Tổng hợp đề thi lớp 11 học kì 2 môn toán năm 2013 (Phần 6)

Bài Tính giới hạn sau: 1) lim ( x3  x2  x  1) x 2x  5x  2x  3 4) 2) lim Bài Chứng minh phương trình 5) Bài Tìm đạo hàm hàm số sau: 5x  2) x  x 1 y  sin(sin x) 3x  x 1 5) lim 3) lim x2 x2 2 x73 5 n x3 4x y x1  13x  4x   3x    x2 Bài Cho hàm số: f ( x)   ax   1) lim  n 2n  3.5n x >2 Xác định a để hàm số liên tục điểm x = x  x5  3x4  5x   có ba nghiệm phân biệt khoảng (–2; y  ( x  1) x2  x  3) y  1 2tan x 4) Bài Cho hình chóp S.ABC có ABC vng A, góc B = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) (SBC) vng góc với đáy; SB = a Hạ BH  SA (H  SA); BK  SC (K  SC) 1) Chứng minh: SB  (ABC) 2) Chứng minh: mp(BHK)  SC 3) Chứng minh: BHK vuông 4) Tính cosin góc tạo SA (BHK) x2  3x  (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến x 1 song song với đường thẳng d: y  5x  Bài Cho hàm số f ( x)  Bài Cho hàm số y  cos2 2x 1) Tính y , y 2) Tính giá trị biểu thức: A  y  16y  16y  Bài 1:  1 1 lim ( x3  x2  x  1)  lim x3  1      x x x x2 x3    lim ( x  1)   x1 3x  3x  lim    2) lim Ta có:  lim (3x  1)  2     x1 x  x1 x   x1  x  1  x   1) 3) lim x2 x22 x7 3  lim ( x  2)  x   3 x2 ( x  2)  x   2  lim x2 x73 x22  4) lim 2x3  5x2  2x  x3 4x3  13x2  4x  2x2  x  11  x3 4x2  x  17  lim n  4   1 n n 5 1 5) lim  lim    n n n  3.5  2   5    3x    x2 Bài 2: f ( x)   ax    Ta có:  x >2 x  f (2)  2a  lim f ( x)  lim x2 x2 Hàm số liên tục x =    1 lim f ( x)  lim  ax    2a  4 x2 x2  3x    lim x2 x2 ( x  2)  3( x  2) (3x  2)2  23 (3x  2)  f (2)  lim f ( x)  lim f ( x)  2a  x2 x2   1   a 4 f ( x)  x5  3x4  5x   f liên tục R Ta có: f (0)  2, f (1)  1, f (2)  8, f (4)  16  f (0) f (1)   PT f(x) = có nghiệm c1  (0;1) Bài 3: Xét hàm số f (1) f (2)   PT f(x) = có nghiệm c2  (1;2) f (2) f (4)   PT f(x) = có nghiệm c3  (2; 4)  PT f(x) = có nghiệm khoảng (–2; 5) Bài 4: 5x  5x2  6x   y  x2  x  ( x2  x  1)2 1) y 3) y  1 2tan x  y '  1 2tan2 x 1 2tan x 2) 4x2  5x  y  ( x  1) x2  x   y  x2  x  4) y  sin(sin x)  y '  cos x.cos(sin x) Bài 5: 1) S K B H 60 A C 2)  SAB   ABC    SBC    ABC    SB   ABC   SAB   SBC   SB CA  AB, CA  SB  CA  (SAB)  CA  BH 3) 4) Mặt khác: BH  SA  BH  (SAC)  BH  SC Mà BK  SC  SC  (BHK) Từ câu 2), BH  (SAC)  BH  HK  BHK vng H Vì SC  (BHK) nên KH hình chiếu SA (BHK)   SA,(BHK )   SA, KH   SHK Trong ABC, có: AC  AB tan B  a 3; BC2  AB2  AC2  a2  3a2  4a2 SB2 a Trong SBC, có: SC  SB  BC  a  4a  5a  SC  a ; SK   SC SB a Trong SAB, có: SH   SA 2 Trong BHK, có:   2 HK  SH  SK   cos SA,( BHK )  cosBHK  2 3a2 a 30  HK  10 10 HK 60 15   SH 10 x2  x  x2  3x   Bài 6: f ( x)   f ( x)  x 1 ( x  1)2 Tiếp tuyến song song với d: y  5x  nên tiếp tuyến có hệ số góc k  5 Gọi ( x0; y0 ) toạ độ tiếp điểm Ta có: f ( x0 )  5   Với x0   y0   PTTT: y  5x   Với x0  2  y0  12  PTTT: y  5x  22 Bài 7: y  cos2 2x = cos4x  2 1) y  2sin4x  y"  8cos4x  