Hệ thống kiến thức đại số tuyến tính

Ngày 13 tháng năm 2016 Tài liệu tham khảo Đại số tuyến tính - Nguyễn Hữu Việt Hưng Mục lục Không gian thương định Không gian thương Chéo hóa ma trận Dạng chuẩn Jordan lí đồng cấu 5 10 Tích tensor, đại số ngoài, đại số đối xứng Tích tensor 19 19 Chương Không gian thương định lí đồng cấu Không gian thương Definition 1.1 (Không gian thương) W = KGVT K-KGVT V Xét tập hợp V /W = {[v] = v + W |v ∈ V } Trang bị tập hợp Sự [v1 ] = [v2 ] ⇔ v1 − v2 ∈ W Trang bị hai phép toán cộng nhân vô hướng cảm sinh từ KGVT V (không phụ thuộc vào việc chọn đại biểu) Khi (V /W, +, ) lập thành KGVT ta gọi KGVT thương Nhận xét : W KGVT V phép toán định nghĩa đứng đắn V /W KGVT Việc định nghĩa V /W có tác dụng gì? có "tương thích" liên quan đến KGVT V không? tương thích theo nghĩa có đồng cấu V → V /W xác định v −→ [v] Ý nghĩa không gian thương V /W ta muốn tập V có tính chất W hay nói cách khác muốn W đồng Chẳng hạn muốn tập số thực R2 có tính chất x = y (tức ta cần x − y = 0) ta cần xét R2 /{x − y} Ví dụ khác chẳng hạn muốn tích R × R có tính chất tuyến tính ta cần chia tập cho tập sinh phần tử (ax + by, cz + dt) − ac(x, z) − ad(x, t) − bc(y, z) − bt(y, t) Điển hình ví dụ khác cách xây dựng tensor giới thiệu sau Ứng dụng khác V /W ta dùng để chứng minh quy nạp Quy nạp tận dụng dimV /W < dimV Definition 1.2 (Cơ sở Không gian thương) Cho không gian thương V /W , sở không gian thương tìm cách bổ sung sở W Cụ thể, giả sử (v1 , · · · , vr ) sở W, ta bổ sung sở cho (v1 , · · · , vr , vr+1 , · · · , ) sở W Khi ([vr+1 ], · · · , [vn ]) sở V/ W Nhận xét : Ta bổ sung sở dựa ma trận nhanh Cụ thể tập sau Bài tập V = R4 , W = {(x, y, z, t) : y = z = t} Tìm sở V /W Chứng minh Hướng giải (dùng định nghĩa cách bổ sung sở dựa vào ma trận) (x, y, z, t) = (x, x, x, t) = x(1, 0, 0, 0) + t(0, 1, 1, 1) nên sở W ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1) Bây ta cần bổ sung hai vector cho vector hàng ma trận sau độc lập tuyến tính (tức có hạng 4)   0 0 1 1   ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Rõ ràng ta cần chọn hai vector hàng tắc e3 , e4 Cụ thể,  0  0 0 cho độc lập tuyến tính, dễ dàng chọn vector 1  1  0 Tóm lại sở cần tìm ([e3 ], [e4 ]) Không gian thương cho phép ta tạo không gian tương thích đồng cấu với f có tính chất W Vấn đề sau tạo đẳng cấu tương thích với f Đây định lý cho ta ý tưởng để chứng minh đẳng cấu liên quan đến không gian thương với ý tưởng xét đồng cấu cho có "ảnh hạt nhân phù hợp" ! Cụ thể ta có định lý đồng cấu sau Theorem 1.3 (Định lý đồng cấu) Cho đồng cấu f : V → T Khi có đơn cấu cảm sinh f1 : V /Kerf → T xác định [v] −→ f (v) nghĩa V /Kerf ∼ = Imf Nhận xét : Khi f tự đồng cấu V V = Kerf ⊕ Imf Chú ý f phải tự đồng cấu có tính chất Example 