Hệ thống kiến thức đại số tuyến tính

Cơ sở của Không gian thương Cho không gian thương V /W , khi đó cơ sở của không gian thương được tìm bằng cách bổ sung cơ sở W.. Đây là một định lý cho ta những ý tưởng để chứng minh các

Ngày 13 tháng 2 năm 2016

Tài liệu tham khảo

Đại số tuyến tính - Nguyễn Hữu Việt Hưng

Mục lục

1 Không gian thương 5

2 Chéo hóa ma trận 9

3 Dạng chuẩn Jordan 10

1 Tích tensor 19

Chương 1

Không gian thương và định lí đồng cấu

Definition 1.1 (Không gian thương)

W 6= 0 là một KGVT con của K-KGVT V

Xét tập hợp

V /W = {[v] = v + W |v ∈ V } Trang bị tập hợp này

1 Sự bằng nhau

[v1] = [v2] ⇔ v1− v2∈ W

2 Trang bị hai phép toán cộng và nhân vô hướng cảm sinh từ KGVT V (không phụ thuộc vào việc chọn đại biểu)

Khi đó (V /W, +, ) lập thành một KGVT và ta gọi là KGVT thương

Nhận xét :

1 W là KGVT con của V thì phép toán mới định nghĩa đứng đắn và V /W mới là KGVT

2 Việc định nghĩa V /W như trên có tác dụng gì? nó có "tương thích" và liên quan gì đến KGVT

V không?

tương thích theo nghĩa có một đồng cấu V → V /W xác định bởi v 7−→ [v]

3 Ý nghĩa của không gian thương V /W là ta muốn tập V có tính chất W hay nói cách khác muốn W đồng nhất bằng 0

Chẳng hạn muốn tập số thực R2 có tính chất x = y (tức là ta cần x − y = 0) thì ta chỉ cần xét R2/{x − y}

Ví dụ khác chẳng hạn muốn tích R × R có tính chất tuyến tính thì ta chỉ cần chia tập đó cho tập sinh bởi các phần tử

(ax + by, cz + dt) − ac(x, z) − ad(x, t) − bc(y, z) − bt(y, t) Điển hình ví dụ khác là cách xây dựng tensor sẽ được giới thiệu sau

4 Ứng dụng khác của V /W là ta sẽ dùng để chứng minh quy nạp Quy nạp ở đây được tận dụng

là dimV /W < dimV

Definition 1.2 (Cơ sở của Không gian thương)

Cho không gian thương V /W , khi đó cơ sở của không gian thương được tìm bằng cách bổ sung cơ sở

W

Cụ thể, giả sử (v1, · · · , vr) là cơ sở của W, ta bổ sung cơ sở sao cho (v1, · · · , vr, vr+1, · · · , vn) là cơ

sở của W Khi đó

([vr+1], · · · , [vn]) là cơ sở của V/ W

Nhận xét : Ta sẽ bổ sung cơ sở dựa trên ma trận là nhanh nhất Cụ thể ở bài tập sau

Bài tập V = R4, W = {(x, y, z, t) : y = z = t} Tìm cơ sở V /W

Chứng minh Hướng giải (dùng định nghĩa bằng cách bổ sung cơ sở dựa vào ma trận)

(x, y, z, t) = (x, x, x, t) = x(1, 0, 0, 0) + t(0, 1, 1, 1) nên cơ sở của W là ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1)

Bây giờ ta cần bổ sung hai vector nữa sao cho các vector hàng của ma trận sau là độc lập tuyến tính (tức là có hạng bằng 4)













Rõ ràng ta chỉ cần chọn hai vector ở hàng dưới sao cho độc lập tuyến tính, dễ dàng chọn vector chính tắc là e3, e4 Cụ thể,













Tóm lại cơ sở cần tìm là ([e3], [e4])

