Hệ thống kiến thức Hình học 12

Dạng toán cơ bản:1 Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.. Có duy nhất một mặt phẳ

c b

a

M

B A

ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ∆ ABCvuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : BC2 = AB2+AC2

b) BA =BH.BC; CA =CH.CB2 2

c) AB AC = BC AH=2SABC

d) 12 = 12 + 12

e) BC = 2AM

f) sinB= , cosB= , tanB= , cotB=b c b c

g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB,

a =

B = C, b = c tanB = c.cot C

2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:

* Định lý hàm số Côsin: a2=b2+c2-2bc.cosA

2 2 2

b +c -a cosA=

2bc

⇒

* Định lý hàm số Sin: a = b = c =2R

sinA sinB sinC

* Độ dài đường trung tuyến: ( 2 2) 2

a

2 b +c -a

m =

4

3 Các công thức tính diện tích.

a/ Công thức tính diện tích tam giác:

S = a.h = a.bsinC = = p.r = p.(p-a)(p-b)(p-c)

với a+b+c

p=

2

Đặc biệt : *∆ ABC vuông ở A : S= AB.AC1

* ∆ ABC đều cạnh a: diện tích

2

S=

4 ; đường cao:

a 3 h= 2 b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh

c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng

d/ Diên tích hình thoi : S = 1

2(chéo dài x chéo ngắn)

d/ Diện tích hình thang : 1

2

S = [(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao] e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao

f/ Diện tích hình tròn : S=π.R2

KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11

A Dạng toán cơ bản:

1) Tính góc giữa hai đường thẳng:

PP1: Áp dụng định nghĩa:

a'//a

a,b = a';b' b'//b

⇒





PP2: Sử dụng tích vô hướng:

cos a;b = cos a;b =

a b

r r

r r

r r

2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

PP1: a⊥ ⇔b a.b=0r r

PP2: a//b

a c

b c



⊥ 

Vấn đề 1:

Hai đường thẳng vuông góc:

b' b

a' a

A Dạng toán cơ bản:

1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

PP1:









d a ,d b

a,b caét nhau

PP2:

a//b

a mp(P)

b (P)



2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng :

b (P)



PP2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc

3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d

và mặt phẳng(P) là góc giữa đường thẳng d và

hình chiếu d’ của nó trên (P)

PP: d’ là hình chiếu của d trên (P) ⇒ (d;

(P))=(d;d’)

4) ĐL: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho

trước.

Vấn đề 2:

Đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng

d

a b P

(P)

a'

a

b P

a

A Dạng toán cơ bản:

1) Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

PP1:

( ) ( )

( ), (( );( )) ( ; )

( ),





PP2: Sử dụng định lý về diện tích hình chiếu

'

S

2) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

PP1: (P)⊥ (Q) ⇔ ((P);(Q))=90 0

PP2: ( )

( ) ( ) ( )



3) Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng :

PP:

(P) (R)

(Q) (R)Δ (R)

(P) (Q)=Δ





4) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) Có duy nhất một mặt phẳng chứa a

và vuông góc với (P)

Vấn đề 3:

Hai mặ ặ t phẳng vuông góc

phẳng

b a

Q P

a b

P a

a

R

Q P

A Dạng toán cơ bản:

1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng ∆ :

Hạ MH vuông góc với ∆ tại H ⇒ d(M;∆)=MH

2) Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P):

Hạ MH vuông góc với (P) tại H ⇒ d(M;(P))=MH

3) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Lấy M bất kì thuộc (P) ⇒ d((P);(Q))=d(M;(Q))

3

) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

a) Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

 Nếu a⊥b thì ta dựng mặt phẳng(P) chứa b và vuông góc với a tại M, kẻ

MN⊥b tại N Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a và b

 Nếu a không vuông góc với b thì:

- Dựng mặt phẳng(Q) chứa b và song song với a

- Dựng hình chiếu a’ của a trên (Q), a’ cắt b tại J

- Dựng đường thẳng qua J và vuông góc với (Q) cắt a tại

I

Khi đó: IJ là đoạn vuôn góc chung của a và b.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

d(a;b)=MN

Vấn đề 4:

Khoảng cách

∆

P Q P

M

M

M

H

a

b P

M

N

a

a ' b M

N Q

P

KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12

PHẦN 1:THỂ TÍCH

A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N

I/ Các cơng thức thể tích của khối đa diện:

1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

V= B.h

với B : diện tích đáy

h : chiều cao







a) Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a.b.c

với a,b,c là ba kích thước

b) Thể tích khối lập phương:

V = a3

với a là độ dài cạnh

2 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:

V=1

3Bh với 





B: diện tích đáy

h : chiều cao

3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:

Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là

các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB,

SC ta cĩ:

SABC =

SA'B'C'

Chú ý:

1/ Đường chéo của hình vuơng cạnh a là d = a 2 ,

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,

Đường chéo của hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước a, b, c là d = a +b +c ,2 2 2

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = a 3

2 3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy) 4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

B KHỐI TRÒN XOAY:

1 Hình trụ , khối trụ và mặt trụ tròn xoay:

- Trục OO’

- Đường sinh MM’=l

- Bán kính R=OM, đường cao

h=OO’=MM’

- Diện tích xung quanh:

Sxq=2πRl

- Diện tích toàn phần:

Stp=2πRl+2πR2

- Thể tích khối trụ: V=πR2l

- Mặt trụ tròn xoay sinh ra khi

quay đường thẳng l song song

đt ∆ cố định và cách ∆ một

đoạn R không đổi

2 Hình nón, khối nón, mặt nón tròn xoay:

- Đường sinh SM=l

- Góc ở đỉnh là 2α

- Bán kính đáy R=OM, chiều

cao h=SO

l2=R2+h2

- Diện tích xung quanh:

Sxq=πRl

- Thể tích khối nón:

2

1

3

V = πR h

- Mặt nón tròn xoay sinh ra

khi quay đường thẳng l cắt ∆ cố

định và hợp với ∆ góc α không

đổi, góc ở đỉnh là 2α

M'

O

O'

M

h R

O

S

M

l h

R

3 Hình cầu, mặt cầu và khối cầu:

- Tâm O, bán kính R=OM

- Diện tích mặt cầu: S=4πR2

- Thể tich khối cầu: 4 2

3

V = πR

4 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:

Tâm O của mặt cầu nếu có là điểm cách đều tất cả các đỉnh của nên thuộc tất cả các mặt phẳng trung trực của các cạnh

Với tứ diện thì luôn tồn tại mặt cầu ngoại tiếp, tâm E là giao điểm của trục tam giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh bên

Với hình chóp thì điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp là khi đáy hình chóp là đa giác nội tiếp, lúc đó tâm E là giao điểm của trục tam giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh bên

PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm:

 Vectơ ur có toạ độ (x;y;z) ⇔ u=x.i+y.j+z.kr r r ur

 Điểm M có toạ độ (x;y;z) ⇔ OM=x.i+y.j+z.kuuuur r r ur

 Nếu điểm A(xA;yA;zA) và điểm B(xB;yB;zB) thì :

o AB=(x -x ;y -y ;z -z )uuur B A B A B A

 Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1:

 Trung điểm I của AB có tọa độ x +x A B y +y A B z +z A B

 Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ

R R O M

 Trọng tâm G của tứ diện ABCD có tọa độ

2 Tích vô hướng và tích có hướng:

Cho u=(x;y;z)r và v=(x';y';z')r Ta có:

 Các phép toán về vectơ:

o u ± v = (x±x' ; y±y' ; z±z')r r

o ku=(kx;ky;kz)r

o | u|= x +y +zr 2 2 2

 Tích vô hướng của hai vectơ:

o Biểu thức toạ độ: u.v=x.x'+y.y'+z.z' r r (= u v cos(u,v)r r r r )

x.x'+y.y'+z.z' cos(u,v)=

x +y +z x' +y' +z'

r r

 Tích có hướng của hai vectơ:

u v

r r

Vectơ u,vr r vuông góc với của hai vectơ ur và vr

 Một số tính chất:

o ur⊥ ⇔vr u vr r. =0

o ur và vr cùng phương ⇔ u,vr r = 0r

o ur, vr, wuur đồng phẳng ⇔ u,v w 0r r uur =

 Diện tích hình bình hành: S ABCD = AB,AD uuur uuur

 Diện tích tam giác : ABC

1

2 uuur uuur

 Thể tích hình hộp: V ABCD.A'B'C'D' = AB,AD AA' uuur uuur uuur

 Thể tích tứ diện : ABCD

1

6 uuur uuur uuur

3 Phương trình mặt cầu:

 Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R Phương trình có

dạng:

(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2

 Dạng 2: Phương trình có dạng: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0,

với điều kiện : a2+b2+c2>d, là phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) và

có bán kính R= a +b +c -d2 2 2

* Giao điểm của mặt phẳng (α ) và mặt cầu (S):

