Chuyên đề một số bài toán quang hệ

Dịch vật lại gần thấu kính một khoảng 36cm và dịch màn theo cùng chiều thì ảnh của vật lại vẫn rõ nét trên màn và ảnh mới cao gấp 4 lần ảnh cũ.. kính , khoảng cách từ vật đến màn và khoả

A’

I

(1) (2)

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN QUANG HỆ

Nguyễn Thanh Mai – THPT chuyên Lào Cai

I Đặt vấn đề:

Việc giải các bài toán quang hệ là phần bài tập mà học sinh thường gặp khó khăn,

cần tư duy và vận dụng kiến thức toán học nhiều, nhiều khi phải giải các hệ phương trình phức tạp Chuyên đề này đưa ra một số bài toán quang hệ như hệ thấu kính , hệ thấu kính và các dụng cụ quang học khác nhằm giúp học sinh biết vận dụng kiến thức

đã học về quang hình và vận dụng kiến thức môn toán vào giải một số bài toán quang

hệ

II Phương pháp giải bài toán về quang hệ :

1/ Giải bài toán hệ quang học nói chung (hệ thấu kính nói riêng) bao gồm hai bước:

- Bước 1: Lập sơ đồ tạo ảnh

- Bước 2: Áp dụng các công thức liên quan cho mỗi khâu của sơ đồ để giải bài toán theo yêu cầu của đề

2/ Các kiến thức liên quan:

+ Công thức thấu kính, gương: d1d1'1f

+ Xác định số phóng đại ảnh: k d'

d

 khệ = k1.k2 = 1 2

' '

d d

d d

+ Độ tụ của hệ 2 thấu kính mỏng đồng trục ghép sát:

D = D1+D2 hay 1 f1 f1

f   Đặc điểm ảnh của vật AB tạo bởi hệ 2 thấu kính

ghép là đặc điểm ảnh của vật AB tạo bởi thấu kính tương đương

+ Nguyên lý thuận nghịch của sự truyền ánh sáng

Nếu ánh sáng truyền đi theo đường nào thì

cũng truyền ngược lại theo đường đó (nếu ánh

sáng từ môi trường (1) sang môi trường (2) theo

đường AIA’ thì cũng truyền theo chiều A’IA từ

môi trường (2) sang môi trường (1)

L1 L2

3 Phương pháp giải:

Bước 1:

a Hệ 2 thấu kính đồng trục ghép cách nhau một đoạn l:

Giả sử vật thật AB đặt trên trục chính của hệ 2 thấu kính đồng trục L1 và L2 trước

L1,cho ảnh A’1B’1, ảnh này coi là vật đối với L2

Ở trước L2 thì đó là vật thật Nếu A’1B’1

Ở sau L2 thì đó là vật ảo (không xét) Thấu kính L2 cho ảnh A’2B’2 của vật A’1B’1 Vậy A’2B’2 là ảnh cuối cùng qua hệ

Vậy A’2B’2 là ảnh sau cùng của AB qua hệ thấu kính

Tóm tắt theo sơ đồ:

b Hệ 2 thấu kính đồng trục ghép sát nhau:

Với hệ này có 2 cách:

+ Lập sơ đồ như hệ 2 thấu kính đồng trục ghép cách nhưng khoảng cách L1 đến

L2 là l = 0

+ Hoặc dùng thấu kính tương đương là tiện lợi

Giả sử vật thật AB trên trục chính của hệ 2 thấu kính đồng trục L1 và L2 ghép sát tương tự mục (a) ta có sơ đồ tạo ảnh

Khi áp dụng công thức về thấu kính để giải chỉ cần nhớ l là khoảng cách 2 thấu kính luôn bằng 0: d’1 + d2 = 0 => d2 = -d’1

