Ôn thi đại số tuyến tính

Đó chính là cơ sở của một không gian vecto hay là hạng của một tập các vecto.. Nhờ khái niệm KGVT con đó mà tập thương V /W mới là một không gian vecto Tức nếu W không là một không gian

Mục lục

2.1 Ma trận 3

2.2 Ánh xạ tuyến tinh 4

2.3 Hạt nhân và ảnh của đồng cấu f (Kerf-null f, Imf-rank f) 5

2.4 Không gian đối ngẫu 5

3 Định thức và hệ phương trình tuyến tính 6 3.1 Các phép thế 7

3.2 Định thức 7

3.3 Ánh xạ đa tuyến tính 7

3.4 Định thức của tự đồng cấu 7

3.5 Các tính chất của định thức 8

3.6 Định thức và hạng của ma trận 8

3.7 Giải hệ phương trình tuyến tính 8

3.8 Cấu trúc nghiệm 8

3.9 Ứng dụng của phương pháp biến đổi sơ cấp 8

1 Không gian vecto

Để nghiên cứu một tập hợp vô hạn phần tử ta không thể đi nghiên cứu từng phần tử một mà chỉ nghiên cứu đại diện, các phần tử tiêu biểu Đó chính là cơ sở của một không gian vecto hay là hạng của một tập các vecto Muốn có khái niệm đó ta cần xây dựng khái niệm Không Gian vecto để biết mối quan hệ giữa các phần tử trong nó và tác động từ bên ngoài vào như thế nào ? (Đó chính là hai phép toán cộng và tác động vô hướng) Khái niệm KGVT cũng là đẹp nhất, đặc biệt và dễ có nhiều thông tin nhất bởi nó có phép toán cộng Abel và tác động là một trường (chú ý trường là có thể thực hiện được đầy đủ các phép toán cộng trừ nhân chia nên nó có đầy đủ các phần tử đơn vị, đối, nghịch đảo, nói chung là đẹp của đẹp :D)

Khi có khái niệm KGVT, ta xây dựng các khái niệm thtt,bttt,dltt,pttt,hệ sịnh để định nghĩa cơ

sở (cơ sở chính là độ thỏa mái, độ rộng, độ lớn, to, của một tập hợp - chú ý rằng trong đại số tuyến tính chỉ xét các tập có số chiều hữu hạn) Ta đã trình bày cách tìm cơ sở ở định lý 3.2 (cơ

sở =bttt duy nhất= hệ sinh + dltt=dltt cực đại) và đặc biệt ta cần nhớ ma trận chuyển cơ sở và chuyển tọa độ Ngoài ra, việc xét một hệ độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính chính là đưa

về giải một hệ phương trình sẽ trình bày ở mục 3 Mà việc tìm cơ sở, hạng chính là đi xét một ràng buộc tuyến tính để tìm các hệ số chính là đi giải một hệ phương trình

Tiếp đó, ta xem xét các tập con W khác rỗng (bởi nếu tập rỗng thì chả có gì mà làm cả) của KGVT V có tính chất hai phép toán cộng và tác động của trường được hẹn chế trên W thì tập con

đó được gọi là KGVT con của V Nhờ khái niệm KGVT con đó mà tập thương V /W mới là một không gian vecto (Tức nếu W không là một không gian vecto con của V thì cách xây dựng các phép toán kế thừa từ V trên các lớp tương đương của V/ W là phụ thuộc vào việc chọn đại biểu).Việc tìm cơ sở của Không gian thương V /W chính là trong chứng minh 6.3, tức là W có cơ sở là A thì các vecto bổ sung vào A để được có cơ sở của V thì các vecto bổ sung đó chính là các lớp tương đương lập thành cơ sở của không gian thương

