Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu gồm 64 trang phân dạng, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm, tự luận chuyên đề phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân thuộc chương 3 Đại số và Giải tích 11, tài liệu do thầy Trần Quốc Nghĩa biên soạn, các bài tập trắc nghiệm có đáp án. Nội dung tài liệu: Vấn đề 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC + Dạng 1. Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp quy nạp + Dạng 2. Chứng minh các bài toán chia hết bằng phương pháp quy nạp + Dạng 3. Nâng cao Chứng minh các bài toán bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp Vấn đề 2. DÃY SỐ + Dạng 1. Mở đầu về dãy số + Dạng 2. Xác định công thức của dãy số (un ) + Dạng 3. Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số thỏa mãn tính chất K + Dạng 4. Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu) và bị chặn của một dãy số BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2
GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) Chủ đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Vấn đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ ℕ ∗ với n mà thử trực tiếp được, ta dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc phương pháp quy nạp) sau: - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = - Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ (gọi giả thiết quy nạp) - Bước 3: Chứng minh với n = k + Các kiến thức cần nhớ: * Cách viết số tự nhiên: Các số tự nhiên liên tiếp: n; n + 1; n + 2; … Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n; 2n + 2; 2n + 4; … Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; … * Tính chất chia hết: Các số chẵn chia hết cho Các số tận chia hết cho Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho Các số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho Số tạo hai chữ số tận chia hết cho chia hết cho Số tạo hai chữ số tận chia hết cho 25 chia hết cho 25 Số tạo chữ số tận chia hết cho chia hết cho Số tạo chữ số tận chia hết cho 125 chia hết cho 125 Một số vừa chia hết cho vừa chia hết cho chia hết cho Tích hai số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2, Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2,3,4,6,8 * Tính chất lũy thừa: n a m a n = a m + n am : a n = a m– n ( ab ) = a n b n n m an a n = am = a n n b b * Phân tích đa thức ax + bx + c thành nhân tử: Nếu phương trình ax + bx + c = có nghiện phân biệt x1 , x2 thì: n ( a m ) = a m n ax + bx + c = a ( x – x1 )( x – x2 ) Dạng Chứng minh đẳng thức phương pháp quy nạp A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Nắm rõ nguyên lý quy nạp gồm ba bước phần tóm tắt lý thuyết File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 B BÀI TẬP MẪU Ví dụ Chứng minh 22 + + 82 + + ( 2n ) = 2n ( n + 1)( 2n + 1) , với n ∈ ℕ ∗ Ví dụ Chứng minh + + + + ( 3n − 1) = n ( 3n + 1) , với n ∈ ℕ ∗ File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) C BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Chứng minh rằng: Với mọ i n ∈ ℕ ∗ : a) + + + + n = n ( n + 1) b) + + + + n = d) + + + + ( 2n − 1) = n n ( n + 1) c) + + + + 2n = n ( n + 1) e) + + + + ( 3n − ) = n ( 3n − 1) f) n g) 1 1 −1 + + + + n = n 2 n ( n + 1)( 2n + 1) n) 1.4 + 2.7 + + n ( 3n − 1) = n ( n + 1) 2 2 q) + + + + ( 2n − 1) = 2 1 1 2n + + + + + n = 3 3 4.3n n +1 ( − 3) n ( 3n + 1) j) + + + + ( 3n − 1) = l) 1 n + + + = 1.2 2.3 n ( n + 1) n + p) 22 + + + + ( 2n ) = n ( 4n − 1) s) 1.2 + 2.5 + 3.8 +…+ n ( 3n –1) = n ( n + 1) m) h) + + 27 + + 3n = i) – + – + … – 2n + ( 2n + 1) = n + k) 12 + 22 + 32 + + n = r)1 + + + 10 + + n ( n + 1) 2n ( n + 1)( 2n + 1) = n ( n + 1)( n + ) n ( n + 3) 1 + + + = 1.2.3 2.3.4 n ( n + 1)( n + ) ( n + 1)( n + ) o) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) = n ( n + 1)( n + ) với n ≥ Bài Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh Bài Cho tổng Sn = n ( n − 3) 1 1 + + + + , với n ∈ ℕ ∗ 1.3 3.5 5.7 n − n + ( )( ) a) Tính S1 , S2 , S3 , S4 b) Hãy dự đoán cơng thức tính Sn chứng minh quy nạp Bài Cho tổng Sn = 1 1 + + + + , với n ∈ ℕ ∗ 1.2 2.3 3.5 n ( n + 1) a) Tính S1 , S2 , S3 , S4 b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh quy nạp Bài Cho Sn = 1 1 + + + + , với n ∈ ℕ ∗ 1.5 5.9 9.13 ( 4n − 1)( 4n + 1) a) Tính S1 , S2 , S3 , S4 b) Hãy dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh quy nạp File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 Dạng Chứng minh tốn chia hết phương pháp quy nạp A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Nắm rõ nguyên lý quy nạp phần tóm tắt lý thuyết • Nắm rõ kiến thức chi hết B BÀI TẬP MẪU Ví dụ Chứng minh rằng: un = n + 15n − chia hết cho , với n ∈ ℕ ∗ Ví dụ Chứng minh rằng: 13n − chia hết cho 12 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Chứng minh rằng: Với mọ i n ∈ ℕ ∗ : a) n5 – n⋮ b) n7 – n⋮ e) 3n + 2n –1⋮ f) 32 n –1⋮8 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com c) 13n –1⋮ d) n3 + 2n ⋮ g) 32 n−1 + 2n +1 ⋮ h) 4.32n + + 32n – 36⋮ 64 MS: GT11-C3 GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) Dạng [NC] Chứng minh toán bất đẳng thức phương pháp quy nạp A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Nắm rõ nguyên lý quy nạp phần tóm tắt lý thuyết • Lưu ý: Nguyên lý quy nạp toán học, áp dụng vào bất đẳng thức phụ thuộc vào số tự nhiên n : - Nếu bất đẳng thức kiểm tra với số tự nhiên n0 - Giả thiết bất đẳng thức n = k ≥ n0 , từ chứng minh bất đẳng thức n = k + Thế bất đẳng thúc cho số tự nhiên n ≥ n0 B BÀI TẬP MẪU Ví dụ Chứng minh với mọ i n ∈ ℕ* , ta có a) 2n > 2n + với n ≥ b) + 1 + + n với n ≥ a) 2n ≥ 2n + với n ≥ c) n n ≥ ( n + 1) Bài n –1 d) n ! > 2n –1 với n ≥ e) 3n > n2 + 4n + với n ≥ f) 2n+ > 2n + g) sin n α + cos2 n α ≤ h) 3n –1 > n ( n + ) với n ≥ i) 2n –3 > 3n –1 với n ≥ j) 3n > 3n + với n ≥ Chứng minh với mọ i n ∈ ℕ* , ta có a) + 1 + + < − với n ≥ 2 n n b) 2n − 1 ⋯ < 2n 2n + n Bài a n + bn a + b ∗ CMR: ≥ , a, b > n ∈ ℕ Bài 10 CMR ∆ABC vng A , có số đo cạnh a , b , c với mọ i số tự nhiên n ≥ , ta có bất đẳng thức: b n + c n ≤ a n Bài 11 Với giá trị số nguyên dương n , ta có: a) 2n+1 > n + 3n b) 2n > 2n + c) 2n > n + 4n + d) 3n > 2n + 7n ? Bài 12 Cho n số thực a1 , a2 , a3 , …, an thỏa –1 < ≤ với i = 1, n Bài 13 Chứng minh rằng: ∀n ∈ ℕ∗ ta có: (1 + a1 )(1 + a2 ) …(1 + an ) ≥ + a1 + a2 +…+ an Bài 14 CMR với số thực a1 , a2 , a3 , …, an , ( n ∈ ℕ ∗ ) , ta có: a1 + a2 +…+ an ≤ a1 + a2 + + an File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) Vấn đề DÃY SỐ Định nghĩa: Định nghĩa Một hàm số u xác định tập ℕ∗ số nguyên dương gọi dãy số vô hạn (hay cịn gọi tắt dãy số) Kí hiệu: ( un ) hay dạng khai triển u1 , u2 , …, un , … Cách cho dãy số: Cách Dãy số xác định công thức cho số hạng tổng quát un Cách Dãy số xác định cơng thức truy hồi (hay cịn nói cho dãy số quy nạp), tức là: • Trước tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu) • Cho cơng thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước Cách Dãy số xác định mệnh đề mơ tả số hạng liên tiếp Dãy số tăng, dãy số giảm: Định nghĩa a Dãy số ( un ) gọi dãy số tăng ∀n ∈ ℕ∗ , un < un+1 b Dãy số ( un ) gọi dãy số giảm ∀n ∈ ℕ∗ , un > un+1 Vậy, ta thấy: Với dãy ( un ) tăng, ta có: u1 < u2 < u3 < …< un < … Với dãy ( un ) giảm, ta có: u1 > u2 > u3 > … > un > … Dãy số bị chặn: Định nghĩa a Dãy số ( un ) gọi bị chặn ∃M ∈ ℝ : un ≤ M , ∀n ∈ ℕ∗ b Dãy số ( un ) gọi bị chặn ∃m ∈ ℝ : un ≥ m , ∀n ∈ ℕ∗ c Dãy số ( un ) gọi bị chặn vừa bị chặn vứa bị chặn tức là: ∃m, M ∈ ℝ : m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ ℕ∗ Dạng Mở đầu dãy số A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Với giả thiết cho dãy số ( un ) dạng công thức tổng quát biểu thức truy hồi câu hỏi thường gặp là: a Hãy viết k số hạng đầu dãy số tìm uk Câu hỏi thực cách b Xác định xem a số hạng thứ dãy số Câu hỏi thực việc giải phương trình ẩn n : un = a B BÀI TẬP MẪU File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 Ví dụ Cho dãy số ( un ) , với un = ( −1) n +1 n a) Tìm u9 , u12 , u2 n , u2 n+1 b) Tìm xem số hạng thứ dãy số ? Ví dụ Tìm số hạng thứ số hạng thứ mỗ i dãy sau: a) Dãy số ( um ) xác định bởi: u1 = un = với n ≥ un −1 + b) Dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 1, u2 = un = un−1 − 2un −2 với n ≥ c) Dãy số ( ) xác định bởi: u1 = un +1 = un + với n ∈ ℕ ∗ C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 15 Viết số hạng đầu mỗ i dãy số ( un ) , biết n a) un = n −1 e) un = Bài 16 2n − n f) un = sin n nπ 2nπ + cos d) un = n n2 + g) un = ( −1) n 4n Hãy viết ba số hạng đầu dãy số ( un ) cho 2n − a) un = n +1 Bài 17 1 c) un = 1 + n 2n − b) un = n +1 n + ( −1) b) un = 2n + n c) un = n + cos n d) un = ( n + 1)! 2n Hãy viết bốn số hạng đầu dãy số ( un ) cho u1 = a) un +1 = ( un + 1) u1 = b) un +1 = u + n File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com u = 15, u2 = c) un + = un − un +1 u = 1, u2 = −2 d) un + = un +1 − 2un MS: GT11-C3 GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) Dạng Xác định công thức dãy số ( un ) A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn đơn giản biểu thức un Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp việc thực theo bước: Bước Viết vài số hạng đầu dãy, từ dự đốn cơng thức cho un Bước Chứng minh công thức dự đốn pp quy nạp B BÀI TẬP MẪU Ví dụ Cho dãy số ( un ) , với u1 = −1 un+1 = un + với n ≥ a) Viết số hạng đầu dãy b) Tìm cơng thức tổng qt dãy Ví dụ Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 2017 un+1 = un + 2018 với n ∈ ℕ ∗ Tìm un Ví dụ 10 [NC] Cho dãy số ( un ) xác định bởi: un = ∀n ∈ ℕ∗ dãy số ( ) xác định bởi: n ( n + 1) v1 = u1 , +1 = + un+1 Xác định công thức theo n File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) 49 Ví dụ 36 Các số x + y, x + y , x + y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời số x − 1, y + 2, x − y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm x y Ví dụ 37 Tìm x để ba số x − , x + , x + lập thành cấp số nhân C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 99 Tìm số dương x , y cho x + 1, x − y , y + theo thứ tự lập thành cấp số 2 cộng; đồng thời số ( y + 3) , xy + , ( x − 1) theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm x y Bài 100 Chứng minh a, b, c lập thành cấp số nhân 1 , , lập thành a b c cấp số nhân Bài 101 Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Chứng minh a) a − 4ab + 8bc + 4c = ( a − 2b − 2c ) b) ( a + b + c )( a − b + c ) = a + b + c Dạng Chứng minh ba số (dãy số) lập thành cấp số nhân A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • • Để chứng minh ba số a , b , c lập thành cấp số nhân ta chứng minh: a.c = b2 Để chứng minh dãy số u1 , u2 , u3 ,…, un –1 , un lập thành cấp số nhân, ta chứng minh: u2 u3 u = = = n = q ( q : công sai) u1 u2 un −1 B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 