Ôn thi đại số tuyến tính

Mục lục Không gian vecto Ma 2.1 2.2 2.3 2.4 trận ánh xạ tuyến tính Ma trận Ánh xạ tuyến tinh Hạt nhân ảnh đồng cấu f (Kerf-null f, Imf-rank f) Không gian đối ngẫu Định thức hệ phương trình tuyến tính 3.1 Các phép 3.2 Định thức 3.3 Ánh xạ đa tuyến tính 3.4 Định thức tự đồng cấu 3.5 Các tính chất định thức 3.6 Định thức hạng ma trận 3.7 Giải hệ phương trình tuyến tính 3.8 Cấu trúc nghiệm 3.9 Ứng dụng phương pháp biến đổi sơ cấp 3 5 7 7 8 8 Cấu trúc tự đồng cấu 11 Không gian vecto Euclid 13 Dạng song tuyến tính dạng toàn phương 16 1 Không gian vecto Để nghiên cứu tập hợp vô hạn phần tử ta nghiên cứu phần tử mà nghiên cứu đại diện, phần tử tiêu biểu Đó sở không gian vecto hạng tập vecto Muốn có khái niệm ta cần xây dựng khái niệm Không Gian vecto để biết mối quan hệ phần tử tác động từ bên vào ? (Đó hai phép toán cộng tác động vô hướng) Khái niệm KGVT đẹp nhất, đặc biệt dễ có nhiều thông tin có phép toán cộng Abel tác động trường (chú ý trường thực đầy đủ phép toán cộng trừ nhân chia nên có đầy đủ phần tử đơn vị, đối, nghịch đảo, nói chung đẹp đẹp :D) Khi có khái niệm KGVT, ta xây dựng khái niệm thtt,bttt,dltt,pttt,hệ sịnh để định nghĩa sở (cơ sở độ thỏa mái, độ rộng, độ lớn, to, tập hợp - ý đại số tuyến tính xét tập có số chiều hữu hạn) Ta trình bày cách tìm sở định lý 3.2 (cơ sở =bttt nhất= hệ sinh + dltt=dltt cực đại) đặc biệt ta cần nhớ ma trận chuyển sở chuyển tọa độ Ngoài ra, việc xét hệ độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính đưa giải hệ phương trình trình bày mục Mà việc tìm sở, hạng xét ràng buộc tuyến tính để tìm hệ số giải hệ phương trình Tiếp đó, ta xem xét tập W khác rỗng (bởi tập rỗng chả có mà làm cả) KGVT V có tính chất hai phép toán cộng tác động trường hẹn chế W tập gọi KGVT V Nhờ khái niệm KGVT mà tập thương V /W không gian vecto (Tức W không không gian vecto V cách xây dựng phép toán kế thừa từ V lớp tương đương V/ W phụ thuộc vào việc chọn đại biểu).Việc tìm sở Không gian thương V /W chứng minh 6.3, tức W có sở A vecto bổ sung vào A để có sở V vecto bổ sung lớp tương đương lập thành sở không gian thương Hơn nữa, từ khái niệm KGVT ta xây dựng khái niệm tổng tổng trực tiếp không gian vecto Từ định nghĩa thấy tổng hai KGVT KGVT con, đặc biệt tổng hai KGVT có phần tử biểu thị qua hai thành phần KGVT tổng gọi tổng trực tiếp (Chú ý KGVT chung phần tử trung hòa nên có biểu thị trên) Từ khái niệm tổng trực tiếp hai KGVT ta dẫn đến phép chiếu tập mẹ theo chiều KGVT để nhận KGVT lại (Nhắc lại : f gọi phép chiếu f = f ◦ f = id) Chẳng hạn, Xét R2 ta có R2 = Ox ⊕ Oy vecto v(vx , vy ) chiếu theo Oy lên Ox ta vx Dễ dàng hiểu V = U ⊕ W W gọi phần bù tuyến tính U V dim W gọi đối chiều U V Chú ý với V1 KGVT V tồn V2 cho : V = V1 ⊕ V2 Chẳng hạn, R2 = Ox ⊕ Oy = Ox ⊕ {y = 1} Nhờ khái niệm KGVT ta xây dựng độ thỏa mái tập hợp X V Đó KGVT nhỏ X kí hiệu £(X) (Chính thtt vecto X), độ thỏa mái X kí hiệu rank(X) (Tức sở £(X)), số vecto dltt cực đại X, tức số chiều £(X) Tóm lại, phần không gian vecto có hai thứ phải cần nhớ KGVT cở sở Có KGVT ta có không gian thương, có tổng tổng trực tiếp không gian vecto con, từ khái niệm tổng trực tiếp sinh cách xây dựng phép chiếu cuối không gian £(X) - KGVT nhỏ chứa X , tập hợp tất vecto tổ hợp tuyến tính X Cơ sở độ rộng, phần tử đại diện cho tập hợp, ta cần làm việc sở xong Chú ý đến tìm sở không gian thương độ thỏa mái tập X rank(X) ý khái niệm phần bù tuyến tình , đối chiều tổng trực tiếp hai KGVT Đặc biệt, ta nhắc trên, toàn việc xử lý dltt,pttt, sở, quy hết giải hệ phương trình, ma trận, Trong chương ta nghiên cứu ma trận để phục vụ việc giải hệ phương trình Khi có nghiệm hệ phương trình ta kết luận sở chương tiếp kết luận Im,Ker,rank, Tiếp nghiên cứu cấu trúc nghiệm, không gian nghiệm, cách điều chỉnh để nghiện đưa đẹp mỹ mãn với nhiều loại khác Ma trận ánh xạ tuyến tính Mối liên hệ KGVT ánh xạ tuyến tính, ánh xạ tuyến tính bảo toàn phép toán tác động tương ứng hai KGVT Ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định biết ảnh sở, tức ta thể đặt tương ứng axtt ma trận Đặc biệt, qua ánh xạ tuyến tính ảnh KGVT thành KGVT nghịch ảnh KGVT KGVT Khi đó, KGVT Ker,Im KGVT đặc biệt quan trọng, cho nhiều thông tin đến axtt tức mối liên hệ KGVT, cụ thể : (tự) đơn cấu, (tự) toàn cấu, (tự) đẳng cấu liên hệ số chiều Một phần quan trọng Không gian đối ngẫu, thay làm KGVT cảm thấy khó khăn, ta xét hàm tuyến tính KGVT Tại lại nghĩ đến hàm tuyến tính ? Như ta biết, KGVT thực (phức) có thông tin dễ dàng Mà ánh xạ tuyến tính cho tương ứng thông tin từ KGVT nguồn đích với Do vậy, biết thông tin tập hợp axtt cho ta thông tin KGVT thông qua KGVT thực phức Tóm lại, để xét mối quan hệ KGVT ta xét axtt Những thông tin KGVT tập nguồn tương ứng với KGVT tập đích cho ta nhiều thông tin axtt ngược lại, biết axtt cho ta biết tương ứng KGVT Chú ý axtt xác định ma trận, nhìn vào ma trận axtt cho nhiều thông tin Ngoài ra, ta thường ý đến KGVT đối ngẫu, ánh xạ đối ngẫu, Để chi tiết ta làm rõ phần sau 2.1 Ma trận Tập hợp tất ma trận cỡ mxn , hệ số K M(mxn,K) vành có đơn vị, không giao hoán lập thành KGVT