Hơn nữa, từ khái niệm KGVT con trên ta xây dựng khái niệm tổng và tổng trực tiếp của các không gian vecto con Từ định nghĩa chúng ta thấy tổng hai KGVT con là một KGVT con, đặc biệt nếu tổng hai KGVT con có các phần tử biểu thị duy nhất qua hai thành phần của KGVT con đó thì tổng đó được gọi là tổng trực tiếp (Chú ý rằng các KGVT con luôn chung nhau phần tử trung hòa nên luôn có biểu thị trên) Từ khái niệm tổng trực tiếp của hai KGVT con ta dẫn đến phép chiếu của tập mẹ theo chiều của KGVT con này để nhận được KGVT con còn lại (Nhắc lại rằng : f được gọi là phép chiếu nếu như f2= f ◦ f = id) Chẳng hạn, Xét trên R2 ta có R2= Ox ⊕ Oy thì bất kì vecto v(vx, vy) nào chiếu theo Oy lên Ox thì ta được vx Dễ dàng hiểu được V = U ⊕ W thì

W được gọi là phần bù tuyến tính của U trong V và dim W được gọi là đối chiều của U trong V Chú ý rằng với mọi V1 là KGVT con của V thì luôn tồn tại V2 sao cho : V = V1⊕ V2 nhưng không phải duy nhất Chẳng hạn, R2= Ox ⊕ Oy = Ox ⊕ {y = 1}

Nhờ khái niệm KGVT con ta xây dựng được độ thỏa mái của một tập hợp X bất kì trong V

Đó chính là KGVT con nhỏ nhất của X kí hiệu là £(X) (Chính là thtt các vecto trong X), độ thỏa mái của X được kí hiệu là rank(X) (Tức là cơ sở của £(X)), chính là số vecto dltt cực đại trong X, tức là số chiều của £(X)

Tóm lại, trong phần không gian vecto này có hai thứ phải cần nhớ nhất đó là KGVT con và cở sở

1 Có KGVT con ta có không gian thương, có tổng và tổng trực tiếp của các không gian vecto con, từ khái niệm tổng trực tiếp đó sinh ra cách xây dựng phép chiếu và cái cuối cùng chính

là không gian £(X) - chính là KGVT con nhỏ nhất chứa X , là tập hợp tất cả các vecto là tổ hợp tuyến tính là X

2 Cơ sở chính là độ rộng, các phần tử đại diện cho cả tập hợp, ta chỉ cần làm việc trên cơ sở

là xong Chú ý đến các tìm cơ sở của không gian thương và độ thỏa mái của tập X chính là rank(X) và chú ý khái niệm phần bù tuyến tình , đối chiều trong tổng trực tiếp của hai KGVT con của nó Đặc biệt, như ta đã nhắc ở trên, toàn bộ việc xử lý dltt,pttt, cơ sở, quy hết về giải hệ phương trình, về ma trận,

Trong các chương tiếp theo ta sẽ nghiên cứu về ma trận để phục vụ việc giải hệ phương trình Khi

có nghiệm của hệ phương trình rồi thì ta sẽ kết luận được gì về cơ sở hoặc trong chương tiếp là kết luận được gì về Im,Ker,rank, Tiếp nữa là nghiên cứu cấu trúc nghiệm, không gian nghiệm, cách điều chỉnh để được nghiện đưa ra là đẹp và mỹ mãn cùng với nhiều loại khác

Mối liên hệ giữa các KGVT chính là ánh xạ tuyến tính, ánh xạ tuyến tính là bảo toàn các phép toán

và tác động tương ứng giữa hai KGVT Ánh xạ tuyến tính hoàn toàn xác định khi biết ảnh của một

cơ sở, tức là ta thể đặt tương ứng một axtt bằng một ma trận Đặc biệt, qua ánh xạ tuyến tính thì ảnh một KGVT con thành một KGVT con và nghịch ảnh của một KGVT con là một KGVT con Khi đó, KGVT con Ker,Im là những KGVT đặc biệt quan trọng, vì nó cho rất nhiều thông tin đến axtt tức là mối liên hệ giữa các KGVT, cụ thể như : (tự) đơn cấu, (tự) toàn cấu, (tự) đẳng cấu và các liên hệ về số chiều