y '"  32sin4x 2) A  y  16y  16y   8cos4x x02  2x0  ( x0  1)2 x   5    x0  2 I Phần bắt buộc Câu 1: 1) Tính giới hạn sau:  2x x  x2  2x  x3  3x2  9x  x 2 x3  x  a) lim b) lim lim  x2  x   x  c) 2) Chứng minh phương trình x3  3x   x có nghiệm phân biệt Câu 2: 1) Tính đạo hàm hàm số sau: 2 x  a) y    3x   x  1 b) y  x  sin x  c) y  x2  x x 1 2) Tính đạo hàm cấp hai hàm số y  tan x 3) Tính vi phân ham số y = sinx.cosx Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  ( ABCD) SA  a 1) Chứng minh : BD  SC, (SBD)  (SAC) 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) 3) Tính góc SC (ABCD) II Phần tự chọn Theo chương trình chuẩn Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  giao điểm với trục x hồnh 60 64   Giải phương trình f ( x)  x x3 Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính AB.EG Câu 5a: Cho hàm số f ( x)  3x  Theo chương trình nâng cao Câu 4b: Tính vi phân đạo hàm cấp hai hàm số y  sin2x.cos2x Câu 5b: Cho y  x3 x2   2x Với giá trị x y ( x)  2 Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Xác định đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD BC Câu 1:  2x x  lim x 0 1) a) lim x x2  2x  x 1  x x2 b) lim x2 x3  3x2  9x  x  x6  lim  ( x  2)( x2  5x  1) x2 ( x  2)( x  2x  3)  lim x2  5x  x2 x2  2x   15 11 c) lim x   3 x x2  x   x  lim x  lim x x2  x   x      lim x 3 x    x  1   x x x2   1 x   1   1 x x2  2) Xét hàm số f ( x)  x3  3x   f(x) liên tục R  f(–2) = –1, f(0) =  phuơng trình f(x) = có nghiệm c1   2; 0  f(0) = 1, f(1) = –1  phương trình f(x) = có nghiệm c2   0;1  f(1) = –1, f(2) =  phương trình f(x) = có nghiệm c3  1;2  Phương trình cho phương trình bậc ba, mà c1, c2 , c3 phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm thực Câu 2: 2  1) a) y    3x  x   x x  2 x     x   y '     3  x   x  3 x x    2   x     3x    x  x  x x  3 2 x x x2 b) y  x  sin x  y '  1 cos x x2  2x x2  x   y'  c) y  x 1  x  1  2) y  tan x  y '  1 tan2 x  y "  2tan x 1 tan2 x  3) y = sinx cosx  y  sin2x  dy  cos2xdx Câu 3: a) Chứng minh : BD  SC,(SBD)  (SAC)  ABCD hình vng nên BD  AC, BD SA (SA  (ABCD))  BD  (SAC)  BD SC  (SBD) chứa BD  (SAC) nên (SBD)  (SAC) b) Tính d(A,(SBD))  Trong SAO hạ AH  SO, AH  BD (BD (SAC)) nên AH  (SBD)  AO  S a , SA = a  gt  SAO vuông A nên H B A O tan SCA   SA   2  13 SCA Vậy ta có: SC (ABCD) C D  AO 6a a 6a2 6a2 a 78  AH   AH  13 13 c) Tính góc SC (ABCD)  Dế thấy SA  (ABCD) nên hình chiếu SC (ABCD) AC  góc AH SA a    SCA  600 AC a 1  y   x x2  Các giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành A 1; 0 , B 1; 0 Câu 4a: y  x   Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k1  nên PTTT: y = 2x +2  Tại B(1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k2  nên PTTT: y = 2x – Câu 5a: f ( x)  3x  60 64 60 128    f ( x)    x x x2 x4   x2  60 128 x         3x  60x  128   16  PT f ( x)     x  x2 