38 Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = un+1 = 5.un + 8, ∀n ≥ a) Chứng minh dãy số ( ) , với = un + cấp số nhân Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số nhân b) Dựa vào kết phần a), tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 50 2 , , lập thành cấp số cộng Chứng minh ba số a , b c lập b−a b b−c thành cấp số nhân Ví dụ 39 Cho ba số Dạng Tính tổng A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Thơng thường tốn chuyển tính tổng cấp số nhân Sử dụng cơng thức tính S n : S n = u1 ⋅ qn −1 Sau tìm u1 , q n q −1 Đối với cấp số nhân lùi vô hạn: Trước tiên ta xét xem cấp số nhân có lùi vơ hạn hay khơn Nếu có ta xét tiếp xem q < khơng ? Nếu q < ⇒ tính tổng S n = u1 1− q B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 40 Tính tổng tất số hạng cấp số nhân, biết số hạng đầu 18 , số hạng thứ hai 54 số hạng cuối 39366 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) 51 Ví dụ 41 Tính tổng tất số hạng cấp số nhân, biết số hạng đầu hai − , số hạng thứ 256 1 số hạng cuố i 512 1048576 Ví dụ 42 Tính tổng S = + + 18 + + 13122 Ví dụ 43 [NC] Tính tổng S = + 11 + 111 + 1111 + + 111 n soá Ví dụ 44 Tính tổng S = − + − + File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 52 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN u + u = 51 Bài 102 Cho cấp số nhân có u2 + u6 = 102 a) Tìm số hạng cơng i b) Tính tổng 10 số hạng c) Tổng số hạng đầu 765 d) Số 12288 số hạng thứ ? Bài 103 Tìm số hạng đầu cơng i cấp sống nhân ( un ) , biết u1 = a) 38 − S = S = 40 b) S8 = 680 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ Bài 104 Cho cấp số nhân ( un ) có: u5 = 96 , u6 = 192 a) Tìm u1 , q b) Tìm S Bài 105 Tính số hạng un cấp số nhân đây: a) ; 1 ; , … Tính u8 b) 2; − 4; 8; ….Tính u11 Bài 106 Cho cấp số nhân ( un ) có: a) u1 = , u11 = 64 Tìm q b) u3 = 18 , u6 = –486 Tìm u1 , q , S6 c) u1 = , q = , un = 486 Tìm n d) q = , S = 384 Tìm u2 e) u1 = , q = –2 Tìm S6 f) q = , u7 = 192 Tìm S Bài 107 Tính tổng sau: a) S = + 33 + + 333 b) S = + 2.2 + 3.2 + 4.23 +…+ 100.299 n soá Bài 108 Cho dãy số ( un ) u1 = định bởi: ( ∀n ∈ ℕ *) Tính un theo n un +1 = un + u1 = u +1 Bài 109 Cho dãy số ( un ) : un − ( ∀n ∈ ℕ *) ( ) : = n u = u + n + n un − a) Chứng minh ( ) cấp số nhân b) Tính un theo n Bài 110 Tổng n số hạng đầu dãy số ( un ) S n = 3n − b) Chứng minh dãy số ( un ) cấp số nhân a) Tính un theo n Bài 111 Xác định u1 q cấp số nhân biết: u = a) u9 = −81 u − u = 144 b) u4 − u2 = 72 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com u − u = −72 c) u7 − u4 = −216 MS: GT11-C3 GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) 53 u − u + u = 65 d) u1 + u7 = 325 u + u + u = 168 e) u4 + u5 + u6 = 21 u + u + u = 13 f) u4 + u5 + u6 = 315 u + u + u = −42 g) u3 + u5 = 20 u + u = 244 h) u3 + u4 = 36 u1 + u2 + u3 + u4 = 15 i) 2 2 u1 + u2 + u3 + u2 = 85 Bài 112 Tìm số hạng cấp số nhân sau: a) Có số hạng mà số hạng đầu số hạng cuối 128 b) Có số hạng mà số hạng đầu số hạng cuối 243 c) Có số hạng mà số hạng đầu 243 số hạng cuối d) Có số hạng công i số hạng thứ nhất, tổng số hạng đầu 21 e) Có số hạng, số hạng đầu có tổng 168 , số hạng cuối có tổng 21 f) Có số hạng, tổng chúng 14 tích chúng 64 Bài 113 Tìm cấp số nhân có số hạng dương Biết rằng: u u = 25 a) u2 + u3 + u4 = 31 u + u = 164 b) u2 + u3 + u4 = 78 u1.u5 + u2 u3 u4 = 12 c) 242 u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = Bài 114 Tìm bốn góc tứ giác, biết góc lập thành cấp số nhân góc cuối gấp lần góc thứ hai Bài 115 Tính cạnh hình hộp chữ nhật, biết thể tích a3 , diện tích tồn phần 2a ba cạnh lập thành cấp số nhân