Một phần rất quan trọng nữa là Không gian đối ngẫu, thay vì làm trên KGVT này cảm thấy khó khăn, ta xét trên các hàm tuyến tính của KGVT này Tại sao lại nghĩ đến các hàm tuyến tính

? Như ta đã biết, KGVT thực (phức) đều có những thông tin rất dễ dàng Mà ánh xạ tuyến tính cho tương ứng các thông tin từ KGVT nguồn và đích với nhau Do vậy, khi biết thông tin gì đó của tập hợp các axtt này thì sẽ cho ta thông tin trên KGVT này thông qua KGVT thực hoặc phức Tóm lại, để xét mối quan hệ giữa các KGVT thì ta xét axtt Những thông tin về KGVT con của tập nguồn tương ứng với KGVT con của tập đích sẽ cho ta rất nhiều thông tin về axtt và ngược lại, khi biết axtt đó như thế nào thì cho ta biết tương ứng giữa các KGVT Chú ý hơn nữa là axtt được xác định duy nhất bởi ma trận, do vậy nhìn vào ma trận của axtt đó cũng cho rất nhiều thông tin Ngoài ra, ta thường chú ý đến KGVT đối ngẫu, ánh xạ đối ngẫu, Để chi tiết hơn ta làm rõ từng phần sau

2.1 Ma trận

1 Tập hợp tất cả các ma trận cỡ mxn , hệ số K là M(mxn,K) là một vành có đơn vị, không giao hoán và lập thành một KGVT

2 Ma trận C chuyển từ cơ sở (α1, , αn) sang (α01, , α0n) nếu

(α01, , α0n) = (α1, , αn)C

dễ dàng nhận xét rằng nếu C là ma trận khả nghịch thì C−1 là ma trận chuyển cơ sở từ (α01, , α0n) sang (α1, , αn)

3 Công thức chuyển tọa độ α =P xiαi=P x0

iα0i tức là

α = (α01, , α0n)





x0 1

x0n



= (α1, , αn)C





x0 1

x0n



= (α1, , αn)





x1

xn





x1

xn

= C

x1

x0n



4 GL(n,K) là nhóm tuyến tính tổng quát, tức là tập hợp các ma trận vuông cỡ n hệ số trên K cùng với phép toán nhân ma trận

Chú ý: Trong việc tìm ma trận chuyển chính là đi giải một hệ phương trình tuyến tính Công thức chuyển tọa độ cũng vậy

2.2 Ánh xạ tuyến tinh

1 Ánh xạ tuyến tính xác định hoàn toàn bởi ảnh của cơ sở

2 Cho f : V −→ W là đồng cầu cố định và nếu tồn tại g : W −→ V cũng là đồng cấu thì

f là đơn cấu nếu gf = idV

f là toàn câu nếu f g = idW

f là đẳng cấu nếu vừa đơn cấu, vừa toàn cấu Khi đó V ∼= W ⇔ dimV = dimW

3 Theo 1 ta có A được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V −→ W trong cặp cơ sở (α1, , αn) ∈ V, (β1, , βm) ∈ W nếu

(f (α1), , f (αn)) = (β1, , βm)A

4 Công thức chuyển tọa độ α =P xiαi và f (α) =P yjβj

f (α) = (f (α1), , f (αn))





x1

xn



= (β1, , βm)A





x1

xn



= (β1, , βm)





y1

ym





Vậy





y1

ym



= A





x1

xn





Chú ý: công thức chuyển tọa độ của hàm hợp thì làm tương tự.A,B tương ứng f,g thì BA tương ứng gf

5 Tập các đồng cấu từ V vào W là £(V, W ) ∼= M (m × n, K) và tập tất cả các tự đồng cấu trên

V :End(V ) là một vành không giao hoán có đơn vị, tập tất cả các tự đẳng cấu trên V :GL (V) là một nhóm đối với phép hợp thành ánh xạ

6 Ma trận chuyển liên hệ với ma trận đồng dạng trên tự đồng cấu f

Gọi C là ma trận chuyển : (α01, , αn) = (α1, , αn)C A là ma trận của tự đồng cấu f ∈ End(V ) trong cơ sở (α1, , αn) Khi đó ma trận của f trong cơ sở (α01, , α0n) là C−1AC

