Chuyên đề một số bài TOÁN đếm TRONG TOÁN tổ hợp

Lời nói đầu Các bài toán tổ hợp là một trong những dạng toán khó trong chương trình toán phổ thông và thường xuất hiện trong các đề thi olympic, chọn học sinh giỏi quốc gia và quốc tế..

1

MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM TRONG TOÁN TỔ HỢP

Mã: TO03B

I Lời nói đầu

Các bài toán tổ hợp là một trong những dạng toán khó trong chương trình toán phổ thông và thường xuất hiện trong các đề thi olympic, chọn học sinh giỏi quốc gia và quốc tế Các bài toán tổ hợp đôi khi có dạng không mẫu mực Trở ngại lớn nhất khi giải các bài toán tổ hợp là xác định hướng đi Để giải được các bài toán này không phải chỉ cần các hằng đẳng thức, bất đẳng thức, hay các kết quả trung gian khác … mà cần phải phát hiện và xây dựng một cách lập luận đầy đủ, chính xác hoặc tạo ra một đại lượng nào đó, chẳng hạn như tạo ra một tương ứng mà đó là một song ánh … mà nhờ đó ta có thể tìm được lời giải cho bài toán

Rõ ràng để có khả năng định hướng tốt thì việc rèn luyện các phương pháp tiếp cận là rất cần thiết Trong nội dung bài viết này, tôi xin có đề cập đến hai phương pháp có tính hiệu quả cao trong toán tổ hợp: Phương pháp sử dụng các nguyên lý đếm cơ bản và phương pháp sử dụng song ánh, với các bài toán

đi từ dễ đến khó

II Cơ sở lý thuyết

1 Hai quy tắc đếm cơ bản

• Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương

án A hoặc phương án B Có n cách thực hiện phương án A và có m cách thực hiện phương án B Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n m + cách

• Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A

và B Công đoạn A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn

A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo m n cách

2 Hoán vị

2

• Định nghĩa: Cho tập hợp A có n (n≥1) phần tử Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A)

• Số các hoán vị: Ký hiệu P n là số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử

Ta có: P n = =n! 1.2 (n−2)(n−1)n

3 Chỉnh hợp

• Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1 k n ≤ ≤

Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một

chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A)

n A

n C

3

• Chú ý: Ta quy ước C n0 =1 (coi ∅ là tổ hợp chập 0 của tập hợp có n

phần tử)

5 Công thức nhị thức Niu-tơn

Nhị thức Niu-tơn là công thức khai triển biểu thức (a b+ )n với n

nguyên dương dưới dạng đa thức:

=

+ = ∑ (quy ước a° = =b° 1)

Công thức trên có nhiều ứng dụng trong toán học và đã được biết đến

từ trước thời Newton Còn bản thân Newton đã mở rộng khai triển đó trong trường hợp n âm Ngoài ra, người ta cũng chứng minh được công thức tổng quát của khai triển này:

4

- Đối với 2 tập con hữu hạn A và B , ta có: A B∪ = A + B − ∩A B

- Đối với 3 tập con hữu hạn A B, và C, ta có:

7 Ánh xạ f X: →Y được gọi là song ánh giữa X và Y nếu nó vừa là đơn

ánh, vừa là toàn ánh Như vậy f X: →Y là song ánh nếu và chỉ nếu với mỗi

y Y∈ , tồn tại duy nhất một phần tử x X ∈ để f x( )= y

Chú ý rằng: Nếu X và Y là hai tập hữu hạn thì X = Y

III Các bài toán đếm

1 Phương pháp 1: Sử dụng các nguyên lý đếm cơ bản

Bài toán 1 (Ví dụ SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao)

Trong một trường THPT, khối 11 có: 160 học sinh tham gia câu lạc bộ Tin học, 140 học sinh tham gia câu lạc bộ Ngoại ngữ, 50 học sinh tham gia

cả hai câu lạc bộ và 100 học sinh không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ nêu trên Hỏi khối 11 ở trường đó có bao nhiêu học sinh ?