Bài 116 Cho số a, b, c > lập thành cấp số nhân Chứng minh: ( a + b + c )( a – b + c ) = a + b + c Áp dụng: Tìm số hạng cấp số nhân biết tổng chúng 14 tổng bình phương chúng 84 Bài 117 Tìm CSN a , b , c biết a < b < c , a.b.c = 216 a + b + c = 19 Bài 118 Cho ba số: 2 ; ; lập thành cấp số cộng Chứng minh: a , b , c lập thành cấp số b−a b b−c nhân Bài 119 Cho số a , b , c lập thành cấp số nhân Chứng minh: a) ( ab + bc + ca ) = abc ( a + b + c ) b) ( a + b )( b + c ) = ( ab + bc ) Bài 120 Tổng số hạng liên tiếp cấp số cộng 21 Nếu số thứ hai trừ số thứ ba cộng thêm ba số lập thành cấp số nhân Tìm cấp số cộng Bài 121 Cho số ; ; 33 Tìm số x phải cộng thêm vào số để số lập thành cấp số nhân Bài 122 Ba số khác lập thành cấp số cộng có tổng Bình phương ba số lập thành cấp số nhân Tìm cấp số cộng Bài 123 Tìm số tạo thành cấp số nhân, biết tổng chúng 91 Nếu thêm số 25 ; 27 ; vào số ta ba số lập thành cấp số cộng Bài 124 ∆ABC vng A có độ dài cạnh a , b , c lập thành cấp số nhân tích độ dài chúng Xác định độ dài cạnh ∆ABC File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 54 Bài 125 Cho a, b > Đặt thêm số hai số a b ; để cấp số nhân b2 a2 Bài 126 Cho a, b, c, d theo thứ tự lập thành cấp số nhân Chứng minh 2 2 a) ( b − c ) + ( c − a ) + ( d − b ) = ( a − d ) b) ( ab + bc + cd ) = ( a + b + c2 )( b + c + d ) 1 1 c) a 2b 2c2 + + = a + b3 + c3 a b c 2 , , ( b ≠ 0, b ≠ a, b ≠ c ) tạo thành cấp số cộng Chứng minh a, b, c b−a b b−c tạo thành cấp số nhân Bài 127 Cho ba số Bài 128 Tìm số a , b dương biết: 1, a, b cấp số cộng a) 2 1, a , b cấp số nhân a, b, cấp số cộng a, b, 12 cấp số nhaân b) a, a + 2b, 2a + b cấp số cộng 4, a + 8, b cấp số cộng 4, a, b cấp số nhân d) c) 2 ( b + 1) , ab + 5, ( a + 1) laø CSN Bài 129 Tìm số a , b , c biết: a + b + c = 30 a) a, b, c cấp số cộng a, c, b cấp số nhân a, b, c cấp số cộng b) 2 a , b , c cấp số nhân a + b + c = 91 c) a, b, c laø cấp số nhân a + 25, b + 27, c + laø CSC a + b + c = 52 d) a, b, c cấp số nhaân a + 1, b + 10, c + laø CSC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ Câu 193 Cho dãy số: −1; 1; −1; 1; −1; … Khẳng định sau A Dãy số cấp số nhân B Số hạng tổng quát un = 1n = C Dãy số cấp số nhân có u1 = −1; q = −1 D Số hạng tổng quát un = ( −1) 2n 1 1 ; ; ; ; … Khẳng định sau sai 16 1 A Dãy số cấp số nhân có u1 = 1; q = B Số hạng tổng quát un = n −1 2 C Số hạng tổng quát un = n D Dãy số dãy số giảm Câu 194 Cho dãy số: 1; 1 Câu 195 Cho cấp số nhân: − ; a; − Giá trị a 125 1 A a = ± B a = ± C a = ± 25 5 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com D a = ±5 MS: GT11-C3 GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) 55 Câu 196 Hãy chọn cấp số nhân dãy số cho sau đây: 1 u = 1; u2 = u1 = u1 = A B C un = n + D = u u u u = − u u = u n +1 n −1 n n +1 n n +1 n Câu 197 Cho dãy số: −1; x; 0, 64 Chọn x để dãy số cho lập thành cấp số nhân? A Khơng có giá trị x B x = −0, 008 C x = 0, 008 D x = 0, 004 Câu 198 Hãy chọn cấp số nhân dãy số cho sau đây: 1 A un = n − B un = n −2 C un = n + 4 D un = n − Câu 199 Chọn mệnh đề mệnh đề n n 1 A un = − cấp số tăng 4 1 B un = cấp số tăng 4 C un = 4n cấp số tăng D un = ( −4 ) cấp số tăng n Câu 200 Chọn mệnh đề mệnh đề Cấp số nhân với −3 A un = n dãy số giảm B un = n dãy số giảm 10 10 n C un = 10n dãy số giảm D un = ( −10 ) dãy số giảm Câu 201 Chọn mệnh đề mệnh đề đây: 1 A Cấp số nhân: −2; −2, 3; −2, 9;… có u6 = ( −2 ) − 3 B Cấp số nhân: 2; −6; 18;… có u6 = ( −3) C Cấp số nhân: −1; − 2; −2;… có u6 = −2 D Cấp số nhân: −1; − 2; −2; có u6 = −4 Câu 202 Cho cấp số nhân ( un ) có cơng bội q Chọn hệ thức hệ thức sau: uk −1 + uk +1 A uk = uk +1.uk + B uk = C uk = u1q k −1 D uk = u1 + ( k − 1) q u1 = −2 Câu 203 Cho dãy số ( un ) xác định bởi: Chọn hệ thức đúng: un +1 = − 10 un 1 A ( un ) cấp số nhân có q = B un = ( −2) n −1 10 10 u +u C un = n −1 n +1 ( n ≥ ) D un = un −1.un+1 ( n ≥ ) Câu 204 Xác định x để số x –1; x, x + lập thành cấp số nhân: A x = ± C x = ± File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com B x = ± D Khơng có giá trị x MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 56 Câu 205 Xác định x để số x – 2; x + 1; – x lập thành cấp số nhân: A Khơng có giá trị x B x = ±1 C x = D x = −3 Câu 206 Cho dãy số ( un ) : 1; x; x ; x3 ; … (với x ∈ ℝ; x ≠ 1; x ≠ ) Chọn mệnh đề đúng: A ( un ) cấp số nhân có un = x n B ( un ) cấp số nhân có u1 = 1, q = x C ( un ) cấp số nhân D ( un ) dãy số tăng Câu 207 Cho dãy số ( un ) : x; − x3 ; x5 ; − x7 ; … ( với x ∈ ℝ, x ≠ 1, x ≠ ) Chọn mệnh đề sai: A ( un ) dãy số không tăng, không giảm B ( un ) cấp số nhân có un = ( −1) C ( un ) có tổng S n = n −1 x2 n−1 x (1 − x n−1 ) − x2 D ( un ) cấp số nhân có u1 = x; q = − x2 Câu 208 Chọn cấp số nhân dãy số sau: A 1; 0, 2; 0, 04; 0, 0008;… C x; x; x; x; … B 2; 22; 222; 2222; … D 1; − x2 ; x ; − x6 ; … Câu 209 Cho cấp số nhân có u1 = 3, q = Chọn kết đúng: 16 A số hạng cấp số là: 2; ; ; ; 3 2 B un = 3 n −1 n 2 C S n = − 3 D ( un ) dãy số tăng dần Tính u5 ? −16 16 B u5 = C u5 = 27 27 Câu 210 Cho cấp số nhân có u1 = −3; q = A u5 = −27 16 Câu 211 Cho cấp số nhân có u1 = −3; q = A Thứ C Thứ D u5 = 27 16 −96 Số số hạng thứ cấp số này? 243 B Thứ D Không phải số hạng cấp số Câu 212 Cho cấp số nhân có u2 = ; u5 = 16 Tìm q u1 1 1 A q = ; u1 = B q = − ; u1 = − 2 2 1 C q = 4; u1 = D q = −4; u1 = − 16 16 Câu 213 Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n Số hạng un +1 A 3n + B 3n + File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com C 3n.3 D ( n + 1) MS: GT11-C3 GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) 57 Câu 214 Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n Số hạng u2n A 2.3n B 9n C 3n + D 6n Câu 215 Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n Số hạng un −1 A 3n − B n C 3n − D 3n − Câu 216 Ta có un −1 = 3n −1 = 3n Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n Số hạng un −1 A 3n − B .3n C 3n − D 3n − Câu 217 Cho dãy số ( un ) , biết un = 3n Số hạng u2 n −1 A 32.3n − B 3n.3n−1 C 32n − D ( n −1) Câu 218 Cho cấp số nhân −4, x, −9 Hãy chọn kết kết sau: A x = 36 B x = −6,5 C x = ±6 D x = −36 Câu 219 Trong dãy số cho công thức truy hồ i sau, chọn dãy số cấp số nhân u1 = u = −1 A B u = u u = u n + n n + n u = −3 C D 7, 77, 777, , 777 un +1 = un + n ch÷ sè Câu 220 Cho cấp số nhân (un ) có: u2 = −2 u5 = 54 Khi tổng 1000 số hạng cấp số nhân − 31000 A 31000 − B 31000 − C − 31000 D Câu 221 Cho cấp số nhân (un ) , biết u1 = 3, u2 = −6 Hãy chọn kết A u5 = −24 B u5 = 48 C u5 = −48 D u5 = 24 Câu 222 Cho cấp số nhân: −2 , x , −18 , y Hãy chọn kết x = −6; y = −54 A x = 6, y = −54 B x = −10, y = −26 C D x = −6, y = 54 x = 6; y = 54 Câu 223 Cho dãy số ( un ) , với un = 3n Hãy chọn hệ thức A u1 + u9 = u5 B C + u1 + u2 + + u100 = u100 − Câu 224 Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = 12 xn = u2 u4 = u3 D u1.u2 u100 = u5050 xn −1 với mọ i n = 2, 3, Tổng 15 số hạng đầu dãy ( xn ) A 28697812 1594323 B 28697813 1594323 C 28697813 1594324 D 7174453 398581 Câu 225 Cho cấp số nhân có số hạng đầu , số hạng thứ hai Ba số hạng 1 1 1 1 A 3; 9; 27 B ; ; C ; ; D ; ; 27 16 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 58 Câu 226 Cho cấp số nhân đơn điệu có số hạng với số hạng