Hệ quả, hai ma trận vuông được gọi là đồng dạng với nhau nếu và chỉ nếu chúng là ma trận của cùng một tự đồng cấu f trong cơ sở nào đó

2.3 Hạt nhân và ảnh của đồng cấu f (Kerf-null f, Imf-rank f)

1 Ánh xạ tuyến tính f : V −→ W là

f đơn cấu ⇔ (rank f là số chiều của Imf )rank f=dim V ⇔ Kerf=0 (0 ở đây chính là không gian con của V chỉ chứa duy nhất một phần tử trung hòa 0, tức là một KGVT con tầm thường 0)

f toàn cấu ⇔ rank f= dim W

Chú ý: Nếu f là tự đồng cầu thì ta luôn có : đơn cấu ⇔ toàn cấu ⇔ đẳng cấu

2 Định lý đồng cấu nói ánh xạ tuyến tính không làm tăng số chiều của các không gian vecto, tức dimf (U ) ≤ dimU với U là KGVT con của KGVT nguồn

dimV = dimKerf + dimImf = dimKerf + rankf

3 Hạng của ma trận A chính là hạng của KGVT cột Ta đã chứng minh được hạng của ma trận chính là hạng của axtt tương ứng với ma trận đó Tóm lại, nếu A là ma trận của f thì rankA=rankf

2.4 Không gian đối ngẫu

1 Không gian đối ngẫu V∗ của V là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính từ V vào trường K Khi đó dễ dàng có dimV∗= dimV × dimK

2 Ánh xạ đối ngẫu của đồng cấu f : V −→ W là ánh xạ f∗ : W∗ −→ V∗ xác định bởi

f∗(φ)(x) = φ(f (x)) Về mặt hình học ta nhìn cũng rất rõ Cơ sở của V∗ và cơ sở của V có tính chất sau α∗i(αj) = δij

3 Ngoài ra, ta giới thiệu thêm phép pushforward của f là ảnh của df (dfachính là phép chuyển từ mặt phẳng tiếp xúc tại a ∈ V sang mặt phẳng tiếp xúc tại f (a) ∈ W - chú ý mặt phẳng tiếp xúc tại a là các phép lấy đạo hàm tại a), còn fullback của f là ảnh của d(f∗) Trong chương sang ta sẽ nói rõ hơn về ứng dụng của phần này dựa trên tensor để sinh khoảng cách, hay tích ngoài (tức thay phiên + tensor) để sinh thể tích, từ đó ta sinh ra định nghĩa của tích phân bằng tích ngoài Vậy có khoảng cách, có thể tích nên mọi định nghĩa về hình học đã rõ Trong chương tiếp ta sẽ nói rõ ý nghĩa của định thức đối với việc giải hệ và ý nghĩa tính thể tích hình học và từ đó tổng quát định thức nên tích ngoài (định thức thực ra là tích ngoài của các vecto cột)

4 Tính chất khác ánh xạ đối ngẫu khá quan trọng đó là

A là ma trận của đồng cấu f trong cặp cơ sở X và Y thì Atlà ma trận của đồng cấu f∗trong cặp cơ sở đối ngẫu Y∗ và X∗

f là đơn cấu ⇔ f∗ toàn cầu

Chú ý:

• A là ma trận của đồng cấu f trong cặp cơ sơ (α1, , αn) và (β1, , βm) thì

dim(số vecto cột của A) = rankA = rankf = dim(Imf ) = dim(f (α1), , f (αn))

• f : V −→ W là đồng cấu thì

V /Kerf ∼= Imf, dimV = dimKerf + dimImf = nullf + rankf = nullf + rankA = ,

dimf (U ) ≤ dimU với mọi U là không gian con của V

Trường hợp đặc biệt,

dimf (Kerf ) = dim{0} ≤ dimKerf và dimf (V ) = dimImf ≤ dimV

Như phần trước ta đã biết mỗi ánh xạ tuyến tính sẽ tương ứng với một ma trận trong cặp cơ sở nào

