ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2009 – 2010 Câu 1: 1) Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑘𝑗 )𝑛 với 𝑎𝑘𝑗 ∈ ℂ 𝑎𝑘𝑗 số phức liên hợp 𝑎𝑗𝑘 với 𝑘; 𝑗 Chứng minh det 𝐴 số thực 2) Sử dụng tính chất định thức, chứng minh đẳng thức sau 𝑎1 + 𝑏1 𝑥 𝑎1 − 𝑏1 𝑥 𝑐1 𝑑1 𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑎 + 𝑏2 𝑥 𝑎2 − 𝑏1 𝑥 𝑐2 𝑑2 𝑎 𝑏2 𝑐2 | | = −2𝑥 | 𝑎3 + 𝑏3 𝑥 𝑎3 − 𝑏3 𝑥 𝑐3 𝑑3 𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑎4 + 𝑏4 𝑥 𝑎4 − 𝑏4 𝑥 𝑐4 𝑑4 𝑎4 𝑏4 𝑐4 𝑑1 𝑑2 | 𝑑3 𝑑4 Câu 2: Trong không gian ℝ3 cho hệ vector ℬ = (𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 ); ℬ ′ = (𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 ) với 𝑢1 = (1; 0; −1); 𝑢2 = (0; −2; 1); 𝑢3 = (0; 0; 1); 𝑣1 = (2; 1; −1); 𝑣2 = (1; 1; 6); 𝑣3 = (−1; 1; 𝑚) 1) Tìm 𝑚 để ℬ ′ sở ℝ3 2) Tìm ma trận đổi sở từ ℬ sang ℬ ′ ứng với 𝑚 = Câu 3: Trong không gian ℝ4 cho không gian 𝑊1 = 〈(0; 0; 1; 0); (1; 2; 1; 0); (0; 0; 1; 1)〉 𝑊2 = 〈(0; 1; 0; 1); (1; 1; 0; 2); (0; 1; 1; 1)〉 Hãy tìm sở không gian 𝑊1 ∩ 𝑊2 Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: 𝑈 → 𝑉 𝑔: 𝑉 → 𝑊 mà 𝑔𝑓 đẳng cấu Chứng minh Im 𝑓 ∩ Ker 𝑔 = 𝑉 = Im 𝑓 + Ker 𝑔 Câu 5: Tốn tử tuyến tính 𝜑 ℝ3 sở 𝒞 = ((1; 1; 1); (1; 2; 0); (3; 0; 0)) có ma trận (−1 −1 −1 Hãy tìm sở số chiều Ker 𝜑 Im 𝜑 −1) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2011 – 2012 Câu 1: Gọi 𝑊 tập hợp ma trận đối xứng thuộc 𝑀𝑛 (ℝ) Chứng minh 𝑊 không gian vector 𝑀𝑛 (ℝ) Tìm số chiều sở 𝑊 Câu 2: Trong không gian ℝ3 cho hệ vector ℬ = (𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 ); ℬ ′ = (𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 ) với 𝑢1 = (1; 0; 1); 𝑢2 = (0; 1; 0); 𝑢3 = (2; 1; 0); 𝑣1 = (0; 0; 1); 𝑣2 = (0; 1; −1); 𝑣3 = (𝑚; 1; 1) 1) Tìm 𝑚 để ℬ sở ℝ3 2) Tìm ma trận đổi sở từ ℬ sang ℬ ′ ứng với 𝑚 = Câu 3: Cho tốn tử tuyến tính 𝑓: 𝑉 → 𝑉 mà 𝑓𝑓 = 𝑓 Chứng minh rằng: Im 𝑓 ∩ Ker 𝑓 = 𝑉 = Im 𝑓 + Ker 𝑓 Câu 4: Tốn tử tuyến tính 𝜑 ℝ3 sở 𝒞 = ((1; 1; −1); (1; 1; 0); (2; 0; 0)) có 1 ma trận (−1 −1) Hãy tìm sở số chiều Ker 𝑓 Im 𝑓 −1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2012 – 2013 Câu 1: Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛 ma trận vuông cấp 𝑛 (𝑛 ≥ 2) xác định 0, 𝑎𝑖𝑗 = { 1, (𝑖; 𝑗) ∈ {(2; 2); (3; 3); … ; (𝑛; 𝑛)} (𝑖; 𝑗) ∉ {(2; 2); (3; 3); … ; (𝑛; 𝑛)} Tính det 𝐴 Câu 2: Trong không gian ℝ3 cho sở ℬ = (𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 ); ℬ ′ = (𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 ) với 𝑢1 = (3; 2; 1); 𝑢2 = (0; 2; −1); 𝑢3 = (0; 0; 1); 𝑣1 = (1; 1; 0); 𝑣2 = (1; 