Ma trận C chuyển từ sở (α1 , , αn ) sang (α1 , , αn ) (α1 , , αn ) = (α1 , , αn )C dễ dàng nhận xét C ma trận khả nghịch C −1 ma trận chuyển sở từ (α1 , , αn ) sang (α1 , , αn ) Công thức chuyển tọa độ α = xi αi = xi αi tức       x1 x1 x1 α = (α1 , , αn )   = (α1 , , αn )C   = (α1 , , αn )   xn xn xn     x1 x1 Vậy,   = C   xn xn GL(n,K) nhóm tuyến tính tổng quát, tức tập hợp ma trận vuông cỡ n hệ số K với phép toán nhân ma trận Chú ý: Trong việc tìm ma trận chuyển giải hệ phương trình tuyến tính Công thức chuyển tọa độ 2.2 Ánh xạ tuyến tinh Ánh xạ tuyến tính xác định hoàn toàn ảnh sở Cho f : V −→ W đồng cầu cố định tồn g : W −→ V đồng cấu f đơn cấu gf = idV f toàn câu f g = idW f đẳng cấu vừa đơn cấu, vừa toàn cấu Khi V ∼ = W ⇔ dimV = dimW Theo ta có A gọi ma trận ánh xạ tuyến tính f : V −→ W cặp sở (α1 , , αn ) ∈ V, (β1 , , βm ) ∈ W (f (α1 ), , f (αn )) = (β1 , , βm )A Công thức chuyển tọa độ α = xi αi f (α) = yj βj       x1 x1 y1 f (α) = (f (α1 ), , f (αn ))   = (β1 , , βm )A   = (β1 , , βm )   xn xn ym     y1 x1 Vậy   = A   ym xn Chú ý: công thức chuyển tọa độ hàm hợp làm tương tự.A,B tương ứng f,g BA tương ứng gf Tập đồng cấu từ V vào W £(V, W ) ∼ = M (m × n, K) tập tất tự đồng cấu V :End(V ) vành không giao hoán có đơn vị, tập tất tự đẳng cấu V :GL (V) nhóm phép hợp thành ánh xạ Ma trận chuyển liên hệ với ma trận đồng dạng tự đồng cấu f Gọi C ma trận chuyển : (α1 , , αn ) = (α1 , , αn )C A ma trận tự đồng cấu f ∈ End(V ) sở (α1 , , αn ) Khi ma trận f sở (α1 , , αn ) C −1 AC Hệ quả, hai ma trận vuông gọi đồng dạng với chúng ma trận tự đồng cấu f sở 2.3 Hạt nhân ảnh đồng cấu f (Kerf-null f, Imf-rank f) Ánh xạ tuyến tính f : V −→ W f đơn cấu ⇔ (rank f số chiều Imf )rank f=dim V ⇔ Kerf=0 (0 không gian V chứa phần tử trung hòa 0, tức KGVT tầm thường 0) f toàn cấu ⇔ rank f= dim W Chú ý: Nếu f tự đồng cầu ta có : đơn cấu ⇔ toàn cấu ⇔ đẳng cấu Định lý đồng cấu nói ánh xạ tuyến tính không làm tăng số chiều không gian vecto, tức dimf (U ) ≤ dimU với U KGVT KGVT nguồn dimV = dimKerf + dimImf = dimKerf + rankf Hạng ma trận A hạng KGVT cột Ta chứng minh hạng ma trận hạng axtt tương ứng với ma trận Tóm lại, A ma trận f rankA=rankf 2.4 Không gian đối ngẫu Không gian đối ngẫu V ∗ V tập hợp tất ánh xạ tuyến tính từ V vào trường K Khi dễ dàng có dimV ∗ = dimV × dimK Ánh xạ đối ngẫu đồng cấu f : V −→ W ánh xạ f ∗ : W ∗ −→ V ∗ xác định f ∗ (φ)(x) = φ(f (x)) Về mặt hình học ta nhìn rõ Cơ sở V ∗ sở V có tính chất sau αi∗ (αj ) = δij Ngoài ra, ta giới thiệu thêm phép pushforward f ảnh df (dfa phép chuyển từ mặt phẳng tiếp xúc a ∈ V sang mặt phẳng tiếp xúc f (a) ∈ W - ý mặt phẳng tiếp xúc a phép lấy đạo hàm a), fullback f ảnh d(f ∗ ) Trong chương sang ta nói rõ ứng dụng phần dựa tensor để sinh khoảng cách, hay tích (tức thay phiên + tensor) để sinh thể tích, từ ta sinh định nghĩa tích phân tích Vậy có khoảng cách, tích nên định nghĩa hình học rõ Trong chương tiếp ta nói rõ ý nghĩa định thức việc giải hệ ý nghĩa tính thể tích hình học từ tổng quát định thức nên tích (định thức thực tích vecto cột) Tính chất khác ánh xạ đối ngẫu quan trọng A ma trận đồng cấu f cặp sở X Y At ma trận đồng cấu f ∗ cặp sở đối ngẫu Y ∗ X ∗ f đơn cấu ⇔ f ∗ toàn cầu Chú ý: • A ma trận đồng cấu f cặp sơ (α1 , , αn ) (β1 , , βm ) dim(số vecto cột A) = rankA = rankf = dim(Imf ) = dim(f (α1 ), , f (αn )) • f : V −→ W đồng cấu V /Kerf ∼ = Imf, dimV = dimKerf + dimImf = nullf + rankf = nullf + rankA = , dimf (U ) ≤ dimU với U không gian V Trường hợp đặc biệt, dimf (Kerf ) = dim{0} ≤ dimKerf dimf (V ) = dimImf ≤ dimV Định thức hệ phương trình tuyến tính Như phần trước ta biết ánh xạ tuyến tính tương ứng với ma trận cặp sở Khi với công thức chuyển tọa độ đưa việc giải hệ phương trình tuyến Ta nhắc lại A gọi ma trận ánh xạ tuyến tính f : V −→ W cặp sở (α1 , , αn ) ∈ V, (β1 , , βm ) ∈ W (f (α1 ), , f (αn )) = (β1 , , βm )A Công thức chuyển tọa độ α = xi αi f (α) = yj βj       x1 x1 y1 f (α) = (f (α1 ), , f (αn ))   = (β1 , , βm )A   = (β1 , , βm )   xn xn ym     y1 x1 Vậy   = A   ym xn Bài toán đặt đơn giản biết f (α), tìm α Khi ta cần giải hệ phương trình Ax = y Phần cuối chương ta nêu ứng dụng ma trận A vào việc tìm sở, số chiều không gian sinh hệ vecto, Kerf, Imf , không gian thương chứng minh đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu biết rõ ánh xạ f (hoặc biết rõ ảnh sở ánh xạ tuyến tính xác định rõ biết ảnh sở) Thực ra, ứng dụng đời xuất phát từ việc ứng dụng phương pháp biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận nên ta làm toán : tìm ma trận chuyển, tìm ma trận khả nghịch, giải hệ phương trình, Ta có hai cách giải thông thường phương pháp Cramer phương pháp Gauss Phương pháp Cramer cho ta số thông tin nghiệm thông qua định thức trước tìm xác nghiệm Phương pháp Gauss không cho ta thông tin trước giải nghiệm lại thuận tiện tính toán Về mặt cấu trúc nghiệm phương trình tổng quát Ax=y (cụ thể coi α x f (α) y), y=0 tức f (α) = hay nói cách khác nghiệm Ax = không gian vecto Kerf (rõ ràng với nghiệm Ax=0 ta xác định rõ α = x1 e1 + xn en ) Đặc biệt, người ta chứng minh gọi x0 