đó Khi đó với công thức chuyển tọa độ sẽ đưa về việc giải hệ phương trình tuyến Ta nhắc lại

A được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V −→ W trong cặp cơ sở (α1, , αn) ∈

V, (β1, , βm) ∈ W nếu

(f (α1), , f (αn)) = (β1, , βm)A

Công thức chuyển tọa độ α =P xiαi và f (α) =P yjβj

f (α) = (f (α1), , f (αn))





x1

xn



= (β1, , βm)A





x1

xn



= (β1, , βm)





y1

ym





Vậy





y1

ym



= A





x1

xn





Bài toán đặt ra ở đây đơn giản là biết f (α), hãy tìm α Khi đó ta cần giải hệ phương trình

Ax = y như trên Phần cuối của chương này ta sẽ nêu những ứng dụng của ma trận A vào việc tìm

cơ sở, số chiều của một không gian con sinh bởi một hệ vecto, Kerf, Imf , không gian thương và chứng minh đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu khi biết rõ ánh xạ f (hoặc biết rõ ảnh của cơ sở vì ánh xạ tuyến tính xác định rõ khi biết ảnh của một cơ sở) Thực ra, các ứng dụng trên đời xuất phát từ việc ứng dụng của phương pháp biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận nên ta còn

có thể làm được các bài toán như : tìm ma trận chuyển, tìm ma trận khả nghịch, giải hệ phương trình,

Ta có hai cách giải thông thường nhất là bằng phương pháp Cramer và phương pháp Gauss Phương pháp Cramer cho ta một số thông tin về nghiệm thông qua định thức trước khi tìm ra chính xác nghiệm Phương pháp Gauss thì không cho ta thông tin gì trước khi giải ra nghiệm nhưng lại thuận tiện trong tính toán

Về mặt cấu trúc nghiệm của phương trình tổng quát Ax=y (cụ thể có thể coi α là x và f (α) là y), nếu y=0 thì tức là f (α) = 0 hay nói cách khác nghiệm của Ax = 0 là không gian vecto Kerf (rõ ràng hơn với mỗi nghiệm của Ax=0 ta xác định rõ α = x1e1+ xnen) Đặc biệt, người ta đã chứng minh được gọi x0 là nghiệm của Ax=y thì tập tất cả các nghiệm của phương trình là x0+ Kerf hay nói cách khác x1và x2là nghiệm của Ax = y thì [x1] = [x2] ∈ V /Kerf Chú ý, khi cho ma trận

A cỡ m × n thì ta luôn có một ánh xạ f : Vn−→ Wm xác định bởi f (x1, , xn) = Ax (Để cho dễ dàng ta chọn Vn và Wm là các trường vecto Kn và Kmđể lấy cơ sở chính tắc thuận tiện cho tính toán) Lưu ý: cấu trúc nghiệm cũng cho ta thấy liên hệ chặt chẽ với định lý đồng cấu vành qua hệ thức dimV = dimKerf + dimImf (Chú ý dim Imf là liên hệ chặt chẽ với ma trận A qua hệ thức dim Imf = rank f= rank A = rank At)

Tích ngoài Λ (V ) chính là tập hợp £(V , K) (là tập hợp các hàm k tuyến tính trên V) cộng với tính chất thay phiên, nhiều khi để có nhiều ứng dụng hơn trong việc xây dựng tích phân người

ta xét trên k tensor để có nhiều tính chất hơn Ý nghĩa của Λn(V ) chính là tập các phép đo thể tích có hướng trong V Chẳng hạn, cho V không R3 tích ngoài lấy là định thức, khi đó ta có det : V × V × V −→ R xác định bởi det(α1, α2, α3) = |A| với A ma trận ba vecto cột và ta dễ dàng thức định thức của A chính là thể tích của một hình hộp tạo bởi ba vecto cột Rõ ràng hơn, ta có thể kiểm nghiệm lại công thức tính thể tích hình học ở cấp 3 khi áp dụng tích có hướng và tính

vô hướng |A| = thể tích có hướng = [α1, α2]α3 (ta dùng khái niệm thể tích có hướng vì |A| có thể dương và có thể âm) Do vậy, xét f : V −→ V là ánh xạ tuyến tính, ta hiểu f chính là ánh xạ thay đổi thể tích của hình hộp n chiều, thể tích hình hộp qua ánh xạ f có tỉ lệ chính xác là det(f ) (det(f )