1.4 Cho ánh xạ tuyến tính xác định rõ f : V → T Viết ma trận ánh xạ tuyến tính Tìm Kerf Tìm Imf Viết đẳng cấu V /Kerf ∼ = Imf Chứng minh Viết ma trận ánh xạ tuyến tính cách dựa vào định nghĩa (v1 , · · · , ) (f (v1 ) · · · f (vn )) = (v1 · · · )A Chú ý x có tọa độ (x1 , · · · , xn ) y = f (x) có tọa độ (y1 , · · · , ym ) ta có hệ phương trình Ax = y Ngoài ra, trường hợp không gian tọa độ ta nhìn nhanh ma trận A có vector hàng i "tọa độ thành phần yi ", hay nói cách khác vector cột hàng i "tọa độ ẩn xi thành phần y" Thực chất từ định nghĩa viết dạng hệ phương trình nhân ma trận Ví dụ cho (x1 , x2 , x3 , x4 ) −→ (x1 + 2x2 + x3 + 4x4 , 2x1 + 3x2 + x3 + 5x4 , 4x1 + 7x2 + 3x3 + 13x4 ) ma trận ánh xạ tuyến tính  A = 2 1  5 13 Tìm Kerf Ta tìm cách dùng định nghĩa Gọi x = (x1 , cdots, xn ) tọa độ sở giống với sở ứng với ma trận A Khi đó, ta có hệ phương trình Ax = từ hệ phương trình ta suy mối liên hệ xi suy sở Kerf Tìm Imf Lưu ý rằng: Tuy V = Kerf ⊕ Imf trường hợp f tự đồng cấu ta không tìm Imf cách bổ sung sở Kerf để sở V tổng trực tiếp tính Chẳng hạn R2 = Ox ⊕ Oy = Ox ⊕ {x = y} Hướng giải.(Sử dụng định nghĩa) Với x(x1 , · · · , xn ) tọa độ sở giống với sở ứng với ma trận A Gọi y = f (x) = (y1 , · · · , ym ) ta có hệ phương trình có nghiệm Ax = y Bước Dùng phép khử Gauss ta đưa hệ phương trình  (= 0) ∗ ∗ ∗ ∗  (= 0) ∗ ∗ ∗   0 (= 0) ∗     0 (= 0)   0 0   0 0 dạng chéo sau ∗ ∗ ∗ ∗ 0  | ∗  | ∗   | ∗   |   ∗ | ∗  | h1 (y1 , · · · , ym )   | | hr (y1 , · · · , ym ) ∗ ∗ ∗ Bước Để hệ phương trình Ax = y có nghiệm ta có hệ phương trình sau By = với B ma trận có hàng hi Từ ta tìm sở Imf Viết đẳng cấu cảm sinh từ đồng cấu f Ngoài ta có cách khác nhìn nhanh tìm nhanh Kerf Imf từ phép khử Gauss Cụ thể, phép khử Gauss hệ phương trình Ax = y trở thành ∗ f (v1 ) f (v2 ) · · ·  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗  ma trận A ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1  (= 0) ∗ ∗ 1 (= 0) ∗ f (vn )   1 0 (= 0) ∗   ∗ =  1 0 ∗ 2 0   0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (= 0) | | | | | | | | | 2  ∗ ∗ ∗ ∗   ∗ ∗     ∗ ∗  0    0 Ở đây, hiểu Imf có hệ sinh (f (v1 ), · · · , f (vn )) Và việc khử Gauss đổi chỗ cột hay hàng vector tương ứng A phải thay đổi • Số chiều Kerf dimKerf = Số vector hàng có số • Cơ sở Kerf tìm cách tìm thông thường • Số chiều Imf dimImf = Số vector cột có số • Cơ sở Imf tìm cách ta thấy vector cột ma trận A ứng với cột số độc lập tuyến tính Từ kết cở sở = hệ sinh + độc lập tuyến tính ta thu Cơ sở Imf vector cột A ứng với cột số Chéo hóa ma trận Definition 2.1 (Không gian ổn định, f- ổn định) Xét W không gian KGVT V ánh xạ tuyến tính f : V → V Khi Không gian ổn định W V hay f −ổn định ⇔ f (W ) ⊂ W Khi ta có ánh xạ tuyến tính cảm sinh từ f