Đề thi thử đại học khối A , A1 , B , D môn toán năm 2012 đề số 103

www.VNMATH.com SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT NINH GIANG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2012 Môn thi: TOÁN, Khối A B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) −x + m Cho hàm số y = có đồ thị (Cm) x+2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm giá trị m để đường thẳng d: x + y − = cắt (Cm) hai điểm A B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) Câu II (2,0 điểm) sin x sin x 1) Giải phương trình + = tan x(sin x + sin x) cos x cos x 2) Giải phương trình x + x + + x − x + = x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân ∫ ( x − 1) x − x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân C, cạnh đáy AB 2a góc ABC 30 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' biết khoảng cách hai a đường thẳng AB CB ' Câu V (1,0 điểm) Cho x, y số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + xy = Tìm giá trị lớn 2 giá trị nhỏ biểu thức: S = x y − xy PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (Phần A B) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM phân giác 17 BD Biết H (−4;1), M ( ;12) BD có phương trình x + y − = Tìm tọa độ đỉnh A tam giác ABC x +1 y z +1 = = 2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : hai điểm A(1; 2; −1), −1 B (3; −1; −5) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cắt đường thẳng ∆ cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn nhất, nhỏ Câu VII.a (1,0 điểm) Tính môđun số phức z , biết z + 12i = z z có phần thực dương B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 2 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( x − 2) + ( y + 3) = đường thẳng d: x − y + m − = Tìm m để d có điểm M mà từ kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B tiếp điểm) cho góc AMB bẳng 1200 2) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 4; 2) hai đường thẳng có phương trình ∆: x −1 y + z x −1 y +1 z −1 = = ,∆': = = Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A, −1 2 1 cắt đường thẳng ∆ cách đường thẳng ∆ ' khoảng lớn Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm trái dấu (m + 3)25 x + (2m − 1)5 x + m + = …………………………Hết………………………… Họ tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:………………………………… www.VNMATH.com Chữ kí giám thị 1:……………………………………Chữ kí giám thị 2:………………………… ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = −3 < 0, ∀x ≠ −2 ( x + 2) Hàm số nghịch biến (−∞; −2) (−2; +∞) lim y = −1 ⇒ TCN: y = −1 −x +1 x+2 Điểm 1,00 TXĐ : ¡ y ' = 0,25 x →±∞ 0,25 lim y = −∞, lim+ y = +∞ ⇒ TCĐ: x = −2 x →−2 x →−2− Lập BBT Đồ thị 0,25 0,25 -2 -5 O -1 -2 I -4 x + y − = cắt (Cm) hai điểm A B x + y − = ⇔ y = − x Pt hoành độ giao điểm d (Cm) −x + m = − x ⇔ x − x + m − = (1), x ≠ −2 x+2 D cắt (Cm) điểm A, B ⇔ (1) có nghiệm pb khác -2 ∆ ' = − 4(2m − 2) > ⇔ − ≠ m <  ( −2) − (−2) + m − ≠     Gọi x1 , x2 nghiệm (1) Khi A  x1 ; − x1 ÷, A  x2 ; − x2 ÷     AB = ( x2 − x1 ) + ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2  = 2(9 − 8m) 1 1 SOAB = AB.d (O, d ) = 2(9 − 8m) = − 8m = ⇔ m = − (tm) 2 2 Vậy m = − Giải phương trình x + x + + x − x + = x II 0,25 0,25 0,25 2 x + x + > x − x + > 0, ∀x ∈ ¡ ⇒ TXĐ: ¡ TH x ≤ Pt TM 1,00 0,25 1,00 0,25 www.VNMATH.com TH x > PT ⇔ 1 1 + + − + = Đặt t = , t > x x x x x 2+ + t + t2 + 1− t + t2 = ⇔ + t + t2 = − 1− t + t2 Ta ⇒ + t + t2 = +1− t + t2 − 1− t + t ⇔ 1− t + t = − t t = 4 − t ≥ t ≤ ⇔ ⇔ ⇔ 2 t = − 9(1 − t + t ) = 16 − t + t t − t − =    Đối chiếu với t > ta t = ⇒ x = Thử lại thấy x = thỏa mãn pt Vậy pt có nghiệm x = sin x sin x Giải phương trình + = tan x(sin x + sin x) cos x cos x ĐK: cos x ≠ 0, cos x ≠ Pt ⇔ tan x sin x + tan 3x sin x = tan x(sin x + sin x) ⇔ (tan x − tan x)sin x + (tan x − tan