Ta có:

d d' f Và 2 2 2

d d' f

l

AB A’1B’1 A’2B’2

d1 d’1 d2 d’B'1 2

O1

l

O2

A / 2

B'2

A / 1

L2 L1

A B

Mà ta luôn có d2 = -d1/ =>

d d' f Suy ra:

d' d'

d d'

f

+ Nhận thấy 2 thấu kính f1, f2 ghép sát tương ứng với hệ thấu kính có tiêu cự f:

f  f f hay D1 + D2 = D

Lúc này ta có sơ đồ tạo ảnh

Bước 2: Thực hiện tính toán

Nội dung khảo sát của 1 hệ thấu kính rất đa dạng, nhưng nhìn chung thường gặp 3 yêu cầu chính:

(1) Xác định các đặc điểm của ảnh sau cùng

(2) Xác định các đặc điểm cấu tạo của hệ

(3) Tìm điều kiện để hệ cho ảnh ảo, ảnh thật, 2 ảnh, 1 ảnh duy nhất

Để giải đáp được 3 yêu cầu này, học sinh cần lưu ý đến 3 kết quả sau:

+ Ảnh A’1B’1 qua L1 được xác định bởi d’1

Khi A’1B’1 đóng vai trò vật với L2 thì đặc điểm của nó được xác định bởi d2, trong mọi trường hợp, ta luôn có d’1 + d2 = l hay d2 = l – d’1 (l: k/c 2 thấu kính)

+ Số phóng đại ảnh sau cùng được xác định bởi:

d d A’ B’

K

Khi học sinh hiểu và nắm được các bước giải trước mỗi yêu cầu bài toán thì việc phân tích bài toán hệ thấu kính đã xong, chỉ còn là khâu tính toán vấn đề phức tạp đã được "hóa giải", phương pháp này còn vận dụng để giải các bài tập về mắt khi đeo kính sát hoặc không sát mắt (đó là hệ thấu kính ghép sát hoặc ghép cách quãng), bài tập về kính lúp (đó là hệ thấu kính ghép cách quãng), bài tập về kính hiển vi, kính thiên văn (hệ thấu kính)

+ Hệ vô tiêu: ảnh cuối cùng A’2B’2 có độ lớn không đổi khi ta di chuyển vật lại gần thấu kính:l = f1 + f2 (chú ý: f1, f2 có giá trị đại số :dương với thấu kính hội tụ, âm với thấu kính phân kỳ)

L

d1 d’2

2B2/

III BÀI TẬP

Bài 1: Cho một thấu kính mỏng có quang tâm O và 3 điểm A ; B ; C đặt trên trục

chính Một điểm sáng S đặt ở A cho ảnh ở B , S đặt ở B lại cho ảnh ở C ( Hình vẽ )

B a A b C

.

1) Hỏi thấu kính loại gì ? Đặt trong khoảng nào ? Tìm khoảng cách AO và tiêu cự f của thấu kính Biết AB = a = 40cm ; b = 20cm

2/ Điểm sáng S đặt ở A , dịch chuyển thấu kính từ O ra xa S Hãy khảo sát sự biến thiên của khoảng cách y = AS’ ( S’ là ảnh của S ) theo x là khoảng cách từ thấu kính )

O1 đến vị trí ban đầu O của nó

Lược giải :

1/ Trước hết ảnh ở B phải là ảnh ảo vì nếu là ảnh thật thì khi S đặt ở B sẽ cho ảnh ở A trái với đề bài Vật thật cho ảnh ảo nằm cùng phía đối với tháu kính vậy thấu kính nằm ngoài AB

+ Giả sử thấu kính là phân kỳ :

- Nằm bên trái B : Vật thật B phải cho ảnh ảo gần thấu kính hơn ; trái với đề bài

- Nằm ở bên phải A : Vật thật đặt ở A cho ảnh ảo gần thấu kính hơn ( trái với đầu bài) Vậy thấu kính là thấu kính hội tụ

- Nếu thấu kính nằm ở bên trái B thì vật thật A không thể cho ảnh ảo ở B

- Nếu nó nằm bên phải C thì vật thật ở B không cho ảnh ảo ở C

Kết luận : Thấu kính là thấu kính hội tụ nằm trong khoảng AC

Công thức thấu kính cho ta : d1 d1' 1f

1 1



 ( 1 ) ; d1’ = - ( d1 + a ) ( 2 )

f

d

d

1

'