x4  x    Câu 6a: F G      AB.EG  e1 EF  EH  e1 e1  e2  e1.e1  e1.e2  a2 E H B A Đặt AB  e1, AD  e2 , AE  e3 Cách khác: C D AB.EG  EF.EG  EF EG cos EF, EG  a.a 2.cos450  a2 Câu 4b: y = sin2x.cos2x  y = sin4x  y '  2cos4x  y "  8sin4x Câu 5b: y  x3 x2   2x  y '  x2  x  x   y  2  x2  x   2  x( x  1)     x  1 Câu 6b: D’ C’ A’ B’ M G D C O A B Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm ABC Vì D.ABC hình chóp đều, có cạnh bên có độ dài a , nên BD’ đường cao chóp  BD  (ABC)  BD  GM Mặt khác ABC nên GM  BC  GM đoạn vng góc chung BD’ B’C Tính độ dài GM = 3 a AC  a  3 Bài 1: Tính giới hạn sau: a) lim 3n1  4n n1 b) lim 3 x3 x 1 x2  Bài 2: Chứng minh phương trình x3  3x   có nghiệm thuộc  2;2 Bài 3: Chứng minh hàm số sau khơng có đạo hàm x  3  x2   x  3 f ( x)   x   x =  1 Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  (2x  1) 2x  x2 b) y  x2 cos x x 1 có đồ thị (H) x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (H) A(2; 3) b) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y   x  Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a, SA vng góc với (ABCD) Gọi I, K hình chiếu vng góc A lên SB, SD a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Chứng minh: (SAC) vng góc (AIK) c) Tính góc SC (SAB) d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Bài 5: Cho hàm số y  Bài 1: Tính giới hạn: a) lim b) lim 3n1  4n x3 4n1  x 1  x2   lim  lim 9.3n1  4.4n1 4n1  x3 ( x  3)   3    lim   x   2 1  n1 4  4 4n1 24 Bài 2: Chứng minh phương trình x3  3x   có nghiệm thuộc Xem đề 11 Bài 3: Chứng minh hàm số sau khơng có đạo hàm x  3  2;2  x2   x  3 f ( x)   x   x =  1  Khi x  3  f ( x)  x  x4 x4 f ( x)  f (3) x4 mà lim  lim   ; lim   nên hàm số không x3 x3 x  x3 x3 x  x3 x  có đạo hàm x = –3 Chú ý: Có thể chứng minh hàm số f(x) khơng liên tục x = –3  f(x) khơng có đạo hàm x = –3  lim Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  (2x  1) 2x  x2  y'=2 2x  x2  (2x  1) 1 x 2x  x2  y'  4x2  6x  2x  x2 b) y  x2.cos x  y '  2x.cos x  x2 sin x 2 x 1  y  x 1 ( x  1)2 a) Tại A(2; 3)  k  y (2)  2  PTTT : y  2x  Bài 5: y  b) Vì tiếp tuyến song song với đường thằng y   x  nên hệ số góc tiếp tuyến k ( x0; y0 ) Gọi toạ độ tiếp điểm  y ( x0 )  k    x  3    ( x0  1)2  16   ( x0  1)2  x0  1  PTTT : y    x  3  3  Với x0   y0   PTTT : y    x  5   Với x0  3  y0  Bài 6: a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông  SA (ABCD) nên SA BC, AB  BC (gt) S I K H B A O D C  BC  (SAB)  BC  SB  SBC vuông B  SA  (ABCD)  SA  CD, CD  AD (gt)  CD  (SAD)  CD  SD  SCD vuông D  SA  (ABCD) nên SA  AB, SA  AD  tam giác SAB SAD vuông A b) Chứng minh: (SAC) vng góc (AIK)  SA  (ABCD)  SA  BD, BD  AC  BD  (SAC)  SAB SAD vuông cân A, AK  SA AI  SB nên I K trung điểm AB AD  IK//BD mà BD  (SAC) nên IK  (SAC)  (AIK)  (SAC) c) Tính góc SC (SAB)  CB  AB (từ gt),CB  SA (SA  (ABCD)) nên CB  (SAB)  hình chiếu SC (SAB) SB   SC,(SAB)    SC, SB  CSB  Tam giác SAB vuông cân có AB = SA = a  SB  a  tan CSB  d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD) Hạ AH  SO , AH  BD BD  (SAC)  AH  (SBD) 1 1 a       AH   AH SA2 AO2 a2 a2 a2    d A,  SBD   a 3 BC  SB I PHẦN BẮT BUỘC: Câu 1: Tính giới hạn sau: a) lim x  x2   x  b) lim x3 x3 x2   2x  1 x    2 Câu (1 điểm): Cho hàm số f ( x)   2x  3x  1 A x    Xét tính liên tục hàm số x   Câu (1 điểm): Chứng minh phương trình sau có nghiệm [0; 1]: Câu (1,5 điểm): Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  ( x  1)(2x  3) b) y  1 cos2 x3  5x   x Câu (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, = a a) Gọi K hình chiếu O lên BC Chứng minh rằng: BC  (SOK) b) Tính góc SK mp(ABCD) c) Tính khoảng cách AD SB II PHẦN TỰ CHỌN Theo chương trình chuẩn Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y  2x  7x  (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x = b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k = –1 Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác đều, SA BAD  600 , đường cao SO  (ABC), SA= a M điểm cạnh AB, ACM   , hạ SH  CM a) Tìm quỹ tích điểm H M di động đoạn AB b) Hạ AK  SH Tính SK AH theo a  Theo chương trình nâng cao Câu 6b (1,5 điểm): Cho đồ thị (P): y  1 x  x2 x2 x3  (C): y   x  2 a) Chứng minh (P) tiếp xúc với (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (P) (C) tiếp điểm Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD = a Gọi I J trung điểm BC AD a) Chứng minh rằng: SO  (ABCD) b) Chứng minh rằng: (SIJ)  (ABCD) Xác định góc (SIJ) (SBC) c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) Câu 1: a) b) lim x lim   x2   x  lim x3 x3 x2  x x2   x  lim   x  1  1 x2   x 0 1  x3 x   lim  2x  1  1 x   x     =  x 1 Câu 2: f ( x)   2x  3x   1 A A x   x     2  1 1 Tại x   ta có: f     A , lim 2 x 1  2 x f ( x) liên tục x    1 1  f     lim  A 2   x x  f ( x)  x  5x   f ( x) liên tục R f (0)  3, f (1)   f (0) f (1)   PT cho có nghiệm thuộc khoảng (0;1) Câu 3: Xét hàm số Câu 4: y  ( x  1)(2x  3)  2x2  x   y  4x  x x 2sin cos sin x x 2  b) y   cos  y'  x x  cos2  cos2 2 a) Câu 5: a) S b)  AB = AD = a, BAD  60  BAD  BC  OK, BC  SO  BC  (SOK) Tính góc SK mp(ABCD)  SO  (ABCD) H D C 60 A F O K B  BOC có     SK ,( ABCD)  SKO a a OB  , OC  2  OK OB2 OC2 SO tan SKO   OK  OK  c) Tính khoảng cách AD SB  AD // BC  AD // (SBC)  d( AD, SB)  d( A,(SBC))  Vẽ OF  SK  OF  (SBC)  Vẽ AH // OF, H  CF  AH  (SBC)  d( AD, SB)  d( A,(SBC))   CAH có OF đường trung bình nên AH = 2.OF  BD  a a AH   SOK có OK = Câu 6a: a 2a 57 1 a 57 , OS = a   AH  2OF     OF  19 19 OF OS2 OK y  2x3  7x   y '  6x2  x0   y0  3, y (2)  17  PTTT : y  17x  31 a) Với  x  1 ( x0; y0 ) toạ độ tiếp điểm Ta có: y ( x0 )  1  6x02   1    x0   Với x0  1  y0   PTTT : y   x  b) Gọi  Với x0   y0  4  PTTT : y   x  Câu 