=det A với A là ma trận của f trong cơ sở nào đó) Do vậy, việc nghiên cứu và tính toán định thức rất quan trọng đối với việc xem xét KGVT con của nghịch ảnh và trong hình học vi phân về tính thể tích

3.1 Các phép thế

1 sgn(σ) =Q

i6=j

σ(i) − σ(j)

i − j ∈ {−1, +1}

2 sgn(λσ) = sgn(λ)sgn(σ)

3.2 Định thức

1 detA = |A| =P

σ∈Snsgn(σ).aσ(1),1 aσ(n),nvới A = (aij)m×n

2 Khai triển Laplace

3 Tính định thức bằng cách đưa về ma trận chéo nhờ phương pháp biến đổi sơ cấp

4 Định thức có tính chất tuyến tính và thay phiên

3.3 Ánh xạ đa tuyến tính

giúp chỉ ra detA 6= 0 tương đương với hệ các vecto cột của ma trận A là độc lập tuyến tính

3.4 Định thức của tự đồng cấu

1 Định nghĩa cho f ∈ End(V ) thì det(f ) : Λk(V )∗ −→ Λk(V )∗ xác định bởi det(f )ϕ(α1, , αk) = ϕ(f (α1), , f (αk)) hay nói cách khác định thức tại hệ vecto (α1, , αk) chính là pushforward

hệ vecto đó qua ánh xạ f

2 Ta chứng minh được kết quả det(f ) = detA với A là ma trận của tự đồng cấu f trong cơ

sở nào đó Hệ quả là nếu A,B là ma trận của tự đồng cấu f trong cơ sở khác nhau thì det(f ) = detA = detB Hơn nữa, giả sử f là đơn cấu thì ta luôn có rankf = dimV mà rankf = rankA tức là ma trận A có định thức khác 0, ta lại có f là tự đồng cấu thì tính đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu là tương đương Tóm lại, nếu f là tự đẳng cấu (có thể nói là

tự đơn cấu, tự toàn cấu cũng được) thì det(f ) = detA 6= 0 hay rankf = rankA = dimV Chú ý f : V −→ W là đơn cấu nếu và chỉ nếu rankf = dimV , là toàn cấu nếu và chỉ nếu rankf = dimW

3.5 Các tính chất của định thức

1 Det(AB)=detAdetB

2 A khả nghịch nếu và chỉ nếu detA 6= 0 , cụ thể có công thức tính A(− 1) qua phần bù đại số

và định thức của A nhưng ta thường dùng cách tìm ma trận khả nghịch thông qua phép biến đổi sơ cấp vì dễ tính toán

3.6 Định thức và hạng của ma trận

1 Định nghĩa hạng của ma trận thông qua định thức , hạng của ma trận là cấp cao nhất của ma trận con có định thức khác 0 Hệ quả là rankA = rankAt

2 Thông thường tính hệ người ta biến đổi thông qua phương pháp biến đổi sơ cấp

3.7 Giải hệ phương trình tuyến tính

1 Định nghĩa nghiệm qua định thức sẽ cho biết các thông tin về nghiệm qua định thức mà không cần phải giải rõ ra

2 Giải nghiệm bằng phương pháp biến đổi sơ cấp theo hàng(tương tự theo cột): đổi chỗ các hàng, nhân một hàng với một vô hướng khác 0 và cộng một tổ hợp tuyến tính các hàng vào một hàng

3 Ứng dụng để tính hạng của ma trận

4 Ứng dụng để tìm ma trận nghịch đảo: ta dùng phép biến đổi nhân một hàng với một vô hướng khác 0 và cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính của các hàng khác