0; −1); 𝑣3 = (1; 1; 1) Tìm ma trận đổi sở từ ℬ sang ℬ ′ Câu 3: Trong không gian ℝ4 cho không gian 𝑊1 = 〈(0; 0; 1; 0); (1; 2; 1; 0); (0; 0; 1; 1)〉 𝑊2 = 〈(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ; 𝑥4 ) ∈ ℝ4 |𝑥 = 𝑥2 + 𝑥1 〉 Hãy tìm sở không gian 𝑊1 ∩ 𝑊2 Câu 4: Cho 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑛 tốn tử tuyến tính mà 𝑓 ∘ 𝑓 = 𝑓 Giả sử 𝒳 = (𝑤1 ; 𝑤2 ; … ; 𝑤𝑟 ) 𝒴 = (𝑤1+𝑟 ; 𝑤2+𝑟 ; … ; 𝑤𝑛 ) sở Ker 𝑓 Im 𝑓 a) Chứng minh 𝒞 = (𝑤1 ; 𝑤2 ; … ; 𝑤𝑛 ) sở ℝ𝑛 b) Hãy tìm ma trận biểu diễn tốn tử 𝑓 sở 𝒞 Câu 5: Tốn tử tuyến tính 𝜑 ℝ3 sở tắc ℬ0 = ((1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)) có ma trận biểu diễn −18 15 (−1 −22 15) Hãy tìm sở số chiều Ker 𝜑 Im 𝜑 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2013 – 2014 Câu 1: Cho ma trận 𝐴=( ) Tìm tất ma trận × 𝐵 cho 𝐵 ≠ 0; 𝐵 ≠ 𝐼2 𝐵 thỏa tính chất 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 Câu 2: Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số 𝑎 𝑥+ 𝑦− 𝑧=2 𝑧=3 {𝑥 + 2𝑦 + 𝑥 + 𝑦 + (𝑎2 − 5)𝑧 = 𝑎 Câu 3: Cho 𝐴 ma trận sau: 1 𝐴=( 2 1 1 1 ) Tìm sở cho a) Khơng gian dòng 𝐴 b) Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính 𝐴𝑋 = Câu 4: Giả sử 𝐴 ma trận có kích thước × 𝐵 ma trận có kích thước × Đặt 𝐶 = 𝐴𝐵 Hỏi có tồn ma trận 𝐴 𝐵 cho cột 𝐶 độc lập tuyến tính hay khơng? Nếu có, cho ví dụ khơng, chứng minh Câu 5: Cho 𝑉 = ℝ2 [𝑡 ] (khơng gian đa thức thực có bậc nhỏ hay 2) Đặt 𝐶 = {2 + 𝑡; 𝑡 + 𝑡 ; + 𝑡 } 𝐷 = {1; + 𝑡; + 𝑡 + 𝑡 } a) Kiểm tra 𝐶 𝐷 hai sở 𝑉 b) Tìm ma trận chuyển sở (𝐶 → 𝐷) Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑇: ℝ3 → ℝ2 (𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) ↦ (𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 ; 2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 ) Đặt 𝐵 = {(1; 2; −1); (2; −1; 2); (3; 1; −1)} 𝐶 = {(1; 2); (2; 3)} a) Kiểm tra 𝐶 𝐵 hai sở ℝ3 ℝ2 b) Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 𝑇 theo sở 𝐵 𝐶, [𝑇 ]𝐵;𝐶 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2014 – 2015 Câu 1: Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số 𝑚 ∈ ℝ 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥4 + 𝑥5 2𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 − 2𝑥5 { 3𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 − 𝑥5 2𝑥1 − 5𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4 + 2𝑥5 =𝑚 = 3𝑚 =𝑚+1 =𝑚−1 Câu 2: Trong không gian ℝ3 cho hệ vector ℬ = (𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 ); ℬ ′ = (𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 ) với 𝑢1 = (1; 0; −1); 𝑢2 = (0; −2; 1); 𝑢3 = (0; 1; 1); 𝑣1 = (2; 1; −1); 𝑣2 = (1; 1; 6); 𝑣3 = (−1; 1; 𝑚) a) Tìm 𝑚 để ℬ sở ℝ3 b) Tìm ma trận đổi sở từ ℬ sang ℬ ′ ứng với 𝑚 = Câu 3: Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) thỏa điều kiện 𝑎𝑖𝑖 > ∑𝑗≠𝑖|𝑎𝑖𝑗 | với 𝑖 Chứng minh det 𝐴 ≠ Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 ∶ 𝑈 → 𝑉 𝑔 ∶ 𝑉 → 𝑊 mà 𝑔𝑓 đẳng cấu Chứng minh Im 𝑓 ∩ Ker 𝑔 = 𝑉 = Im 𝑓 + Ker 𝑔 Câu 5: Tốn tử tuyến tính 𝜑 ℝ4 sở ℬ0 = −1 2 13 ((1; 0; 0; 0); (0; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0); (0; 0; 0; 1)) có ma trận ( ) Hãy 1 12 tìm sở số chiều Ker 𝜑 Im 𝜑 Toán tử 𝜑 có phải đơn cấu, tồn cấu khơng? Tại sao? ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2015 – 2016 Câu 1: Giải biện luận (theo tham số 𝑚) hệ phương trình sau: 𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 2𝑥3 = {𝑥1 + (3 − 𝑚)𝑥2 + 𝑥1 + 2𝑥2 + (𝑚 + 1)𝑥3 = − 𝑚 Câu 2: Trong không gian ℝ3 , cho vector 𝑢1 = (1; 1; 2); 𝑢2 = (2; 1; 3); 𝑢3 = (3; −1; 1) 𝑢 = (9; 1; 9) a) Chứng minh tập hợp ℬ = {𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 } sở ℝ3 xác định tọa độ vector 𝑢 theo sở ℬ b) Xác định sở 𝒞 = {𝑣1 ; 𝑣2 ; 𝑣3 } ℝ3 cho ma trận chuyển sở từ 𝒞 sang ℬ 1 −1 (𝒞 → ℬ ) = (1 −1 −2) −3 Câu 3: Cho 𝑊 không gian ℝ4 sinh vector 𝑢1 = (1; 1; 2; 1); 𝑢2 = (1; 2; 3; 2); 𝑢3 = (−1; 3; 1; 1); 𝑢4 = (5; −2; 5; 2) a) Chứng minh tập hợp ℬ = (𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 ) sở 𝑊 xác định tọa độ 𝑢4 theo sở ℬ b) Cho 𝑢 = (1; 𝑚; 3; 𝑚 − 2) ∈ ℝ4 Tìm 𝑚 để 𝑢 ∈ 𝑊 Với giá trĩ 𝑚 vừa tìm được, biểu diễn vector 𝑢 dạng tổ hợp tuyến tính 𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 ∈ 𝐿(ℝ4 ; ℝ3 ) xác định bởi: 𝑓 (𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑡 ) = (𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 𝑡; 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 𝑡; 𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 + 3𝑡 ) a) Tìm sở không gian Im 𝑓 sở không gian Ker 𝑓 b) Xác định ma trận biểu diễn 𝑓 theo cặp sở ℬ0 , ℬ; ℬ0 sở tắc ℝ4 ℬ = {(1; 0; 1); (0; −1; 0); (0; 1; 2)} sở ℝ3 Câu 5: a) Cho 𝑉 không gian vector ℝ, dim 𝑉 = 𝑢; 𝑣; 𝑤 ∈ 𝑉 Chứng minh ℬ = {𝑢; 𝑣; 𝑤 } sở 𝑉 ℬ ′ = {𝑢 + 𝑣; 𝑣 − 𝑤; 𝑤 + 2𝑢} sở 𝑉 b) Cho 𝐴; 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) thỏa mãn điều kiện 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 𝐴2 = 𝐵2 = Chứng minh (𝐼𝑛 + 𝐴 + 𝐵) khả nghịch (𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵) không khả nghịch ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2016 – 2017 −1 Câu 1: Cho hai ma trận 𝐴 = ( −1 2 −2 −1) ; 𝐵 = (1 1 1 0 2) a) Tìm