7a: Tìm quỹ tích điểm H M di động AB  SA  (ABC)  AH hình chiều SH (ABC) Mà CH  SH nên CH  AH a) S  AC cố định, AHC  90  H nằm đường tròn đường kính AC nằm mp(ABC) Mặt khác: + Khi M  A H  A + Khi M  B H  E (E trung điểm K A  Vậy quĩ tích điểm H cung AC nằm mp(ABC) b) Tính SK AH theo a  E H M BC) C  AHC vuông H nên AH = B AHE đường trịn đường kính AC.sin ACM  a sin  SH  SA2  AH  a2  a2 sin2   SH  a 1 sin2  SA2 a  SAH vng A có SA  SK SH  SK   SK  SH 1 sin2  Câu 6b: (P): a) y  f ( x)  1 x  f ( x)  1 x  x2 x2 x3 (C): y  g( x)   x   2 x2  f  ( x)  1 x ; g( x)  1 x  x2 x3 x2   g ( x)  1 x  f ( x)  g ( x)  x   f (0)  g(0)   đồ thị hai hàm số có tiếp tuyến chung điểm M(0;1) hay tiếp xúc M(0;1) b) Phương trình tiếp tuyến chung (P) (C) tiếp điểm M(0;1) : y   x   Câu 7b: a) Vì SA = SC nên SO  AC, SB = SD nên SO  BD  SO  (ABCD) b)  I, J, O thẳng hàng  SO  (ABCD) SO  (ABCD)  (SIJ)  (ABCD)  BC  IJ, BC  SI  BC  (SIJ)  (SBC)  (SIJ) S a H A J D I O a C B  c) (SBC),(SIJ)  900 Vẽ OH  SI  OH  (SBC)  d(O,(SBC))  OH a a 1 2 3a  SO  SB  OB  SOI có  , OB    2 OH SO2 OI 3a2 a  OH  OH  16 SOB có SB  I Phần chung Bài 1: 1) Tìm giới hạn sau:  x5  7x3  11 x 1  a) b) lim lim x x5 x5 x  x4  x4 2) Cho hàm số : f ( x)   x  2x  Tính f (1) c) lim  x2 x2 2( x2  5x  6) Bài 2: 1) Cho hàm số  f ( x)   x  x ax  x  Hãy tìm a để f ( x) liên tục x = x  x2  2x  2) Cho hàm số f ( x)  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x) điểm có x 1 hoành độ Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC tam giác cạnh a, AD vng góc với BC, AD = a khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC a Gọi H trung điểm BC, I trung điểm AH 1) Chứng minh đường thẳng BC vng góc với mặt phẳng (ADH) DH = a 2) Chứng minh đường thẳng DI vng góc với mặt phẳng (ABC) 3) Tính khoảng cách AD BC II Phần tự chọn A Theo chương trình chuẩn Bài 4a: Tính giới hạn sau: 1) lim x 9x2   4x  2x 2) lim x  x2 x  5x  Bài 5a: 1) Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: 6x  3x  6x   2) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy cạnh bên a Tính chiều cao hình chóp B Theo chương trình nâng cao Bài 4b: Tính giới hạn: lim x  x 1  x  Bài 5b: 1) Chứng minh phương trình sau ln ln có nghiệm: (m2  2m  2) x3  3x   2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc (ABCD) SA = a Gọi (P) mặt phẳng chứa AB vng góc (SCD) Thiết diên cắt (P) hình chóp hình gì? Tính diện tích thiết diện Bài 1:  x5  7x3  11  lim 1) a) lim x x x x 2 1 11   x2 x5    x x b) c) 2) x 1  x5 1  lim  lim  x5 ( x  5)  x   2 x5 x   x5 lim x5  x2 lim x2 2( x2  5x  6) f ( x)  (2  x)(2  x) ( x  2)  lim  x2 2( x  2)( x  3) x2 2( x  3)  lim x4 1  x  2x   f ( x)  2x3  5x2   f (1)   2x 2 Bài 2: 1)  f ( x)   x  x ax  x  x  lim f ( x)  lim ( x2  x)  2, lim f ( x)  a   f (1)  f (1)  a   f ( x) liên tục x =  lim f ( x)  lim f ( x)  f (1)  a    a   x1 x1 x1 x1 