Không gian thương ở trên cho phép ta tạo ra một không gian tương thích hay là đồng cấu với f

có những tính chất trong W

Vấn đề sau sẽ tạo ra một đẳng cấu tương thích với f Đây là một định lý cho ta những ý tưởng để chứng minh các đẳng cấu liên quan đến không gian thương với ý tưởng xét một đồng cấu sao cho

có "ảnh và hạt nhân phù hợp" ! Cụ thể ta có định lý đồng cấu sau

Theorem 1.3 (Định lý về đồng cấu)

Cho đồng cấu f : V → T Khi đó có một đơn cấu cảm sinh

f1: V /Kerf → T xác định bởi [v] 7−→ f (v) nghĩa là V /Kerf ∼= Imf

Nhận xét : Khi f là tự đồng cấu V thì

V = Kerf ⊕ Imf Chú ý rằng f phải là tự đồng cấu mới có tính chất trên

Example 1.4 Cho một ánh xạ tuyến tính đã xác định rõ f : V → T

1 Viết ma trận của ánh xạ tuyến tính đó

2 Tìm Kerf

3 Tìm Imf

4 Viết đẳng cấu V /Kerf ∼= Imf

Chứng minh 1 Viết ma trận của ánh xạ tuyến tính bằng cách dựa vào định nghĩa (v1, · · · , vn) nếu

(f (v1) · · · f (vn)) = (v1· · · vn)A Chú ý rằng nếu x có tọa độ (x1, · · · , xn) và y = f (x) có tọa độ (y1, · · · , ym) thì ta có hệ phương trình

Ax = y Ngoài ra, trong trường hợp không gian tọa độ ta có thể nhìn nhanh ra ma trận A có các vector hàng i chính là "tọa độ ở thành phần yi", hay nói cách khác các vector cột hàng i chính là "tọa

độ ở các ẩn xi trong các thành phần của y" Thực chất chính là từ định nghĩa viết ở dạng hệ phương trình do nhân ma trận

Ví dụ cho

(x1, x2, x3, x4) 7−→ (x1+ 2x2+ x3+ 4x4, 2x1+ 3x2+ x3+ 5x4, 4x1+ 7x2+ 3x3+ 13x4) thì ma trận của ánh xạ tuyến tính là

A =









2 Tìm Kerf Ta tìm bằng cách dùng định nghĩa Gọi x = (x1, cdots, xn) là tọa độ trong cơ sở giống với cơ sở ứng với ma trận A Khi đó, ta có hệ phương trình

Ax = 0

từ hệ phương trình này ta suy ra mối liên hệ giữa các xi và suy ra cơ sở của Kerf

3 Tìm Imf

Lưu ý rằng: Tuy rằng V = Kerf ⊕ Imf trong trường hợp f là tự đồng cấu thì ta cũng không được tìm Imf bằng cách bổ sung cơ sở của Kerf để được cơ sở của V là do tổng trực tiếp không có tính duy nhất Chẳng hạn R2= Ox ⊕ Oy = Ox ⊕ {x = y}

Hướng giải.(Sử dụng định nghĩa)

Với mọi x(x1, · · · , xn) là tọa độ trong cơ sở giống với cơ sở ứng với ma trận A Gọi y = f (x) = (y1, · · · , ym) thì ta có hệ phương trình có nghiệm

Ax = y

Bước 1 Dùng phép khử Gauss ta đưa hệ phương trình trên về dạng chéo sau















0 0 0 0 0 0 | h1(y1, · · · , ym)

0 0 0 0 0 0 | hr(y1, · · · , ym)















Bước 2 Để hệ phương trình Ax = y có nghiệm thì ta có hệ phương trình sau

By = 0 với B là ma trận có các hàng là hi

Từ đó ta tìm được cơ sở của Imf

4 Viết đẳng cấu chính là cảm sinh từ đồng cấu f

Ngoài ra ta sẽ có một cách khác nhìn nhanh và tìm nhanh ra Kerf và Imf từ phép khử Gauss