5 Ứng dụng để tìm định thức của ma trận (dựa vào tính chất tuyến tính và thay phiên): đổi chỗ hai hàng thì định thức đổi dấu, nhân a vào một hàng với một số khác 0 thì định thức của ma trận mới phải giảm đi 1

a và cộng tổ hợp tuyến tính của các hàng khác vào thì định thức không đổi là do tính chất thay phiên

3.8 Cấu trúc nghiệm

1 Tập nghiệm L của Ax = 0 là một không gian con có số chiều dim L=dimKn - rank A Cụ thể xét f : Kn−→ Kmcó A là ma trận của ánh xạ tuyến tính trên thì tập nghiệm x = (x1, , xn) chính là không gian con Kerf gồm tập hợp các α = x1e1+ +xnenvới e1, , enlà cơ sở của Kn

Rõ ràng dựa vào định lý đồng cấu ta có dimKn= dimKerf + dimImf = dimKerf + rankA

2 Tập nghiệm của Ax = y lập nên một lớp tương đương của Kn/L

3 Ax=y có nghiệm nếu và chỉ nếu rankA = rank ¯A

3.9 Ứng dụng của phương pháp biến đổi sơ cấp

1 Cho đồng cấu f : Vn −→ Wm đã biết rõ ràng Bài toán đặt ra hãy tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính; tìm cơ sở, số chiều của Kerf, Imf; chứng minh f là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu nếu có

Bước 1 Viết ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở họ yêu cầu (α1, , αn) và (β1, , βm)

Khi đó A là ma trận thỏa mãn (f (α1), , f (αn)) = (β1, , βm)A

Lúc này ta viết hệ thức trên dưới dạng sau với α =P xiαi và f (α) =P yjβj

f (α) = (f (α1), , f (αn))





x1

xn



= (β1, , βm)A





x1

xn



= (β1, , βm)





y1

ym





Vậy A





x1

xn



=





y1

ym



hay ngắn gọn lại Ax=y

Bước 2 Tìm cơ sở và số chiều của Kerf, Imf

Trước tiên ta nhắc đến lại một chút về các hệ thức liên quan đến số chiều của Kerf và Imf

dimV = dimKerf + dimImf = dimKerf + rankf = dimKerf + rankA

do vậy tất cả sẽ quy về làm việc với rank A Nhắc lại rankA là gì? rankA chính là số vecto cột độc lập tuyến tính cực đại, nhưng do chúng ta thường xuyên biến đổi ma trận theo hàng nên phải đến số vecto hàng độc lập tuyến tính cực đại (do rankA = rankAt) Cách tìm cơ sở của Kerf như sau, giả sử mọi α ∈ Kerf có dạng α = x1α1+ + xnαn thì ta có

f (α) = f (α1) f (αn)





x1

xn



= (β1 βm)A





x1

xn



= (β1 βm)





0

0





Tức Ax=0

Giả sử rank A=k, khi đó luôn tồn tại nghiệm sau bằng phương pháp biến đổi sơ cấp







x1= g1(xk+1, ,xn)

xk = gk(xk+1, , xn) Vậy α = g1α1+ +gkαk+xk+1αk+ +xnαn= xk+1hk+1(α1, , αn)+ +xnhn(α1, , αn)

Ta sẽ chứng minh (hk+1, , hn) là một cơ sở của Kerf Thật vậy, nó độc lập tuyến tính là

do : là hệ sinh do α = x1α1+ + xnαn= xk+1hk+1(α1, , αn) + + xnhn(α1, , αn), còn dltt là do xét rằng buộc tuyến tính 0 = xk+1hk+1(α1, , αn) + + xnhn(α1, , αn) =

x1α1+ + xnαn với x1, , xk luôn tồn tại, do đó x1= x2= = xn

Bây giờ ta chuyển sang tìm cơ sở của Imf

Giả sử mọi β ∈ Imf ta luôn có α ∈ V sao cho f (α) = β ta biểu diễn

f (α) = (f (α1) f (αn))





