phương pháp tọa độ trong không gian

Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 173 - Chuyên đề Bài 1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  BT 1. Cho ba điểm , , A B C . Trả lời các câu hỏi sau đối với từng câu /, /, a b • Chứng tỏ ba điểm , , A B C tạo thành một tam giác và tìm trọng tâm của tam giác này ? • Tìm tọa độ điểm M sao cho: 2 3 AM BA CM + =    ? • Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm I của nó ? Tính chu vi và diện tích của hình bình hành ? • Tính các số đo các góc trong ∆ABC ? Tính diện tích ∆ABC ? Tính độ dài đường cao ? • Xác định tọa độ các chân , E F của đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC ∆ trên BC ? Tính độ dài các đoạn phân giác đó ? a/ ( ) ( ) ( ) 1;2;3 , 2; 2;1 , 1; 2; 3 A B C − − − − b/ ( ) ( ) ( ) 1;2; 3 , 0;3;7 , 12; 5;0 A B C− c/ ( ) ( ) ( ) 3; 1;2 , 1;2; 1 , 1;1; 3 A B C − − − − d/ ( ) ( ) ( ) 4;2; 3 , 2;1; 1 , 3;8;7 A B C− − e/ ( ) ( ) ( ) 1; 2;6 , 2;5;1 , 1;8;4 A B C− − f/ ( ) ( ) ( ) 4;1;4 , 0;7; 4 , 3;1; 2 A B C − − g/ ( ) ( ) ( ) 1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1 A B C h/ ( ) ( ) ( ) 3; 4;7 , 5;3; 2 , 1;2; 3 A B C − − − − BT 2. Cho bốn điểm , , , A B C D . Trả lời các câu hỏi sau đối với từng câu /, /, a b • Chứng minh , , , A B C D là bốn đỉnh của tứ diện đó ? Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ? Tính thể tích của tứ diện này ? • Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD ? • Tính diện tích tam giác BCD ? Từ đó suy ra đường cao tứ diện vẽ từ A ? • Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm D trên mp(ABC) ? • Tìm điểm M sao cho: 2 2 3 0 MA MB MC MD + − + =      ? a/ ( ) ( ) ( ) ( ) 1;0;1 , 1;1;2 , 1;1;0 , 2; 1; 2 . A B C D − − − − b/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2;5; 3 , 1;0;0 , 3;0; 2 , 3; 1;2 . A B C D− − − − c/ ( ) ( ) ( ) ( ) 1;0;0 , 0;1; 0 , 0;0;1 , 2;1; 1 . A B C D − − d/ ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1;0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1 . A B C D e/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2;0;0 , 0;4;0 , 0;0;6 , 2; 4;6 A B C D f/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2;3;1 , 4;1; 2 , 6;3;7 , 5; 4;8 . A B C D− − − g/ ( ) ( ) ( ) ( ) 5;7; 2 , 3;1; 1 , 9;4; 4 , 1;5;0 . A B C D− − − h/ ( ) ( ) ( ) ( ) 3;2;4 , 2;5; 2 , 1; 2; 2 , 4;2; 3 . A B C D− − − BT 3. Cho hình hộp . ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ . Trả lời các câu hỏi sau cho đối với từng câu a/, b/,…… • Tìm tọa độ các đỉnh còn lại ? • Tính thể tích của hình hộp đã cho ? a/ ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0;1 , 0;2;1 , 3;0;1 , 0;0;0 A B D A ′ . b/ ( ) ( ) ( ) ( ) 0;2; 2 , 0;1;2 , 1;1;1 , 1; 2; 1 A B C C ′ − − − c/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2;5; 3 , 1;0;0 , 3;0; 2 , 3; 1;2 . A B C A ′ − − − − d/ ( ) ( ) ( ) ( ) 1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , 4;5; 5 . A B D C ′ − − BT 4. Cho tứ diện ABCD với ( ) ( ) ( ) 2;1; 1 , 3;0;1 , 2; 1;3 A B C− − và D Oy ∈ . Biết thể tích của tứ diện ABCD bằng 5 ( ) đvtt . Tìm tọa độ đỉnh D ? BT 5. Cho các điểm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1; 1 , 2;0;0 , 1;0;1 , 0;1;0 , 1;1;1 A B C D S− . a/ Chứng minh: ABCD là hình chữ nhật ? b/ Chứng minh: ( ) S ABC D ∉ ? c/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD ? Suy ra khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ) ABCD ? PHƯƠNG PHÁP T Ọ A Đ Ộ TRONG KHÔNG GIAN 9 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 174 - Bài 2. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG  BT 6. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước Mặt phẳng trung trực ( ) P của đoạn AB là mp đi qua và vuông góc tại trung điểm I của AB. ( ) ( ) ( ) Đ ; ; 2 2 2 : ; : ; P A B A B A B B A B A B A P P x x y y z z i qua I VTPT n AB x x y y mp P z z  + + +  •     • = = − −    →    −    a/ ( ) ( ) 2;0;1 , 0; 2; 3 A B − b/ ( ) ( ) 1;3; 4 , 1;2;2 A B− − c/ ( ) ( ) 2;1;1 , 2; 1; 1 A B − − d/ ( ) ( ) 2; 5;6 , 1; 3;2 A B− − − e/ ( ) ( ) 2;3; 4 , 4; 1;0 A B− − d/ ( ) ( ) 1; 1; 4 , 2;0; 5 A B− − BT 7. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm M và có cặp véctơ chỉ phương , a b   cho trước ( ) ( ) • : • : , Đ PP P M mp P VTPT n a i qua b   →    =        a/ ( ) ( ) ( ) 1;2; 3 , 2;1;2 , 3; 2; 1 M a b − = = −   b/ ( ) ( ) ( ) 1; 2;3 , 3; 1; 2 , 0;3; 4 M a b− = − − =   c/ ( ) ( ) ( ) 1;3;4 , 2;7;2 , 3;2;4 M a b− = =   d/ ( ) ( ) ( ) 4;0;5 , 6; 1;3 , 3;2;1 M a b− = − =   BT 8. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua ba điểm , , A B C không thẳng hàng ( ) ( ) ( ) • Đ : • : , PP ABC mp P VTP i qu T a A hay B hay n C AB AC   →    =        a/ ( ) ( ) ( ) 2; 5;1 , 3;4; 2 , 0;0; 1 A B C − − − b/ ( ) ( ) ( ) 1; 2;4 , 3;2; 1 , 2;1; 3 A B C − − − − c/ ( ) ( ) ( ) 3; 5;2 , 1; 2;0 , 0; 3;7 A B C− − − d/ ( ) ( ) ( ) 1;2; 3 , 2; 4;3 , 4;5;6 A B C− − e/ ( ) ( ) ( ) 3;0;0 , 0; 5;0 , 0;0; 7 A B C − − f/ ( ) ( ) ( ) 2; 4;0 , 5;1;7 , 1; 1; 1 A B C − − − − BT 9. (THPT – 2011 NC) Trong không gian với hệ trục , Oxyz cho ( ) 0;0;3 , A ( ) 1; 2;1 , B − − ( ) 1;0;2 C − Viết phương trình mp ( ) ABC . Tính độ dài đường cao của ABC ∆ kẻ từ A. Đáp số. ( ) : 2 2 6 0 ABC x y z + − + = và 3 5 5 AH = . BT 10. (ĐH A – 2011) Cho mặt cầu ( ) 2 2 2 : 4 4 4 0 S x y z x y z + + − − − = và điểm ( ) 4;4;0 A . Viết phương trình mặt phẳng ( ) , OAB biết ( ) B S ∈ và OAB ∆ đều. Đáp số. ( ) : 0 OAB x y z − + = hoặc ( ) : 0 OAB x y z − − = . BT 11. (ĐH B – 2008) Trong không gian với hệ trục , Oxyz cho ( ) ( ) ( ) 0;1; 2 , 2; 2;1 , 2;0;1 A B C− − . a/ Viết phương trình mặt phẳng qua , , A B C . b/ Tìm tọa độ ( ) : 2 2 3 0 M mp P x y z ∈ + + − = sao cho MA MB MC = = . Đáp số. ( ) : 2 4 6 0 mp ABC x y z + − + = và ( ) 2; 3; 7 M − . BT 12. Viết phương trình mp ( ) P đi qua , M vuông góc mp ( ) Q và ( ) // mp P ∆ : ( ) ( ) ( ) ( ) Đ • , , : • : , o o o PP P Q M x y z mp P VTPT n u i u n q a ∆   →    =        a/ ( ) 1;1;1 , M ( ) : 2 1 0, Q x y z − + − = 1 1 : 2 1 3 y x z − + ∆ = = − b/ ( ) 3;2;1 , M ( ) : 2 3 – 0, Q x y z + = ( ) 1 3 : 2 , 3 3 x t y t t z t  = −  ∆ = − ∈   = −  ℝ P A B I a  A C B P u ∆  Δ P Q ( ) Q n  P a  b  www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 175 - BT 13. Viết phương trình mp ( ) P đi qua ( ) ; , o o o M x y z và song song với mp ( ) : 0 Q Ax By Cz D + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) • , , : • : ; Đ ; o o o PP P Q M x y z mp P VTPT n n A B C i qua   →  = =     a/ ( ) 3;3;3 M và ( ) : 2 3 6 0 Q x y z − + − = b/ ( ) 2;1;5 M và ( ) ( ) Q Oxy ≡ c/ ( ) 1; 2;1 M − và ( ) : 2 3 0 Q x y − + = d/ ( ) 1;2;3 M − và ( ) : 2 3 2 1 0 Q x y z − + − = e/ ( ) ( ) 1;1;0 , : 2 10 0 M Q x y z − − + − = f/ ( ) ( ) 3;6; 5 , : 1 0 M Q x z − − + − = BT 14. (ĐH D – 2013 NC) Trong không gian với hệ trục , Oxyz cho điểm ( ) 1;3; 2 A − − và mặt phẳng ( ) : 2 2 5 0 P x y z − − + = . Tính khoảng cách từ A đến ( ) mp P . Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q đi qua A và song song với ( ) mp P ? Đáp số. ( ) ( ) 2 , 3 d A P = và ( ) : 2 2 3 0 mp Q x y z − − + = . BT 15. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua M và vuông góc với đường thẳng d đi qua hai điểm A và B, với: ( ) ( ) • Đ • : : PP d P M mp P VTPT n u A i B qua  →  = =      a/ ( ) ( ) ( ) 1;2;3 , 2; 4;3 , 4;5;6 M A B− − b/ ( ) ( ) ( ) 0;0;0 , 2; 1;3 , 4; 2;1 M A B− − − c/ ( ) ( ) ( ) 2; 4;0 , 5;1;7 , 1; 1; 1 M A B − − − − d/ ( ) ( ) ( ) 3;0;0 , 0; 5;0 , 0;0; 7 M A B − − e/ ( ) ( ) ( ) 3; 5;2 , 1; 2;0 , 0; 3;7 M A B− − − f/ ( ) ( ) ( ) 1; 2;4 , 3;2; 1 , 2;1; 3 M A B − − − − BT 16. (THPT – 2010 CB) Cho ba điểm ( ) ( ) ( ) 1;0;0 , 0;2;0 , 0;0;3 A B C . Viết phương trình mp ( ) P đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Đáp số. ( ) : 2 3 0 P y z − + = và 1 3 ;1; 2 2 I       . BT 17. (THPT – 2013) Cho điểm ( ) 1;1;0 A − và đường thẳng 1 1 : 1 2 1 y x z d − + = = − . Viết phương trình mp ( ) P đi qua gốc tọa độ và vuông góc với d. Tìm tọa độ M d ∈ sao cho 6 AM = . Đáp số. ( ) ( ) 1 : 2 0; 1;0; 1 P x y z M − + = − và ( ) 2 0;2; 2 M − . BT 18. (CĐ A – 2008) Cho ( ) 1;1;3 A và đường thẳng 1 : 1 1 2 y x z d − = = − . Viết phương trình ( ) mp P qua A và ( ) P d ⊥ . Tìm tọa độ điểm M d ∈ sao cho MOA ∆ cân tại O. Đáp số. ( ) : 2 6 0 P x y z − + − = và ( ) 1 2 5 5 7 1; 1;3 , ; ; 3 3 3 M M   − − −     . BT 19. Viết phương trình mp ( ) P đi qua , A B và vuông góc với ( ) mp Q : ( ) ( ) ( ) ( ) Đ • , : • , : PP P Q A hay B mp P VTPT n AB i q a n u   →    =        a/ ( ) ( ) ( ) 0;1;0 , 1;2; 2 : 2 3 13 0 A B Q x y z  −   − + + =   b/ ( ) ( ) ( ) 3;1; 1 , 2; 1;4 : 2 3 1 0 A B Q x y z  − −   − + − =   c/ ( ) ( ) ( ) 2; 1;3 , 4;7; 9 : 3 4 8 5 0 A B Q x y z  − − −   + − − =   d/ ( ) ( ) ( ) 3; 1; 2 , 3;1;2 : 2 2 2 5 0 A B Q x y z  − − −   − − + =   e/ ( ) ( ) ( ) 2; 1;3 , 4; 2;1 : 2 3 2 5 0 A B Q x y z  − − −   + − + =   f/ ( ) ( ) ( ) 1;2;0 , 0;2;0 : 1 0 A B Q x y z    + + + =   P Q ( ) ( ) P Q n n =   P ( ) P d n u AB = =    d M B A P Q ( ) Q n  www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 176 - BT 20. (ĐH A,A 1 – 2014) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho ( ) : 2 2 1 0 mp P x y z + − − = và đường thẳng 2 3 : 1 2 3 y x z d − + = = − . Tìm tọa độ giao điểm của d và ( ) mp P . Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q chứa d và vuông góc với ( ) mp P . Đáp số. 7 3 ; 3; 2 2 M   −     và ( ) : 8 5 13 0 Q x y z + + + = . BT 21. (CĐ – 2010 – Chương trình nâng cao) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho đường thẳng 1 : 2 1 1 y x z d − = = − và mặt phẳng ( ) : 2 2 2 0 P x y z − + − = . a/ Viết phương trình mặt phẳng ( ) Q chứa d và ( ) ( ) Q P ⊥ . b/ Tìm tọa độ điểm M d ∈ sao cho M cách đều O và mặt phẳng ( ) P . Đáp số. ( ) : 2 2 0 Q x y + − = và ( ) 0;1;0 M . BT 22. Viết phương trình của mặt phẳng ( ) P đi qua điểm M và chứa đường thẳng ∆ : PP → Trên đường thẳng Δ lấy điểm A và xác định VTCP u ∆  Khi đó ( ) ( ) Đ• : • , : P M mp P VTPT n AM u i qua ∆      =        a/ ( ) 4 2 2; 3;1 , : 2 3 3 x t M y t z t  = +  − ∆ = −   = +  b/ ( ) 2 1;4; 3 , : 1 2 1 3 x t M y t z t  = −  − ∆ = − +   = −  c/ ( ) 2 1 5 4; 2;3 , : 3 4 2 y x z M + − − − ∆ = = d/ ( ) 2 3 1 2; 