Cụ thể, bằng phép khử Gauss thì hệ phương trình Ax = y trở thành





∗ f (v1) f (v2) · · · f (vn)



=





























Ở đây, có thể hiểu rằng Imf có một hệ sinh là (f (v1), · · · , f (vn)) Và việc khử Gauss nếu đổi chỗ các cột hay hàng thì các vector tương ứng trong A cũng phải thay đổi

• Số chiều của Kerf

dimKerf = Số vector hàng có chỉ số là 2 ở trên

• Cơ sở của Kerf tìm bằng cách tìm như thông thường

• Số chiều của Imf

dimImf = Số vector cột có chỉ số là 2 ở trên

• Cơ sở của Imf tìm bằng cách ta có thể thấy các vector cột của ma trận A ứng với các cột chỉ

số là 1 ở trên là độc lập tuyến tính Từ kết quả cở sở = hệ sinh + độc lập tuyến tính ta thu được

Cơ sở Imf là các vector cột trong A ứng với các cột chỉ số là 1 ở trên

2 Chéo hóa ma trận

Definition 2.1 (Không gian con ổn định, f- ổn định)

1 Xét W là không gian con của KGVT V và ánh xạ tuyến tính f : V → V Khi đó

Không gian con ổn định W của V hay f −ổn định ⇔ f (W ) ⊂ W Khi đó ta có một ánh xạ tuyến tính cảm sinh từ f là

f1: W → W

2 Ma trận A của ánh xạ tuyến tính f có dạng khối



trong đó B là ma trận của ánh xạ tuyến tính f1

Trường hợp đặc biệt, nếu phần bù của W trong V cũng là ổn định thì ma trận ứng với phần

bù đó là D và khi đó C = 0

Ta sẽ nghiên cứu trường hợp f-ổn định một chiều bằng khái niệm chéo hóa ma trận

Definition 2.2 (Giá trị riêng, vector riêng, chéo hóa ma trận)

1 Giả sử W là f-ổn định với dimW = 1, tức W =< v > với v 6= 0 thì

f (v) = λv Khi đó ta nói v là vector riêng ứng với giá trị riêng λ

Chú ý cách tìm giá trị riêng và vector riêng

2 Tự đồng cấu f được gọi là chéo hóa được hay ma trận A của tự đồng cấu f được gọi là chéo hóa được nếu

• |A − λI| = (λ − λ1)s1· · · (λ − λp)sp

• dimKer(A − λiI) = si

Khi đó ma trận A đồng dạng với ma trận











λ1

· · ·

λ1

· · ·

· · ·

λp











Tức là V = £(các vector riêng ứng với giá trị riêng λ1)⊕· · ·⊕£(các vector riêng ứng với giá trị riêng λp) Trường hợp đặc biệt, Ma trận cỡ n × n có n giá trị riêng khác nhau thì luôn chéo hóa được Các ma trận thực đối xứng chéo hóa được bằng ma trận trực giao

Nhận xét một vài ứng dụng của chéo hóa ma trận (không gian ổn định)

1 Tính định thức

2 Giải hệ phương trình

3 Lũy thừa ma trận

T nhA100 Do A = CDC−1 nên A100 = CD100C−1, mà ma trận chéo tính số mũ chỉ cần mũ trên đường chéo chính

4 Tính công thức truy hồi

a1= 1, a2= 2, an= an−1+ an−2

Vì

a2n+1

a2n+2



=1 1

1 2

 a2n−1

a2n



=1 1

1 2

n

a1

a2



5 Rõ ràng ý nghĩa của việc chéo hóa ma trận rất rõ ràng, biến ma trận thành ma trận có dạng chéo nhưng không phải lúc nào cũng chéo hóa được nên ta sẽ cố gắng đưa nó về dạng chéo khối và ta gọi là dạng chuẩn Jordan sẽ tìm hiểu ở phần sau