x1 x  2x  x  2x   f ( x)  x 1 ( x  1)2 1 Với x0   y0  , f (1)    PTTT: y   x  2 2) f ( x)  Bài 3: D K A B I H C 1) CMR: BC  (ADH) DH = a ABC đều, H trung điểm BC nên AH  BC, AD  BC  BC  (ADH)  BC  DH  DH = d(D, BC) = a 2) CMR: DI  (ABC)  AD = a, DH = a  DAH cân D, mặt khác I trung điểm AH nên DI  AH  BC  (ADH)  BC  DI  DI  (ABC) 3) Tính khoảng cách AD BC  Trong ADH vẽ đường cao HK tức HK  AD (1) Mặt khác BC  (ADH) nên BC  HK (2) Từ (1) (2) ta suy d( AD, BC)  HK  Xét DIA vng I ta có: a 3 a2 a DI  AD  AI  a          2 a a 1 AH DI a  2  Xét DAH ta có: S = AH DI = AD.HK  d( AD, BC)  HK  2 AD a Bài 4a: 9x   4x  lim x  2x 1) 2) lim x lim x2 x x2  5x   x   4x x2  2x  9  lim x x2 4  2 x  lim x  2   x2 x  Vì  lim ( x  5x  6)   lim     x  x  x  x    x  5x   0,  x  2 Bài 5a: 1) Xét hàm số f ( x)  6x3  3x2  6x   f ( x) liên tục R  f (1)  1, f (0)   f (1) f (0)   PT f ( x)  có nghiệm c1  (1; 0)  f (0)  2, f (1)  1  f (0) f (1)   PT f ( x)  có nghiệm c2  (0;1)  f (1)  1, f (2)  26  f (1) f (2)   PT f ( x)  có nghiệm c3  (1;2)  Vì c1  c2 2) Bài 4b: lim x   c3 PT f ( x)  phương trình bậc ba nên phương trình có ba nghiệm thực x   x   lim x x 1 x 0 Bài 5b: 1) Xét hàm số f(x) =  Có g(m) = f ( x)  (m2  2m  2) x3  3x   f ( x) liên tục R m2  2m    m  1   0, m R f (0)  3, f (1)  m2  2m    f (0) f (1)   PT c  (0;1) f ( x)  có nghiệm 2)   S   HI I H  HI // CD  thiết diện hình thang AHIB Hơn AB  (SAD)  AB  HA Vậy thiết diện hình thang vng AHIB B A   O D C Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH  AH  SD (1) SA  (ABCD)  CD  SA CD AD  CD  (SAD)  CD  AH (2) Từ (1) (2)  AH  (SCD)  (ABH)  (SCD)  (P)  (ABH) Vì AB//CD  AB // (SCD), (P)  AB nên (P)  (SCD) = SD  SA2  AD2  3a2  a2  2a SAD SA2  SH SD  SH  có 2 SA 3a 3a   SH  SD 2a 3a HI SH 3 3a      HI  CD  CD SD 2a 4 AH  SA  AD  Từ (3) (4) ta có:  3a  a   AH  (3) a (4) 3a ( AB  HI ) AH  3a  a 7a2 SAHIB    a    2 4 16 Bài 1: 1) Tính giới hạn sau: a) lim 2) Cho n4  2n  n2  x3  x2 x  c) lim b) lim x 1 3x  x 1 y  f ( x)  x  3x  Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm phân biệt  x2  x   3) Cho f ( x)   x  5a  3x  Bài 2: Cho y  x  Tìm a để hàm số liên tục x = x  x2  Giải bất phương trình: y y  2x2  Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, AOB  AOC  600 , BOC  900 a) Chứng minh ABC tam giác vuông b) Chứng minh OA vng góc BC c) Gọi I, J trung điểm OA BC Chứng minh IJ đoạn vng góc chung OA BC Bài 4: Cho y  song với d: y = 9x + 2011 f ( x)  x3  3x2  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f(x) biết tiếp tuyến song Bài 5: Cho f ( x)  x2  Tính f ( n) ( x) , với n  x Bài 1: 2  n3 n4  1 1 n x 8 ( x  2)( x  2x  4)  lim  lim( x2  2x  4)  b) lim x 2 x  x 2 x 2 ( x  2) n4  2n  1) a) lim  lim n2  1  lim ( x  1)   x1 3x  3x  c) lim Ta có  x  1  x    lim    x 1 x   lim (3x  2)  1  x1 x   x1  2) Xét hàm số y  f ( x)  x3  