1

1

2

2



 ( 3 ) ; d2 = a + d1 ( 4 ) ; d2’ = b – d1 ( 5 )

Giải hệ ta được AO = d1 =

b a

ab



2 ; f = ( 2 ) 2

) ( 2

b a

b a ab





áp dụng bằng số : d1 = 8cm ; f = 9,6cm

2) y = AS AO O S d d d d df f d d f



















2 1

'

d = AO + x = x + 8 => y = ( 1 , 6 ) 2

) 2 , 11 )(

8 (







x

x x

Với x > 0 thì y’ = 0 khi x = 11,2

Từ đó lập được bảng biến thiên và vẽ đồ thị

Bài 2 : Vật sáng AB qua một thấu kính O cho ảnh rõ nét trên một màn M Dịch vật

lại gần thấu kính một khoảng 36cm và dịch màn theo cùng chiều thì ảnh của vật lại vẫn rõ nét trên màn và ảnh mới cao gấp 4 lần ảnh cũ Hãy xác định tiêu cự thấu

kính , khoảng cách từ vật đến màn và khoảng cách từ vật đến vị trí vật lúc ban đầu

Để được ảnh rõ nét trên màn cao bằng vật thì phải dịch vật từ vị trí ban đầu đến vị trí nào ?

Lược giải :

Ta thấy khoảng cách vật màn là không đổi Vật thật cho ảnh thật nên đây là thấu kính hội tụ Thay cho vật màn cố định dịch chuyển thấu kính OO’ = l , ở bài toán này giữ thấu kính cố định , ta lại phải dịch vật và màn Để có L =const ta phải dịch vật và màn cùng một chiều và cùng một đoạn l = 36cm

Từ giả thiết h’’ = 4 h’ ( Ta CM đợc d1’ = d2 và d2’ = d1 ) k1 =

2

1

k hay k1.k2 = 1 = > h2 = h1h2 => ' '

1

1

h

h d

d

 = 2 và d1’ = d2 =>

2

1 1

1

' d

d d

d

 = 2 -> d1 = 2d2

Mà d1 – d2 = 36cm => d2 = 36cm và d1 = 72cm => f= 24cm

Bài 3 : Một thấu kính O có tiêu cự f Vật nhỏ AB đặt vuông góc với trục chính phía

trước thấu kính Màn ảnh M đặt vuông góc với trục chính phía sau thấu kính Một bản thuỷ tinh hai mặt song song có độ dày e = 6cm chiết suất n = 1,5 , đặt vuông góc với trục chính Vật AB và màn M cố định , dịch chuyển thấu kính và bản mặt ss Ta tìm được một vị trí của thấu kính mà dù bản mặt ss đặt trước hay sau thấu kính thì ảnh trên màn vẫn rõ nét hai ảnh cao 10mm và 8,1mm Tìm tiêu cự thấu kính f , chiều cao của vật AB = h , khoảng cách l1 từ vật đến thấu kính và l2 từ thấu kính đến màn

Lược giải :

Qua bản mặt song song thuỷ tinh vật dịch xuôi chiều ánh sáng một đoạn :

X = BB1 = B2B’’ = e ( 1 -

n

1

) = 2cm Khi bản mặt ss ở phía trớc thấu kính : d1 = B1O = l1 – x và d1’ = OM = l2

Khi bản mặt ss ở phía sau thấu kính : d2 = B1O = l1 và d2’ = l2 – x (vẽ hình minh hoạ) Theo nguyên lý thuận nghịch của ánh sáng ta đổi và trò vật ảnh : Khi A’B’ là vật thật cách thấu kính l2 thì ảnh qua thấu kính là A1B1 cách thấu kính l1- x Điều đó giống như khi vật thật AB cách thấu kính l2 qua thấu kính cho ảnh A2B2 cách thấu kính l2 –

x Từ đó rút kết quả thứ nhất:

L1 = BO = OB’ = l2 tức là l1 = l2 = l0 và vật AB cách màn đoạn BM = 2l0 , thấu kính nằm đúng giữa khoảng cách vật màn L = 2l0 – x = d1 + d1’ = d2 + d2’; d1 = d2’ =

l0 – x;

d2 = d1’ = l0 > d1 = d2’ Vì d1’ > d1 suy ra ảnh A’B’ có chiều cao h’ > h chiều cao vật AB

d2’ < d2 -> h’’ < h Vậy trong hai ảnh có chiều cao đã biết 10mm và 8,1mm chính là : h’ = A’B’ = 10mm và h’’ = A’’B’’= 8,1mm Ta có h2 = h’.h’’ => h = 9mm

Để tìm l1 và l2 ta có ' ' '

0

0 2

2 1

1

h

h l

x l d

d d

d







 => l0 = 20cm = l1 = l2

Tìm công thức thấu kính ta dùng công thức thấu kính ta dùng công thức :

x l l

l L









0

2 0 2 2

2 4

2

Hoặc tính f theo công thức thức từ d1 và d1’

Bài 4 : Có hai thấu kính phân kỳ cùng tiêu cự - f đặt cách nhau một đoạn bằng 2f

Đặt vào giữa chúng một thấu kính hội tụ có tiêu cự sao cho bất cứ vật nào nằm trước quang hệ đều cho ảnh thật Xác định tiêu cự của thấu kính hội tụ và độ phóng đại ảnh qua hệ khi khoảng cách giữa vật và ảnh là nhỏ nhất

Lược giải :

Gọi tiêu cự của thấu kính hội tụ là f’ Sơ đồ tạo ảnh qua hệ

AB > A1B1 -> A2B2 > A3B3

d1’= f d d f

f d

f d











1

1 1

1 ( )

=> -f Ê d1’ Ê 0 với mọi d1 ;d2 = f – d1’ => f Ê d2 Ê 2f với mọi d1

Xét ảnh cuối cùng d3’ , vì là ảnh thật => d3’ > 0

3

3 3

3 3

3



















f d

d f

d

f d f

d

d f

Lại có d3 + d2’ = f

Công thức thấu kính : 1 1' 1'

2

d   Xét d2 = f và d2 = 2f

d2’ = f

f f

ff

2 '

'



f f

f f



2

' 2

=> f f' f

3 2

Khi khoảng cách giữa ảnh và vật là nhỏ nhất thì d1+d3’ là nhỏ nhất Điều này xảy ra khi

f’ = 2 f3 => d2’ = f => d3 = f – d2 = 0 => d3’ = 0 => d2 và d1’ = - f ; d1 = 0 , khoảng cách là 2f và k = 1

Bài 5 : Một vật phẳng nhỏ AB đặt trước một màn M , giữa vật và màn có một thấu

kính hội tụ O tiêu cự f và một thấu kính phân kỳ L tiêu cự 10cm

Giữ vật và màn cố định , rồi dịch chuyển hai thấu kính , người ta tìm được một vị trí của O có tính chất đắc biệt là : Dù đặt L ở trước hay sau O và cách O cũng một khoảng l = 30cm thì ảnh của AB vẫn rõ nét trên màn Khi L ở trước O ( Nghĩa là ở trước AB và O ) thì ảnh có độ cao h1 = 1,2 cm và khi L ở sau O thì ảnh có độ cao h2 = 4,8cm Hãy tính

a) Tiêu cự f của thấu kính hội tụ O

b) Khoảng cách từ O đến vật và đến màn

Lược giải :

Gọi cách bố trí L trước O là cách I ; sau

O là cách II

Nhìn vào hình vẽ ta thấy

Theo nguyên lý thuận nghịch về chiều truyền ánh sáng thì nếu ta đặt AB vào vị trí ảnh A2B2 thì nó sẽ cho ảnh A1B1 ở chính chỗ cũ đặt nó => k1 =

2

1

k ( k1 là độ phóng đại ảnh trong cách I , k2 là độ phóng đại ảnh trong cách II )

Sơ đồ tạo ảnh AB  L A’B’ O A1B1

d1 d1’ d2 d2’

Theo lý luận trên thì d2’ = OA1 LAOL d2’ = d1 + 30 ( cm )

Ta có k1 = 1AB,2 ; k2 = AB4,8 ; k1 =

2

1

k => AB2 = 1,2.4,8 => AB = 2,4 ( cm )

K1 = -12,,24  21( vì ảnh ngược chiều ) Mặt khác k1 = d d d d d f f d f f



.

