần Tính tỉ lệ thể tích khối lăng trụ này và khoảng cách từ A tới (P)

Giải: (P) đi qua B’ và vuông góc với A’C, suy ra A’C vuông góc với giao tuyến

của (P) với (A’B’C) Khi đó từ B’ kẻ: B G' A C' Ta có CA'CB'a 5 Ta

có:

B G A C   CI  A B CI  A B với

2

 

2

'

Bạn đọc tự tính thể tích và tỉ lệ

Ví dụ 16 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a có M, N lần lượt là trung điểm của BC

và AD Tính khoảng cách giữa AM và BN

Giải: Do tính đối xứng dễ suy ra: AN   BNC  Vậy AM tựa trên AN, kẻ:

Mx BN NI Mx, MJ  AIvậyd BN AM  ,   d N  ,  AMx    NJ

Để tính NJ cần tính NI Nhưng ta không dại gì tính trực tiếp, ta thấy

d N Nx  d M BN  NI  MH , MHlà đường cao tam giác vuông

NJ  NA NI  NA MH  NA MB MN Việc tính toán dành cho bạn đọc

Nhận xét: Do tính đối xứng, bài toán trên còn khá nhiều cách giải Các bạn có

thể tìm thêm lời giải

Ví dụ 17 (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác

vuông ABBCa Cạnh bên AA '  a 2 Gọi M là trung điểm của BC

Tính khoảng cách giữa AM và B’C

Giải Tam giác vuông tại B

Các 1 Từ C kẻ CI AM AI, BC nên

2

MC

BC

Kéo dài ABCI K thì tứ diện B KCB ' là tứ diện vuông tại B có

2

BK a, từ đây dễ suy ra khoảng cách cần tính

Cách 2 Kẻ MH BB' (như hình vẽ)

d AM B C  d AM HC  d M HCI

Không khó để chứng minh IMC ABMIM a IM, MC Tứ diện M HCI Vuông tại M có các cạnh vuôn đã biết Suy ra kết quả

Cách 3 Dựng 2 mặt song song chứa 2 đoạn cần tính như hình vẽ Ta

cód AM B C  , '   d   AME   , B CF '  

Từ cách dịch chuyển k/c giữa 2 mặt song song và 1 điểm, dễ thấy d   AME   , B CF '    d B AME  ,  với

B AME là tứ diện vuông tại B

Chú ý: trong nhiều trường hợp, từ 1 trong 2 mút cố định, ta kẻ đường thẳng vuông góc với giao tuyến của 2

mặt vuông góc (2 mặt chứa 2 đoạn cần tính), đường này cắt đoạn kia kia ở đâu thì điểm đó coi là điểm mở rộng của đoạn đó Ở ví dụ trên, cách 2 thì Hlà điểm mở rộng của B’C: d AM B C  , '   d AM HC  ,  việc tính toán trên các điểm mới này có thể dễ dàng hơn

Ví dụ 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, 0

120

BAD  , SA vuông góc với đáy, khoảng cách AD và SC bằng 3

2

a

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD SB, Tính VS ABCD. và khoảng cách giữa AN CM ,

Giải: Các tam giácABC ADC , đều cạnh 2a Ta thấy AD SC , có đặc

trưng 1, nên kẻ AKBC, ALSK  AK  a 3,

,

2

a

d AD SC  AL Ta có 12 12 12 AS 3a

thấy ngay AN và CM không có đặc trưng 1, ta chuyển ngay sang đặc

trưng 2: Tìm cách dựng mặt phẳng chứa 1 trong 2 đường cần tính, và

song song với đường còn lại Trên mặt (ABCD) chọn G sao cho

,

2

BD

AG BD AG MNAN MG Vậy:

d AN CM  d A MCG Các ký hiệu như hình vẽ Kẻ

,

HI CG HJMI Đặc trưng 3 suy ra: HJ  d H MCG  ,    Ta có:

2

ED GD        HE  Tam giác AGC vuông tại A có AF là đường

 AF  a  HI  HE AF  AF  a

Nhận xét: Đây là bài toán được sáng tác thêm dựa trên bài toán gốc: câu 5, đề số 7, báo TH&TT tháng 3–

2014 Đường lối không có gì mới, chỉ khó ở điểm: dựng MG

V BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 (1-Chu Văn An-HN) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh

huyền AB = 2, cạnh bên của lăng trụ bằng 3, mặt bên ABB’A’ có 0

A AB  và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt (ACA’) tạo với (ABC) một góc 600 Tính thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng

cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACA’)