3x2   f(x) liên tục R  f(–1) = –2, f(0) =2  f(–1).f(0) <  f(1) =  phương trình f(x) = có nghiệm c1   1; 0  phương trình f(x) = có nghiệm x =  c1  f(2) = –2, f(3) =  f  2 f  3  nên phương trình có nghiệm c2   2;3 Mà ba nghiệm c1, c2 ,1 phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt  x2  x   3) f ( x)   x  5a  3x  x  Tìm A để hàm số liên tục x=2 x  x2  x   lim( x  1)  , f(2) = 5a – x2 x2 x2 x2 Để hàm số liên tục x = 5a    a  x Bài 2: Xét y  x2   y '  x2   1 2 BPT y y  2x   2x  x    x   ;    1;   2  lim f ( x)  lim Bài 3: a) CMR: ABC vuông O  OA = OB = OC = a, AOC cạnh a (1)  Có I BOC  900  BOC vng O BC  a C J  2 2 OJ  BC  BC  OAJ  OA  BC c) Từ câu b) ta có IJ  BC (3)  ABC  OBC (c.c.c)  AJ  OJ B Từ (3) ta có tam giác JOA cân J, IA = IO (gt) nên IJ  OA Từ (3) (4) ta có IJ đoạn vng góc chung OA BC (4) y  f ( x)  x3  3x2   y  3x2  6x Tiếp tuyến // với d: y  9x  2011  Tiếp tuyến có hệ số góc k = Bài 4:  x  1 ( x0; y0 ) toạ độ tiếp điểm  3x02  6x0   x02  2x0      x0   Với x0  1  y0  2  PTTT : y  9x  Gọi  Với Bài 5: x0   y0   PTTT : y  9x  25 f ( x)  1 x2  = x   f ( x)   x x x2 1.2 n! ( n) f ( x)    (1)n1 , f ( x)  (1) Dự đoán f x3 x4 xn1  Thật vậy, (*) với n =  (2)  ABC có AB  AC  a  a  2a  a  BC  tam giác ABC vng A b) CM: OA vng góc BC  J trung điểm BC, ABC vuông cân A nên AJ  BC OBC vuông cân O nên A AOB  AOC  600 nên AOB (*) Giả sử (*) với n = k (k  2), tức có f ( k) ( x)  (1)( k1) k! xk1  k!(k  1) x (k  1)!  (*) với n = k + f ( k1) ( x)   f ( k) ( x)  (1)k2  (1)k2 x(2k2) xk  n! ( n) Vậy f  (1)n1 xn1 k Vì A PHẦN BẮT BUỘC: Câu 1: Tính giới hạn sau: a) lim x3 x3 x2  2x  ( x  1)3  x0 x b) lim c) lim x2 x2   x2 Câu 2: a) Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 2x3  10x   x3  b) Xét tính liên tục hàm số f ( x)   x  , x  1 tập xác định  , x  1 2 Câu 3: a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thi hàm số y  x3 điểm có hồnh độ x0  1 b) Tính đạo hàm hàm số sau: y  x 1 x2  y  (2  x2 ) cos x  2x sin x Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD) ABCD hình thang vng A, B AB = BC = a, ADC  450 , SA  a a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vng b) Tính góc (SBC) (ABCD) c) Tính khoảng cách AD SC B PHẦN TỰ CHỌN: Theo chương trình chuẩn  1  Câu 5a: a) Tính lim     x2  x2  x   Chứng minh: f (2)  f (2) x Câu 6a: Cho y  x3  3x2  Giải bất phương trình: y  b) Cho hàm số f ( x)  Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB  a , AD  b , AE  c Gọi I trung điểm đoạn BG Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a , b , c Theo chương trình nâng cao Câu 5b: a) Tính gần giá trị 4,04 b) Tính vi phân hàm số y  x.cot x Câu 6b: Tính lim x3 x2  3x  x3 Câu 7b 3: Cho tứ diện cạnh a Tính khoảng cách hai cạnh đối tứ diện Câu 1: x3 1  lim  x3 x  2x  x3 x  a) lim ( x  1)3   lim x2  3x   x0 x0 x b) lim   c) lim x 2  x  2 x  2 x2   x2  lim  