'

1 1

1 2

2 1

1

Với d2’= d1 + l => k1 = - 12 Với l = 30cm ; f1 = - 10cm ta được . 30 12

10

10 1

1













f

f d d

=> 20 ( d1 –f + 30 ) = ( d1 + 10 ) f => 20 ( d1 + 30 ) = f ( d1 + 30 ) => f = 20cm

Giải ra được d1 = 15cm => d2’ = 45cm

Vậy khoảng cách từ O đến vật và đến màn là 45cm

Bài 6 : Cho hệ hai thấu kính hội tụ có tiêu cự f1 và f2 đặt đồng trục và cách nhau 1 khoảng là a Tìm điểm A trên trục thấu kính sao cho mọi tia sáng đi vào A sau khi khúc xạ qua hai thấu kính đều cho tia ló song song với nó

Lược giải :

Xét điểm A nằm trước O1 và O2 ta có sơ đồ tạo ảnh

S O1 S1 O2 S2









d1 d1’ d2 d2’

có hai trường hợp tạo ảnh nh sau :

Ta loại hình vẽ 2 vì vật S1 với thấu kính O2 không thể cho ảnh trước thấu kính và bé hơn vật vậy chỉ còn trường hợp hình 1 : Ta có S1 và S2 là ảnh thật :

Dựa vào các cặp tam giác đồng dạng : SIO và S2JO2 => '

2

1 2

1 2

1

d

d O S

SO J O

I O



S1O1I và S1O2J =>

2

1 2

1 2 1

1

d

d J O

I O O S

O S



Từ (1) và (2) => ' ' ' '

2

2 1

1 2

1 2

1

d

d d

d d

d d

d





 hay k1k2 = 1

Công thức thấu kính cho ta : d1’ =

1 1

1 1

f d

f d

 ; k1 =

-1 1

1

f d

f

 ;d2 = a –d1’ =

1

1

1 1 1

f

d

f d

f

a

ad







;

d2’ =

2 1 2 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 2

2

2

f f f d f d af ad

f f d af ad f

d

f

d

















k2 =

-2 1 2 1 1 1 1 1

1 1 2 2

f f f d f d af ad

f d f d

d















)

1 1

2 1 1 1 2 1

2 1



















f a d

f f f a d f f a

f f

=> a > ( f1+f2 )

Tương tự nếu A nằm trớc O2 và O1 có d1 =

2 1

2

f f a

af



 Vậy có hai vị trí A trước O1 và O2 mà tia sáng sau khi đi qua A sau khi khúc xạ qua

O1 và O2 cho tia ló song song với nó

Bài 7 : Một tia laser chiếu tới một thấu kính phân kỳ có tiêu cự f  3cm dưới một góc

rad

1

,

0



 đối với trục chính của thấu kính và được quan sát dưới dạng một chấm sáng trên màn E, đặt vuông góc với trục chính, ở sau thấu kính và cách thấu kính một khoảng L 630 cm Nếu ở trước thấu kính đặt một bản mặt song song bằng thuỷ tinh

có bề dày d 1 cm thì thấy chấm sáng dịch chuyển trên màn một đoạn a 8 cm Hãy xác định chiết suất của bản thuỷ tinh

Lược giải :

- Trước khi đặt bản mặt song song giả sử tia sáng đi như hình vẽ, ta có: F1OI ~ F1N A

1 1

F O

ON O

F

N

F

IO

N

A











































1

1

F O

ON tg

AO

N

(do IOAOtg)

Mặt khác: O FF1 ~ OMN

f

L F

O

OM

F

O

ON











1



















f

L tg

AO

N

A



I

F’

1

M N A’