f1 : W → W Ma trận A ánh xạ tuyến tính f có dạng khối B C D B ma trận ánh xạ tuyến tính f1 Trường hợp đặc biệt, phần bù W V ổn định ma trận ứng với phần bù D C = Ta nghiên cứu trường hợp f-ổn định chiều khái niệm chéo hóa ma trận Definition 2.2 (Giá trị riêng, vector riêng, chéo hóa ma trận) Giả sử W f-ổn định với dimW = 1, tức W =< v > với v = f (v) = λv Khi ta nói v vector riêng ứng với giá trị riêng λ Chú ý cách tìm giá trị riêng vector riêng Tự đồng cấu f gọi chéo hóa hay ma trận A tự đồng cấu f gọi chéo hóa • |A − λI| = (λ − λ1 )s1 · · · (λ − λp )sp • dimKer(A − λi I) = si Khi ma trận A đồng dạng với ma trận  λ1  ···   λ1             ··· ··· λp Tức V = £(các vector riêng ứng với giá trị riêng λ1 )⊕· · ·⊕£(các vector riêng ứng với giá trị riêng λp ) Trường hợp đặc biệt, Ma trận cỡ n × n có n giá trị riêng khác chéo hóa Các ma trận thực đối xứng chéo hóa ma trận trực giao Nhận xét vài ứng dụng chéo hóa ma trận (không gian ổn định) Tính định thức Giải hệ phương trình Lũy thừa ma trận T nhA100 Do A = CDC −1 nên A100 = CD100 C −1 , mà ma trận chéo tính số mũ cần mũ đường chéo Tính công thức truy hồi a1 = 1, a2 = 2, an = an−1 + an−2 Vì a2n+1 = a2n+2 1 a2n−1 a2n = 1 n a1 a2 Rõ ràng ý nghĩa việc chéo hóa ma trận rõ ràng, biến ma trận thành ma trận có dạng chéo lúc chéo hóa nên ta cố gắng đưa dạng chéo khối ta gọi dạng chuẩn Jordan tìm hiểu phần sau Nhắc lại để nhìn nhanh ma trận không chéo hóa ta xem lại cách tìm nhanh dim Kerf giới thiệu Do vậy, sau tìm xong giá trị riêng λ, thay λ vào ma trận (A − λI) ta nhìn thấy dimKer(A − λI) Dạng chuẩn Jordan Trong mục ta xét V C − KGV T để phương trình đặc trưng có đầy đủ nghiệm Ý tưởng việc tìm dạng chuẩn Jordan sử dụng ánh xạ lũy linh f (tức có tính chất f n = 0), thể rõ ràng chứng minh định lý, bổ đề Việc tìm dạng chuẩn Jordan cách chứng minh định lý, bổ đề Chúng ta trình bày cách tìm ma trận Jordan cuối mục Theorem 3.1 (Định lý chính, cách tìm ma trận Jordan) V C − KGV T hữu hạn chiều A : V → V tự đồng cấu Khi tồn phân tích V thành tổng trực tiếp không gian A-ổn định V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vk Tồn sở ei1 , · · · eini Vi với λi (Chú ý λi λj ) cho (A − λi I)ei1 = (A − λi I)ei2 = ei1 ······ (A − λi I)eini = eini−1 Theo định nghĩa ma trận ánh xạ tuyến tính, khối ứng với sở   λi   λi     ···    λi  λi 10 Số chiều Vi λi sai khác hoán vị Example 3.2 Cho tự đồng cấu f cho f n = Tìm giá trị riêng có f Chứng minh f n = =⇒ An = =⇒ det(An ) = (detA)n = =⇒ det(A) = f có giá trị riêng Definition 3.3 (Không gian riêng suy rộng) Ta tập trung vào giá trị riêng cụ thể λ N1 (λ) := Ker(A − λI) N2 (λ) := Ker(A − λI)2 ······ Nm (λ := Ker(A − λI)m ) Nhận xét Không gian riêng Ni+1 chứa không gian riêng Ni Tức N1 ≤ N2 ≤ · · · ≤ Nm