Nhắc lại rằng để nhìn nhanh được ma trận là không chéo hóa được thì ta xem lại cách tìm nhanh dim Kerf đã giới thiệu ở trên Do vậy, sau khi tìm xong giá trị riêng λ, thay λ vào ma trận (A − λI) là ta có thể nhìn thấy được dimKer(A − λI)

Trong mục này ta luôn xét V là C − KGV T để phương trình đặc trưng luôn có đầy đủ nghiệm

Ý tưởng của việc tìm dạng chuẩn Jordan là sử dụng ánh xạ lũy linh f (tức có tính chất fn = 0),

nó sẽ được thể hiện rõ ràng ở các chứng minh định lý, bổ đề Việc tìm ra dạng chuẩn Jordan cũng chính là cách đi chứng minh các định lý, bổ đề Chúng ta sẽ trình bày cách tìm ma trận Jordan ở cuối mục này

Theorem 3.1 (Định lý chính, cách tìm ma trận Jordan)

V là một C − KGV T hữu hạn chiều và A : V → V là một tự đồng cấu Khi đó tồn tại một phân tích của V thành tổng trực tiếp của các không gian con A-ổn định

V = V1⊕ · · · ⊕ Vk

1 Tồn tại cơ sở ei

1, · · · ei

n i của Vi với λi nào đó (Chú ý rằng λi vẫn có thể bằng λj) sao cho

(A − λiI)ei1= 0 (A − λiI)ei2= ei1

· · · · (A − λiI)eini = eini−1 Theo định nghĩa của ma trận của ánh xạ tuyến tính, khi đó khối ứng với cơ sở này là









λi 1

λi 1

· · ·

λi 1

λi









2 Số chiều của các Vi và các λi là duy nhất và sai khác một hoán vị.

Example 3.2 Cho tự đồng cấu f sao cho fn= 0 Tìm các giá trị riêng có thể có của f

Chứng minh fn = 0 =⇒ An = 0 =⇒ det(An) = (detA)n = 0 =⇒ det(A) = 0 do đó f có ít nhất một giá trị riêng bằng 0

Definition 3.3 (Không gian riêng suy rộng) Ta sẽ tập trung vào một giá trị riêng cụ thể là λ

N1(λ) := Ker(A − λI)

N2(λ) := Ker(A − λI)2

· · · ·

Nm(λ := Ker(A − λI)m) Nhận xét

1 Không gian riêng Ni+1 sẽ chứa không gian riêng Ni Tức là

N1≤ N2≤ · · · ≤ Nm

2 Dãy trên sẽ dừng lại do V là không gian hữu hạn chiều, tức là luôn tồn tại m sao cho

Nm= Nm+1= Nm+2= · · ·

Lemma 3.4 Nếu Nk = Nk+1 thì Nk = Nk+1= Nk+2= · · ·

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh Nk+1= Nk+2 (rồi tương tự, tức là quy nạp)

Giả sử v ∈ Nk+2\Nk+1khi đó

(A − λI)k+2v = 0 (A − λI)k+1v 6= 0 tức là

(A − λI)k+1[(A − λI)v] = 0 (A − λI)k[(A − λI)v] 6= 0

do đó (A − λI)v ∈ Nk+1\Nk nên mâu thuẫn

Chú ý rằng v 6= 0 nên (A − λI)v 6= 0 do nếu (A − λI)v = 0 thì v là vector riêng nên v ∈ Nk+1

(N1≤ Nk+1) do đó mâu thuẫn

Trong mục này ta luôn giả sử rằng k là chỉ số đầu tiên sao cho Nk = Nk+1

Lemma 3.5

Ker(A − λiI)k∩ Im(A − λiI)k= 0 Khi đó

Vi= Ker(A − λiI)k⊕ Im(A − λiI)k Chứng minh v ∈ Ker(A − λiI)k∩ Im(A − λiI)k tức là

(A − λiI)kv = 0 tồn tại w sao cho (A − λiI)kw = v

do đó (A − λiI)2kw = 0 nên w ∈ N2k = Nk Tức là v = Nkw = 0

Lemma 3.6 Ker(A − λiI) và Im(A − λiI) là các không gian A-ổn định.