nghiệm Ax=y tập tất nghiệm phương trình x0 + Kerf hay nói cách khác x1 x2 nghiệm Ax = y [x1 ] = [x2 ] ∈ V /Kerf Chú ý, cho ma trận A cỡ m × n ta có ánh xạ f : V n −→ W m xác định f (x1 , , xn ) = Ax (Để cho dễ dàng ta chọn V n W m trường vecto K n K m để lấy sở tắc thuận tiện cho tính toán) Lưu ý: cấu trúc nghiệm cho ta thấy liên hệ chặt chẽ với định lý đồng cấu vành qua hệ thức dimV = dimKerf + dimImf (Chú ý dim Imf liên hệ chặt chẽ với ma trận A qua hệ thức dim Imf = rank f= rank A = rank At ) Tích Λn (V ) tập hợp £(V n , K) (là tập hợp hàm k tuyến tính V) cộng với tính chất thay phiên, nhiều để có nhiều ứng dụng việc xây dựng tích phân người ta xét k tensor để có nhiều tính chất Ý nghĩa Λn (V ) tập phép đo thể tích có hướng V Chẳng hạn, cho V không R3 tích lấy định thức, ta có det : V × V × V −→ R xác định det(α1 , α2 , α3 ) = |A| với A ma trận ba vecto cột ta dễ dàng thức định thức A thể tích hình hộp tạo ba vecto cột Rõ ràng hơn, ta kiểm nghiệm lại công thức tính thể tích hình học cấp áp dụng tích có hướng tính vô hướng |A| = thể tích có hướng = [α1 , α2 ]α3 (ta dùng khái niệm thể tích có hướng |A| dương âm) Do vậy, xét f : V −→ V ánh xạ tuyến tính, ta hiểu f ánh xạ thay đổi thể tích hình hộp n chiều, thể tích hình hộp qua ánh xạ f có tỉ lệ xác det(f ) (det(f ) =det A với A ma trận f sở đó) Do vậy, việc nghiên cứu tính toán định thức quan trọng việc xem xét KGVT nghịch ảnh hình học vi phân tính thể tích 3.1 Các phép sgn(σ) = i=j σ(i) − σ(j) ∈ {−1, +1} i−j sgn(λσ) = sgn(λ)sgn(σ) 3.2 Định thức detA = |A| = σ∈Sn sgn(σ).aσ(1),1 aσ(n),n với A = (aij )m×n Khai triển Laplace Tính định thức cách đưa ma trận chéo nhờ phương pháp biến đổi sơ cấp Định thức có tính chất tuyến tính thay phiên 3.3 Ánh xạ đa tuyến tính giúp detA = tương đương với hệ vecto cột ma trận A độc lập tuyến tính 3.4 Định thức tự đồng cấu Định nghĩa cho f ∈ End(V ) det(f ) : Λk (V )∗ −→ Λk (V )∗ xác định det(f )ϕ(α1 , , αk ) = ϕ(f (α1 ), , f (αk )) hay nói cách khác định thức hệ vecto (α1 , , αk ) pushforward hệ vecto qua ánh xạ f Ta chứng minh kết det(f ) = detA với A ma trận tự đồng cấu f sở Hệ A,B ma trận tự đồng cấu f sở khác det(f ) = detA = detB Hơn nữa, giả sử f đơn cấu ta có rankf = dimV mà rankf = rankA tức ma trận A có định thức khác 0, ta lại có f tự đồng cấu tính đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu tương đương Tóm lại, f tự đẳng cấu (có thể nói tự đơn cấu, tự toàn cấu được) det(f ) = detA = hay rankf = rankA = dimV Chú ý f : V −→ W đơn cấu rankf = dimV , toàn cấu rankf = dimW 3.5 Các tính chất định thức Det(AB)=detAdetB A khả nghịch detA = , cụ thể có công thức tính A( − 1) qua phần bù đại số định thức A ta thường dùng cách tìm ma trận khả nghịch thông qua phép biến đổi sơ cấp dễ tính toán 3.6 Định thức hạng ma trận Định nghĩa hạng ma trận thông qua định thức , hạng ma trận cấp cao ma trận có định thức khác Hệ rankA = rankAt Thông thường tính hệ người ta biến đổi thông qua phương pháp biến đổi sơ cấp 3.7 Giải hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa nghiệm qua định thức cho biết thông tin nghiệm qua định thức mà không cần phải giải rõ Giải nghiệm phương pháp biến đổi sơ cấp theo hàng(tương tự theo cột): đổi chỗ hàng, nhân hàng với vô hướng khác cộng tổ hợp tuyến tính hàng vào hàng Ứng dụng để tính hạng ma trận Ứng dụng để tìm ma trận nghịch đảo: ta dùng phép biến đổi nhân hàng với vô hướng khác cộng vào hàng tổ hợp tuyến tính hàng khác Ứng dụng để tìm định thức ma trận (dựa vào tính chất tuyến tính thay phiên): đổi chỗ hai hàng định thức đổi dấu, nhân a vào hàng với số khác định thức ma trận phải giảm cộng tổ hợp tuyến tính hàng khác vào định thức không a đổi tính chất thay phiên 3.8 Cấu trúc nghiệm Tập nghiệm L Ax = không gian có số chiều dim L=dimK n - rank A Cụ thể xét f : K n −→ K m có A ma trận ánh xạ tuyến tính tập nghiệm x = (x1 , , xn ) không gian Kerf gồm tập hợp α = x1 e1 + +xn en với e1 , , en sở K n Rõ ràng dựa vào định lý đồng cấu ta có dimK n = dimKerf + dimImf = dimKerf + rankA Tập nghiệm Ax = y lập nên lớp tương đương K n /L ¯ Ax=y có nghiệm rankA = rank A 3.9 Ứng dụng phương pháp biến đổi sơ cấp Cho đồng cấu f : V n −→ W m biết rõ ràng Bài toán đặt tìm ma trận ánh xạ tuyến tính; tìm sở, số chiều Kerf, Imf; chứng minh f đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu có Bước Viết ma trận ánh xạ tuyến tính cặp sở họ yêu cầu (α1 , , αn ) (β1 , , βm ) Khi A ma trận thỏa mãn (f (α1 ), , f (αn )) = (β1 , , βm )A Lúc ta viết hệ thức dạng sau với α = xi αi f (α) = yj βj       x1 x1 y1 f (α) = (f (α1 ), , f (αn ))   = (β1 , , βm )A   = (β1 , , βm )   xn xn ym     x1 y1 Vậy A   =   hay ngắn gọn lại Ax=y xn ym Bước Tìm sở số chiều Kerf, Imf Trước tiên ta nhắc đến lại chút hệ thức liên quan đến số chiều Kerf Imf dimV = dimKerf + dimImf = dimKerf + rankf = dimKerf + rankA tất quy làm việc với rank A Nhắc lại rankA gì? rankA số vecto cột độc lập tuyến tính cực đại, thường xuyên biến đổi ma trận theo hàng nên phải đến số vecto hàng độc lập tuyến tính cực đại (do rankA = rankAt ) Cách tìm sở Kerf sau, giả sử α ∈ Kerf có dạng α = x1 α1 + + xn αn ta có       x1 x1 f (α) = f (α1 ) f (αn )   = (β1 βm )A   = (β1 βm )   xn xn Tức Ax=0 Giả sử rank A=k, tồn nghiệm sau phương pháp biến đổi sơ cấp   x1 = g1 (xk+1, ,xn )   xk = gk (xk+1 , , xn ) Vậy α = g1 α1 + +gk αk +xk+1 αk + +xn αn = xk+1 hk+1 (α1 , , αn )+ +xn hn (α1 , , αn ) Ta chứng minh (hk+1 , , hn ) sở Kerf Thật vậy, độc lập tuyến tính : hệ sinh α = x1 α1 + + xn αn = xk+1 hk+1 (α1 , , αn ) + + xn hn (α1 , , αn ), dltt xét buộc tuyến tính = xk+1 hk+1 (α1 , , αn ) + + xn hn (α1 , , αn ) = x1 α1 + + xn αn với x1 , , xk tồn tại, x1 = x2 = = xn Bây ta chuyển sang tìm sở Imf Giả sử β ∈ Imf ta có α ∈ V cho f (α) = β ta biểu diễn       x1 x1 y1 f (α) = (f (α1 ) f (αn ))   = (β1 βm )A   = (β1 βm )   = β xn xn ym viết ngắn gọi lại ta có Ax = y tồn α ∈ V để f (α) = β tức hệ phương trình Ax = y tồn nghiệm Giả sử A có hạng k, ta có hàng thứ k + đến hàng thứ m có dạng  gk+1 (y1 , , ym ) =  tức có mà trận By = 0, giả sử B có hạng l ta đưa   gn (y1 , , ym ) =0  y1 = h1 (yl+1 , , ym )  dạng   yl = hl (yl+1 , , ym ) Vậy β = y1 β1 + ym βm = h1 β1 + + hl βl + yl+1 βl+1 + + ym βm = yl+1 tl+1 (β1 , βm ) + + ym βm (β1 , , βm ) sở cần tìm (tl+1 , , tm ) Ta chứng minh (tl+1 , , tm ) sở Imf tương tự kerf Bước Chứng minh đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu ta sử dụng định lý sau Nếu đồng cấu f đơn cấu rankf = dimV Mà rankf = rankA nên toán coi xong Nếu đồng cấu f toàn cấu rankf = dimW Mà rankf = rankA nên toán coi xong Nếu tự đồng cấu f tính đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu tương đương (Hiển nhiên có rankf = dimV = dimW ) Tìm sở không gian sinh hệ vecto Từ tìm sở không gian V1 ∪ V2 , V1 ∩ V2 biết V1 V2 sinh vecto Cách làm coi hệ vecto ma trận vecto hàng Khi ta biến đổi phương pháp sơ cấp không thay đổi hàng Giả sử ma trận có hạng k k vecto hàng khác sở không gian sinh vecto cho Chứng minh ngược lại hệ vecto sở dễ dàng Để tìm sở không gian V1 ∩ V2 , trước tiên ta tìm sở không gian sở không gian hợp từ suy sở không gian giao Lưu ý ta biết cở sở V1 V2 V1 ∪ V2 , sở V1 ∪ V2 sở bổ sung vecto từ V1 V2 nên ta tìm sở V1 ∩ V2 Một loại khác, biết sở KGVT P V sở KGVT V , sở KGVT V sở cở sở P bổ sung lên, yêu cầu tìm không gian thương V /P Bài toán ta làm sau Tìm sở không gian thương V n /P với P không gian V n (hay W m /Q với Q không gian W m Cách làm tìm sở không gian P (α1 , α2 , , αr ) ta bổ sung vecto để có sở V (α1 , α2 , , αr , αr+1 , , αn ) Xét ma trận A ma trận vecto cột (α1 , , αn ), rankA=n Do phép biến đổi sơ cấp ta có ma trận cỡ n×r chéo hạng r, để có ma trận hạng n đường chéo khác phần đường chéo hết Do vậy, xét cột r+1, ta có hr+1,r+1 (αr+1,1 , , αr+1,n ) = 0, hr+1,i (αr+1,1 , , αr+1,n ) = với i = r + n, dựa vào ta dễ dạng chọn αr+1 = (αr+1,1 , , αr+1,n ) Tương tự với cột r + 2, , n Các toán khác dùng định nghĩa • Tìm ma trận chuyển sở 10 • Tìm ma trận khả nghịch Lưu ý cách tìm ma trận A khả nghịch tức biến đổi Ax = y dạng x = By B ma trận nghịch đảo A, cụ thể để dễ tính toán ta kí hiệu (A|En ) dạng (En |B) tương đương với khẳng định Tóm lại, ta hiểu tìm ma trận khả nghịch theo dạng giải hệ phương trình hay theo dạng ma trận mở rộng Chú ý trình biến đổi, ma trận khối bên trái xuất dòng toàn số không ma trận không khả nghịch, hay nói cách khác định thức ma trận lúc hay hạng ma trận nhỏ hẳn n Do đề bắt chứng minh ma trận không khả nghịch ta tìm hạng ma trận chứng minh hạng nhỏ n Lưu ý ma trận cấp n ta biến đổi tương tự để đưa ma trận chéo phương pháp làm có nét giống dạng tính định thức Ngoài ra, để chứng minh ma trận không khả nghịch ta chứng minh ma trận có giá trị riêng (Thật vậy, giá trị riêng tức định thức 0, lưu ý chiều ngược lại , ma trận có tất giá trị riêng khác ma trận khả nghịch) • Tính hạng hệ vecto ( Hay nói cách khác tìm số chiều không gian nhỏ sinh hệ vecto) Các làm loại dùng định nghĩa, hạng hệ vecto hạng ma trận vecto cột Tính định thức • Biến đổi ma trận chéo (Thường dùng phép biến đổi sơ cấp, để đưa cột dạng có phần tử giống phần tử đường chéo để cộng vào cho hết, nhiều dễ dàng ta cần cộng hàng, cột, vướng hàng ta khai triển Laplace để biến nó; có tổng hàng ta cộng lại thành cột rút phần tử chung cột toàn số nhân với số thích hợp để triệt tiêu số hạng đường chéo) • Phân tích thành tổng định thức dựa vào tính chất tuyến tính định thức.(Thường phân tích vecto cột thành vecto ei + v để triển Laplace đưa công thức truy hồi) • Biểu diễn ma trận thành tích hai ma trận (Sử dụng với phần tử aij tổng tích) Cấu trúc tự đồng cấu Mục đích với tự đồng cấu cần tìm sở cho ma trận tự đồng cấu ứng với sở đơn giản, tốt Vì xét KGVT, ta cần xét sở đủ, sở mà cho A đơn giản f có ảnh đơn giản f gọi tốt Hay tức là, ánh xạ tuyến tính xác định biết ảnh sở, ảnh sở đơn giản tốt, phải chọn sở để ảnh đơn giản Chú ý f đơn giản tức A đơn giản, A đơn giản có dạng chéo khối chéo Để xây dựng ma trận A tự đồng cấu f xác định rõ sở cần tìm để ma trận dạng chéo, dạng khối chéo ta cần xây dựng khái niệm không gian ổn định, vecto riêng, giá trị riêng Nhưng phải kể đến hình thành không gian ổn định bắt nguồn từ việc nghiên cứu f toàn không