lim   x 2 x2  x  2  x2   3 x2 x2   Câu 2: a) Xét hàm số: f(x) = 2x3  10x   f(x) liên tục R  f(–1) = 1, f(0) = –7  f  1 f  0  nên phương trình có nghiệm thuộc c1   1;0  f(0) = –7, f(3) = 17  f(0).f(3) <  phương trình có nghiệm c2   0;3  c1  c2 nên phương trình cho có hai nghiệm thực x3  b) f ( x)   x  , x  1 2 , x  1  Tập xác định D = R \ {1} x3 xác định nên liên tục x 1  Xét x =  D nên hàm số không liên tục x =  Xét x = –1 x3 lim f  x   lim  1  f  1  nên hàm số không liên tục x = –1 x2 x2 x  Câu 3: a) y  x3  y  3x2  Với x 1;1 hàm số f ( x)  Với x0  1  y0  1, y (1)   PTTT: y  3x  b) Tính đạo hàm  y  x 1 x2  y '   x2  x2 1 x2  y'  1 2x2 1 x2  y  (2  x2 ) cos x  2x sin x  y '  2x cos x  ( x2  2)sin x  2sin x  2x cos x  y '  x2 sin x Câu 4: a) CM mặt bên tam giác vuông SA  AB SA   ABCD    SA  AD  SAB SAD vuông A BC  AB, BC  SA  BC (SAB)  BC  SB  SBC vuông B 2 2 2  SB  SA  AB  2a  a  3a SC2  SB2  BC2  3a2  a2  4a2  hạ CE  AD  CDE vuông cân E nên EC = ED = AB = a  CD  a  AD  AE  ED  BC  ED  2a  SD2  SA2  AD2  6a2  SC2  CD2  4a2  2a2  6a2  SD2 nên tam giác SDC vng C b) Tính góc (SBC) (ABCD)  (SBC)  ( ABCD)  BC, SB  BC, AB  BC  SA  (SBC),( ABCD)  SBA  tan SBA  AB c) Tính khoảng cách AD SC  Ta có SC  (SBC), BC AD  d( AD, SC)  d( A,(SBC)) 6a2 a  Hạ AH  SB     AH     AH  2 2 2 AH AB SA AB  SA 3a a  Vậy d  AD, SC   Câu 5a:  1  x 1 a) Tính I  lim     lim  x2  x  x   x2 x  1 AB2.SA2 2a4  lim ( x  1)  3   x2   Ta có  lim ( x2  4)   I     x2  x   x2   8 b) f ( x)   f ( x)   , f (2)  2, f (2)  2  f (2)  f (2) x x2 Câu 6a: y  x3  3x2   y  3x2  6x BPT: y '   3x2  6x    x  1 2;1  Câu 7a: 1 AI  ( AB  AG)   AB  AB  AD  AE  2 1   2a  b  c  a  b  c 2 Câu 5b: a) Tính gần giá trị 4,04 x , ta có f '  x    Đặt f(x) = , theo cơng thức tính gần ta có với: x x0  4,  x  0,04  f (4,04)  f (4  0,04)  f (4).0,04 4,04   0,04   Tức ta có 0,04   0,01  2,01  4,04  2,01 b) Tính y  x.cot x  y '  cot x  x vi 2cot x phân  y '  cot x  2x cot x(1 cot x) sin x  dy  (cot x  2x cot x  2x cot x)dx  lim ( x2  3x  1)    x3 x2  3x  x2  3x    lim   Câu 6b: Tính lim Ta có  lim x   x  x3 x  x  x3   x   x   Câu 7b: Tứ diện ABCD đều, nên ta tính khoảng cách hai cạnh đối diện AB CD a a , AM   AMN  900 2 3a2 a2 2a2  MN  AN  AM    4 a  d  AB, CD   NA  NB  ... c  aq2  (a2  b2 )(b2  c2 )  (a2  a2q2 )(a2q2  a2q4 )  a4q2 (1 q2 )2 (1)  (ab  bc )2  (a.aq  aq.aq2 )2  a4q2 (1 q2 )2 (2)  Từ (1) (2) ta suy (a2  b2 )(b2  c2 )  (ab  bc )2 Bài...  (2x  1) 2x  x2  y'' =2 2x  x2  (2x  1) 1 x 2x  x2  y''  4x2  6x  2x  x2 b) y  x2.cos x  y ''  2x.cos x  x2 sin x ? ?2 x 1  y  x 1 ( x  1 )2 a) Tại A (2; 3)  k  y (2)  ? ?2. .. 4x  6 )2 011)   y  ? ?2 011( 5x3  4x  6 )20 10 (15x2  4)sin(5x3  4x  6 )2 011. cos cos(5x3  4x  6 )2 011  Sở GD&ĐT tỉnh Yên Bái Trường THPT Nguyễn Huệ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II Mơn toán – Lớp 11 –