Đề thi Đại số tuyến tính Đh Công NghệĐHQG

Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu về không gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Các khái niệm vectơ trong không gian vectơ, ma trận và các định thức là những công cụ rất quan trọng trong đại số tuyến tính. Bài toán cơ bản của đại số tuyến tính là tìm nghiệm x của phương trình ma trận sau: A x = b Mặc dù nghiệm này về lý thuyết có thể tìm được từ ma trận nghịch đảo: x = A{1} b nhưng các phương pháp số ví dụ như phép khử Gauss thường hiệu quả hơn. Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích... để giải các bài toán như phép quay trong không gian, nội suy bình phương nhỏ nhất, nghiệm của hệ phương trình vi phân, tìm đường tròn qua ba điểm... Nó cũng có vô vàn ứng dụng trong khoa học tự nhiên (vật lý, công nghệ...) và khoa học xã hội (kinh tế...), vì các mô hình phi tuyến tính hay gặp trong tự nhiên và xã hội thường có thể xấp xỉ bằng mô hình tuyến tính.

Đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính Kỳ II năm học 2014-2015 (Lã Đức Việt) Thời gian: 3 tiết Bài 1: Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính? Bài 2: Định nghĩa không gian nhân và không gian ảnh? Bài 3: Chứng minh không gian nhân và không gian nhân là các không gian con. Bài 4: Cho T(x,y,z,t) = ( x + 2y + 3z +4t, y +2z +3t, x +3y +5z +7t, x+ y +z +t) . Xác định một cơ sở của Im(m), Ker(T) Bài 5 : Cho a 1 =(1,0,0) a 2 = (1,1,0) a 3 = (1,1,1) ; b 1 = (1,0,1) b 2 = (3,1,4) b 3 = (6,3,10) . T là toán tử tuyến tính sao cho T(a i ) = b i . Tìm ma trận của T ? Bài 6 : Cho T là toán tử tuyến tính và {u i } là một cở sở. Chứng minh nếu {T(u i )} độc lập tuyến tính thì Ker(T) =θ . Bài 7 : Trong R 2 định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau : (x, y) + (u,v) = (x+u, y.v) a(x, y) = (a.x, y 1/a ) Kiểm tra 10 tính chất của không gian vector. Bài 8: Nêu ba định nghĩa của cơ sở. Bài 9: Cho v, u là hai không gian con dim(u) > dim (v), dim(u + v) = dim(u ᴖ v) + 1 . Chứng minh u+ v = u, u +v = v . Bài 10 : Chứng minh các ma trận đối xứng 3×3 tạo thành không gian con, tìm cở sở của không gian đó Bài 11 : Chứng minh Tr(A×B) = Tr(B×A) với Tr là “vết” của ma trận. Bài 12 : Tính định thức ma trận A : A =                                Câu 13 : A =            xác định trị riêng, vector riêng của A và tính A n . Câu 14: Cho {u i } là một hệ trực chuẩn vsaf T là toán tử tuyến tính cho x,y là hai vector a, Chứng minh {u i } độc lập tuyến tính. b, Chứng minh nếu {T(u i )} trực chuẩn thì T là toán tử trực giao. c, Chứng minh <x,y> =        . Đề thi giữa kỳ đại số tuyến tính Kỳ II năm học 2014-2015 (Lã Đức Việt) Thời gian: 3 tiết Bài 1: Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính? Bài 2: Định nghĩa không gian. (6,3,10) . T là toán tử tuyến tính sao cho T(a i ) = b i . Tìm ma trận của T ? Bài 6 : Cho T là toán tử tuyến tính và {u i } là một cở sở. Chứng minh nếu {T(u i )} độc lập tuyến tính thì Ker(T). A n . Câu 14: Cho {u i } là một hệ trực chuẩn vsaf T là toán tử tuyến tính cho x,y là hai vector a, Chứng minh {u i } độc lập tuyến tính. b, Chứng minh nếu {T(u i )} trực chuẩn thì T là toán tử