Chứng minh 1 Ta chứng minh Nk= Ker(A − λiI)k là không gian A-ổn định

Thật vậy, với mọi v ∈ Ker(A − λiI)k tức

(A − λiI)kv = 0 nên (A − λiI)[(A − λiI)kv] = 0

do đó

(A − λiI)[(A − λiI)k] = 0 ⊂ (A − λiI)k tức là (A − λiI)k là không gian (A − λiI)-ổn định

Do (A − λiI)k là không gian λiI ổn định (vì λiI[(A − λiI)k] ⊂ (A − λiI)k) nên ta có điều phải chứng minh

2 Ta chứng minh Im(A − λiI)k là các không gian A-ổn định

Thật vậy, với mọi v ∈ Im(A − λiI)k tức tồn tại w sao cho v = (A − λiI)kw nên

(A − λiI)v = (A − λiI)[(A − λiI)kw] = (A − λiI)k+1w = (A − λiI)kw ⊂ Im(A − λiI)k (do Nk= Nk+1) Do đó Im(A − λiI)k là không gian (A − λiI) ổn định

Chú ý rằng ta có thể chứng minh bằng cách khác nhờ vào đẳng thức sau

(A − λiI)kA = A(A − λiI)k (Chứng minh bằng quy nạp)

Theorem 3.7 Cho A : V → V có λ1, · · · , λp là tất cả các giá trị riêng khác nhau Khi đó tồn tại

n1, · · · , np sao cho

V = Ker(A − λ1I)n1⊕ · · · ⊕ Ker(A − λpI)np

Chú ý rằng do ánh xạ A là không chéo hóa được nên nói chung các chỉ số n1, · · · , np là khác với

số bộ của λ1, · · · , λp trong đa thức đặc trưng

Chứng minh (Các chứng minh là dùng phương pháp quy nạp) Theo bổ đề trước ta có

V = Ker(A − λ1I)n1⊕ Im(A − λ1I)n1

Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức sau là xong

Im(A − λ1I)n1 = Ker(A − λ2I)n2⊕ Im(A − λ2I)n2

1 Ta chứng minh ánh xạ sau cảm sinh từ ánh xạ A không có giá trị riêng λ1(chính là Im(A −

λ1I)n 1 là A- ổn định)

A1: Im(A − λ1I)n1 → Im(A − λ1I)n1 xác định bởi v 7−→ A1(v) = A(v) Gọi 0 6= v ∈ Im(A − λ1I)n1 là một vector riêng ứng với giá trị riêng λ1 khi đó

Av = A1v = λ1v tức v ∈ Ker(A − λ1I) ⊂ Ker(A − λ1I)n1

Do đó

v ∈ Ker(A − λ I)n1∩ Im(A − λ I)n1= {0} tức ta có điều phải chứng minh

Chú ý ta không thể lập luận như sau vì A chưa chắc chéo hóa được.

Do V = Ker(A − λ1I)n1 ⊕ Im(A − λ1I)n1 và cả hai tập đó là ổn định và Ker(A − λ1I) ⊂ Ker(A − λ1I)n1 nên ma trận của ánh xạ tuyến tính A đồng dạng khối chéo với một khối chéo toàn bộ λ1 và khối còn lại không

Tóm lại, vì A1 không nhận λ1 làm giá trị riêng nên

V = Ker(A − λ1I)n1⊕ Im(A − λ1I)n1 = Ker(A − λ1I)n1⊕ Ker(A1− λ2I)n2⊕ Im(A1− λ2I)n2

2 Chú ý rằng ánh xạ A1 trên không phải là ánh xạ hạn chế nên ta cần chứng minh đẳng thức sau là có thể quy nạp được

Ker(A1− λ2I)n2 = Ker(A − λ2I)n2

Im(A1− λ2I)n2 = Im(A − λ2I)n2

Thật vậy, giả sử v ∈ Ker(A1− λ2I)n2 bằng phép khai triển nhị thức Newton và A1v = Av ta có

