Bài giảng bài phương pháp quy nạp toán học đại số 11 (3)

HÃY XÁC ĐỊNH TÍNH ĐÚNG, SAI CỦA MỆNH ? ĐỀ: P(n) :"3n  n  100"VÀ Q (n) :"2n  VỚI n" n  1, 2,3, 4,5 Trả lời: •n = 1: P(1): “ 31 < 1+100” (Đ) Q(1): “ 21> 1” (Đ) •n = 2: P(2): “ 32 < 2+100” (Đ) Q(2): “ 22> 2” (Đ) •n = 3: P(3): “ 33 < 3+100” (Đ) Q(3): “ 23> 3” (Đ) •n = 4: P(4): “ 34 < 4+100” (Đ) Q(4): “ 24> 4” (Đ) •n = 5: P(1): “ 35 < 5+100” (S) Q(5): “ 25> 5” (Đ) ? Với n  N * P(n), Q(n) hay sai? PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CM: P(n) với n N * Phƣơng pháp qui nạp • Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) với n = • Bƣớc 2: Giả sử P(n) với (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n  k  n  k 1 PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: CM: P(n) với n  N * Phƣơng pháp qui nạp Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) với n = Bƣớc 2: Giả sử P(n) n  k 1 với (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n  k 1 II VÍ DỤ: Vd1:CMR với n  N * + + + ….+ (2n-1) = n2 (1) Hoạt n = 1:động = 1nhóm n = 2: 1+3 = CMR: với n  N *thì n = 3: 1+3 +5 = 32 n(n  1) (1) 1…………………………………     n  Nhóm 1,2: Bƣớc n = k: 1+3+5+…+(2k-1) = k2 Nhóm 3, 4: Bƣớc ( đến gt qui nạp) n = k+1: 1+3+5+…+(2k-1) +[2(k+1)-1]= (k+1) Nhóm 5, 6: Bƣớc (nêu ta phải CM?) PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: CM: P(n) với n  N * Phƣơng pháp qui nạp II VÍ DỤ: Hoạt động nhóm * CMR: với n  N n(n  1)     n  Giải: Đặt Sn  VT (1) Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) với n = Bƣớc 2: Giả sử P(n) với Bƣớc 1: Với n = thì: 1=1 nên (1) Đ (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n  k  k (k  1) (gt qui nạp) Ta phải CM: (1) với n  k  n  k 1 Bƣớc 2: G/s (1) với n  k  Nghĩa là: Sk      k  (k  1)(k  2) Tức là: Sk 1      k  (k  1)  k (k  1)  (k  1) Thật vậy: Sk 1  Sk  (k  1)   k   k  1 k     k  1   1  2  Vậy: (1) với n  N * PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC II VÍ DỤ: Vd1: CMR với n  N *thì (1) + + + ….+ (2n-1) = n * CM: P(n) với n  N * Vd2: CMR với n  N n n Phƣơng pháp qui nạp chia hết cho Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) Giải: Đặt A  n n n với n = Bƣớc 1: Với n = ta có A1  Bƣớc 2: Giả sử P(n) Bƣớc 2: G/s với n = k ta có: n  k  với Ak  k  k (gt qui nạp) (P(k) gọi giả thuyết quy Ta phải CM Ak 1 nạp) n  k  Thậy vậy: Ak 1   k  1   k  1 CM: P(n) với I PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC:    k  3k  3k   k 1  (k  k )  3(k  k )  Ak 1 3 Vậy: n3  nchia hết cho với n  N* PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CM: P(n) với n  N * Phƣơng pháp qui nạp Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) với n = Bƣớc 2: Giả sử P(n) với n  k 1 (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n  k 1 * Chú ý: CM: P(n) với n  p ( p một số tự nhiên) Phƣơng pháp qui nạp • Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) n=p với • Bƣớc 2: Giả sử P(n) với nn  kk  pp (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n  k  PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC * Chú ý: CM: P(n) với n  p ( p một số tự nhiên) Phƣơng pháp qui nạp • Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) n=p với • Bƣớc 2: Giả sử P(n) với nk  p (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n  k  Hoạt động nhóm Cho hai số 3n 8n với n N a) So sánh 3n với 8n n = 1, 2, 3, 4, b) Dự đoán kết tổng quát chứng minh bằng phƣơng pháp quy nạp Giải: a) n 3n ? 8n < * < 16 27 > 24 81 > 32 243 > 40 b) Kết quả: 3n > 8n với n3 PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Hoạt động nhóm * Chú ý: CM: P(n) với n  p ( p một số tự nhiên) Phƣơng pháp qui nạp • Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) n=p với • Bƣớc 2: Giả sử P(n) với nk  p (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n) với n  k  Cho hai số 3n 8n với a) So sánh 3n với 8n n = 1, 2, 3, 4, b) Dự đoán kết tổng quát chứng minh bằng phƣơng pháp quy nạp Giải: b) Kết quả: 3n > 8n với n  Đặt P(n): “ 3n > 8n” với n  Bƣớc 1: Với n = 33 > 8.3 nên P(1) nk  Bƣớc 2: G/s mđề với Nghĩa là: 3k > 8k (gt qui nạp) Ta phải CM mđề với n = k+1 Tức 3k+1 > 8(k+1) Thậy vậy: 3k 1  8(k  1)  3k  8k   (3k  8k )  2.3k   0 Vậy: 3n > 8n với 0 n3 ... PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: CM: P(n) với n  N * Phƣơng pháp qui nạp Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) với n = Bƣớc 2: Giả sử P(n) n  k 1 với (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) ... gt qui nạp) n = k+1: 1+3+5+…+(2k-1) +[2(k+1)-1]= (k+1) Nhóm 5, 6: Bƣớc (nêu ta phải CM?) PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: CM: P(n) với n  N * Phƣơng pháp qui nạp II... PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC CM: P(n) với n N * Phƣơng pháp qui nạp • Bƣớc 1: Kiểm tra P(n) với n = • Bƣớc 2: Giả sử P(n) với (P(k) gọi giả thuyết quy nạp) CM: P(n)