Bài 2 (Chuyên ĐHSP-HN) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ở A và D, 0

30

CBD

13,

ABa ADa 3,SASBSD3a Tính VS ABD. & d S BC  , 

Bài 3 ( Chuyên Hà Tĩnh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại C và D, AD = a, BC = 2a

Cạnh SA  a 3vuông góc với đáy và cạnh SC tạo với đáy một góc 450 Tính VS ABD. & d SC BD  , 

Bài 4 (11-K2pi.net) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có CAa CB, 2a, góc ACB bằng 1200 Và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 300 Gọi M là trung điểm BB’ Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và CC; theo a

Bài 5 (1-NSTK-Lạng sơn) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, Đáy lớn AB và

3 2, 2 2, 2

AB a CD a AD a Gọi M là điểm nằm trên cạnh AB sao cho MB=2MA, I là giao điểm của

MD và AC Biết SI vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng (SMC) tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính theo a thể tích S.AMCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và SB

Bài 6 (Chuyên Nguyễn Huệ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, tam giác SAB

đều, tam giác SCD vuông cân tại S Gọi M là điểm trên CD sao cho BM vuông với SA Tính V S ABCD, &AM

Bài 7 (3-Chuyên TB) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ với ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a Đỉnh A’ cách

đều A, B, M trong đó M là trung điểm của AC Biết góc giữa mặt bên (ABB’A’) và mặt đáy của lăng trụ bằng

300 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa AB và A’M

Bài 8 (3-chuyên Vĩnh Phúc) Cho hình chóp S.ABCD có SC   ABCD , đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng 3

120

ABC  Biết rằng góc giữa hai mặt (SAB) và (ABCD) bằng 450 Tính VS ABCD. , d SA BD  , 

Bài 9 (1-ĐH Vinh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại

S, hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AD sao cho HA = 3HD Gọi M là trung điểm của AB Biết SA2a 3 và đường SC tạo với đáy một góc 300 Tính VS ABCD. , d M SBC  ,   

Bài 10 (5-ĐHSP-HN 2013) Tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a, Góc BAC = 1200, BAD = 600 và BCD là tam giác vuông tại D Tính VABCD và khoảng cách AD và BC

Bài 11 (1-Chuyên Hà Tĩnh 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông Các mặt bên (SAB),

(SAD) cùng vuông góc với mặt đáy Hai mặt bên còn lại cùng taojv ới đáy một góc 600 Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và CD, biết 2

2

a

MN  Tính VMNSB và khoảng cách giữa BM và SN theo a

Bài 12 (03-KHTNHN) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi cạnh 0

a BAD  , các mặt (SAC), (SBD) tạo với đáy góc 900 và 600, 3

2

a

SA  Tính VS.ABCD và khoảng cách giữa SA và DC

Bài 13 (01-Lam Sơn 2013) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, có tất cả các cạnh bàng 3a Các điểm

M,N lần lượt thuộc các cạnh bên BB’, CC’ sao cho B M' 2BM CN, 2NC' Tính VACMN d A  ',  AMN  

theo a

Bài 14 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2avà góc

0

30

ABC Khoảng cách AB và CB’ bằng

2

a Điểm M, N lần lượt thuộc AB và C’C sao cho MB2AM,

C N  NC Tính VABC.A’B’C’ và d A M B N  ' , ' 

Bài 15 (A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là

điểm H thuộc AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường SA và BC theo a

Bài 16 (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, 0

30

ABC , SBC là tam giác đều cạnh

a và mặt bên SBC vuông với đáy Tính theo a thể tích S.ABC và khoảng cách từ C đến (SAB)

Bài 17(13-Nguoithay.vn) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Đường thẳng A’B

tạo với mặt phẳng (ACC’A’) góc 300 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CC’ Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác A’B’C’ đến mặt (AMN)

Bài 18 (THPT Nguyễn Tất Thành) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AB = 2a Tam giác

SAB vuông tại S, mặt phẳng (SAB) vuông với (ABCD) Biết góc tạp bởi SD và mặt SBC bằng  với sin 1

3

  Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ C đến (SBD)

TRẦN HƯNG - LUYỆN THI ĐẠI HỌC - LẠNG SƠN - 0987.018.492