gian V khó khăn V lơn nên người ta muốn tránh điều cách hạn chế f lên số không gian U V Nhưng hạn chế tự đồng cấu U không gian phải có tính chất đặc biệt f (U ) ⊂ U Khi đó, U gọi không gian ổn định (của f) Câu hỏi tự nhiên tìm không gian ổn định ? tiếc phương pháp tổng quát với trường hợp không gian ổn định chiều ta có cách làm 11 tổng quát Giả sử L không gian f- ổn định chiều sinh vecto α = Do f (L) ⊂ L nên tồn λ cho f (α) = λα Nhận xét rằng, tồn sở V gồm toàn vecto riêng, tức sở (α1 , , αn ) với {αi } không gian f ổn định chiều ứng với giá trị riêng λi Do đó, (f (α1 ) f (αn )) = λ1 α1 + + λn αn = (α1 αn )B với B ma trận có diag(λ1 , , λn ) tức dạng chéo ta nói f chéo hóa ma trận A ứng với f sở chéo hóa Hay nói cách khác A đồng dạng với ma trận B chéo A gọi chéo hóa được, từ hai ma trận đồng dạng với chúng có giá trị riêng trùng nhau, trùng theo nghĩa nghiệm bội Do ta cần biết cách tìm giá trị riêng vecto riêng coi tìm ma trận chéo, tức chéo hóa f chéo hóa ma trận ứng với f Lưu ý ta coi f xác định rõ biết ma trận A sở Cách để tìm giá trị riêng vecto riêng, Giả sử f xác định rõ biết A ma trận f sở (e1 , , en ) Gọi α = xi ei Ta biết f (α) = λα = λidV (α) ⇔ (f − λidV )(α) = (tức α ∈ Ker(f − λidV )) Mà A − λEn ma trận ứng với f − λidV nên ta có (A − λEn )(x1 xn )T = Do α vecto khác nên hệ phương trình có nghiệm khác tức det(A − λEn ) = Tóm lại λ nghiệm det(A − λEn ) = Để tìm α = xi ei (tức tìm (x1 , , xn )T ) ứng với giá trị riêng λ ta dựa vào hệ phương trình (A − λEn )(x1 xn )T = Ta có số điều kiện chéo hóa Chéo hóa có n vecto riêng khác Tự đồng cấu f có tính chất f = f f chéo hóa Mỗi vecto riêng ứng với giá trị riêng khác độc lập tuyến tính với tổng không gian ổn định chiều vecto riêng tổng trực tiếp Điều kiện cần đủ để f chéo rank(f − λi idV ) = rank(A − λi En ) = si với si nghiệm bội λi phương trình đặc trưng Nói rõ hơn, λ có bội si phải có si giá trị riêng ứng với λ giá trị riêng nghiệm thuộc Kerf (f − λidV ) có số chiều si Ta nói rõ đối không gian ổn định tự đồng cấu thực phức cho ta không gian ổn định hai chiều giá trị riêng nhận giá trị thực phức Thật vậy, giả sử λ = a + ib với b = tìm vecto riêng z = α + iβ = (xi + iyi )ei £(α, β) không gian ổn định hai chiều Một số loại tập Tìm vecto riêng, giá trị riêng biết rõ tự đồng cấu ma trận A Tự đồng cấu ma trận có chéo hóa không? Tìm không gian f ổn định hai chiều có Cho ma trận A Tìm ma trận khả nghịch C cho C −1 AC ma trận chéo Cách làm xét ánh xạ f : K n −→ K n xác định ma trận A sở tắc (e1 , , en ) Khi ta tìm vecto riêng (α1 , , αn ) Vậy C ma trận thỏa mãn (α1 αn ) = (e1 en )C, tức ma trận chuyển từ (e1 , , en ) sang (α1 , , αn ) C −1 AC ma trận chéo diag(λ1 , , λn ) 12 Chứng minh hai ma trận đồng dạng Tức ta phải chứng minh hai ma trận có giá trị riêng Do ta cần tìm giá trị riêng ma trận thay giá trị riêng vào đa thức đặc trưng ma trận kia, lưu ý giá trị riêng đôi khác nhau, nghiệm bội ta làm có nghiệm bội ta phải tìm giá trị riêng ma trận Ví dụ xét R3 , đồng cấu chéo hóa có sơ vecto riêng α1 , α2 , α3 tức f biến đường thẳng qua α1 thành đường thẳng qua α1 hay biến đoạn thẳng đường thẳng thành đoạn thẳng đường thẳng có độ dài tỷ lệ λ1 phép dời hình Hơn nữa, λ1 nghiệm bội phương trình đặc trưng tất vecto ứng với λ1 năm đường thẳng hay nói khác vecto riêng lớp tương đương R3 /ØngthngØ (Đường thẳng không gian f ổn định) Nếu λ1 nghiệm bội vecto riêng ứng với giá trị riêng lập thành mặt phẳng hai chiều Và ta có nhận xét vecto riêng ứng với giá trị riêng khác chứng độc lập tuyến tính nằm đường thẳng khác nhau, ta thấy rõ đường thẳng (không gian ổn định chiều đó) có tổng tổng trực tiếp (Dễ thấy chúng cắt gốc tọa độ, tức có phần tử trung hòa chung nhau) Không gian vecto Euclid Nhắc lại KGVT cho phép diễn đạt khái niệm dltt,pttt, tập sinh, hạng, sở tọa độ, không gian k chiều (đường thẳng, mặt phẳng), Tuy nhiên cấu trúc chưa cho phép nói đến khái niệm mang nội dung hình học nhiều độ dài vecto, góc hai vecto, Để diễn đạt khái niệm này, người ta cần cấu trúc không gian vecto Euclid Các không gian vecto đặc biệt không định nghĩa trường sở tùy ý, ta xét KGVT trường số thực phức Trong hình học sơ cấp, tích vô hướng hai vecto định nghĩa tích độ dài hai vecto cos góc xen chúng Dễ thấy rằng, ngược lại, độ dài vecto góc xen hai vecto biểu thị qua tích vô hướng Người ta nhận thấy rằng, để đưa khái niệm vào không gian vecto trừu tượng, việc trực tiếp trừu tượng hóa khái niệm độ dài vecto góc xen hai vecto khó nhiều so với việc trừu tượng hóa khái niệm tích vô hướng Vì thế, trước hết nghiên cứu khái niệm tích vô hướng.rồi sử dụng để định nghĩa độ dài vecto góc xen hai vecto Mỗi hàm song tuyến tính gọi dạng song tuyến tính E với E không gian vecto thực Do người ta định nghĩa tích vô hướng dạng song tuyến tính có tính chất đối xứng, xác định dương E Tiếp theo, KGVT thực E trang bị tích vô hướng gọi KGVT Euclid Có hai loại KGVT Euclid hay dùng KGVT Rn với tích vô hướng tắc không gian hàm thực liên tục [a, b] với tích vô hướng b f, g = a f (x)g(x)dx Đã xây dựng tích vô hướng ta định nghĩa độ dài hay chuẩn vecto α α, α (Chú ý