Dãy dừng lại V không gian hữu hạn chiều, tức tồn m cho Nm = Nm+1 = Nm+2 = · · · Lemma 3.4 Nếu Nk = Nk+1 Nk = Nk+1 = Nk+2 = · · · Chứng minh Ta cần chứng minh Nk+1 = Nk+2 (rồi tương tự, tức quy nạp) Giả sử v ∈ Nk+2 \Nk+1 (A − λI)k+2 v = (A − λI)k+1 v = tức (A − λI)k+1 [(A − λI)v] = (A − λI)k [(A − λI)v] = (A − λI)v ∈ Nk+1 \Nk nên mâu thuẫn Chú ý v = nên (A − λI)v = (A − λI)v = v vector riêng nên v ∈ Nk+1 (N1 ≤ Nk+1 ) mâu thuẫn Trong mục ta giả sử k số cho Nk = Nk+1 Lemma 3.5 Ker(A − λi I)k ∩ Im(A − λi I)k = Khi Vi = Ker(A − λi I)k ⊕ Im(A − λi I)k Chứng minh v ∈ Ker(A − λi I)k ∩ Im(A − λi I)k tức (A − λi I)k v = tồn w cho (A − λi I)k w = v (A − λi I)2k w = nên w ∈ N2k = Nk Tức v = Nk w = 11 Lemma 3.6 Ker(A − λi I)k Im(A − λi I)k không gian A-ổn định Chứng minh Ta chứng minh Nk = Ker(A − λi I)k không gian A-ổn định Thật vậy, với v ∈ Ker(A − λi I)k tức (A − λi I)k v = nên (A − λi I)[(A − λi I)k v] = (A − λi I)[(A − λi I)k ] = ⊂ (A − λi I)k tức (A − λi I)k không gian (A − λi I)-ổn định Do (A − λi I)k không gian λi I ổn định (vì λi I[(A − λi I)k ] ⊂ (A − λi I)k ) nên ta có điều phải chứng minh Ta chứng minh Im(A − λi I)k không gian A-ổn định Thật vậy, với v ∈ Im(A − λi I)k tức tồn w cho v = (A − λi I)k w nên (A − λi I)v = (A − λi I)[(A − λi I)k w] = (A − λi I)k+1 w = (A − λi I)k w ⊂ Im(A − λi I)k (do Nk = Nk+1 ) Do Im(A − λi I)k không gian (A − λi I) ổn định Chú ý ta chứng minh cách khác nhờ vào đẳng thức sau (A − λi I)k A = A(A − λi I)k (Chứng minh quy nạp) Theorem 3.7 Cho A : V → V có λ1 , · · · , λp tất giá trị riêng khác Khi tồn n1 , · · · , np cho V = Ker(A − λ1 I)n1 ⊕ · · · ⊕ Ker(A − λp I)np Chú ý ánh xạ A không chéo hóa nên nói chung số n1 , · · · , np khác với số λ1 , · · · , λp đa thức đặc trưng Chứng minh (Các chứng minh dùng phương pháp quy nạp) Theo bổ đề trước ta có V = Ker(A − λ1 I)n1 ⊕ Im(A − λ1 I)n1 Ta cần chứng minh đẳng thức sau xong Im(A − λ1 I)n1 = Ker(A − λ2 I)n2 ⊕ Im(A − λ2 I)n2 Ta chứng minh ánh xạ sau cảm sinh từ ánh xạ A giá trị riêng λ1 (chính Im(A − λ1 I)n1 A- ổn định) A1 : Im(A − λ1 I)n1 → Im(A − λ1 I)n1 xác định v −→ A1 (v) = A(v) Gọi = v ∈ Im(A − λ1 I)n1 vector riêng ứng với giá trị riêng λ1 Av = A1 v = λ1 v tức v ∈ Ker(A − λ1 I) ⊂ Ker(A − λ1 I)n1 Do v ∈ Ker(A − λ1 I)n1 ∩ Im(A − λ1 I)n1 = {0} tức ta có điều phải chứng minh 12 Chú ý ta lập luận sau A chưa chéo hóa Do V = Ker(A − λ1 I)n1 ⊕ Im(A − λ1 I)n1 hai tập ổn định Ker(A − λ1 I) ⊂ Ker(A − λ1 I)n1 nên ma trận ánh xạ tuyến tính A đồng dạng khối chéo với khối chéo toàn λ1 khối lại không Tóm lại, A1 không nhận λ1 làm giá trị riêng nên V = Ker(A − λ1 I)n1 ⊕ Im(A − λ1 I)n1 = Ker(A − λ1 I)n1 ⊕ Ker(A1 − λ2 I)n2 ⊕ Im(A1 − λ2 I)n2 Chú ý ánh xạ A1 ánh xạ hạn chế nên ta cần chứng minh đẳng thức sau quy nạp Ker(A1 − λ2 I)n2 = Ker(A − λ2 I)n2 Im(A1 − λ2 I)n2 = Im(A − λ2 I)n2 Thật vậy, giả sử v ∈ Ker(A1 − λ2 I)n2 phép khai triển nhị thức Newton A1 v = Av ta có (A − λ2 I)n2 v = (A1 − λ2 I)n2 v = tức v ∈ Ker(A − λ2 I)n2 tương tự ta có điều phải chứng minh Hơn nữa, v ∈ Im(A1 − λ2 I)n2 tức tồn w cho (A1 − λ2 I)n2 w = v, phép khai triển nhị thức Newton A1 v = Av ta có (A − λ2 I)n2 w = (A1 − λ2 I)n2 w = v tức v ∈ Im(A − λ2 I)n2 tương tự ta có điều phải chứng minh Example 3.8 Tìm ma trận C = I chéo M (3 × 3, Z) mà C −1 ∈ M (3 × 3, Z) Tìm ma trận A ∈ M (3 × 3, Z) mà sau phép biến đổi sở A chuyển thành ma trận   0 J = 0 1 0 Chứng minh Vì (C −1 )ij = Do ta chọn C ma trận chéo có ma trận có dạng  0 (−1)i+j ij (c ) det(C) phần tử đường chéo Khi C  ∗ ∗ ∗ Do A có dạng A = CJC −1 với C ma trận vừa tìm 13 Vấn đề tìm cấu trúc ánh xạ lũy linh Xét tự đồng cấu A : V → V , để hiểu ánh xạ A tương đương với hiểu ánh xạ A − λi I Nói chung A ánh xạ không chéo hóa nên ta vận dụng ánh xạ lũy linh để tìm sở cho khối (khối đường chéo chứa giá trị riêng λi nhiều nhất) ma trận A Như bổ đề trước ta có Nk = Nk+1 = Nk+2 = · · · với Nk (λi ) = Ker(A − λi I)k Để đơn giản mặt kí hiệu, ta kí hiệu B = A − λi I Definition 3.9 U KGVT V {e1 , · · · , es } gọi sở V ứng với U {[e1 ], · · · , [es ]} sở khồng gian thương V /U Definition 3.10 Một dãy phần tử {e1 , · · · , es } gọi độc lập tuyến tính ứng với U {[e1 ], · · · , [es ]} độc lập tuyến tính không gian thương V /U Nhận xét hệ độc lập tuyến tính mở rộng để trở thành sở Lemma 3.11 Giả sử {e1 , · · · , es } sở Nk ứng với Nk−1 Khi đó, vector {e1 , · · · , es , Be1 , · · · , Bes } độc lập tuyến tính Nk ứng với Nk−2 Chú ý Nk−2 ≤ Nk−1 Nk = KerB k , B = A − λi I Chứng minh Giả sử có buộc tuyến tính s (ci ei + di Bei ) = Nk /Nk−2 i ta chứng minh ci = di = với i = s Thật vậy, ei ∈ Nk nên B k ei = B k−1 Bei = tức Bei ∈ Nk−1 s Xét i (ci ei + di Bei ) Nk /Nk−1 s ci ei = 0do Bei ∈ Nk−1 Nk−2 ≤ Nk−1 i Từ ta thu ci = Khi ta có s B( s di ei ) = i Khi s B k−1 ( s di ei ) = B k−2 [B( i Tức di Bei = Nk /Nk−2 i s di ei ) ∈ Nk−2 di ei )] = B( i i e di ei = Nk /Nk−1 i Do di = 14 Bằng cách bổ sung hệ độc lập tuyến tính thành sở ta thu Nk e1 , · · · , es Nk−1 Be1 , · · · , Bes f1 , · · · , ft ··· ··· ··· ··· ··· Nk−2 B e1 , · · · , B es Bf1 , · · · , Bft h1 , · · · , hu Để chứng minh quy nạp ta phải chứng minh tiếp bổ đề sau Lemma 3.12 Các vector {e1 , · · · , es , Be1 , · · · , Bes , B e1 , · · · , B es , f1 , · · · , ft , Bf1 , · · · , Bft } độc lập tuyến tính Nk ứng với Nk−3 Chứng minh Giả sử có buộc tuyến tính s t (ai ei + bi Bei + ci B ei ) + i (di fi + gi Bfi ) = Nk /Nk−3 i Tương tự cách chứng minh bổ đề trước Do e1 ∈ Nk nên Bei ∈ Nk−1 , B ei ∈ Nk−2 fi ∈ Nk−1 nên Bfi ∈ Nk−2 Xét biểu thức Nk /Nk−2 s