ma trận nghịch đảo 𝐴 b) Tìm ma trận 𝑋 thỏa mãn 𝐴𝑋𝐴 = 𝐴𝐵 Câu 2: Cho tập hợp 𝑊 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ3 |𝑥 − 𝑦 = 2𝑧} a) Chứng minh 𝑊 không gian khơng gian vector ℝ3 b) Tìm sở xác định số chiều không gian 𝑊 Câu 3: Cho tập hợp ℬ = {𝑢1 = (1; 2; 2); 𝑢2 = (1; 1; −1)} 𝑊 không gian sinh ℬ a) Chứng minh ℬ sở 𝑊 b) Tìm 𝑚 để vector 𝑢 = (1; −1; 𝑚) thuộc không gian 𝑊 với giá trị 𝑚, xác định tọa độ 𝑢 theo sở ℬ Câu 4: Giả sử ℬ = {𝑢; 𝑣} sở không gian vector 𝑉 Đặt ℬ ′ = {𝑢 − 2𝑣; 3𝑢 − 5𝑣} a) Chứng minh ℬ ′ sở 𝑉 xác định ma trận chuyển sở từ ℬ ′ sang ℬ b) Cho 𝑤 ∈ 𝑉 thỏa mãn [𝑤 ]ℬ = ( ) Hãy xác định tọa độ 𝑤 theo sở ℬ ′ −2 Câu 5: Cho tốn tử tuyến tính 𝑓 ∈ 𝐿(ℝ3 ) xác định bởi: 𝑓 (𝑥; 𝑦; 𝑧) = (𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧; 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧; 3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧) a) Xác định sở cho không gian Ker 𝑓 Im 𝑓 b) Cho ℬ = {𝑢1 = (1; −1; 0); 𝑢2 = (1; 0; −1); 𝑢3 = (0; −1; 0)} Chứng tỏ ℬ sở ℝ3 xác định ma trận biểu diễn 𝑓 theo sở ℬ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2017 – 2018 Câu 1: Cho ma trận 𝐴 = (1 2 𝑚 𝑚 3) a) Tìm giá trị 𝑚 để 𝐴 khả nghịch b) Tìm nghịch đảo 𝐴 trường hợp 𝑚 = Câu 2: Cho 𝑊 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ3 |𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 + 𝑧} 𝑊 ′ = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ3 |𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧} Chứng minh 𝑊 không gian ℝ3 𝑊 ′ không không gian ℝ3 Câu 3: Trong ℝ3 , cho 𝑢1 = (1; 1; 2); 𝑢2 = (2; 1; 1); 𝑢3 = (1; 3; 7) ℬ = {𝑢1 ; 𝑢2 ; 𝑢3 } a) Chứng minh ℬ sở ℝ3 tìm tọa độ vector 𝑢 = (5; 4; 6) theo sở ℬ b) Tìm 𝑚 để 𝑣 = (1; 3; 𝑚) tổ hợp tuyến tính 𝑢1 ; 𝑢2 Với giá trị 𝑚 vừa tìm được, xác định dạng biểu diễn tuyến tính 𝑣 theo 𝑢1 𝑢2 c) Xác định sở ℬ ′ = {𝑢1′ ; 𝑢2′ ; 𝑢3′ } ℝ3 cho ma trận chuyển sở từ ℬ ′ sang ℬ −1 (ℬ ′ → ℬ ) = (0 0) −1 Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 ∈ 𝐿(ℝ4 ; ℝ3 ) xác định bởi: 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑡 ) = (𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 𝑡; 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 2𝑡; 𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 − 4𝑡 ) c) Tìm sở khơng gian Im 𝑓 sở không gian Ker 𝑓 d) Xác định ma trận biểu diễn 𝑓 theo cặp sở ℬ0 , ℬ; ℬ0 sở tắc ℝ4 ℬ = {(1; 0; −1); (0; 1; 0); (0; −1; 1)} sở ℝ3 Câu 5: Cho 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) thỏa mãn 𝐴3 + 3𝐴2 + 3𝐴 + 𝐼𝑛 = Chứng minh 𝐴 khả nghịch 𝐴 + 𝐼 không khả nghịch ... tử