tính chất độ dài bất KGVT Euclid E số thực không âm |α| = đẳng thức Cauchy-Schwarz | α, β | ≤ |α||β|) Góc hai vecto khác không α, β kí hiệu α, β Do để hai vecto trực giao với ∠(α, β) nằm khoảng [0, π] cos∠(α, β) = |α||β| (tức vuông góc với nhau) α, β = (|α + β|2 = |α|2 + |β|2 ) Từ việc xây dựng xong tích vô hướng, từ tích vô hướng có định nghĩa góc khoảng cách (cũng lưu ý có định nghĩa tensor ta có tích vô hướng, có tích vô hướng có góc 13 khoảng cách, ý có khoảng cách sinh tích vô hướng nhờ hệ thức α, β = |α + β|2 − |α|2 − β ) Tiếp đến ta định nghĩa hệ trực giao (E, , ) vecto đôi vuông góc với nhau, hệ trực chuẩn hệ trực giao vecto hệ có độ dài hay nói cách khác ei , ej = δij Ta có tính chất hệ trực giao không chứa vecto độc lập tuyến tính từ chức hệ trực chuẩn Do vậy, không gian vecto Euclid hữu hạn chiều có sở trực chuẩn cách làm sau Cho (α1 , , αn ) sở KGVT Euclid (E, , ), tìm sở trực giao (e1 , , en ) E Đặt e1 = α1 Đặt e2 = x2,1 e1 + α2 , tìm x2,1 dựa vào e2 , e1 = Đặt e3 = x3,1 e1 + x3,2 e2 + α3 , tìm x3,1 , x3,2 dựa vào e3 , ei với i = 1, tiếp tục trình ta tìm hệ trực giao muốn hệ trực chuẩn đơn giản Người ta gọi phương pháp Trực giao hóa Schmidt Ta nói α⊥U α⊥u ∈ U , V ⊥U v⊥u với v ∈ V, u ∈ U Khi ta nói U, V trực giao với nhau, nét đặc biệt U ⊕ V ta ký hiệu U ⊕⊥ V , tức U V trực giao với tổng tổng trực giao Từ người ta định nghĩa phần bù trực giao KGVT U KGVT Euclid E U ⊥ = {α ∈ E|α⊥U } Bây ta quay lại chủ đề khoảng cách từ tập A đến tập B KGVT Euclid E định nghĩa sau d(A, B) = infα∈A,β∈B d(α, β) Nếu A B giao hiển nhiên khoảng cách 0, nên ta xét trường hợp A B song song với Ta nói tập α + U = {α + u|u ∈ U } tập song song với U qua α Vậy ta có khẳng định sau α − β = v + v ⊥ d(α, β + V ) = |v ⊥ | Để nghiên cứu cấu trúc KGVT Euclid người ta cần sử dụng ánh xạ không bảo toàn phép toán vecto (đồng cấu) mà bảo toàn tích vô hướng Do người ta gọi ánh xạ bảo toàn phép toán tích vô hướng ánh xạ trực giao (chú ý ánh xạ bảo toàn tích vô hướng đồng cấu, ta cần định nghĩa ánh xạ trực giao bảo toàn tích vô hướng đủ) Đặc biệt, ánh xạ trực giao đơn cấu tự đồng cấu trực giao tự đẳng cấu tính chất bảo toàn tích vô hướng nên biến sở trực chuẩn thành sở trực chuẩn, lưu ý điều ngược lại ánh xạ biến sở trực chuẩn thành sở trực chuẩn ánh xạ ánh xạ trực giao Và người ta kí hiệu tập hợp tất phép biến đổi trực giao KGVT Euclid E O(E) lập thành nhóm phép hợp thành ánh xạ, nhóm nhóm GL(E) tất tự đẳng cấu tuyến tính E Do đồng cấu xác định ảnh qua sở nên tương đương với ma trận đồng cấu ứng với sở đó, nên người ta xây dựng ma trận trực giao ánh xạ trực giao ứng với sở trực chuẩn.Ta có Rn A trực giao ⇔ At A = En ⇔ A−1 = At ⇔ hệ vecto cột (hàng) A hệ trực chuẩn ⇔ A ma trận chuyển từ trực chuẩn thành sở trực chuẩn ⇔ A ma trận ánh xạ trực giao ứng với sở trực chuẩn Tập tất ma trận trực giao ta kí hiệu mà O(n) lập thành nhóm với phép toán nhân ma trận trực giao cấp n Lưu ý rằng, AAt = En nên ta có det(A) = −1, +1 Ta kí hiệu SO(E) tập hợp ánh xạ trực giao f KGVT Euclid E có det(f ) = SO(n) tập hợp ma trận trực giao A có det(A) = Chú ý A ma trận đồng cấu f sở detf = detA Đã xây dựng xong ánh xạ trực giao ma trận trực giao nên ta xét đến cấu trúc phép biến đổi trực giao Trước tiên ta có ϕ phép biến đổi trực giao giá trị riêng −1, +1 đặc biệt không gian riêng ứng với giá trị riêng trực giao với không gian riêng ứng với giá trị riêng -1 Nếu U không gian f trực giao ổn định U ⊥ Chú ý đến ma trận trực giao dạng tắc, phép quay phép đối xứng trục Vậy, cho A 14 ma trận trực giao cấp n tồn ma trận trực giao Q cấp n để Q−1 AQ có dạng chéo Q có vecto cột vecto riêng chuẩn hóa Q−1 AQ có dạng chéo giá trị riêng, giá trị riêng nhận giá trị phức ta tách vecto riêng phức thành vecto phần thực e1 phần ảo e2 , tìm khối chéo ma trận Q−1 AQ cách áp dụng chứng minh a b chương IV định lý 2.2 (f (e1 )f (e2 )) = (e1 e2 ) với giá trị riêng phức λ = a + ib −b a Bây ta đưa ánh xạ tuyến tính đặc biệt phép biến đổi đối xứng ϕ tự đồng cấu ϕ ∈ End(E) với E KGVT Euclid thỏa mãn ϕ(α), β = α, ϕ(β) với α, β ∈ E.Trong phép biến đổi đối xứng không gian riêng ứng với giá trị riêng khác trực giao U không gian ổn định U ⊥ ổn định Ma trận A gọi đối xứng ⇔ A = At ⇔ A ma trận ánh xạ đối xứng ứng với sở trực chuẩn Đặc biệt ma trận thực đối xứng đối số thực Do đó, ma trận đối xứng chéo hóa nhờ ma trận trực giao Các loại tập chương gồm, trực giao hóa hay trực chuẩn sở thành sở trực giao, trực chuẩn nhờ Phương pháp Schmidt ; tìm phần bù trực giao KGVT KGVT Euclid; tìm khoảng cách; tìm góc; tìm dạng tắc ma trận trực giao; chéo hóa ma trận đối xứng nhờ ma trận trực giao Trực giao hóa hay trực chuẩn sở thành sở trực giao, trực chuẩn nhờ phương pháp Schmidt Tìm phần bù trực giao KGVT U KGVT Euclid với sở (e1 , , en ) • Loại 1, U tập nghiệm hệ phương trình Ax=y mặt phẳng song song với U U + β với β = yi ei nghiệm Ax = nên U ⊥ = (U + β)⊥ tập vecto có tọa độ vecto hàng ma trận A Ngược lại, vecto tơ có tọa độ vecto hàng ma trận A hiển nhiên trực giao với U • Loại 2, U cho tập hợp trước tiên ta tìm sở hệ sinh chẳng hạn (α1 , , αn ) U ⊥ tập