Giải

Gọi tập hợp học sinh khối 11 ở trường THPT tham gia câu lạc bộ Tin

học và câu lạc bộ Ngoại ngữ lần lượt là A và B

Khi đó tập hợp học sinh khối 11 ở trường đó tham gia câu lạc bộ (Tin

5

Vậy khối 11 ở trường đó có 250 100 350 + = (học sinh)

Lời bình: Đây là một bài toán khá đơn giản đối với các em học sinh, tuy

nhiên đây là một bài toán mà có A B ∩ ≠ ∅ Do đó tính khi cộng số phần tử của A với số phần tử của B , thì số phần tử của A ∩ được tính hai lần, B thành thử kết quả ta phải bớt đi số phần tử của A ∩ B

Bài toán 2 Một cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài chia thành 4 chất: rô, cơ

(màu đỏ), pích và nhép (màu đen) Mỗi chất có 13 quân bài là: 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 10, J, Q, K, A (đọc là át) Bốn quân 2 (gồm 2 rô, 2 cơ, 2 pích, 2 nhép) làm thành một bộ 2 (hay còn gọi là “tứ quý” 2); …; bốn quân át (gồm át rô,

át cơ, át pích, át nhép) làm thành một bộ át (hay còn gọi là “tứ quý” A)

Chọn ngẫu nhiên 13 quân bài Tính xác suất để trong 13 quân bài đó

- Trong lời giải trên, chúng ta đã đếm lặp Cụ thể là những cách rút bài có hai

“tứ quý”, chẳng hạn “tứ quý” K và “tứ quý” A được đếm hai lần: một lần ở

“tứ quý” K và một lần ở “tứ quý” A Nhưng ta đang đếm không phải là số “tứ quý” mà là số lần gặp “tứ quý” Như thế, những lần đếm lặp đó phải trừ đi Nhận thấy, số cách rút có “tứ quý” K và A là 5

48 13 44 13 40

13 52

6

Lời bình: Trong lời giải trên, để không bị đếm lặp, chúng ta đã lần lượt bớt

đi, rồi lại thêm, rồi lại bớt đi, … Cơ sở toán học của phương pháp này chính

là nguyên lý bù trừ

Bài toán 3 Xét tập hợp X = ; ; ; ;{1 2 3 2015} Đặt A= ∈{x X x: ≡1(mod30)}

a) Tính A b) Tìm số tập con của B sao cho B A ∩ = ∅

Giải

a) Xét x X ∈ , ta có : x ≡1(mod30)⇒ = +x 1 30t

Ta có 1 ≤ ≤ x 2015 ⇒ ≤ + 1 1 30 t ≤ 2015 ⇒ ≤ ≤ 0 t 67, vậy A =68

b) Gọi P X( ) là tập bao gồm tất cả các tập con của X , M là tập các tập con

B của X sao cho B A ∩ ≠ ∅ Khi đó P M( ) \X là các tập con B của X sao

Theo nguyên lý cộng: P X( ) = M + P X A( \ )

2015 2015 68 2015 1947

⇒ M P X= ( )−P X A( \ )= − = −

Lời bình: Trong lời giải trên, ngoài nắm chắc công thức của nguyên lý đếm

thì ta còn lưu ý kiến thức cơ bản, số các tập con của một tập hợp có n phần

tử là 2n

Bài toán 4 Trong một đề thi chọn đội tuyển quốc gia có ba câu: Một câu về

số học, một câu về đại số, một câu về hình học Trong 40 thí sinh dự thi có 25 thí sinh làm được câu số học, 30 thí sinh làm được câu đại số và 15 thí sinh làm được câu hình học Ngoài ra số thí sinh làm được cả hai câu số học và đại số là 20, số thí sinh làm được cả hai câu số học và hình học là 5, số thí sinh làm được cả hai câu đại số và hình học là 10 Biêt rằng không có thí sinh không làm được câu nào Hỏi có bao nhiêu thí sinh làm được cả ba câu?