x1

xn



= (β1 βm)A





x1

xn



= (β1 βm)





y1

ym



= β

viết ngắn gọi lại ta có Ax = y

do luôn tồn tại α ∈ V để f (α) = β tức là hệ phương trình Ax = y luôn tồn tại nghiệm Giả sử A có hạng là k, khi đó ta luôn có hàng thứ k + 1 đến hàng thứ m có dạng







gk+1(y1, , ym) = 0

gn(y1, , ym) = 0

tức là có mà trận By = 0, giả sử B có hạng là l thì ta có thể đưa

là dạng







y1= h1(yl+1, , ym)

yl= hl(yl+1, , ym) Vậy β = y1β1+ ymβm= h1β1+ + hlβl+ yl+1βl+1+ + ymβm= yl+1tl+1(β1, βm) + + ymβm(β1, , βm) và cơ sở cần tìm là (tl+1, , tm)

Ta chứng minh (tl+1, , tm) là cơ sở của Imf tương tự đối với kerf

Bước 3 Chứng minh đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu ta sử dụng định lý sau

Nếu đồng cấu f là đơn cấu khi và chỉ khi rankf = dimV Mà rankf = rankA nên bài toán coi như xong

Nếu đồng cấu f là toàn cấu khi và chỉ khi rankf = dimW Mà rankf = rankA nên bài toán coi như xong

Nếu tự đồng cấu f thì tính đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu là tương đương (Hiển nhiên có

vì rankf = dimV = dimW )

2 Tìm cơ sở của không gian con sinh bởi một hệ vecto Từ đó tìm cơ sở của không gian V1∪ V2,

V1∩ V2 khi biết V1và V2sinh bởi các vecto nào đó

Cách làm là coi một hệ vecto là ma trận của các vecto hàng Khi đó ta biến đổi bằng phương pháp sơ cấp nhưng không thay đổi hàng Giả sử ma trận đó có hạng là k thì k vecto hàng khác 0 chính là cơ sở của không gian con sinh bởi các vecto đã cho Chứng minh ngược lại hệ vecto đó là cơ sở rất dễ dàng

Để tìm cơ sở của không gian V1∩ V2, trước tiên ta đi tìm cơ sở của từng không gian và cơ sở của không gian hợp từ đó suy ra cơ sở của không gian giao

Lưu ý rằng ta biết cở sở của V1 và V2 và V1∪ V2, nhưng do cơ sở của V1∪ V2 là cơ sở do bổ sung các vecto từ V1 và V2 nên ta có thể tìm được cơ sở của V1∩ V2 Một loại khác, khi biết

cơ sở của KGVT con P của V và cơ sở của KGVT V , nhưng cơ sở của KGVT V không phải

là cơ sở do cở sở của P bổ sung lên, và yêu cầu tìm không gian thương V /P Bài toán đó ta

sẽ làm như sau

3 Tìm cơ sở của không gian thương Vn/P với P là không gian con của Vn (hay Wm/Q với Q

là không gian con của Wm

Cách làm là tìm cơ sở của không gian con P là (α1, α2, , αr) khi đó ta có thể bổ sung các vecto để có cơ sở của V là (α1, α2, , αr, αr+1, , αn) Xét ma trận A là ma trận các vecto cột (α1, , αn), khi đó rankA=n Do vậy bằng phép biến đổi sơ cấp ta có ma trận cỡ n×r đầu tiên là chéo hạng r, để có ma trận hạng n thì trên các đường chéo khác 0 và phần dưới đường chéo bằng

0 hết Do vậy, xét cột r+1, thì ta có hr+1,r+1(αr+1,1, , αr+1,n) 6= 0, hr+1,i(αr+1,1, , αr+1,n) =

0 với i = r + 2 n, dựa vào đó ta dễ dạng chọn được αr+1= (αr+1,1, , αr+1,n) Tương tự với cột r + 2, , n

4 Các bài toán khác dùng định nghĩa như

• Tìm ma trận chuyển cơ sở