t (di fi ) = Nk /Nk−2 , doNk−3 ≤ Nk−2 (ai ei + bi Bei ) + i i = bi = di = Biểu thức trở thành s t B( ci Bei + i s gi fi ) = i t (ci B ei ) + i gi Bfi = Nk /Nk−3 i Hay s B k−2 ( t i s gi fi ) = B k−3 [B( ci Bei + i t ci Bei + i s gi fi )] = B( i t gi fi ) ∈ Nk−3 ci Bei + i i Tức s t ci Bei + i s gi fi = Nk /Nk−2 i t gi fi ∈ Nk−2 ci Bei + i i Tóm lại ci = gi = hệ {Be1 , · · · , Bes , f1 , · · · , ft } độc lập tuyến tính Khi toàn thành phần bảng sau sở Nk Tóm lại, ta đánh số lại để hình thành nên phương pháp tìm dạng chuẩn Jordan ma trận hay ánh xạ tuyến tính Cụ thể, đánh số lại sau 15 Nk e1 , · · · , es ··· Nk−1 Be1 , · · · , Bes f1 , · · · , ft ··· ··· N1 B k−1 B k−2 ··· N0 e1 , · · · , B k−1 es f1 , · · · , B k−2 ft ··· g1 , · · · , gu Bảng 1.1: v1 = B k−1 (e1 ) v2 = B k−2 (e2 ) ······ vk−1 = Be1 vk = e Khi ta khối cỡ k × k tương ướng với sở v1 , · · · , vk    λi   ··· ···   tức A =  A − λi I = B =    · · · 1 ···  ··· ···   1 λi Do nhìn vào dòng bảng có s khối cỡ k × k Dòng thứ hai có t khối cỡ (k − 1) × (k − 1) ··· Dòng cuối có khối cỡ × TỔNG LẠI TA SẼ ĐƯỢC MỘT KHỐI si × si với si bội giá trị riêng λi đa thức đặc trưng (si = dimNk ) Definition 3.13 Số khối cỡ d kí hiệu md Definition 3.14 Gọi số khối cỡ k mk với k = dim(Nk /Nk−1 ) Example 3.15 Tìm dạng chuẩn Jordan ma trận A Cách làm Trước tiên ta nhìn lại bảng (1.1) Tìm ma trận dạng chuẩn Jordan Bước Tìm giá trị riêng λi có số bội si ma trận A Bước Tính dimNt = dimKerB t = dimKer(A − λi I)t với t chạy từ đến k Với k số cho dim(A − λi I)k = si Chú ý cách tìm dimKerB nhanh qua phép khử Gauss giới thiệu phần trước Do phép khử Gauss lũy thừa ma trận ta tìm dimNk dễ dàng 16 Bước Tìm mt số khối cỡ t × t với t = k Ta tìm   mk      m  k + mk−1 mk + mk−1 + mk−2    ···    m + m k k−1 + mk−2 + · · · + m1 theo thứ tự mk , mk−1 , · · · , m1 Chẳng hạn, = dimNk − dimNk−1 = dimNk−1 − dimNk−2 = dimNk−2 − dimNk−3 ··· = dimN1 − dimN0 = dimN1 Để hiểu rõ có hệ phương trình ta xem lại bảng (1.1) Bước Kết luận Tìm sở ứng với dạng chuẩn Jordan • Nếu m1 = ta làm sau – Tìm vector v1 sở N1 = Ker(A − λi I) Hay nói cách khác tìm cách vector riêng ứng với giá trị λi – Tìm vector sở N2 /N1 Giải hệ phương trình Be = v1 ta tìm e N2 N1 e Be = v1 đánh số lại v2 = e Tiếp tục làm với tất vector sở N1 để tìm tương ướng vector N2 /N1 • Nếu m1 = ta làm sau trường hợp m1 = – Tìm vector v1 sở N1 = Ker(A − λi I) Hay nói cách khác tìm cách vector riêng ứng với giá trị λi – Tìm vector sở N2 /N1 Giải hệ phương trình Be = v1 ta tìm e N2 N1 e Be = v1 - Nếu B e = e cột N2 đánh số lại e = v2 - Nếu B e = v1 vector riêng ứng với ma trận cỡ × 1, hay nói cách khác v1 vector bổ sung vào cột N1 để ta thu hệ độc lập tuyến tính trở thành sở Chú ý ta làm với λi khác Example 3.16 Liệt