Giải

7

Gọi A, B, C là tập hợp các thí sinh làm được câu số học, đại số, hình học

Theo giả thiết A =25, B =30, C =15, A B∩ =20, B C∩ =10, C ∩ =A 5

Vì không có thí sinh nào không làm được câu nào nên A B C∪ ∪ =40

Áp dụng nguyên lý thêm bớt

A B C∪ ∪ = + +A B C − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩A B B C C A A B C

Suy ra A B C∩ ∩ =5

Vậy có 5 thí sinh làm được cả ba câu

Bài toán 5 Trong một đề thi chọn học sinh dự Trại hè Hùng Vương có ba

câu: Một câu về số học, một câu về đại số, một câu về hình học Trong 60 thí sinh dự thi có 50 thí sinh làm được câu số học, 40 thí sinh làm được câu đại

số và 30 thí sinh làm được câu hình học Ngoài ra số thí sinh làm được ít nhất một trong hai câu câu số học và đại số là 55, số thí sinh làm được ít nhất một trong hai câu đại số và hình học là 50, số thí sinh làm được cả hai câu số học

và hình học là 45 Biêt rằng có 15 thí sinh làm được cả ba câu Hỏi có bao nhiêu thí sinh không làm được câu nào?

8

2035

Bài toán 6 Xét tập hợp X ={1 2 3; ; ; ;2015} Hỏi có bao nhiêu phần tử của X

là bội của ít nhất một phần tử của tập hợp T ={2 3 5 7; ; ; }

9

Bài toán 7 Có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số abcde sao cho

a b c d e ≤ < < ≤

Giải

Gọi X là tập hợp các số có 5 chữ số abcde sao cho a b c d e ≤ < < ≤

Gọi A là tập hợp các số có 5 chữ số số abcde sao cho a b c d e < < < < Gọi B là tập hợp các số có 5 chữ số số abcde sao cho a b c d e = < < < Gọi C là tập hợp các số có 5 chữ số số abcde sao cho a b c d e < < < = Gọi D là tập hợp các số có 5 chữ số số abcde sao cho a b c d e = < < =

Bài toán 9 (IMO 1989)

Cho n số nguyên dương Một hoán vị (x x1; ; ;2 x2n)của tập

(1 2; ; ; n2 ) được gọi là có tính chất T nếu tồn tại i∈(1 2; ; ;2n−1) sao cho

Ta có : x i −x i+1 =n nên nếu x ki = ⇒ xi+1= + k n với mỗi k∈(1 2; ; ;n)

Kí hiệu Ak là tập các hoán vị trong đó có hai phần tử k và k + n đứng liên tiếp

Gọi A là tập các hoán vị có tính chất T Ta có

1

n k k

11

Bài toán 10 (VMO – 1995, bảng B)

Hỏi từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1) Trong mỗi số, mỗi chữ số có mặt đúng hai lần

2) Trong mỗi số, hai chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau

trí, nên bằng 10! nhưng các hoán vị của i với i i( =1, 2, 3, 4, 5) không làm

xuất hiện phần tử mới của T nên 10!5

t T

=

∈I (với k =1, 2, 3, 4, 5) có đúng k cặp chữ số giống nhau ( , ), ( , ), , ( , )i i1 1 i i2 2 i i k k (hai chữ số giống nhau đứng kề nhau) Ta coi

mỗi cặp này chỉ chiếm một vị trí trong t thì coi như có 10 k − vị trí có thể

12

hoán vị cho nhau với số hoán vị là (10−k)!, nhưng các hoán vị của i với i

(1≤ ≤i 5, i i≠ t với mọi t =1, 2, ,k) không làm xuất hiện phần tử mới của

Bài toán 11 (VMO – 1996, bảng A)

Cho các số nguyên dương k và n với k n ≤ Hỏi có tất cả bao nhiêu chỉnh hợp ( , , , )a a1 2 a k chập k của n số nguyên dương đầu tiên, mà mỗi chỉnh hợp ( , , , )a a1 2 a k thỏa mãn ít nhất một trong hai điều kiện sau:

1) Tồn tại s t, thuộc {1, 2, ,k} sao cho s t < và a s >a t

2) Tồn tại s thuộc {1, 2, ,k} sao cho (a s −s) không chia hết cho 2

hoán vị của chúng là 3

4.(3!) 4!