đầu , số hạng cuố i 192 Số hạng thứ tư cấp số nhân A −24 B 24 C 48 D 96 Câu 227 Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 3; u4 = 24 Chọn khẳng định A u2 = 6; u3 = B u2 = 4; u3 = C u2 = 6; u3 = 12 D u2 = 12; u3 = 20 Câu 228 Cho cấp số nhân ( un ) có 10 số hạng, biết u2 = u3 = Năm số hạng cuố i cấp số nhân A 729; 2187; 6561; 19683; 59049 B 27; 81; 243; 729; 2187 C 81; 243; 2187; 6561 D 243; 729; 2187; 6561; 19683 Câu 229 Cho cấp số nhân ( un ) thỏa mãn: u4 − u2 = 25; u3 − u1 = 50 Cấp số nhân có: A u1 = 200 B u1 = − 200 C q = − D u2 = 100 Câu 230 Cho cấp số nhân ( un ) tăng, có u1 + u4 = 27, u2 u3 = 72 Cấp số nhân có u7 A 129 B 192 C 291 D 191 Câu 231 Cho cấp số nhân: u1 , u2 , u3 biết u1u2 u3 = 8000 Giá trị u2 A 10 B 30 C 20 D 40 Câu 232 Cho cấp số nhân x, y , z biết tổng x + y + z = 26, x + y + z = 364 Khi giá trị y A 10 B 11 C 12 D Câu 233 Cho cấp số nhân tăng ( un ) gồm bảy số hạng, biết tổng số hạng , tổng số hạng cuố i 112 Chọn khẳng định : A ( un ) có cơng i B ( un ) có số hạng đầu C ( un ) có u3 = 10 D ( un ) có tổng số hạng 127 Câu 234 Cho cấp số nhân vơ hạn ( un ) có u1 = 5, công i q số nguyên dương Số 45 số hạng dãy Chọn khẳng định đúng: A 45 số hạng thứ dãy B u2 = 20 C Công i cấp số nhân D Công i cấp số nhân Câu 235 Cho cấp số nhân ( un ) có 10 số hạng khác Biết tổng tất số hạng gấp lần tổng số hạng có thứ tự lẻ Công bội cấp số nhân A q = B q = C q = D q = Câu 236 Cho hai dãy số ( un ) , ( ) : un = 4.5n −1; v n = n với số nguyên dương n Chọn khẳng định A ( un ) , ( ) hai cấp số nhân B ( un ) cấp số nhân, ( ) cấp số nhân C ( un ) khônglà cấp số nhân, ( ) cấp số nhân D ( un ) không cấp số nhân, ( ) cấp số nhân File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) Câu 237 Cho hai dãy số ( sn ) , ( tn ) : s n = 59 ; t n = 4.3n+1 với mọ i số nguyên dương n Chọn khẳng n +1 định A ( sn ) , ( tn ) hai cấp số nhân B ( sn ) cấp số nhân, ( tn ) cấp số nhân C ( sn ) không cấp số nhân, ( tn ) cấp số nhân D ( sn ) khônglà cấp số nhân, ( tn ) cấp số nhân Câu 238 Cho dãy số ( un ) có tổng n số hạng tính cơng thức S n = 3n − với mọ i số nguyên dương n Chọn khẳng định A u6 = 2.36 B u7 = 2.38 Câu 239 Cho hai dãy số ( un ) , ( ) : C u10 = 2.39 D u11 = 2.312 un = 2.3n + 1; v n = n với mọ i số nguyên dương n Chọn khẳng định A ( un ) , ( ) hai cấp số nhân B ( un ) cấp số nhân, ( ) cấp số nhân C ( un ) khônglà cấp số nhân, ( ) cấp số nhân D ( un ) khônglà cấp số nhân, ( ) cấp số nhân Câu 240 Cho dãy ( tn ) có tổng n số hạng tính công thức S n = 2n − với mọ i số nguyên dương n Dãy ( hn ) xác định công thức hn = 2n − Chọn khẳng định A ( tn ) , ( hn ) hai cấp số nhân B ( tn ) cấp số nhân, ( hn ) cấp số nhân C ( tn ) không cấp số nhân, ( hn ) cấp số nhân D ( tn ) khônglà cấp số nhân, ( hn ) cấp số nhân Câu 241 Cho dãy ( un ) có tổng n số hạng tính cơng thức S n = 4n + m với mọ i số nguyên dương n Chọn khẳng định A ( un ) cấp số nhân với mọ i m B ( un ) cấp số nhân m dương C ( un ) cấp số nhân m âm D Các khẳng định sai u1 = Câu 242 Cho dãy số ( un ) : với mọ i số nguyên dương n Chọn khẳng định un+1 = 4un + m A ( un ) cấp số nhân với mọ i m B ( un ) cấp số nhân m = C ( un ) cấp số nhân m ≠ D Các khẳng định sai File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 60 BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM B B B B B B C A C 10 B 11 C 12 C 13 A 14 C 15 D 16 C 17 D 18 C 19 D 20 C 21 C 22 A 23 D 24 D 25 C 26 A 27 B 28 C 29 30 A 31 A 32 A 33 C 34 A 35 C 36 B 37 B 38 B 39 D 40 D 41 D 42 A 43 C 44 D 45 C 46 A 47 C 48 B 49 B 50 C 51 B 52 B 53 B 54 A 55 B 56 C 57 B 58 D 59 B 60 B 61 A 