1;5 , : 2 1 3 y x z M + + − − ∆ = = e/ ( ) 2 1 0 2;1;4 , : 2 2 5 0 x y z M x y z  − + − = − ∆  + + + =  f/ ( ) 3 2 1 0 3; 2;4 , : 2 3 0 x y z M x y z  + − + = − ∆  − + − =  BT 23. (TNTHPT – 2010 – Chương trình nâng cao) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho đường thẳng có phương trình 1 1 : 2 2 1 y x z + − ∆ = = − . a/ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ . b/ Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa điểm O và chứa đường thẳng ∆ . Đáp số. ( ) , ; 1 MO u d O u ∆ ∆     ∆ = =    và ( ) : 2 2 0 P x y z + + = . BT 24. Viết phương trình của mặt phẳng ( ) P đi qua hai đường thẳng song song 1 2 , ∆ ∆ : ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 • , : • : Đ , PP P M hay M mp P V i TPT n u u qua ∆ ∆  ∈ ∆ ∈ ∆  →    =        a/ ( ) 1 2 3 : 4 2 , , 1 x t y t t z t  = +  ∆ = + ∈   = −  ℝ 2 1 2 3 : 3 2 1 y x z − + + ∆ = = b/ 1 3 1 2 : , 2 3 4 y x z + − − ∆ = = 2 1 2 4 : 2 3 4 y x z − + − ∆ = = c/ 1 2 1 3 : , 2 6 8 y x z + − − ∆ = = − 2 3 2 1 : 3 9 12 y x z − + + ∆ = = − − d/ 1 1 3 2 : , 2 1 3 y x z − − + ∆ = = 2 5 1 1 : 4 2 6 y x z + + − ∆ = = M Δ A u ∆  P www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 177 - BT 25. Viết phương trình của mặt phẳng ( ) P đi qua hai đường thẳng cắt nhau 1 2 , : ∆ ∆ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 • , : • : Đ , PP P M hay M mp P V i TPT n u u qua ∆ ∆  ∈ ∆ ∈ ∆  →    =        a/ ( ) 1 3 : 1 2 , , 3 x t y t t z t  =  ∆ = − ∈   = +  ℝ ( ) 2 1 : 2 , 4 x t y t t z t ′  = +  ′ ′ ∆ = ∈   ′ = +  ℝ b/ 1 3 0 : , 2 1 0 x y z x y  + + + = ∆  − + =  ( ) 2 1 : 2 , 3 x t y t t z t  = +  ∆ = − + ∈   = −  ℝ c/ 1 2 4 0 : , 2 6 0 x y z x y z  − − − = ∆  + + + =  2 2 0 : 2 7 0 x z y z  − − = ∆  + + =  d/ 1 2 1 0 : , 1 0 x y x y z  + + = ∆  − + − =  2 3 3 0 : 2 1 0 x y z x y  + − + = ∆  − + =  BT 26. Cho 2 đường thẳng chéo nhau 1 2 , ∆ ∆ . Hãy viết phương trình ( ) P chứa 1 ∆ và song song 2 ∆ ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 • , : • : Đ , PP P M hay M mp P V i TPT n u u qua ∆ ∆  ∈ ∆ ∈ ∆  →    =        a/ ( ) 1 1 2 : 3 , , 2 3 x t y t t z t  = −  ∆ = + ∈   = − −  ℝ ( ) 2 2 : 1 , 3 2 x t y t t z t ′  =  ′ ′ ∆ = + ∈   ′ = −  ℝ b/ ( ) 1 1 2 : 2 2 , , ; x t y t t z t  = +  ∆ = − ∈   = −  ℝ ( ) 2 2 : 5 3 , 4 x t y t t z ′  =  ′ ′ ∆ = − ∈   =  ℝ c/ ( ) 1 3 2 : 1 4 , 4 2 x t y t t z t  = −  ∆ = + ∈   = −  ℝ ( ) 2 2 3 : 4 , 1 2 x t y t t z t ′  = +  ′ ∆ = − ∈   ′ = −  ℝ d/ 1 1 2 : , 3 2 2 y x z + − ∆ = = − 2 1 1 : 1 2 4 y x z − + ∆ = = e/ 1 3 7 9 : , 1 2 1 y x z − − − ∆ = = − 2 1 3 1 : 7 2 3 y x z − − − ∆ = = − f/ 1 1 2 3 : , 2 1 2 y x z − − − ∆ = = − 2 1 3 1 : 2 2 1 y x z + − − ∆ = = − g/ 1 2 2 2 0 : , 2 2 4 0 x y z x y z  − + − = ∆  + − + =  2 2 2 0 : 2 1 0 x y z x y z  + − + = ∆  − + − =  h/ 1 2 4 0 : 2 2 4 0 x y z x y z  − + − = ∆  + − + =  ( ) 2 1 : 2 , 1 2 x t y t t z t  = +  ∆ = + ∈   = +  ℝ BT 27. (ĐH A – 2002) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình 1 2 4 0 : 2 2 4 0 x y z x y z  − + − = ∆  + − + =  và 2 1 : 2 1 2 x t y t z t  = +  ∆ = +   = +  . Viết phương trình mp ( ) P chứa 1 ∆ và song song với 2 ∆ . Cho 2 (2;1;4)M ∈ ∆ . Tìm 2 H ∈ ∆ sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ nhất ? Đáp số. ( ) : 2 0 P x z − = và (2;3;4) H . M Δ 1 1 u ∆  P 2 u ∆  Δ 2 M Δ 1 1 u ∆  P 2 u ∆  Δ 2 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 178 - BT 28. (ĐH B – 2006) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho điểm ( ) 0;1; 2 , A hai đường thẳng có phương trình 1 1 1 : 2 1 1 y x z d − + = = − và đường thẳng ( ) 2 1 : 1 2 , 2 x t d y t t z t  = +  = − − ∈   = +  ℝ . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua , A đồng thời song song với 1 d và 2 d . Tìm tọa độ điểm 1 2 , M d N d ∈ ∈ sao cho ba điểm , , A M N thẳng hàng. Đáp số. ( ) : 3 5 13 0 P x y z + + − = và ( ) ( ) 0;1; 1 , 0;1;1 M N− . BT 29. Viết phương trình mp ( ) P qua M và vuông góc với hai mp ( ) ( ) , α β : ( ) ( ) ( ) ( ) • Đ : • : , PP P mp P VTPT n n i qua n M α β   →    =        a/ ( ) 1; 3;2 , M − ( ) : 2 5 1 0, x y z α + − + = ( ) : 2 3 4 0 x y z β − − + = b/ ( ) 2; 1;1 , M − ( ) : 2 1 0, x z α − + = ( ) : 0 y β = c/ ( ) 1; 2;5 , M − − ( ) : 2 3 1 0, x y z α + − + = ( ) : 2 3 1 0 x y z β − + + = d/ ( ) 1;0; 2 , M − ( ) : 2 2 0, x y z α + − − = ( ) : 3 0 x y z β − − − = e/ ( ) 2; 4;0 , M − ( ) : 2 3 2 5 0, x y z α + − + = ( ) : 3 4 8 5 0 x y z β + − − = f/ ( ) 5;1;7 , M ( ) : 3 4 3 6 0, x y z α − + + = ( ) : 3 2 5 3 0 x y z β − + − = g/ ( ) 1;2;3 , M − ( ) : 2 0, x α − = ( ) : 1 0 y z β − − = BT 30. (CĐ – 2009 – Chương trình chuẩn) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho đường các mặt phẳng ( ) 1 : 2 3 4 0 P x y z + + + = và ( ) 2 : 3 2 1 0 P x y z + − + = . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm ( ) 1;1;1 , A vuông góc hai mặt phẳng ( ) 1 P và ( ) 2 P . Đáp số. ( ) : 4 5 2 1 0 P x y z − + − = . BT 31. (ĐH D – 2010 – Chương trình chuẩn) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho hai mặt phẳng ( ) : 3 0 P x y z + + − = và ( ) : 1 0 Q x y z − + − = . Viết phương trình mặt phẳng ( ) R sao cho ( ) R vuông góc với ( ) P và ( ) ( ) , 2 d O R = . Đáp số. ( ) : 2 2 0 R x z − ± = . BT 32. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( ) , α β PP → Chọn , A B thuộc giao tuyến hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β ( ) , A B P ⇒ ∈ . Cụ thể: Cho: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 ; ; o o o A x B y C z D x z z A P y A x B y C z D  + = − +  =  = ⇒ ⇒ ⇒ ∈   = + = − +    Cho: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 ; ; o o o B y C z A x D y x x B P z B y C z A x D  + = − +  =  = ⇒ ⇒ ⇒ ∈   = + = − +    Khi đó ( ) ( ) Đ • : • , : P mp P VTPT n AB i qua M AM      =        a/ ( ) 2;0;1 , M ( ) : 2 4 0, x y z α + + − = ( ) : 2 4 0 x y z β + + − = b/ ( ) 1;2; 3 , M − ( ) : 2 3 5 0, x y z α − + − = ( ) : 3 2 5 1 0 x y z β − + − = c/ ( ) 2;1; 1 , M − ( ) : 4 0, x y z α − + − = ( ) : 3 1 0 x y z β − + − = d/ ( ) 3;4;1 , M ( ) :19 6 4 27 0, x y z α − − + = ( ) : 42 8 3 11 0 x y z β − + + = e/ ( ) 0;0;1 , M ( ) : 5 3 2 5 0, x y z α − + − = ( ) : 2 1 0 x y z β − − − = β α ( ) n α  ( ) n β  P M www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 179 - BT 33. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( ) , , α β đồng thời song song với mặt phẳng ( ) γ cho trước a/ ( ) : 2 4 0, y z α + − = ( ) : 3 0, x y z β + − − = ( ) : 2 0 x y z γ + + − = b/ ( ) : 4 2 5 0, x y z α − + − = ( ) : 4 5 0, y z β + − = ( ) : 2 19 0 x y γ − + = c/ ( ) : 3 2 0, x y z α − + − = ( ) : 4 5 0, x y β + − = ( ) : 2 7 0 x z γ − + = BT 34. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( ) , , α β đồng thời vuông góc với mặt phẳng ( ) γ cho trước a/ ( ) : 2 3 4 0, x y α + − = ( ) : 2 3 5 0, y z β − − = ( ) : 2 3 2 0 x y z γ + − − = b/ ( ) : 2 4 0, y z α + − = ( ) : 3 0, x y z β + − + = ( ) : 2 0 x y z γ + + − = c/ ( ) : 2 4 0, x y z α + − − = ( ) : 2 5 0, x y z β + + + = ( ) : 2 3 6 0 x y z γ − − + = BT 35. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P tiếp xúc với mặt cầu ( ) S cho trước tại điểm : H a/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 3 1 2 24 S x y z − + − + + = tại ( ) 1;3;0 H − b/ ( ) 2 2 2 : 6 2 4 5 0 S x y z x y z + + − − + + = tại ( ) 4;3; 0 H c/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 3 2 49 S x y z − + + + − = tại ( ) 7; 1;5 H − BT 36. Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( ) , , α β đồng thời cách điểm M cho trước một khoảng bằng k, với: a/ ( ) ( ) 1 7 3 : 3 2 0, : 2 1 0, 0;0; , 2 18 x z y z M k   α − − = β − + = =     . Đáp số. ( ) : 5 1 0 mp P x y z + − − = hoặc ( ) : 5 17 19 27 0 mp P x y z − + − = . a/ ( ) ( ) ( ) : 2 0, : 5 13 2 0, 1;2;3 , 2 x y x y z M k α − − = β − + = = BT 37. Viết phương trình mp ( ) P vuông góc với hai mp ( ) : 1 0, x y z α + + + = ( ) : 2 3 4 0 x y z β − + − = và khoảng cách từ gốc tọa độ đến ( ) mp P bằng 26 ? Đáp số. ( ) : 4 3 26 0 mp P x y z − − ± = . BT 38. Viết phương trình mp ( ) P song song với ( ) : 2 3 6 14 0 mp Q x y z − − − = và khoảng cách từ gốc tọa độ đến ( ) mp P bằng 5 ? Đáp số. ( ) : 2 3 6 35 0 mp P x y z − − ± = . BT 39. Viết phương trình mp ( ) P chứa trục Oz và tạo với ( ) : 2 11 3 0 Q x y z − + + = một góc 30 o α = ? Đáp số. ( ) : 0 mp P x = hoặc ( ) : 3 4 0 mp P x y − = . BT 40. Viết phương trình mp ( ) P đi qua ( ) ( ) 1;0;0 , 0; 2;0 A B − và ( ) mp P tạo với mp ( ) : 7 0 Q y z − + = một góc 60 o α = ? Đáp số. ( ) ( ) : 2 2 7 2 0 mp P x y z − + + ± + = . BT 41. Viết ( ) P đi qua ( ) ( ) 3;0;1 , 6; 2;1 A B − và ( ) P tạo với ( ) mp Oyz góc α thỏa mãn 2 cos 7 α = ? Đáp số. ( ) : 2 3 6 12 0 mp P x y z + + − = hoặc ( ) : 2 3 6 0 mp P x y z + − = . BT 42. Viết phương trình ( ) mp P đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ( ) , α β có phương trình lần lượt là ( ) ( ) : 4 0, : 3 1 0 x y z x y z α − + − = β − + − = . Đồng thời mặt phẳng ( ) P tạo với mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0 x y z γ + − + = một góc α với 33 cos 33 α = ? Đáp số. ( ) :10 4 4 7 0 P x y z − + − = hoặc ( ) : 34 4 4 29 0 P x y z − + + = . www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 180 - Bài 3. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG  BT 43. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và có VTCP d u  cho trước: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 3 3 • ; ; : : : • : ; ; o o o o PP o d o x x a t Qua M x y z d d y y a t t VTCP u a a a z z a t  = +    → ⇒ = + ∈   =    = +   ℝ dạng tham số a/ ( ) 1;2; 3 , M − ( ) 1;3;5 d u = −  b/ ( ) 0; 2; 5 , M − ( ) 0;1;4 d u =  c/ ( ) 1;3; 1 , M − ( ) 1;2; 1 d u = −  d/ ( ) 3; 1; 3 , M − − ( ) 1; 2;0 d u = −  e/ ( ) 3; 2;5 , M − ( ) 2;0;4 d u = −  f/ ( ) 4;3; 2 , M − ( ) 3;0;0 d u = −  BT 44. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A và B: ( ) • : • : PP d Qua A hay B d VTCP u AB   →  =     a/ ( ) 2;3; 1 , A − ( ) 1;2;4 B b/ ( ) 1; 1;0 , A − ( ) 0;1;2 B c/ ( ) 3;1; 5 , A − ( ) 2;1; 1 B − d/ ( ) 2;1;0 , A ( ) 0;1;2 B e/ ( ) 1;2; 7 , A − ( ) 1;2;4 B f/ ( ) 2;1; 3 , A − ( ) 4;2; 2 B − BT 45. (TNTHPT – 2012 – Theo chương trình chuẩn) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho các điểm ( ) ( ) 2;2;1 , 0; 2; 5 A B và mặt phẳng ( ) : 2 5 0 P x y − + = . a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A và B. b/ Chứng minh rằng ( ) mp P tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB. Đáp số. ( ) 2 : 2 , 1 2 x t d y t z t  = −  = ∈   = +  ℝ và ( ) ( ) , 5 d I P R = = ⇒ ( ) mp P tiếp xúc mặt cầu ( ) S . BT 46. Viết phương trình tham số của d đi qua M và song song với đường thẳng ∆ : • : • : PP d Qua M d VTCP u u ∆   →  =     a/ ( ) 3;2; 4 , M Ox − ∆ ≡ b/ ( ) ( ) ( ) 2; 5;3 , 5; 3;2 , 2;1; 2 M qua A B − − c/ ( ) ( ) 2 3 2; 5;3 , : 3 4 , 5 2 x t M y t t z t  = −  − ∆ = + ∈   = −  ℝ d/ ( ) ( ) 3 4 1; 3; 2 , : 2 2 , 3 1 x t M y t t z t  = +  − ∆ = − ∈   = −  ℝ e/ ( ) 5 2 2 4; 2;2 , : 4 2 3 y x z M − + − − ∆ = = f/ ( ) 1 3 2 5;2; 3 , : 2 3 4 y x z M − + + − ∆ = = BT 47. Viết phương trình tham số của d qua M và vuông góc với ( ) mp P : ( ) • : • : PP d P Qua M VTCP u n   →∆  =     a/ ( ) ( ) 2; 4; 3 , : 2 3 6 19 0 M P x y z − − + + = b/ ( ) ( ) ( ) 1; 1;0 , M P Oxy − ≡ c/ ( ) ( ) 3;2;1 , : 2 5 4 0 M P x y − + = d/ ( ) ( ) 2; 3;6 , : 2 3 6 19 0 M P x y z − − + + = BT 48. (TNTHPT – 2014) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho điểm ( ) 1; 1;0 A − và mặt phẳng ( ) : 2 2 1 0 P x y z − + − = . a/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua A và vuông góc với ( ) mp P . b/ Tìm ( ) M mp P ∈ sao cho AM OA ⊥ và độ dài AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến ( ) P . A B d M ∆ d u ∆  P ( ) d P u n =   d M www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 181 - Đáp số. Đường thẳng ( ) 1 2 : 1 2 , x t d y t t z t  = +  = − − ∈   =  ℝ và tọa độ điểm ( ) 1; 1; 3 M − − . BT 49. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) P và ( ) : Q PP → Tìm VTPT của ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 : 0 ; ; : 0 ; ; P Q P A x B y C z D n A B C Q A x B y C z D n A B C  + + + = ⇒ =   + + + = ⇒ =     Lấy A thuộc giao tuyến, bằng cách cho: ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 o o o A x B y C z D x z z y A x B y C z D  + = − +  =  = ⇒ ⇒   = + = − +    ( ) ; ; A ⇒ . Khi đó, đường thẳng ( ) ( ) • : • : Đ , d P Q d i qua A VTPT u n n      =        a/ ( ) ( ) : 6 2 2 3 0 : 3 5 2 1 0 P x y z Q x y z  + + + =   − − − =   b/ ( ) ( ) : 2 3 3 4 0 : 2 3 0 P x y z Q x y z  − + − =   + − + =   c/ ( ) ( ) : 3 3 4 7 0 : 6 2 6 0 P x y z Q x y z  + − + =   + + − =   d/ ( ) ( ) : 2 3 0 : 1 0 P x y z Q x y z  + − + =   + + − =   e/ ( ) ( ) : 1 0 : 2 0 P x z Q y  + − =   − =   f/ ( ) ( ) : 2 1 0 : 1 0 P x y z Q x z  + + − =   + − =   BT 50. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng 1 2 , , d d trong các trường hợp sau: a/ ( ) 1;0;5 , M ( ) 1 1 2 : 3 2 , , 1 x t d y t t z t  = +  = − ∈   = +  ℝ ( ) 2 1 : 2 , 1 3 x t d y t t z t ′  = −  ′ ′ = + ∈   ′ = −  ℝ b/ ( ) 2; 1;1 , M − ( ) 1 1 : 2 , , 3 x t d y t t z  = +  = − + ∈   =  ℝ ( ) 2 1 3 : 2 , 3 x t d y t t z t ′  = +  ′ ′ = − + ∈   ′ = +  ℝ c/ ( ) 1; 2;3 , M − ( ) 1 1 : 2 2 , , 3 3 x t d y t t z t  = −  = − − ∈   = −  ℝ ( ) 2 1 : 2 , 3 x d y t t z t  =  ′ ′ = − + ∈   ′ = +  ℝ d/ ( ) 4;1;4 , M ( ) 1 7 3 : 4 2 , , 4 3 x t d y t t z t  = − +  = − ∈   = +  ℝ ( ) 2 1 : 9 2 , 12 x t d y t t z t ′  = +  ′ ′ = − + ∈   ′ = − −  ℝ e/ ( ) 2; 1; 3 , M − − ( ) 1 1 3 : 1 , , 2 2 x t d y t t z t  = +  = + ∈   = − +  ℝ ( ) 2 2 : 3 4 , 2 x t d y t t z t ′  =  ′ ′ = − + ∈   ′ = −  ℝ f/ ( ) 3;1; 4 , M − ( ) 1 : 1 , , 2 x t d y t t z t  =  = − ∈   = −  ℝ ( ) 2 ' : 1 2 , 0 x t d y t t z  =  ′ ′ = − ∈   =  ℝ BT 51. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua , M vuông góc và cắt đường thẳng ∆ : a/ ( ) ( ) 1;2; 2 , : 1 , 2 x t M y t t z t  =  − ∆ = − ∈   =  ℝ b/ ( ) ( ) 3 2 4; 2;4 , : 1 , 1 4 x t M y t t z t  = − +  − − ∆ = − ∈   = − +  ℝ www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 Page - 182 - c/ ( ) ( ) 1 3 2; 1; 3 , : 1 , 2 2 x t M y t t z t  = +  − − ∆ = + ∈   = − +  ℝ d/ ( ) ( ) 3;1; 4 , : 1 , 2 x t M y t t z t  =  − ∆ = − ∈   = −  ℝ e/ ( ) ( ) 1 1; 2;3 , : 2 2 , 3 3 x t M y t t z t  = −  − ∆ = − − ∈   = −  ℝ f/ ( ) ( ) 1 2; 1;1 , : 2 , 3 x t M y t t z  = +  − ∆ = − + ∈   =  ℝ BT 52. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và cắt cả hai đường thẳng 1 2 , d d cho trước: a/ ( ) 1;0;5 , M 1 3 1 1 : , 2 2 1 y x z d − − − = = − 2 2 1 1 : 1 1 3 y x z d − − − = = − − b/ ( ) 4; 5;3 , M − − 1 3 1 2 : , 3 2 1 y x z d + + − = = − − 2 1 2 1 : 2 3 5 y x z d + − − = = − c/ ( ) 2; 1;1 , M − ( ) 1 1 : 2 , , 3 x t d y t t z  = +  = − + ∈   =  ℝ ( ) 2 1 3 : 2 , 3 x t d y t t z t ′  = +  ′ ′ = − + ∈   ′ = +  ℝ d/ ( ) 2;1; 1 , M − ( ) 1 1 3 : 2 4 , , 3 5 x t d y t t z t  = +  = − + ∈   = − +  ℝ ( ) 2 : , 2 x t d y t t z t ′  = −  ′ ′ = ∈   ′ =  ℝ e/ ( ) 2; 3; 1 , M − ( ) 1 2 : 1 2 , , 1 3 x t d y t t z t  = +  = − ∈   = +  ℝ ( ) 2 4 3 : 1 , 2 3 x t d y t t z t ′  = − +  ′ ′ = + ∈   ′ = − +  ℝ f/ ( ) 3; 2;5 , M − ( ) 1 3 3 : 1 4 , , 2 2 x t d y t t z t  = − +  = + ∈   = +  ℝ ( ) 2 3 2 : 1 , 2 3 x t d y t t z t ′  = +  ′ ′ = − ∈   ′ = −  ℝ BT 53. Viết phương trình đường thẳng d, biết d nằm trong ( ) mp P và cắt cả 2 đường thẳng 1 2 , : d d a/ ( ) : 2 0, P y z + = 1 1 : , 1 1 4 y x z d − = = − ( ) 2 2 : 4 2 , 1 x t d y t t z  = −  = + ∈   =  ℝ b/ ( ) : 6 2 2 3 0, P x y z + + + = ( ) 1 1 2 : 3 2 , , 1 x t d y t t z t  = +  = − ∈   = +  ℝ ( ) 2 1 : 2 , 1 3 x t d y t t z t ′  = −  ′ ′ = + ∈   ′ = −  ℝ c/ ( ) : 2 3 3 4 0, P x y z − + − = ( ) 1 7 3 : 4 2 , , 4 3 x t d y t t z t  = − +  = − ∈   = +  ℝ ( ) 2 1 : 9 2 , 12 x t d y t t z t ′  = +  ′ ′ = − + ∈   ′ = − −  ℝ d/ ( ) : 3 3 4 7 0, P x y z + − + = ( ) 1 1 : 2 2 , , 3 3 x t d y t t z t  = −  = − − ∈   = −  ℝ ( ) 2 1 : 2 , 3 x d y t t z t  =  ′ ′ = − + ∈   ′ = +  ℝ BT 54. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ và cắt 1 2 , , d d với: a/ 1 1 : , 2 1 2 y x z − − ∆ = = − 1 1 1 : , 1 2 1 y x z d + − = = − 2 1 2 3 : 3 2 1 y x z d + − + = = b/ 1 5 : , 3 1 1 y x z − − ∆ = = − 1 2 1 2 : , 1 4 3 y x z d + − − = = 2 7 4 : 5 9 1 y x z d + + = = c/ 3 1 2 : , 3 2 1 y x z + + − ∆ = = − − 1 2 2 1 : , 3 4 1 y x z d + − − = = 2 3 7 9 : 1 2 1 y x z d − − − = = − www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com . 2014) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho ( ) : 2 2 1 0 mp P x y z + − − = và đường thẳng 2 3 : 1 2 3 y x z d − + = = − . Tìm tọa độ giao điểm của d và ( ) mp P . Viết phương. trình nâng cao) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho đường thẳng có phương trình 1 1 : 2 2 1 y x z + − ∆ = = − . a/ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ . b/ Viết phương trình. (CĐ A, A 1 , B, D – 2014) Trong không gian với hệ trục tọa độ , Oxyz cho các điểm ( ) ( ) 2;1; 1 , 1;2; 3 A B− và mặt phẳng ( ) : 2 2 3 0 P x y z + − + = . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của