C =

Xét tập B⊂ mà trong phần tử A a B ∈ thì 3 số của tập E nằm ở ba vị trí liên tiếp Tập B chứa tập B1 mà B1 gồm các hoán vị chứa đúng bốn số của

E nằm ở bốn vị trí liên tiếp Giả sử a B ∈ chứa ( , , )a a a i j k , nếu ta coi bộ 3 số này chỉ chiếm một vị trí trong hoán vị a thì số các hoán vị a là (n−2)! (gồm n − 2 phần tử là ( , , )a a a i j k , a h và a m với m=5,6, ,n), nhưng trong các hoán vị đó có các hoán vị dạng ( , ( , , ), , )a a a i j k a h và ( ,( , , ), )a a a a h i j k là như nhau khi chỉ số thay đổi, chúng đều chứa 4 số

Số các phần tử của A là n!; do đó số các hoán vị phải tìm gồm các hoán vị

mà không có 3 số nào trong 4 số của E nằm ở ba vị trí liên tiếp là:

2

A B = A − B n= − n− n− = −n n− n + −n

Chú ý: Nếu gọi B2 là tập các hoán vị của A chứa đúng 3 số của E nằm ở ba

vị trí liên tiếp mà không có 4 số của E nằm ở bốn vị trí liên tiếp thì ta có

Bài toán 12 (VMO – 2005, bảng B)

Tìm kết quả học tập ở một lớp học, người ta thấy:

ViL1 ⊂V nên (T1∩L1)⊂V Từ đây lưu ý rằng V1⊂V suy ra:

Nếu ta được thông báo rằng mọi người đều có chỗ ngồi thì ta kết luận

n > Như vậy, có thể xác định hay ước lượng số phần tử của một tập hợp

A nào đó thông qua một tập hợp B mà ta đã biết số phần tử của nó nhờ một phép tương ứng (ánh xạ) giữa A và B Đây là một phương pháp được sử dụng rất hiệu quả để giải nhiều bài toán đếm nâng cao

Bài toán 13 Có một nhóm người mà trong đó, mỗi cặp không quen nhau có

đúng hai người quen chung, còn mỗi cặp quen nhau thì không có người quen chung Chứng minh rằng số người quen của mỗi người là như nhau

Giải

Giả sử a quen b và gọi tập các người quen của a và tập các người quen của b (không kể a và b ) lần lượt là A và B Mỗi người a' thuộc A sẽ quen với duy nhất một người thuộc B (do a' và b không quen nhau, hơn nữa

họ đã có một người quen chung là a ) Tương tự, mỗi người thuộc B cũng quen với duy nhất một người thuộc A

Vậy tồn tại một song ánh đi từ A tới B , tức a và b có số người quen bằng nhau

Nếu a không quen b thì tồn tại c quen cả a và b Do đó, số người quen của a và số người quen của b bằng nhau do cùng có cùng số người quen của c

Bài toán 14 (VMO – 2002)

Cho tập hợp S gồm tất các các số nguyên dương trong đoạn

[1; 2002] Gọi T là tập hợp tất cả các tập con không rỗng của S Với mỗi X thuộc T , ký hiệu m X( ) là trung bình cộng các phần tử của X Tính

Lời bình: Ý tưởng giải bài tập trên thực chất có thể xem nó xuất phát từ một

bài toán quen thuộc: tính tổng 1 2 100 + + + , với cách giải tuyệt vời của nhà toán học Gauxơ

Ở đây chúng ta có thể diễn đạt lại cách tính đó như sau:

{1,2, ,100}

i S

∀ ∈ = , gọi f là ánh xạ được xác định như sau: f i( ) 101= −i

Rõ ràng f là một song ánh đi từ S tới S , do đó:

Gọi M là tập các số N thỏa mãn điều kiện đề bài

Xây dựng ánh xạ f M: →M như sau:

17

không chứa quá 3 số liên tiếp 0, 1, 0 và b là số các xâu không chứa 4 số liên n tiếp 0, 0, 1, 1 hoặc 1, 1, 0, 0 Chứng minh rằng b n+1 =2a n

Giải

Ta gọi một xâu thuộc loại A nếu nó không chứa quá 3 số liên tiếp 0, 1,

0 và gọi một xâu thuộc loại B nếu nó không chứa 4 số liên tiếp 0, 0, 1, 1 hoặc

1, 1, 0, 0

Với mỗi xâu X =( , , , )x x1 2 x n , ta xây dựng f X( ) ( ,= y y1 2, ,y n+1)như sau:

1 0

y = , y k ≡ + + +x1 x2 x k (mod 2) Rõ ràng X chứa 3 số liên tiếp 0, 1, 0 khi

và chỉ khi f X( ) chứa 4 số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1 hoặc 1, 1, 0, 0 tức X thuộc loại A khi và chỉ khi f X( ) thuộc loại B

Vậy f là một song ánh đi từ tập các xâu loại a độ dài n đến tập các

xâu loại B độ dài n + 1 mà bắt đầu bằng 0 Nhưng mỗi xâu X thuộc B ta

nhận được một xâu X cũng thuộc B bằng cáh đổi các phần tử của X theo

quy tắc 1→0; 0→1 nên số các xâu loại B có độ dài n + 1 gấp đôi số các xâu

loại B độ dài n + 1 mà bắt đầu bằng số 0 Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài toán 17 (Bài toán chia kẹo của Euler) Cho k n, là các số nguyên dương Tìm số nghiệm không âm của phương trình:

liên tiếp, lại đến số 0, … , cuối cùng là x số 1 liên tiếp n

Lời bình: Đây là cách suy luận khá đơn giản nhưng cũng có hiệu quả Tuy

nhiên ta cũng có thẻ có cách giải khác nhờ phương pháp đồng nhất hệ số xn

trong đẳng thức đúng (1+x) (1n +x)n = +(1 x)2n , cách này học sinh phải biết công thức khai triển nhị thức Niu tơn Dưới đây sẽ là bài tập phức tạp hơn

Bài toán 19 (Vô địch Trung Quốc – 1994)

Chứng minh rằng: [( )/2]

2 1 0

- Bước 1: Ta chọn ra k cặp rồi từ mỗi cặp chọn ra một số

- Bước 2: Chọn [(n k− ) / 2] cặp trong n k − cặp còn lại, ngoài ra, số x sẽ được chọn nếu n k − lẻ và không được chọn nếu n k − chẵn rõ ràng bước 1

Bài toán 20 Gọi M là tập hợp tất cả các số nguyên dương (viết theo hệ thập

phân) có n chữ số 1, n chữ số 2 và không còn chữ số nào khác N là tập hợp tất cả các số nguyên dương có n chữ số thuộc tập {1, 2, 3, 4} và số chữ số 1 bằng số chữ số 2

chữ số đầu được đổi thành chữ số 1, các chữ số 3 ở n chữ số sau được đổi thành chữ số 2 Tương tự, các chữ số 4 ở n chữ số đầu được đổi thành chữ số

2, các chữ số 4 ở n chữ số sau được đổi thành chữ số 1

Như thế, ta thu được một số có đúng n chữ số 1 và n chữ số 2 Rõ ràng đây là một đơn ánh, ta xây dựng ánh xạ ngược như sau:

Với mỗi số có n chữ số 1 và n chữ số 2, ta cắt n chữ số đầu và n chữ số cuối và đặt chúng “ song song ” với nhau khi thực hiện phép “cộng” Thực hiện phép “cộng” theo quy tắc: 1 1 2, 2 2 1,1 2 3, 2 1 4+ = + = + = + = Ta sẽ thu được một số có n chữ số gồm các chữ số 1, 2, 3, 4, với cac chữ số 1 bằng các chữ số 2

Do đó, song ánh giữa hai tập hợp M và N đã được thiết lập

Tính M :