62 A 63 A 64 C 65 A 66 A 67 A 68 A 69 D 70 A 71 A 72 A 73 A 74 A 75 D 76 A 77 D 78 C 79 B 80 B 81 B 82 D 83 D 84 A 85 A 86 D 87 C 88 A 89 A 90 A 91 C 92 C 93 B 94 A 95 A 96 B 97 D 98 B 99 100 D A 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 B C B B D A B C B A A C B B C B B A D B 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B D C C A C B B C C C D D B A A D A D B 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 D B A C C A C C A B B B B C C B B D A B 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 B C A C A C D A D D A D D C B B B C B 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 C A B C C B C C C B A A C C B B A B C A 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 D C D C A D B B B C C B B B B C B D 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 B C D A D B C C B B C D D C B C C D B 241 242 243 2244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 D A Tài liệu tham khảo: [1] Trần Văn Hạo - Đại số 11 CB- Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam [2] Trần Văn Hạo - Bài tập Đại số 11 CB- Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam [3] Trần Văn Hạo - Đại số 11 NC- Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam [4] Trần Văn Hạo - Bài tập Đại số 11 NC- Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam [5] Nguyễn Phú Khánh - Phân dạng phương pháp giải chuyên đề Đại Số Và Giải Tích 11 [6] Một số tài liệu internet File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) 61 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 62 MỤC LỤC PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Vấn đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Dạng Chứng minh đẳng thức phương pháp quy nạp Dạng Chứng minh toán chia hết phương pháp quy nạp Dạng [NC] Chứng minh toán bất đẳng thức phương pháp quy nạp Vấn đề DÃY SỐ Dạng Mở đầu dãy số Dạng Xác định công thức dãy số ( un ) Dạng Sử dụng phương pháp quy nạp chứng minh dãy số thỏa mãn tính chất K 11 Dạng Xét tính tăng, giảm (hay tính đơn điệu) bị chặn dãy số 12 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 15 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 18 Vấn đề CẤP SỐ CỘNG 31 Dạng Chứng minh ba số (dãy số) lập thành cấp số cộng 31 Dạng Xác định số hạng tổng quát cấp số cộng 32 Dạng Tìm phần tử cấp số cộng 34 Dạng Ứng dụng tính chất cấp số cộng 36 Dạng Tính tổng 37 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 38 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 40 Vấn đề CẤP SỐ NHÂN 46 Dạng Tìm phần tử cấp số nhân 46 Dạng Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân 48 Dạng Ứng dụng tính chất cấp số nhân 48 Dạng Chứng minh ba số (dãy số) lập thành cấp số nhân 49 Dạng Tính tổng 50 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ 52 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 54 BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 60 MỤC LỤC 61 File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT11-C3 ... Tìm số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng sau: a) b) c) d) e) Đặt số hai số 35 để cấp số cộng Đặt số hai số 27 để cấp số cộng Đặt số hai số 31 để cấp số cộng Đặt số hai số để cấp số cộng Đặt số. .. định A ( ) ( tn ) hai cấp số cộng B ( ) cấp số cộng ( tn ) cấp số cộng C ( tn ) cấp số cộng ( ) cấp số cộng D ( ) không cấp số cộng ( tn ) không cấp số cộng Câu 158 Cho cấp số cộng ( CSC ) có: u1...GV GV TRẦ TRẦN QUỐ QUỐC NGHĨA NGHĨA (Sưu (Sưu tầ tầm biên tậ tập) Chủ đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Vấn đề PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Để chứng minh