•

•

•

•

•

•

•

•









Q P































f

L tg

AO tg

OM N A

MN

A



























f

L tg

AO tg

L

A

- Sau khi đặt bản mặt song song thì tia ló ra khỏi bản mặt vẫn tạo với trục chính một góc  Giả sử tia này cắt trục chính tại A1 và cho điểm sáng A1 trên màn thì ta vẫn có:

























f

L tg

O A tg

L

A

























f

L tg

O A AO A M A



























f

L AA

A

A 1 1  1 (*)

Theo giả thiết AA1 a Bây giờ ta đi tìm AA1 Dựa vào hình vẽ ta có:



tg

KQ d HK d PH

AA1    





tg

tg PK

d 





 sin

sin



















n

d 1 1

































f

L n

d

a 1 1  1























f

L d

a n

1 1

1



Thay số vào ta được: 1 , 61

131

211





Bài 8 : Xét hệ quang học gồm n thấu kính hội tụ mỏng , giống nhau , có tiêu cự f ,

được đặt đồng trục và cách đều nhau một khoảng 4f Ta gọi k là số thứ tự của thấu kính LK và OK là quang tâm của thấu kính thứ K Một vật được biểu diễn bằng véc tơ

AB , có điểm A nằm trên quang trục xx’ đợc đặt vuông góc với quang trục cách thấu kính thứ nhất khoảng 2f ở phía ngoài quang hệ Ta gọi y = AB là chiều cao của vật , ảnh của AB sau thấu kính thứ K là AKBK có chiều cao yK = A K B K

1) Xác định vị trí của các điểm AK và các giá trị yK

2) Một tia sáng xuất phát từ B nằm trong cùng mặt phẳng với quang trục đi về phía quang hệ và ra xa quang trục lập với quang trục một góc  nhỏ

a) Sau khi qua thấu kính thứ nhất , tia sáng đó lập với quang trục một góc 1 bằng bao nhiêu ?

b) Sau khi qua thấu kính thứ k , tia sáng đó lập với quang trục một góc K bằng bao nhiêu ?

3) Từ kết quả câu 2 nhận xét về độ sáng của các điểm trên ảnh thu đợc sau hệ quang học , giả thiết vật AB có độ sáng đồng đều

4) Hệ quang học này đợc ứng dụng để truyền ảnh của vật trên một khoảng cách Trước đây người ta sử dụng hệ này cùng với một vài thấu kính thích hợp tạo nên một kính nội soi dùng để quan sát các chi tiết nhỏ của các bộ phận ở sâu bên trong cơ thể người Hãy nêu một phương án chế tạo kính nội soi nh vậy Cho biểu thức gần đúng tg ằ  nếu  nhỏ

Lược giải :

1) áp dụng công thức thấu kính : O1A O1A 1f

1 1 1



 ta đợc O1A1 = 2f

2) ảnh A1B1 của AB qua thấu kính thứ nhất L1 là ảnh thật cách L1 một khoảng O1A1 = 2f , cũng cách L2 một khoảng A1O2 = 2f Vậy độ phóng đại là

AB

B

A1 1 = -1 hay y1 = - y

Tương tự ta có AK cách LK về phía sau một khoảng 2f cách LK+1 về phía trước một khoảng 2f và yK = - yK-1 vậy yk = y nếu k chẵn và yk = - y nếu k lẻ

2) a/ Đặt A1O = d ; O1A1 = d’ Ta qui ước góc có dấu dương nếu ảnh hướng lên trên

và ngược lại Vì  và 1 là những góc nhỏ nên

1

1

d

y d

C O A

O

y C O







1 1

1 1 1 1

1 1 1

1

1

1

A O

y C O IA I O

y C O IA

y

I

O

C













Vì ảnh A1B1 hướng xuống dưới nên : 1 ằ - ( 2 )

' '

1 1

1 1

1 1

d

y d

C O A

O

y C O









Mặt khác :

'

1

d

y d

y



 ; O1C = y +d và d = 2f Thay các giá trị này vào (1 ) và (2) ta tìm được : 1 = - - y f



1

O y