kê dạng chuẩn Jordan A biết PA (X) 17 18 Chương Tích tensor, đại số ngoài, đại số đối xứng Tích tensor • Ứng dụng nhiều vật lý, kỹ thuật • Chuyển toán đa tuyến tính tuyến tính Chẳng hạn Định thức det : V n → R Tích vô hướng : V × V → K Trong đó, V tập hợp, KGVT, tức V không trang bị phép toán • Dùng tích tensor xây dựng thêm số cấu trúc đại số từ cấu trúc đại số cho ban đầu Chẳng hạn cấu trúc đại số ban đầu KGVT hay Idean Trong nhiều trường hợp, thông tin từ cấu trúc giúp ta kết luận cấu trúc đại số ban đầu Definition 1.1 (Ánh xạ song tuyến tính) Giả sử L, M, N K − KGV T Khi đó, ánh xạ ϕ : L × M → N gọi song tuyến tính ϕ(l1 + l2 , m) = ϕ(l, m) + ϕ(l2 , m) ϕ(cl, m) = cϕ(l, m) ϕ(l, m1 + m2 ) = ϕ(l, m1 ) + ϕ(l, m2 ) ϕ(l, cm) = cϕ(l, m) với l, l1 , l2 ∈ L; m, m1 , m2 ∈ M c ∈ K 19 [...]... Tích tensor, đại số ngoài, đại số đối xứng 1 Tích tensor • Ứng dụng nhiều trong vật lý, kỹ thuật • Chuyển bài toán đa tuyến tính về một bài tuyến tính Chẳng hạn Định thức det : V n → R Tích vô hướng : V × V → K Trong đó, V là tập hợp, không phải là một KGVT, tức là trên V không được trang bị các phép toán • Dùng tích tensor có thể xây dựng thêm một số cấu trúc đại số từ một cấu trúc đại số đã cho... {e1 , · · · , es } được gọi là độc lập tuyến tính ứng với U nếu {[e1 ], · · · , [es ]} là độc lập tuyến tính trong không gian thương V /U Nhận xét rằng một hệ độc lập tuyến tính luôn mở rộng được để trở thành một cơ sở Lemma 3.11 Giả sử {e1 , · · · , es } là một cơ sở của Nk ứng với Nk−1 Khi đó, các vector {e1 , · · · , es , Be1 , · · · , Bes } là độc lập tuyến tính của Nk ứng với Nk−2 Chú ý rằng... số từ một cấu trúc đại số đã cho ban đầu Chẳng hạn như cấu trúc đại số ban đầu là KGVT hay Idean Trong nhiều trường hợp, những thông tin từ những cấu trúc mới có thể giúp ta kết luận về những cấu trúc đại số ban đầu Definition 1.1 (Ánh xạ song tuyến tính) Giả sử L, M, N là các K − KGV T Khi đó, ánh xạ ϕ : L × M → N được gọi là song tuyến tính nếu ϕ(l1 + l2 , m) = ϕ(l, m) + ϕ(l2 , m) ϕ(cl, m) = cϕ(l,... bội của giá trị riêng λi trong đa thức đặc trưng (si = dimNk ) Definition 3.13 Số khối cỡ d được kí hiệu là md Definition 3.14 Gọi số khối cỡ k là mk với k = dim(Nk /Nk−1 ) Example 3.15 Tìm dạng chuẩn Jordan của ma trận A Cách làm Trước tiên ta nhìn lại bảng (1.1) 1 Tìm ma trận dạng chuẩn Jordan Bước 1 Tìm các giá trị riêng λi có số bội là si của ma trận A Bước 2 Tính dimNt = dimKerB t = dimKer(A... riêng ứng với giá trị λi – Tìm các vector là cơ sở của N2 /N1 Giải hệ phương trình Be = v1 ta sẽ tìm được e N2 N1 e Be = v1 - Nếu B 2 e = 0 thì e là ở cột N2 và đánh số lại e = v2 - Nếu B 2 e = 0 thì v1 là vector riêng ứng với ma trận cỡ 1 × 1, hay nói cách khác v1 là một vector bổ sung vào cột N1 để ta thu được một