(A − λ2I)n2v = (A1− λ2I)n2v = 0 tức là v ∈ Ker(A − λ2I)n2

tương tự ta có điều phải chứng minh

Hơn nữa, v ∈ Im(A1− λ2I)n 2 tức tồn tại w sao cho (A1− λ2I)n 2w = v, bằng phép khai triển nhị thức Newton và A1v = Av ta có

(A − λ2I)n2w = (A1− λ2I)n2w = v tức là v ∈ Im(A − λ2I)n2

tương tự ta có điều phải chứng minh

Example 3.8 1 Tìm một ma trận C 6= I và chéo trong M (3 × 3, Z) mà C−1 ∈ M (3 × 3, Z)

2 Tìm một ma trận A ∈ M (3 × 3, Z) mà sau một phép biến đổi cơ sở thì A chuyển thành ma trận

J =









Chứng minh 1 Vì

(C−1)ij =(−1)

i+j

det(C)(c

ij)

Do đó ta sẽ chọn C là ma trận chéo trên có các phần tử trên đường chéo đều là 1 Khi đó C

là ma trận có dạng









2 Do A có dạng A = CJ C−1 với C là ma trận vừa tìm được ở trên

Vấn đề tiếp theo là tìm cấu trúc của ánh xạ lũy linh.

Xét tự đồng cấu A : V → V , để hiểu được ánh xạ A cũng tương đương với hiểu ánh xạ A − λiI Nói chung A là ánh xạ không chéo hóa được nên ta sẽ vận dụng ánh xạ lũy linh để tìm cơ sở cho một khối (khối đó trên đường chéo chứa các giá trị riêng λi nhiều nhất) của ma trận A

Như các bổ đề trước ta có Nk = Nk+1= Nk+2= · · · với Nk(λi) = Ker(A − λiI)k

Để đơn giản về mặt kí hiệu, ta kí hiệu B = A − λiI

Definition 3.9 U là một KGVT con của V {e1, · · · , es} được gọi là một cơ sở của V ứng với U nếu

{[e1], · · · , [es]} là một cơ sở của khồng gian thương V /U Definition 3.10 Một dãy các phần tử {e1, · · · , es} được gọi là độc lập tuyến tính ứng với U nếu

{[e1], · · · , [es]} là độc lập tuyến tính trong không gian thương V /U Nhận xét rằng một hệ độc lập tuyến tính luôn mở rộng được để trở thành một cơ sở

Lemma 3.11 Giả sử {e1, · · · , es} là một cơ sở của Nk ứng với Nk−1 Khi đó, các vector

{e1, · · · , es, Be1, · · · , Bes}

là độc lập tuyến tính của Nk ứng với Nk−2

Chú ý rằng Nk−2≤ Nk−1 và Nk = KerBk, B = A − λiI

Chứng minh Giả sử có một rằng buộc tuyến tính

s

X

i

(ciei+ diBei) = 0 trong Nk/Nk−2

ta sẽ chứng minh ci= di= 0 với mọi i = 1 s

Thật vậy, vì ei∈ Nk nên Bkei = Bk−1Bei= 0 tức là Bei∈ Nk−1

XétPs

i(ciei+ diBei) trong Nk/Nk−1thì

s

X

i

ciei= 0do Bei∈ Nk−1và Nk−2≤ Nk−1

Từ đó ta thu được ci= 0 Khi đó ta có

B(

s

X

i

diei) =

s

X

i

diBei= 0 trong Nk/Nk−2

Khi đó

Bk−1(

s

X

i

diei) = Bk−2[B(

s

X

i

diei)] = 0 do B(

s

X

i

diei) ∈ Nk−2

Tức là

e

X

i

diei= 0 trong Nk/Nk−1

Do đó d = 0