x) sin x = ⇔ sin(− x) sin( x) sin x + sin x = cos x cos x cos 3x cos x sin x = ⇔  sin x sin x  − =0  cos x cos x sin x = sin x = (TM ) ⇔ ⇔ sin x = cos x = ( L) 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 Tính tích phân ∫ ( x − 1) x − x dx 1,00 1 0 I = ∫ ( x − 1)3 x − x dx = ∫ ( x − x + 1) x − x ( x − 1)dx 0,25 Đặt t = x − x ⇒ t = x − x ⇒ tdt = (1 − x)dx t (0) = 0, t (1) = III I = ∫ (1 − t )t (−t )dt 0,25  t5 t3  = ∫ (t − t )dt =  − ÷  0 0,25 1 − =− 15 0,25 IV 1,00 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M, N trung điểm AB A'B' Tam giác CAB cân C suy AB ⊥ CM Mặt khác AB ⊥ 0,25 CC ' ⇒ AB ⊥ (CMNC ') ⇒ A ' B ' ⊥ (CMNC ') Kẻ MH ⊥ CN ( H ∈ CN ) MH ⊂ (CMNC ') ⇒ MH ⊥ A ' B ' ⇒ MH ⊥ (CA ' B ') mp (CA ' B ') chứa CB ' song song với AB nên a 0,25 d ( AB, CB ') = d ( AB, (CA ' B ')) = d ( M , (CA ' B ')) = MH = 0,25 a Tam giác vuông BMC ⇒ CM = BM tan 30 = Tam giác vuông 1 CMN ⇒ = + ⇔ = 2+ ⇔ MN = a 2 MH MC MN a a MN Từ VABC A ' B 'C ' www.VNMATH.com a a3 = S ABC MN = 2a .a = 3 A' C' N B' 0,25 H C A M B 2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S = x y − xy S = xy ( x − y ) ⇒ S = ( xy ) ( x + y − xy ) = ( xy ) (1 − 3xy ) Đặt t = xy x + y + xy = ⇔ − xy = ( x − y ) ≥ ⇒ t ≤ 2 x + y + xy = ⇔ ( x + y ) = + xy ≥ ⇒ t ≥ −1 V 0,25 0,25 t =  1 ⇒ S = f (t ) = t (1 − 3t ), t ∈  −1;  f '(t ) = 2t − 9t = ⇔  t =  3  VI.a 1,00 0,25 1 2 f ( −1) = 4, f (0) = f  ÷ = 0, f  ÷ = ⇒ S ≤ ⇔ −2 ≤ S ≤ 243     S = ⇔ x = −1, y = ⇒ max S = 0,25 S = −2 ⇔ x = 1, y = −1 ⇒ S = −2 Tìm tọa độ đỉnh A tam giác ABC 1,00 0,25 Đt ∆ qua H ⊥ BD có pt x − y + = ∆ ∩ BD = I ⇒ I (0;5) Giả sử ∆ ∩ AB = H ' Tam giác BHH ' có BI phân giác 0,25 đường cao nên BHH ' cân ⇒ I trung điểm HH ' ⇒ H '(4;9) r uuuuuu r   u = H ' M =  − ;3 ÷ nên có pt x + y − 29 = 0,25 AB qua H’ có vtcp   5 x + y = 29 ⇒ B (6; −1) M trung điểm Tọa độ B nghiệm hệ  x + y = 0,25 4  AB ⇒ A  ; 25 ÷ 5  Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cắt đường thẳng ∆ 1,00 cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d lớn nhất, nhỏ Gọi d đt qua A cắt ∆ M ⇒ M ( −1 + 2t ;3t; −1 − t ) uuuu r uuu r 0,25 AM = (−2 + 2t ;3t − 2; −t ), AB = (2; −3; −4) 0,25 Gọi H hình chiếu B d Khi d ( B, d ) = BH ≤ BA Vậy d ( B, d ) lớn BA ⇔ H ≡ A Điều xảy www.VNMATH.com uuuu r uuur ⇔ AM ⊥ AB ⇔ AM AB = ⇔ 2(−2 + 2t ) − 3(3t − 2) + 4t = ⇔ t = x −1 y − z + = = −1 Mặt phẳng (P) chứa d ∆ có pt là: Gọi K hình chiếu B (P) ⇒ BH ≥ BK Vậy d ( B, d ) nhỏ BK ⇔ H ≡ K Lúc d đường thẳng qua A K Tìm K viết pt d Tính môđun số phức z , biết z + 12i = z Giả sử z = x + yi, x, y ∈ ¡ z + 12i = z ⇔ ( x + yi )3 + 12i = x − yi ⇒ M (3;6; −3) Pt d  x − xy = x ⇔ x − xy + (3 x y − y + 12)i = x − yi ⇔  3x y − y + 12 = − y VII.a (1) (2) Do x > ⇒ (1) ⇔ x = y + Thế vào (2) ta 3(3 y + 1) y − y + 12 = − y ⇔ y + y + = (3) Giải pt (3) ta y = −1 ⇒ x = Do x > nên x = Vậy z = − i ⇒ z = Tìm m để d có điểm M mà từ kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B tiếp điểm) cho góc AMB bẳng 1200 VI.b Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A, cắt đường thẳng ∆ cách đường thẳng ∆ ' khoảng lớn (m + 3)25 x + (2m − 1)5 x + m + = có nghiệm trái dấu VII.b 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 ... AB nên a 0,2 5 d ( AB, CB ') = d ( AB, (CA ' B ')) = d ( M , (CA ' B ')) = MH = 0,2 5 a Tam giác vuông BMC ⇒ CM = BM tan 30 = Tam giác vuông 1 CMN ⇒ = + ⇔ = 2+ ⇔ MN = a 2 MH MC MN a a MN Từ VABC... r 0,2 5 AM = (−2 + 2t ;3t − 2; −t ), AB = (2; −3; −4) 0,2 5 Gọi H hình chiếu B d Khi d ( B, d ) = BH ≤ BA Vậy d ( B, d ) lớn BA ⇔ H ≡ A Điều xảy www.VNMATH.com uuuu r uuur ⇔ AM ⊥ AB ⇔ AM AB =... + (2m − 1)5 x + m + = có nghiệm trái d u VII .b 0,2 5 0,2 5 1,0 0 0,2 5 0,2 5 0,2 5 0,2 5 1,0 0 0,2 5 0,2 5 0,2 5 0,2 5 1,0 0 0,2 5 0,2 5 0,2 5 0,2 5 1,0 0 0,2 5 0,2 5 0,2 5 0,2 5