nghiệm hệ phương trình Ax = với A ma trận có vecto hàng tọa độ αi sở (e1 , , en ) Rõ ràng hơn, hàng thứ i (ai1 , , ain ) với αi = aij ej Đặc biệt sở (e1 , , en ) tắc ma trận A có vecto hàng vecto α1 , , αn Nhận xét, dựa vào tìm phần bù trực giao này, KGVT Euclid để tìm sở không gian thương ta làm theo Ví dụ R3 không gian trực giao đường thẳng xx mặt phẳng x = 0, dễ thấy không gian thương R3 /xx lớp tương đương (e2 , e3 ) với e2 , e3 sở mặt phẳng x = 0, cụ thể chọn tắc e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) Cũng trực quan với vecto α R3 tồn vecto β ∈ {x = 0} để α − β ∈ xx , cụ thể α = (a, b, c) ta chọn β = (0, b, c) Tìm khoảng cách hai không gian U V KGVT Euclid có sở (e1 , , en ) • Nếu có vecto khác thuộc U ∩ V khoảng cách hai không gian • Giả sử U song song với V với vecto α ∈ U ta có d(U, V ) = d(α, V ) Ta tìm không gian trực giao V ⊥ phần – Loại 1, gọi v ⊥ thuộc V ⊥ , ta biểu diễn v ⊥ thành vecto hệ sinh V ⊥ v = α − β − v ⊥ thỏa mãn phương trình Ax = y nên ta tìm vecto v ⊥ Vậy khoảng cách cần tìm |v ⊥ | 15 – Loại 2, gọi v thuộc V , ta biểu diễn v thành vecto hệ sinh V v ⊥ = α − − v thỏa mãn phương trình Ax = nên ta tìm v, thay ngược lại ta tìm v ⊥ Vậy khoảng cách cần tìm v ⊥ Chú ý rằng, người ta gọi v hình chiếu trực giao α lên V, v ⊥ gọi khoảng cách từ α đến V Tìm góc (a) Góc vecto α không gian U góc α hình chiếu α lên V (b) Góc không gian U V chưa định nghĩa theo sơ cấp góc hai mặt phẳng U V trước tiên ta tìm giao tuyến tìm mặt phẳng trực giao với giao tuyến cắt mặt phẳng U V hai giao tuyến khác góc U V góc hai giao tuyến vừa tìm, không gian nhiều chiều giao tuyến chiều nên góc giao tuyến vừa tìm không xác định giao tuyến có số chiều lơn hẳn việc chọn vecto đại biểu để tính góc không xác định ??? Do ta cần xây dựng góc không gian !!! Có thể xây dựng không gian thương để có định nghĩa góc hai không gian vecto không nhỉ? :D:D:D Tìm dạng tắc ma trận trực giao nhờ ma trận trực giao chéo hóa ma trận đối xứng nhờ ma trận trực giao Ý tưởng muốn giải toán tìm sở cho đồng cấu đơn giản nhất, tức ma trận đồng cấu ứng với sở cần tìm đơn nhất, tức ma trận A f sở (e1 , , en ), tìm sở (α1 , , αn ) cho B chéo f ứng với sở Đặc biệt, A ma trận trực giao hay đối xứng f sở trực chuẩn A chéo hóa nhờ ma trận trực giao Đối với A đối xứng việc trực giao dễ dàng có giá trị riêng thức Chú ý B = Q−1 AQ Q ma trận chuyển từ sở cho thành sở cần tìm Người ta bắt tìm sở trực chuẩn sau tìm sở ứng với không gian ổn định ta phải chuẩn hóa phương pháp Schmidt, ta làm chuẩn hóa không gian riêng đủ vecto riêng ứng với giá trị riêng khai trực giao với phép biến đổi trực giao Nếu tìm giá trị riêng phức sau tìm vecto riêng phức ta tách vecto riêng phức đo thành hai vecto thực ảo Sau dựa vào định nghĩa ma trận ánh xạ ứng với sở để tìm ma trận dạng chéo khối, ma trận khả nghịch giúp chéo hóa ma trận chuyển sở từ sở cho thành sở vừa tìm, sở lúc đầu tắc ma trận ma trận vecto cột sở, ý đến thứ tự vecto λ ma trận dạng chéo phải tương ứng Một ý rằng, chéo hóa ma trận trực giao ma trận đối xứng ta phải giả sử ma trận ứng với đồng cấu sở tắc ma trận dùng để chéo hóa ma trận trực giao ma trận ma trận chuyển từ sở tắc sang sở trực chuẩn gồm toàn vecto riêng Nếu đề cho ma trận A sở khác tắc ta đưa A ma trận dạng tắc trước Dạng song tuyến tính dạng toàn phương Nội dung phần phân loại tất dạng song tuyến tính đối xứng dạng toàn phương không gian vecto hữu hạn chiều 16 Cho η dạng song tuyến tính đối xứng V × V ta có dạng toàn phương V ứng với η H cho H(α) = η(α, α) Lưu ý có dạng toàn phương H ta xây dựng dạng song tuyến tính đối xứng η lúc ta gọi η dạng cục dạng toàn phương H η(α + β, α + β) = η(α, α) + 2η(α, β) + η(β, β) = H(α) + H(β) + [H(α + β) − H(α) − H(β)] Ma trận A = (aij )n×n = (η(αi , αj ))n×n gọi ma trận dạng song tuyến tính η ma trận dạng toàn phương H ứng với η sở (α1 , , αn )   y1 x1 Gọi α = xi αi , β = yi αi , η(α, β) = (x1 xn )A   H(α) = η(α, α) = (x1 xn )A   yn xn Nếu A ma trận dạng toàn phương H sở (α1 , , αn ) C t AC ma trận dạng toàn phương H sở (α1 , , αn ) với C ma trận chuyển từ sở (α1 , , αn ) sang sở (α1 , , αn ) Ta tổng quát khái niệm trực giao tích vô hướng KGVT Euclid khái niệm η - trực giao Nếu sở (α1 , , αn ) gọi sở η - trực giao (hay H- trực giao, hay trực giao η H rõ) η(αi , αj ) = với i = j Chú ý khái niệm η dạng song tuyến tính đối xứng tính chất xác định dương Điều chứng tỏ ma trận ứng với η ma trận chéo sở (α1 , , αn ) H(α) = aii x2i Sau phép hoán vị phần tử sở trực giao thành (α1 , , αn ) để dạng toàn phương có dạng H(α) = a1 x11 + + ap x2p − ap+1 x2p+1 − − ap+q x2p+q với ap+q+1 = = an = (nếu có) biểu thức gọi dạng tắc dạng toàn phương H = Hη Ta chuẩn hóa √ sở (α1 , , αn ) cách đặt βi = √ αi với i = (p + q) yi = xi với i = (p + q) 2 Vậy ta có H sở (β1 , , βp+q , αp+q+1 , αn ) H(α) = y12 + + yp2 − yp+1 − − yp+q Lưu ý α = x1 α1 + + xn αn = y1 β1 + + yp+q βp+q + xp+q+1 αp+q+1 + + xn αn Luôn tồn sở η trực giao cho dạng song tuyến tính đối xứng η KGVT thực hữu hạn chiều V gọi A ma trận η sở Vì A ma trận đối xứng nên A chéo hóa ma trận trực giao Q, B = Q−1 AQ = Qt AQ dạng chéo nên B ứng với sở trực giao Ngoài ra, η dạng song tính tuyến tính đối xứng KGVT Euclid tồn sở trực chuẩn E đồng thời sở η trực giao Do vậy, ta đưa dạng toàn phương dạng tắc (có thể chuẩn hóa cần) Nhưng sau ta có Phương pháp Lagrange tiện lợi thực hành Giả sử α = xi αi sở (α1 , , αn ) H(α) = aij xi xj với aij = aji Đại số đại cương 7.1 17 [...]