Gọi IH là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (α); R là bán kính mặt cầu:

o IH>R : (α)∩(S)=φ

o IH=R : (α)∩(S)=H

o IH<R : (α)∩(S)=(C)

Cách xác định tâm và bán kính của đường tròn

(C):

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua I

và vuông góc với (α): u =nuur uurdα

 Tâm H của đường tròn (C): H=d∩(α)

 Bán kính r của (C): r= R -IH2 2

4 Phương trình mặt phẳng:

 Mặt phẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến n=(A;B;C)r

có phương trình: A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0

 Phương trình : Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0 là phương trình mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là n=(A;B;C)r

 Chú ý:

- Phương trình các mặt phẳng đặc biệt:

mp(Oxy):z=0 ;

mp(Oyz):x=0 ;

mp(Oxz):y=0

- Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng có vectơ pháp tuyến n= AB,ACr uuur uuur và ta gọi AB, ACuuur uuur là cặp vectơ chỉ phương của mp(ABC).

- Pt mặt phẳng theo đoạn chắn trên 3 trục toạ độ: Mp đi qua M(a;0;0), N(0;b;0) và P(0;0;c) có phương trình là: x y z+ + =1

a b c

R r I

H

- Mp chứa hai đường thẳng cắt nhau: Nếu (P) =mp(d,d’) thì (P) có vectơ pháp tuyến là n=r u uuur uurd, d'

5 Phương trình đường thẳng:

Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương là u=(a;b;c)r Khi đó:

 Phương trình tham số của d là:

0 0 0

x=x +at y=y +bt z=z +ct











 Phương trình chính tắc của d (khi abc≠0) là: x-x0 y-y0 z-z0

6 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Nếu (α) có phương trình Ax+by+Cz+D=0 và (α’) có phương trình A’x+B’y+C’z+D’=0 thì:

• (α) và (α’) cắt nhau khi và chỉ khi A:B:C≠A’:B’:C’

• (α) và (α’) song song khi và chỉ khi A =B= C D

A' B' C'≠ D'

• (α) và (α’) trùng nhau khi và chỉ khi A= B= C D

A' B' C'= D'

• (α) và (α’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi AA’+BB’+CC’=0

7 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Nếu đường thẳng d đi qua điểm M0, có vectơ chỉ phương ur và đường thẳng d đi qua điểm '

0

M , có vectơ chỉ phương u'ur thì:

• d và d’ trùng nhau ⇔   u,u' = u,M M =0  0 '0

uuuuuur

• d//d’

0

' 0

u,u' =0

 



⇔ 

 ≠



r ur r uuuuuur

• d và d’ cắt nhau

'

0 0

u,u' M M =0 u,u' 0

⇔ 

  ≠

 



uuuuuur

r ur

r ur r

• d và d’ chéo nhau ⇔u,u' M Mr ur uuuuuur0 '0 ≠0

8 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Nếu mp(α):Ax+By+Cz+D=0 và đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0z0),

có vectơ chỉ phương u=(a;b;c)r Khi đó:

• d cắt (α) ⇔ Aa+Bb+Cc≠0

• d//(α)

0 0 0

Aa+Bb+Cc=0

Ax +By +Cz +D 0





• d ⊂(α)

0 0 0

Aa+Bb+Cc=0

Ax +By +Cz +D 0





9 Khoảng cách:

 Khoảng cách gữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là:

( ) ( 2 ) ( 2 ) 2

 Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0z0) đến mặt phẳng (α) có phương trình

Ax +By +Cz +D

d M ,(α) =

A +B +C

 Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng ∆ đi qua M0 và có vectơ chỉ phương ur là: 1 0 1

M M ,u d(M ,Δ)=

u

uuuuuur r r

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆’, trong đó ∆ đi qua điểm M0, có vectơ chỉ phương ur và đường thẳng ∆’ đi qua điểm

'

0

M , có vectơ chỉ phương u'ur là:

'

0 0

u,u' M M d( ,Δ')=

u,u'

∆

uuuuuur

r ur

r ur

10 Góc:

 Góc giữa hai đường thẳng: cosφ= u.u' = 2 a.a'+b.b'+c.c'2 2 2 2 2

u u' a +b +c a' +b' +c'

r ur

r ur

 Góc giữa hai mặt phẳng: cosφ= n.n' = 2 A.A'+B.B'+C.C'2 2 2 2 2

n n' A +B +C A' +B' +C'

r ur

r ur

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

n.u A.a+B.b+C.c

n u A +B +C a +b +c

r r

r r