hệ độc lập tuyến tính trở thành cơ sở Chú ý rằng là ta làm với từng λi khác nhau Example... · , Bes , f1 , · · · , ft } độc lập tuyến tính Khi đi toàn bộ những thành phần trong bảng sau là một cơ sở của Nk Tóm lại, bây giờ ta sẽ đánh số lại để hình thành nên phương pháp tìm dạng chuẩn Jordan của một ma trận hay một ánh xạ tuyến tính Cụ thể, đánh số lại như sau 15 Nk e1 , · · · , es ··· Nk−1 Be1 , · · · , Bes f1 , · · · , ft ··· ··· N1 B k−1 B k−2 ··· N0 e1 , · · · , B k−1 es f1 , · · · ,... khác nhờ vào đẳng thức sau (A − λi I)k A = A(A − λi I)k (Chứng minh bằng quy nạp) Theorem 3.7 Cho A : V → V có λ1 , · · · , λp là tất cả các giá trị riêng khác nhau Khi đó tồn tại n1 , · · · , np sao cho V = Ker(A − λ1 I)n1 ⊕ · · · ⊕ Ker(A − λp I)np Chú ý rằng do ánh xạ A là không chéo hóa được nên nói chung các chỉ số n1 , · · · , np là khác với số bộ của λ1 , · · · , λp trong đa thức đặc trưng Chứng... một hệ độc lập tuyến tính thành một cơ sở ta thu được Nk e1 , · · · , es Nk−1 Be1 , · · · , Bes f1 , · · · , ft ··· ··· ··· ··· ··· Nk−2 B e1 , · · · , B 2 es Bf1 , · · · , Bft h1 , · · · , hu 2 Để có thể chứng minh quy nạp được thì ta phải chứng minh tiếp bổ đề sau Lemma 3.12 Các vector {e1 , · · · , es , Be1 , · · · , Bes , B 2 e1 , · · · , B 2 es , f1 , · · · , ft , Bf1 , · · · , Bft } là độc lập tuyến. .. B 2 es , f1 , · · · , ft , Bf1 , · · · , Bft } là độc lập tuyến tính của Nk ứng với Nk−3 Chứng minh Giả sử có một rằng buộc tuyến tính s t (ai ei + bi Bei + ci B 2 ei ) + i (di fi + gi Bfi ) = 0 trong Nk /Nk−3 i Tương tự cách chứng minh trong bổ đề trước Do e1 ∈ Nk nên Bei ∈ Nk−1 , B 2 ei ∈ Nk−2 và do fi ∈ Nk−1 nên Bfi ∈ Nk−2 Xét biểu thức trên trong Nk /Nk−2 thì s t (di fi ) = 0 trong Nk /Nk−2 , doNk−3... di = 0 Biểu thức đầu tiên trở thành s t B( ci Bei + i s gi fi ) = i t 2 (ci B ei ) + i gi Bfi = 0 trong Nk /Nk−3 i Hay s B k−2 ( t i s gi fi ) = B k−3 [B( ci Bei + i t ci Bei + i s gi fi )] = 0 do B( i t gi fi ) ∈ Nk−3 ci Bei + i i Tức là s t ci Bei + i s gi fi = 0 trong Nk /Nk−2 do i t gi fi ∈ Nk−2 ci Bei + i i Tóm lại ci = gi = 0 do hệ {Be1 , · · · , Bes , f1 , · · · , ft } độc lập tuyến tính Khi đi ... thông thường • Số chiều Imf dimImf = Số vector cột có số • Cơ sở Imf tìm cách ta thấy vector cột ma trận A ứng với cột số độc lập tuyến tính Từ kết cở sở = hệ sinh + độc lập tuyến tính ta thu Cơ... cấu có tính chất Example 1.4 Cho ánh xạ tuyến tính xác định rõ f : V → T Viết ma trận ánh xạ tuyến tính Tìm Kerf Tìm Imf Viết đẳng cấu V /Kerf ∼ = Imf Chứng minh Viết ma trận ánh xạ tuyến tính. .. (không gian ổn định) Tính định thức Giải hệ phương trình Lũy thừa ma trận T nhA100 Do A = CDC −1 nên A100 = CD100 C −1 , mà ma trận chéo tính số mũ cần mũ đường chéo Tính công thức truy hồi a1 =