... thì các giao tuyến đó không phải là một chiều nên góc giữa các giao tuyến vừa tìm được không xác định duy nhất bởi các giao tuyến có thể có số chiều lơn hẳn hơn 1 thì việc chọn ra vecto đại biểu để tính góc là không xác định duy nhất ??? Do vậy ta cần xây dựng góc giữa các không gian !!! Có thể xây dựng các không gian thương để có định nghĩa góc giữa hai không gian vecto không nhỉ? :D:D:D 5 Tìm dạng... trước 6 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương Nội dung chính của phần này là phân loại tất cả các dạng song tuyến tính đối xứng và các dạng toàn phương trên không gian vecto hữu hạn chiều 16 Cho η là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V × V thì ta có dạng toàn phương trên V ứng với η là H sao cho H(α) = η(α, α) Lưu ý rằng có dạng toàn phương H ta cũng xây dựng được dạng song tuyến tính đối xứng... và không gian U là góc giữa α và hình chiếu của α lên V (b) Góc giữa không gian U và V vẫn chưa được định nghĩa bởi theo sơ cấp thì góc giữa hai mặt phẳng U và V là trước tiên ta tìm giao tuyến rồi tìm mặt phẳng trực giao với giao tuyến đó cắt mặt phẳng U và V bởi hai giao tuyến khác và góc giữa U và V chính là góc giữa hai giao tuyến vừa tìm, nhưng trong không gian nhiều chiều hơn thì các giao tuyến. .. các hàng bằng nhau ta cộng lại thành một cột rồi rút ra phần tử chung thì cột đó toàn số 1 và nhân với số thích hợp để triệt tiêu các số hạng dưới đường chéo) • Phân tích thành tổng các định thức dựa vào tính chất tuyến tính của định thức.(Thường phân tích một vecto cột thành vecto ei + v để ai triển Laplace đưa về công thức truy hồi) • Biểu diễn ma trận thành tích của hai ma trận (Sử dụng với các bài... các khái niệm không gian con ổn định, vecto riêng, giá trị riêng Nhưng phải kể đến sự hình thành của không gian con ổn định bắt nguồn từ việc đôi khi nghiên cứu f trên toàn không gian V khó khăn vì V quá lơn nên người ta muốn tránh điều đó bằng cách hạn chế f lên một số không gian con nào đó U của V Nhưng để cho hạn chế đó vẫn là một tự đồng cấu của U thì không gian con này phải có tính chất đặc biệt... đến ta định nghĩa hệ trực giao trong (E, , ) nếu các vecto đôi một vuông góc với nhau, còn hệ trực chuẩn nếu như là hệ trực giao và mỗi vecto trong hệ có độ dài là 1 hay nói cách khác ei , ej = δij Ta có tính chất là mỗi hệ trực giao không chứa vecto 0 đều độc lập tuyến tính và từ đó nó luôn chức một hệ trực chuẩn Do vậy, mọi không gian vecto Euclid hữu hạn chiều đều có cơ sở trực chuẩn và cách làm... + xn αn Luôn tồn tại một cơ sở η trực giao cho mỗi dạng song tuyến tính đối xứng η trên KGVT thực hữu hạn chiều V vì gọi A là ma trận của η đối với một cơ sở nào đó Vì A là ma trận đối xứng nên A chéo hóa được bởi một ma trận trực giao Q, do đó B = Q−1 AQ = Qt AQ dạng chéo nên B ứng với cơ sở trực giao Ngoài ra, nếu η là một dạng song tính tuyến tính đối xứng trên một KGVT Euclid thì luôn tồn tại... không gian vecto trừu tượng, việc trực tiếp trừu tượng hóa các khái niệm độ dài của vecto và góc xen giữa hai vecto khó hơn nhiều so với việc trừu tượng hóa khái niệm tích vô hướng Vì thế, trước hết chúng ta nghiên cứu khái niệm tích vô hướng.rồi sử dụng nó để định nghĩa độ dài của vecto và góc xen giữa hai vecto Mỗi hàm song tuyến tính được gọi là một dạng song tuyến tính trên E với E là một không... là f (U ) ⊂ U Khi đó, U được gọi là không gian con ổn định (của f) Câu hỏi tự nhiên là tìm không gian con ổn định như thế nào ? rất tiếc rằng nó không có phương pháp nào tổng quát nhưng với trường hợp không gian con ổn định một chiều thì ta sẽ có cách làm 11 tổng quát Giả sử L là một không gian con f- ổn định một chiều sinh bởi một vecto α = 0 Do f (L) ⊂ L nên luôn tồn tại λ sao cho f (α) = λα Nhận... ứng với giá trị riêng λ ta dựa vào hệ phương trình (A − λEn )(x1 xn )T = 0 Ta có một số điều kiện về chéo hóa được 1 Chéo hóa được thì có n vecto riêng khác nhau 2 Tự đồng cấu f có tính chất f 2 = f thì f chéo hóa được 3 Mỗi vecto riêng ứng với giá trị riêng khác nhau thì độc lập tuyến tính với nhau và tổng các không gian con ổn định một chiều của mỗi vecto riêng đó là tổng trực tiếp 4 Điều kiện cần ... giao tuyến khác góc U V góc hai giao tuyến vừa tìm, không gian nhiều chiều giao tuyến chiều nên góc giao tuyến vừa tìm không xác định giao tuyến có số chiều lơn hẳn việc chọn vecto đại biểu để tính. .. hàm tuyến tính KGVT Tại lại nghĩ đến hàm tuyến tính ? Như ta biết, KGVT thực (phức) có thông tin dễ dàng Mà ánh xạ tuyến tính cho tương ứng thông tin từ KGVT nguồn đích với Do vậy, biết thông... rank A Nhắc lại rankA gì? rankA số vecto cột độc lập tuyến tính cực đại, thường xuyên biến đổi ma trận theo hàng nên phải đến số vecto hàng độc lập tuyến tính cực đại (do rankA = rankAt ) Cách