Tính đơn điệu hàm số dạng toán thường gặp Tính đơn điệu (đồng biến - nghịch biến hay tăng - giảm) tính chất quan hàm số Tính chất áp dụng để giải nhiều toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình Trong viết tìm hiểu tính đơn điệu hàm số dạng toán cần nắm vững Định nghĩa tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định miền D f(x) gọi đồng biến (hay tăng) D f(x) gọi nghịch biến (hay giảm) D thì Ta hiểu đơn giản: hàm số đồng biến hàm số mà x f(x) tăng, giảm; hàm số nghịch biến hàm số mà x tăng f(x) giảm ngược lại Đồ thị hàm số đồng biến nghịch biến Nếu hàm số f(x) đồng biến khoảng (a;b) đồ thị f(x) khoảng đường thẳng lên từ trái sang phải Nếu hàm số f(x) nghịch biến khoảng (a;b) đồ thị f(x) khoảng đường thẳng xuống từ trái sang phải Quan sát đồ thị hình trên, ta thấy khoảng đồ thị lên từ trái sang phải nghĩa làm khoảng hàm số đồng biến Trên khoảng (-1; 1) đồ thị xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến khoảng Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu Ở ta có định lý quan sử dụng để tìm khoảng đơn điệu hàm số áp dụng vào số dạng tập Cho hàm số f(x) có đạo hàm D, đó: f(x) đồng biến D f(x) nghịch biến D Ở ta có điều kiện f(x) số hữu hạn điểm D Nếu không giảm) f(x) = C số nên f(x) hàm không đổi (không tăng, Các dạng tập tính đơn điệu hàm số Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số Nghĩa tìm khoảng mà hàm số đồng biến hay nghịch biến Để làm dạng toán này, ta thực theo bước sau: - Tìm tập xác định hàm số (TXĐ) - Tìm đạo hàm f'(x) giải phương trình f'(x) = - Lập bảng xét dấu f'(x) dựa vào định lý bên để kết luận (ta thường gọi lập bảng biến thiên có thêm chiều biến thiên y) Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu hàm số Giải TXĐ: D = R Bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đồng biến khoảng Hàm số nghịch biến khoảng Lưu ý: Trong bảng biến thiên, y' mang dấu + nghĩa hàm số đồng biến dòng y ta biểu diễn mũi tên lên, y' mang dấu - nghĩa hàm số nghịch biến dòng y ta biểu diễn mũi tên xuống Ví dụ 2: xét tính đơn điệu hàm số Giải TXĐ: Bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến khoảng Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta kết luận hàm số đồng biến khoảng tập xác định (do tử mẫu dương) mà không cần dùng tới bảng biến thiên Tuy nhiên, ta nên lập bảng biến thiên để áp dụng cho dạng tập khác sau Lưu ý: Quy tắc để tính nhanh đạo hàm hàm số Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến TXĐ Với dạng toán này, ta cần sử dụng định lý bên trên, đồng thời áp dụng kiến thức mà ta biết tam thức bậc hai: Cho , ta có: Ví dụ: Tìm m để hàm số đồng biến R Giải TXĐ: D = R Để hàm số đồng biến R Vậy với hàm số đồng biến R Lưu ý: dạng toán trên, hệ số a hàm số có chứa tham số m ta phải xét hai trường hợp a = Trên hai dạng toán tính đơn điệu hàm số mà học sinh phải nắm vững Ngoài số dạng toán nâng cao tính đơn điệu như: tìm điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng, vận dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đăng thức, giải phương trình, hệ phương trình đề cập viết khác